浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现

本科毕业论文

论文题目：

指导老师：

学生姓名：

学号：

院系：网络教育学院

专业：

毕业时间：20 年2月

原创承诺书

我承诺所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作

及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方

外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。若本论文及

资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任。

毕业论文作者签名：___________________

日期：年月日

目录

摘要..........................................................................................I Abstract (Ⅱ)

引言(导言\绪论) (Ⅲ)

一、整体化思想方法 (1)

（一）同余理论的定义的提出就是整体化思想的的体现 (1)

（二）什么是整体化思想方法 (2)

（三）案例分析解题过程中整体化数学思想方法 (2)

（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (3)

二、配对思想方法 (4)

（一）Wilson定理证明过程蕴涵了“配对思想方法” (4)

（二）什么是配对数学思想方法 (4)

（三）初等数论中有许多配对的情形存在 (4)

（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (4)

三、化归思想方法 (5)

（一）初等数论解题过程中反映“化归”思想方法的内容 (5)

（二）什么是化归数学思想方法 (5)

（三）案例分析“化归”在解题过程中的具体表现 (5)

(四) 教学过程中应注意的问题 (8)

参考文献 (9)

致谢 (10)

摘要（内容要手写）

摘要：初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识形成和问题解决的过程中。下文我将例谈初等数论解题过程中所反映出来的整体化、配对、化归等三大数学思想方法。教师要注重在基础知识的教学中进行渗透,在解题教学中进行提炼和深化。

关键词：数学思想方法整体化配对化归数学教学

Abstract (内容要手写)

Abstract:The primary theory of numbers apparents simply, but grasps is not the easy matter truly, its content rigorous succinct, method marvelous changeable, has contained the rich mathematics thinking method, its mathematics thinking method often conceals, in mathematics knowledge forms with in the question solution process. As follows I the example discussed in the primary theory of numbers problem solving process reflects integration, pair, reduction and so on three big mathematics thinking method. The teacher wants to pay great attention in the elementary knowledge teaching to carry on the seepage, carries on the refinement and the deepening in the problem solving teaching.

Key words:Mathematics thinking method Integration Pair Reduction Mathematics teaching

浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现

引言

当今的数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中，数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解，培养学生的思维能力有着独到的优势，它是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。因此，在数学教学中，教师重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养。

“那什么是数学思想方法？”————数学思想是指人们对数学理论和内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。

学习过初等数论的教师们都知道：初等数论以整除和同余理论为基础，主要研究整数性质和不定方程。初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识形成和问题解决的过程中。下文我将例谈初等数论解题过程中所反映出来的整体化、配对、化归等三大数学思想方法。

一、整体化思想方法

同余理论是初等数论的核心，有着理论比较容易学习，题目却比较难做的特点，这就 需要我们挖掘数学思想方法————整体化思想，可以使我们更好地理解同余理论中的定义、定理及其解答整除问题、定理证明等初等数论的问题。

（一）同余理论的定义的提出就是整体化思想的的体现

定义1．(同余)设 m 是给定的正整数，a,b 是任意整数，如果整数 m ︱(a-b)，则称a 与b 关于模 m 同余，记为 a ≡ b （mod m ）

由带余除法可知，整数 a ，b 对模 m 同余的充分与必要条件是a 和 b 被 m 除后所得的最小非负余数相等，设a=mq+r(0≤r ≤m)，则由同余的性质 a ≡ b ≡ r(mod m )。因此对于全体整数，我们除以同一个整数 m ，得到的余数为0，1，2，…，m-1，共有m 种情况，即对于模m ，我们可以将整数集分成m 个集合：

0K ={ x ︱x ≡0(mod m),x ∈Z}

1K ={ x ︱x ≡1(mod m),x ∈Z}

… …

1-m K ={ x ︱x ≡m-1(mod m),x ∈Z}

从而有如下定义：

定义2．(剩余类)设m 是正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应的m 个集合记为0K ，1K ，…1-m K 其中r K ={qm+r ︱q ∈Z ，0≤r

（1）Z =

m r r K <≤0，且 φ=j i K K （i ≠j ）；

（2）每一个整数仅在0K ，1K ，…1-m K 的一个里；

（3）对于任意a ，b ∈Z ，则a ，b ∈r K 的充要条件是a ≡b （mod m ）。

定义3．（完全剩余系) 设0K ，1K ，…1-m K 为模m 的全部剩余类，从每个r K 中任取一个r a ，得m 个数0a ，1a ，…1-m a 组成的集合，叫做模m 的一个完全剩余系。

由此说明，我们可以把一个无限的整数集按指定的整数m 为模分为m 个剩余，在模m 的一个完全剩余系内考查整数的特征。

定义4．（简化剩余系）在模m 的一个完全剩余系中，与m 互质的数的全体称为模m 的一个简化剩余系。

简化剩余系中的个数与原来所取的完全剩余系无关，它是由m 唯一确定的，而且模m 的简化剩余系中数的个数恰好就是不大于m 且与m 互质的自然数的个数,因此定义

)(m ϕ=s={1,2,…m-1}中和m 互质的数的个数，)(m ϕ称为欧拉(Euler)函数。这是数论中的非常重要的一个函数，显然)1(ϕ=l ，而对于m > 1，)(m ϕ就是1，2，…，m-1中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有)(p ϕ=P 一1。