专题3抛物线与几何变换

———专题讲解———

一、抛物线的平移

（1）具体步骤：

先利用配方法将二次函数化成y=a（x－h）2＋k的形式，

确定其顶点（h，k），然后作出二次函数y=ax2的图象，

将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到（h，k）．具体平

移方法如图所示：

（2）平移规律：

在原有函数的基础上“左加右减”．

二、抛物线的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况：

①关于x轴对称：

y=ax2＋bx＋c关于x轴对称后，得到的解析式是y=－ax2

－bx－c；y=a（x－h）2＋k关于x轴对称后，得到的解

析式是y=－a（x－h）2－k．

②关于y轴对称：

y=ax2＋bx＋c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2－

bx＋c；y=a（x－h）2＋k关于y轴对称后，得到的解析

式是y=a（x＋h）2＋k．

③关于原点对称：

y=ax2＋bx＋c关于原点对称后，得到的解析式是y=－ax2

＋bx－c；y=a（x－h）2＋k关于原点对称后，得到的解

析式是y=－a（x＋h）2－k．

④关于顶点对称：

y=ax2＋bx＋c关于顶点对称后，得到的解析式是

2

2

2

b

y ax bx c

a

=--+-；y=a（x－h）2＋k关于顶点对

称后，得到的解析式是()2

y a x h k

=--+．

⑤关于点（m，n）对称：

()2

y a x h k

=-+关于点()

m n

，对称后，得到的解析

式是()2

22

y a x h m n k

=-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的

形状一定不会发生变化，因此a永远不变．

———典型例题———

【例1】（2014•陕西）已知抛物线C：c

bx

x

y+

+

-

=2

经过A（－3，0）和B（0，3）两点．将这条抛物线的顶

点记为M，它的对称轴于x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，

它的对称轴于x轴的交点记为N′．如果以点M、N、

M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，

那么应将抛物线C怎样平移为什么

【提示】根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条

件，需要分类讨论．

【感悟】1、二次项系数的不变性．抛物线平移中，二次

函数中二次项系数是不变的；2、以点带线．顶点的平移

方向和平移距离就是抛物线平移的方向和距离，反之，

亦然；3、顶点式的应用，是解答抛物线平移的常用公

式．既做到由顶点坐标求解析式，又做到能由解析式求

出顶点坐标．

【例2】（2013•河北省）如图，一段抛物线：y=－x（x

－3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1

绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋

转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得

C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m= ．

【提示】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规

律得出平移后解析式，进而求出m的值．

【方法总结】旋转前后的图形大小与形状都没发生变化．

———小试身手———

1．（☆☆ 2014•浙江宁波）已知点A （a －2b ，2－4ab ）在抛物线y =x 2

＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）

A ．（－3，7）

B ．（－1，7）

C ．（－4，10）

D ．（0，10）

2．（☆☆ 2012•陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线

y =x 2－x －6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平

移后的抛物线恰好经过原点，则|m |的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6

3．（☆☆☆2014•山东临沂）在平面直角坐标系中，函数

2

2(y x x x =-≥0)的图象为1C ，1C 关于原点对称的图

象为2C ，则直线y a =（a 为常数）与1C ，2C 的交点

共有（ ）

A ．1个

B ．1个或2个

C ．1个或2个或3个

D ．1个或2个或3个或4个 4．（☆☆☆）如图，抛物线m ：y =ax 2

＋b （a ＜0，b ＞0）与

x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将

抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．若四边形AC 1A 1C 为矩形，则a ，b 应满足的关系式为（ ）

A ．ab =－2

B ．ab =－3

C ．ab =－4

D ．ab =－5

（第4题图） （第5题图）

5．（☆☆☆☆2014•西湖区一模）如图，将二次函数y =x

2

－m （其中m ＞0）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y 1，另有一次函数y =x ＋b 的图象记为y 2，则以下说法：

（1）当m =1，且y 1与y 2恰好有三个交点时，b 有唯一值为1；（2）当b =2，且y 1与y 2恰有两个交点时，m ＞4或0＜m ＜

4

7

；（3）当m =b 时，y 1

与y 2

至少有2个交点，且其中一个为（0，m ）；（4）当m =－b 时，y 1与y 2一定有交点．

其中正确说法的序号为 ．

6．（☆☆ 2013•河南省）如图，抛物线的顶点为P （－2，2），与y 轴交于点A （0，3）．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′（2，－2），点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．

7．（☆☆2010•关系桂林）将抛物线y =2x 2

－12x ＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 ．

8．（☆☆☆☆2014•湖南衡阳模拟）已知二次函数y =2x

2

＋bx ＋1（b 为常数），当b 取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的解析式是 ；若二次函数y =2x 2

＋bx ＋1的顶点只在x 轴上方移动，那么b 的取值范围是 ．

9．（☆☆☆2014•贵州贵阳）如图，经过点A （0，－6）的抛物线y =1

2

x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B （－2，0），C 两

点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标； （2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再

向上平移m （m ＞0）个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围； （3）在（2）的结论下，新抛物线y 1上是否存在点Q ，使

得△QAB 是以AB 为底边的等腰三角形请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围．

10．（☆☆☆2014•江西抚州）如图，抛物线y =ax 2

＋2ax （a ＜0）位于x 轴上方的图象记为F 1，它与x 轴交于P 1、O 两点，图象F 2与F 1关于原点O 对称，F 2与x 轴的另一个