高三数学课时提升作业 五绝对值不等式的解法

课时提升作业五
绝对值不等式的解法
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(·临沂高二检测)|2x−1|−2
|x+3|
>0的解集为( )
A.{x|x>3
2或x<−1
2
}
B.{x|−1
2<x<3
2
}
C.{x|x>3
2或x<−1
2
且x≠−3}
D.{x|x∈R且x≠-3}
【解析】选C.原不等式可化为{|2x−1|>2,
x+3≠0,
解得x>3
2或x<-1
2
且x≠-3.
2.(·济南高二检测)不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解是( )
A.0
B.-1
C.1
D.2
【解析】选A.根据绝对值的几何意义,
得不等式|x-2|+|x-1|≤3的解为0≤x≤3.
所以不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解为0.
3.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是( )
A.0
B.1
C.-1
D.2
【解析】选B.|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥
|x-2+a-x|=|a-2|,所以|a-2|≥a,解得a≤1,
所以a的最大值为1.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.(·德州高二检测)已知集合A={x||x-4|+|x-1|<5},B={x|a<x<6}且A∩B=(2,b),则a+b=________.
【解析】A={x|0<x<5},
故a+b=7.
由A∩B=(2,b)知{a=2,
b=5,
答案:7
5.(·石家庄高二检测)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为__________.
【解析】方法一:由{x≤−2,
−(x−1)−(x+2)≥5,得x≤-3;
由{−2<x<1,
−(x−1)+(x+2)≥5,无解;
由{x≥1,
(x−1)+(x+2)≥5,得x≥2.
即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,
所以往左右边界各找距离为1的两个点,
即点-3到点-2与点1的距离之和为5,
点2到点-2与点1的距离之和也为5,
所以原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
答案:{x|x≤-3或x≥2}
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.(·武汉高二检测)解不等式x+|2x+3|≥2.
【解析】原不等式可化为
{x <−32,−x −3≥2或{x ≥−32,3x +3≥2.
解得x ≤-5或x ≥-13. 综上,原不等式的解集是{x |x ≤−5或x ≥−13}. 7.已知a+b=1,对任意的a,b ∈(0,+∞),1a +4b ≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x 的取值范围.
【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,
所以1a +4b =(a+b)(1a +4b )=5+b a +4a b ≥9,
故1a +4b 的最小值为9,因为对任意的a,b ∈(0,+∞),
使1a +4b ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, 所以|2x-1|-|x+1|≤9,
当x ≤-1时,2-x ≤9,所以-7≤x ≤-1;
当-1<x<12时,-3x ≤9,所以-1<x<12; 当x ≥12时,x-2≤9,所以12≤x ≤11. 综上所述,x 的取值范围是-7≤x ≤11.
8.(·聊城高二检测)已知函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,求实数a 的值.
【解析】①当a ≤2时,
f(x)={−3x −a −1,x <−1,−x +1−a,−1≤x ≤−a 2
,3x +a +1,x >−a 2.
②当a>2时,f(x)={−3x −a −1,x <−a 2,
x +a −1,−a 2≤x ≤−1,3x +a +1,x >−1,
由①②可得f(x)min =f (−a 2)=|−a 2
+1|=3,
解得a=-4或8.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(·山东高考)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 ( )
A.(-∞,4)
B.(-∞,1)
C.(1,4)
D.(1,5)
【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.
【解析】选A.方法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x ≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).
方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x 到1,5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).
方法三:用排除法,令x=0符合题意,排除C,D;令x=2符合题意,排除B.
2.(·石家庄高二检测)设函数f(x)={(x +1)2,x <1,4−|x −1|,x ≥1,
则使f(x)≥1的自变量x 的取值范围是( )
A.(-∞,-2]∪[0,4]
B.(-∞,-2]∪[0,1]
C.(-∞,-2]∪[1,4]
D.[-2,0]∪[1,4]
【解析】选A.由题意知,当x<1时,f(x)≥1等价于(x+1)2≥1,解得x ≤-2或0≤x<1; 当x ≥1时,f(x)≥1等价于4-|x −1|≥1,解得1≤x ≤4.
综上所述,满足题设的x 的取值范围是
(-∞,-2]∪[0,4].
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(·安阳高二检测)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为{x|−5
3<x<1
3
},则
a=__________.
【解析】由|ax-2|<3得到-3<ax-2<3,-1<ax<5,
又知道解集为{x|−5
3<x<1
3
},所以a=-3.
答案:-3
4.设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.
【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解.
【解析】函数f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为:
[|a-b|,+∞).因此,当∀x∈R时,f(x)≥|a-b|>2.所以,不等式|x-a|+|x-b|>2的解集为R.
答案:R
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集.
(2)设a>-1,且当x∈[−a
2,1
2
)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)可化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y={−5x,x <
12−x −2,12≤x ≤1,3x −6,x >1
它的图象如图所示:
结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).
(2)设a>-1,且当x ∈[−a 2,12)时, f(x)=1+a,不等式化为1+a ≤x+3,
故x ≥a-2对x ∈[−a 2,12)都成立. 故-a 2≥a-2,解得a ≤43, 故a 的取值范围为(−1,43]. 6.设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(1)求M.
(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14. 【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1=
{3x −3,x ∈[1,+∞),1−x,x ∈(−∞,1).
当x ≥1时,由f(x)≤1得x ≤43,故1≤x ≤43; 当x<1时,由f(x)≤1得x ≥0,故0≤
x<1;
综上可知,f(x)≤1的解集为M={x|0≤x≤4
3
}.
(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16(x−1
4)
2
≤4,
解得-1
4≤x≤3
4
.因此N={x|−1
4
≤x≤3
4
},
故M∩N={x|0≤x≤3
4
}.
当x∈M∩N时,f(x)=1-x,
于是x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)(x+f(x))=xf(x)
=x(1-x)=1
4-(x−1
2
)
2
≤1
4
.。