学而思寒假七年级尖子班讲义平行线四大模型

目录
Contents
第1讲平行线四大模型 (1)
第2讲实数三大概念 (17)
第3讲平面直角坐标系 (33)
第4讲坐标系与面积初步 (51)
第5讲二元—次方程组进阶 (67)
第6讲含参不等式（组） (79)
1平行线四大模型
知识目标
目标一熟练掌握平行线四大模型的证明
目标二熟练掌握平行线四大模型的应用
目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造
秋季回顾平行线的判定与性质
l、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法l：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行．
简称：错角相等，两直线平行，
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行．
简称：同旁角互补，两直线平行，
如上图：
若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
若已知∠1=∠3，则AB∥CD（错角相等，两直线平行）；
若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁角互补，两直线平行）．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、平行线的性质
利用同位角相等，或者错角相等，或者同旁角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、错角、同
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，错角相等.
简称：两直线平行，错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁角互补．
简称：两直线平行，同旁角互补
本讲进阶平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论AB CD P AEP CFP P CFP AEP
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
巩固练习平行线四大模型证明
（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°
.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．
（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .
模块一平行线四大模型应用
例1
（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．
(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．
(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .
(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．
练
(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．
(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .
例2
如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.
练
如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =
n 1∠ABF ，∠FDC =n
1
∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；
(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.
例3
如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .
练
如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.
例4
如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．
练
（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°
模块二平行线四大模型构造
例5
如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则
∠GHM= .
练
如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .
例6
已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．
练
已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.
(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的
关系．
(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．
(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．
如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
挑战压轴题
（粮道街2015—2016 七下期中）
如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；
(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPB
Q
∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其围；
(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPB
Q
∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．
.
第一讲 平行线四大模型（课后作业）
1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).
A . 180°
B . 270°
C . 360°
D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =
32∠CDE ，∠ABF =3
2
∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．
A ．2:1
B ．3:1
C ．4:3
D ．3:2
3.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .
4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．
5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .
6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .
.
Word 资料 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b .∠1=50°，∠2 =60°，则∠3
的度数为
.
8．如图，AB ∥CD ，EP ⊥FP , 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为 ．
9.如图，若AB ∥CD ， ∠BEF =70°，求∠B +∠F +∠C 的度数.
10．已知，直线AB ∥CD ．
(1)如图l ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间有什么关系？请说明理由；
（2）如图2，∠AEF 、∠EFC 、∠FCD 之间有什么关系？请说明理由；
(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的关是 .。