2013年贵州高考数学试卷及答案(解析版)
2013年贵州省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)(附答案解析)
Ⅱ 若 ＝ ，求 面积的最大值．
如图，直棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点， ．
（1）证明： 平面
（2）求二面角 的正弦值．
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 该产品获利润 元，未售出的产品，每 亏损 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 该农产品．以 （单位： ， ）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
【解答】
解法一：由题意可得，三角形 的面积为 ，
由于直线 ＝ 与 轴的交点为 ，
由直线 ＝ 将 分割为面积相等的两部分，可得 ，
故 ，故点 在射线 上．
设直线 ＝ 和 的交点为 ，则由 可得点 的坐标为 ．
①若点 和点 重合，则点 为线段 的中点，故 ，
把 、 两点的坐标代入直线 ＝ ，求得 ＝ ．
将 表示为 的函数；
根据直方图估计利润 不少于 元的概率；
在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量 ）则取 ，且 的概率等于需求量落入 的频率，求 的数学期望．
平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点的直线 交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 ．
综上可得， ，
故选： ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
【答案】
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为 ，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
【解答】
∵已知正方形 的边长为 ， 为 的中点，则 ，
贵州新高考数学试题及答案
贵州新高考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)在\( x = 1 \)处取得极值，则下列哪个选项是正确的？A. \( a = 0 \)B. \( b = 0 \)C. \( a + b + c = 0 \)D. \( a = -b \)答案：C2. 已知数列\( \{a_n\} \)是等比数列，且\( a_1 = 2 \)，\( a_4 =16 \)，则\( a_7 \)的值为？A. 32B. 64C. 128D. 256答案：C3. 若\( \sin(2x) = \frac{1}{2} \)，则\( \cos(2x) \)的值可能是？A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( -\frac{1}{2} \)答案：B4. 已知向量\( \vec{a} = (3, -2) \)和\( \vec{b} = (2, 1) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为？A. 4B. 2C. -2D. -4答案：B5. 函数\( y = \ln(x) \)的导数为？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( -\frac{1}{x} \)C. \( x \)D. \( -x \)答案：A6. 若\( \tan(\alpha) = 2 \)，则\( \tan(2\alpha) \)的值为？A. \( \frac{4}{3} \)B. \( \frac{3}{4} \)C. \( -\frac{4}{3} \)D. \( -\frac{3}{4} \)答案：A7. 已知双曲线\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)的一条渐近线方程为\( y = \frac{b}{a}x \)，则\( a \)和\( b \)的关系为？A. \( a = b \)B. \( a = 2b \)C. \( b = 2a \)D. \( b = \sqrt{2}a \)答案：D8. 集合\( A = \{x | x^2 - 5x + 6 = 0\} \)，\( B = \{x | x^2 - 3x + 2 = 0\} \)，则\( A \cap B \)的元素个数为？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C9. 已知\( \log_2(3) = a \)，\( \log_2(9) = b \)，则\( a \)和\( b \)的关系为？A. \( a = b \)B. \( a = 2b \)C. \( b = 2a \)D. \( b = 3a \)答案：C10. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \)，则\( \sin(2\theta) \)的值为？A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( -\frac{1}{2} \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，则\( \cos(\alpha) \)的值为________。
贵州省六校联盟2013届高考第一次联考试题数学理
贵州省六校联盟2013届高考第一次联考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|6<0}M x x x =--,2{|=log (1)}N x y x =-，则N M 等于（ ）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．i 是虚数单位，则复数2=1iz i -在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．244．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验， 若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后 出现等效实验的概率是（ ）A ．12B ．16C ．112D ．1365．阅读图1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-， 则输出的y 值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．416．设曲线220x y -=与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数52+-=y x z 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．127． 若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=图1是输出y x =|x -3||x |>3输入x 开始8．某几何体的三视图如图2所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．203B ．163C ． 86π-D ．83π- 9．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（ ） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<10． 给出下列四个命题： （1）命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题；（2）命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ；（3）“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；（4）命题:p “R x ∈∃0，使23c os sin 00=+x x ”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411．已知函数()y xf x ='的图象如图3所示（其中()f x '是函数)(x f 的 导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．332D．2俯视图侧视图正视图图2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图4所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为 ．14．5(+1)(12)x x -展开式中，3x 的系数为 （用数字作答）．15．已知等比数列}{n a 中，⎰-=62)232(dx x a ，2433=a ，若数列}{n b 满足n n a b 3log =，则数列}1{1+n n b b 的前n 项和=n S ．16．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ∙PN 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知(2cos ,1)a x x =+ ，(,cos )b y x =，且//a b ．（I ）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（II ）记()f x 的最大值为M ，a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若(),2Af M =且2a =，求bc 的最大值． 18．（本小题满分12分）为了参加2012年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：（I （II ）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ． 19．（本小题满分12分）如图5，已知在四棱锥P ABCD -中， 底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，2AB =，F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点．（I）当E 是AB 的中点时，求证：//AF 平面PEC ；（II ）要使二面角P EC D --的大小为45，试确定E 点的位置．20．(本小题满分12分)图4图5已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． （I ）求椭圆E 的方程；（II ）直线2y kx =-与椭圆E 相交于A 、B 两点， O 为原点，在OA 、OB 上分别存在异于O 点的点M 、N ，使得O 在以MN 为直径的圆外，求直线斜率k 的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数1ln )(++=x xb a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x ．（I ）求a ，b 的值；（II ）对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ，xmx f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图6，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （I ）求证：//AD EC ；（II ）若AD 是⊙2O 的切线，且6,2PA PC ==，9BD =，求AD 的长．23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)3cos(2πθρ+=.（I ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （II ）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】设函数()|2||1|f x x x =+--（I ）画出函数()y f x =的图象；（II ）若关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解，求实数m 的取值范围．图6贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案一、选择题．二、填空题．13、8014、40- 15、 21nn + 16、[0,2] 三、解答题．17、解：（I ）由//a b得22cos cos 0x x y +-= ······························································ 2'即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++ ， ····································································································· 4'又222T πππω=== 所以函数()f x 的最小正周期为.π ··································································································· 6' （II ）由（I ）易得3M = ··················································································································· 7' 于是由()3,2Af M ==即2sin()13sin()166A A ππ++=⇒+=， 因为A 为三角形的内角，故3A π=································································································· 9'由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2242b c bc bc bc bc =+-≥-= ································ 11' 解得4bc ≤于是当且仅当2b c ==时，bc 的最大值为4． ·········································································· 12' 18、解：（I ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，则2222423321213()66C C C C P A C +++== ································································································ 6' （II ）ξ的所有可能取值为0,1,2 ······································································································ 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为：···························································································································································· 10'∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= ······························································································· 12'19、解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接,OF OE ．由已知得//OF DC 且12OF DC =， 又E 是AB 的中点，则//OF AE 且OF AE =，AEOF ∴是平行四边形，············································································· 4'∴//AF OE又OE ⊂ 平面PEC ，AF ⊄平面PEC//AF ∴平面PEC ···················································································································· 6' （II ）如图，作AM CE ⊥交CE 的延长线于M .连接PM ，由三垂线定理得PM CE ⊥，PMA ∠∴是二面角P EC D --的平面角．即o PMA 45=∠∴ ················································· 9'11PA AM =⇒= ，设AE x =，由AME CBE ∆≅∆可得x =⇒54x =故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE =················································· 12' 【法二】（I ）由已知，,,AB AD AP 两两垂直，分别以它们所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，11(0,,)22F ，则11(0,,)22AF = ···························· 2'(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，(0,0,1)P ， 设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =则000m EC x y x z m EP ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩， 令1x =得(1,1,1)m =-………………………………………4'由11(0,,)(1,1,1)022AF m =-= ，得AF m ⊥又AF ⊄平面PEC ，故//AF 平面PEC ···················································································· 6'（II ）由已知可得平面DEC 的一个法向量为(0,0,1)AP =，设(,0,0)E t =，设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =则0(2)000m EC t x y tx z m EP ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，令1x =得(1,2,)m t t =- ··············································· 10' 由5cos 45||4||||o AP n t AP n =⇒=⨯， 故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE =················································· 12' 20、（I ）依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由222212,32c a c b a c c a =⇒==-= ∵ 椭圆经过点3(1,)2，则22191412c c +=，解得21c = ∴ 椭圆的方程为22143x y += ············································································································· 4' （II ）联立方程组222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得22(43)1640k x kx +-+= ····························· 5'∵ 直线与椭圆有两个交点，∴ 22(16)16(43)0k k ∆=--+>，解得214k >① ····································································· 6' ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外，∴MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>．而M 、N 分别在OA 、OB 上且异于O 点，即0OA OB ⋅>····················································· 8'设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+ 21212(1)2()4k x x k x x =+-++222416(1)2404343kk k k k ==+-+>++ 解得243k <， ② ············································································· 11'综合①②可知：1122k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ············································································· 12' 21、解：（Ⅰ）由2(1)(ln )ln ()()1(1)bx a b x a b xx f x f x x x +-++=⇒'=++而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=-故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a ········································································································· 6' （Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x xx f 由x m x f <)(及m x xx x x <+-⇒>1ln 20 令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x xx x x x x x x x g x x x x x g 令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x=--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(/<x g)(x g ⇒在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(max ==g x g要使m x xx x <+-1ln 2成立，只需1>m 故m 的取值范围是),1(+∞ ·············································································································· 12' 22、解：（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . ·································································································· 5'（II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62②由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4 (∵x >0，y >0)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ·································································· 10' 23、解：（I ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2＋y 2＝1， ······················································································· 2'又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即221()(122x y -++= ········································································ 5' （II）圆心距12d ==<，得两圆相交 ···················································· 7' 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得，A (1,0)，B 1(,2-， ··································································· 9' ∴||AB = ····························································································· 10' 24、解：（I ）函数()f x 可化为3,2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩················································································································ 3' 其图象如下：1xO ··································································································· 5'（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max ()+4|12|f x m ≥- ·························· 6' 由（I ）可知max ()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得max ()3f x =） 8'于是 |12|7m -≤， 解得 [3,4]m ∈- ···························································································································· 10'。
贵州省六校联盟2013届高三第一次联考 文科数学-含答案
秘密★考试结束前 【考试时间： 12月26日15：00—17：00】贵州省六校联盟2013届高考第一次联考试题文科数学命题单位：凯里一中本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|6<0}M x x x =--,2{|=log (1)}N x y x =-，则N M 等于（ ）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．i 是虚数单位，则复数21ii -在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（ ）A ．8B ．12C ．16 D ．24 4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（ ）A ．12B ．16C ．112D ．1365．阅读图1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-，则输出的y 值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．416．设不等式⎩⎨⎧>+>-00y x y x 表示的平面区域与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数52+-=y x z 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．12图1是输出y x =|x -3||x |>3输入x 开始7． 若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=8．某几何体的三视图如图2所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．203B ．163C ． 86π-D ．83π-9．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b c a <<10． 给出下列四个命题： （1）命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题；（2）命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ；（3）“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；（4）命题:p “R x ∈∃0，使23cos sin 00=+x x ”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数()y xf x ='的图象如图3所示（其中()f x '是函数)(x f 的 导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆1C ：)0(12222>>=+B A By A x 和双曲线2C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 有相同的焦俯视图侧视图正视图图2点1F 、2F ，c 2是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，P 是它们在第一象限的交点，当60cos 21=∠PF F 时，下列结论中正确的是（ ）A ．224443c a a c =+B ．224443c a a c =+C ．224463c a a c =+D ．224463c a a c =+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图4所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为 ．14．函数)(x f y =的导数记为)('x f ，若)('x f 的导数记为)()2(x f ，)()2(x f 的导数记为)()3(x f ，…….。
贵州省六校联盟2013届高三第二次联考 理科数学 含答案
秘密★考试结束前【考试时间：3月25日15：00－17：00】贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试题理科数学命题学校：清华中学联考学校：贵阳六中清华中学遵义四中凯里一中都匀一中都匀二中本试题卷分第I卷(选择题）和第11卷（非选择题表达题）两部分,满分150分，考试用时150分钟。
.注意事项：1.答题时，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，在规定的位置贴好条形码。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
在本试题卷上答题无效。
参考公式：球的表面积公式:24s Rπ=其中R表示球的半径球的体积公式:243v Rπ=其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率n()(1)(0,1,2,...)k k n knP k C p p k n-=-=第Ⅰ卷一、选择题:本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合}1)1(log |{},2|1||{2≤-=≤-∈=x x B x Z x A ,则集合A ∩B 的元素个数为A ．0B ．2C ．5D ．82、已知i 为虚数单位，复数121i z i+=-，则复数z的虚部是A ．i 23B ．23 C ．i 21-D ．21-3、将5名支教志愿者分配到3所学校,每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校,则不同的分配方法共有 A ．78种 B ．36种 C ．60种D ．72种4、执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为A ．2B ．5C ．11D ．235、已知：命题p :“1=a 是2,0≥+>xa x x 的充分必要条件”；命题q ：“02,0200>-+∈∃x x R x”．则下列命题正确的是A ．命题“p∧q”是真命题B ．命题“（┐p ）∧q "是真命题C ．命题“p∧（┐q ）"是真命题D ．命题“（┐p ）∧（┐q ）”是真命题6、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为3π,离心为率e ,则2a eb+的最小值为A。
2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版
2013年全国卷新课标数学（理）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a项和为 . 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ) 花店记录了100以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B AABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.参考答案1-12：DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解：(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18、解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥ ，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC .BC⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为3AF k ==.直线m的方程为0x =. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由3x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n3=. 21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+. ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立， ()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++, 10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-, ()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x取最大值2e u =.故当12a b+==时, ()1a b+取最大值2e.综上, 若baxxxf++≥221)(，则ba)1(+的最大值为2e.22、证明：(Ⅰ) ∵D，E分别为ABC△边AB，AC的中点，∴//DE BC.//CF AB,//DF BC,CF BD∴ 且=CF BD，又∵D为AB的中点，CF AD∴ 且=CF AD，CD AF∴=.//CF AB，BC AF∴=.CD BC∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF，GB CF BD∴==，BGD BDG DBC BDC∠=∠=∠=∠BCD GBD∴△∽△.23、解：(Ⅰ)依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-；(Ⅱ) 设()2cos,3sinPϕϕ，则2222||||||||PDPCPBPA+++())2212cos3sinϕϕ=-+()()222cos13sinϕϕ++-()()2212cos3sinϕϕ+--+)()222cos13sinϕϕ++--2216cos36sin16ϕϕ=++[]23220sin32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2013年贵州省高中学业水平测试数学试卷(二)(附答案解析)
①、根据平行于同一条直线的两直线平行知结论正确；
②、用长方体验证．如图，设 为 ，平面 为 ，平面 为 ，显然有 ， ，且得到 ，正确；
③、可设 为 ，平面 为 ， 为 ，满足选项 的条件但得不到 ，不正确；
④、可设 为 ，平面 为 ，平面 或平面 为 ，满足选项 的条件且得到 或 ⫋ ，正确；
4.函数 ＝ 的图象大致是（）
A. B.
C. D.
5.设 ＝ ，用二分法求方程 ＝ 在 内近似解的过程中得 ， ， ， ，则方程的根落在区间（）
A. B. C. D.
6.不等式 的解集是（）
A. B. C. D.
7.直线 平面 ，直线 直线 ，则直线 与平面 的位置关系是（）
A.平行B.在面内
C.相交D.平行或相交或在面内
A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位
17.已知 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
18.已知直线 、 、 与平面 、 ，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 或 ⫋ ．
其中假命题是（）
A.①B.②C.③D.④
其中假命题是③．
19.
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知可得 ，将 ＝ 的解析式变形为 ＝ 的形式，利用基本不等式可得答案．
【解答】
，
∴
∴ ＝ ＝
即函数 ＝ 有最大值
20.
【答案】
C
【考点】
茎叶图
【解析】
由茎叶图，数据的稳定程度与茎叶图形状的关系，茎叶图中各组数据大部分集中在某个叶上，表示该组数据越稳定，根据数据可直接判断最高分的大小．
2013年贵州省贵阳市高考数学二模试卷(理科)(J)
2013年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】解：集合，1，2，3，4，5，6，7，8，，则1，，故选：D．解分式不等式的解法求得A，再用列举法求得B，再根据两个集合的交集的定义求得．本题主要考查绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．2.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且，则A. iB.C. 1D.【答案】A【解析】解：由，得，所以．则．故选：A．利用复数相等的条件求出m和n的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3.在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到正方形四边的距离均不小于1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积正方形阴影部分的面积阴影故P到正方形四边的距离均不小于1的概率阴影正方形故选：A．本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及P到正方形四边的距离均不小于1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据求解．4.若﹙，﹚，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由于﹙，﹚，则，即得，又由则．故选：C．依据对数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项．本题考查对数值大小的比较，是基础题．5.已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，则在命题：，：，：￢和：￢中，真命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：易知是真命题，而对：，当时，，又，所以，函数单调递增；同理得当时，函数单调递减，故是假命题．由此可知，真，假，假，真故选：C．先判断命题是真命题，是假命题，故为真命题，为真命题，为真命题．只有与都是真命题时，才是真命题只要与中至少有一个真命题，就是真命题．6.定积分的值等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．利用微积分基本定理即可求得结果．本题考查定积分的计算、微积分基本定理的应用，考查学生的计算能力．7.已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，对函数求导，可得，由导函数的图象可得，再由，求得则，即，导函数，把代入得：，且，解得，故函数的解析式为故选：B．对函数求导，可得，由导函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，从而求得函数的解析式．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，从而求得函数的解析式，属于中档题．8.已知曲线：及两点和，其中过，分别作x轴的垂线，交曲线C于，两点，直线与x轴交于点，那么A. 成等差数列B. 成等比数列C. ，，成等差数列D. ，，成等比数列【答案】A【解析】解：由题得：，直线的方程为：令，即，故选：A．先求出，两点的坐标，进而得到直线的方程，再令求出，即可得出结论．本题主要考查直线方程的求法，点的坐标的求法以及等差关系的确定问题，是对基础知识的考查，属于基础题目．9.设偶函数满足，则A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】解：由偶函数满足，可得，则，要使，只需，解得，或．应选：B．由偶函数满足，可得，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10.若，是第三象限的角，则A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】解：，为第三象限角，，，，则．故选：D．由的值及为第三象限角，求出与的值，进而求出的值，代入所求式子中计算即可求出值．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．11.已知半径为1的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，经过球心0作出三条两两互相垂直的三条半径OA、OB、OC再分别以OA、OB、OC为长、宽、高作正方体，可得球表面位于正方体内部的部分，恰好等于上面半球的，因此球表面位于正方体内部的面积等于球面积的球的半径为1，得球的表面积为球表面位于正方体内部的面积为故选：B．根据题意，球表面位于正方体内部的面积等于球面积的，由此结合球的表面积公式，即可算出所求的面积．本题给出半径为1的球，以其一条半径为正方体的棱作正方体，求正方体内部的球面面积着重考查了正方体的性质和球的表面积公式等知识，属于基础题．12.已知点P是双曲线C：上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则等于A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】解：由条件可知：两条渐近线分别为：，：设双曲线C上的点，则点P到两条渐近线的距离分别为，，所以因为在双曲线C上，所以，即故设与的夹角为，得，则．故选：A．确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点，求出点P到两条渐近线的距离，利用在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.的二项展开式中的常数项是______．【答案】15【解析】解：的二项展开式的通项公式为令，求得，故二项展开式中的常数项是，故答案为12．先求得的二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r 的值，可得二项展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是______．【答案】【解析】解：根据几何体的三视图判定，几何体为四棱锥，其直观图为：．棱锥故答案是．根据几何体的三视图判断几何体的形状，画出其直观图，再根据棱锥的体积公式计算即可．本题考查由几何体的三视图求面积与体积．15.已知F是抛物线C：的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为，，则______．【答案】0【解析】解：由，得抛物线焦点，联立，得．设，，则．．故答案为0．由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，把直线方程和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求出两个交点的横坐标的和与积，写出斜率后作和，通分整理，把两个交点横坐标的乘积代入即可得到答案．本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程的根与系数关系，属中档题．16.设的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且，，则的面积等于______．【答案】【解析】解：中，，，则由正弦定理可得，，解得．再由余弦定理可得，解得．，解得，故，，，，的面积等于，故答案为．由条件利用正弦定理及二倍角公式求得，再由余弦定理求得，可得，解得a的值，可得三角形的三边长以及、的值，再根据的面积等于，运算求得结果．本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求三角形的面积，属于中档题．三、解答题（本大题共8小题，共8.0分）17.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，数列的最小项是第几项，并求出该项的值．【答案】解：设公差为d且，则有，即，解得或舍去，．由Ⅱ得，，，当且仅当，即时取等号，故数列的最小项是第4项，该项的值为23．【解析】Ⅰ根据等差等比数列对应的前n项和、通项公式和性质，列出关于和d 方程，进行求解然后代入通项公式；Ⅱ由Ⅱ的结果求出，代入进行化简后，利用基本不等式求出最小项以及对应的项数．本题是数列与不等式结合的题目，考查了等差等比数列对应的前n项和、通项公式和性质等，注意利用基本不等式求最值时的三个条件的验证．18.如图，在四棱锥中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且，，，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点Ⅰ求证：平面FGH；Ⅱ若点P在直线GF上，，且二面角的大小为，求的值．【答案】解：Ⅰ证明：取AD的中点M，连接MH，MG．、H、F分别是AE、BC、BE的中点，，，，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，又中，MG是中位线，平面MGFH，平面MGFH，平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．Ⅱ在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则平面ABCD．以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示．可得0，，4，，0，，，，1，2，，，由，可得．设平面PBD的法向量为y，，则，取，得，，，又平面ABP的一个法向量为0，，，解之得或4即的值等于1或4．【解析】Ⅰ欲证明平面FGH，先找直线与直线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行因此，取AD得中点M，连接GM，可证出，结合线面平行的判定定理可得平面FGH；Ⅱ建立空间直角坐标系，根据题中数据得出相应点的坐标进而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，求出是平面BDP的一个法向量，结合0，是平面ABP的一个法向量和二面角的大小为，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，解之可得实数的值．本题在特殊四棱锥中证明线面平行，并求满足二面角的等于的点P的位置着重考查了线面平行的判定定理，利用空间坐标系研究二面角大小等知识点，属于中档题．19.某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人独立通过电脑随机产生两个数x，2，，并按如图运行相应程序若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．【答案】解：Ⅰ从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有，，，，，，，，共9个，分设“甲在第二环节中奖”为事件A，则事件A包含的基本事件有，，共2个，分Ⅱ设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X元，则X的可能取值为0，1000，分，，．分【解析】Ⅰ确定从1，2，3三个数字中有重复取2个数字的基本事件，甲在第二环节中奖的基本事件，即可求得概率；Ⅱ确定乙参加此次抽奖活动获得奖金的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望．本题考查概率的计算，考查分布列与期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20.设椭圆C：过点，离心率，O为坐标原点．求椭圆C的方程．Ⅱ若直线l是圆O：的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B 两点，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，解得，椭圆C的方程为．Ⅱ当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则圆心O到直线l的距离，．将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到．设直线l与椭圆C相交于，两点，则，．，当圆的切线l的斜率不存在时，验证得．综合上述可得，为定值0．【解析】利用离心率的计算公式、a、b、c的关系及点满足椭圆的方程可得，解出即可；分切线的斜率存在与不存在讨论，把直线的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及利用数量积即可得出．本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立及根与系数的关系、数量积等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法推理能力和计算能力．21.已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1．Ⅰ求b，c的值及的单调减区间；Ⅱ设，，，求证：．【答案】解：Ⅰ，分，即，，，又，，，综上，，，分，由定义域知，，，的单调减区间为分Ⅱ先证即证即证，分令，，，，即证令，则，，分当即时，，即0'/>在上递增，，分当，即时，，即，在上递减，，分当，即时，，综合知，即，分即，，第11页，共13页第12页，共13页综上，得分【解析】 Ⅰ，，故，由此能求出b ，c 的值及 的单调减区间． Ⅱ 先证，即证，再证明．本题考查函数的减区间的求法，考查不等式的证明，考查等价转化思想，考查运算推导能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．22. 如图，直线AB 经过 上的点C ，并且 ， ， 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ． 求证：直线AB 是 的切线；若， 的半径为3，求OA 的长．【答案】解： 如图，连接OC ， ， ， ．是 的切线；是圆O 切线，且BE 是圆O 割线， ，，． ∽ ，，设 ， 又 ， ，解得 ，， ， ， 分 ．【解析】 要想证AB 是 的切线，只要连接OC ，求证 即可；先由三角形判定定理可知， ∽ ，得BD 与BC 的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA 的长．本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．23. 选修 ：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O ： 和直线 ：，求圆O 和直线l 的直角坐标方程；当 时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 【答案】解： 圆O ： ，即 圆O 的直角坐标方程为： ，即 直线 ：，即则直线l的直角坐标方程为：，即由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．【解析】利用；；，利用两角差公式求解即可．联立直线l与圆的方程，求出交点，转化为极坐标即可．本题是基础题，考查简单曲线的极坐标方程，考查化简计算能力．24.选修：不等式选讲已知函数．证明：；求不等式的解集．【答案】解：．当时，．所以．由可知，当时，的解集为空集；当时，的解集为；当时，的解集为．综上，不等式的解集为．【解析】通过对x的范围分类讨论将函数中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；结合对x分，与三种情况讨论解决即可．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论去掉函数式中的绝对值符号是关键，考查转化与分类讨论思想，属于中档题．第13页，共13页。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。
2013年贵州高考数学试卷及答案(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）数学（理科）解析德江一中高三年级组：杨正稳 2013-6-15第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则M N =（ ）（A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2,3}- （D ）{0,1,2,3}【命题意图】本题主要考查集合的运算，属于基本题，考查学生的基本能力。
【解析】{}2{|(1)4,}13M x x x R x x =-<∈=-<<， {}0,1,2M N ∴⋂=，故选A2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -【命题意图】本题主要考查复数的基本预案算，属于基本能力题。
【解析】2(1)1(1)(1)i i z i i i +==-+-+，故选A 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- 【命题意图】本题考查等比数例的基本知识，包括等比数列的前n 项和及通项公式。
【解析】由题意知1q ≠，则31311(1)101a q S a q a q-==+-，得29q =，又4519a a q ==，则119a =，故选C 4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【命题意图】本题涉及直线和平面的基本知识，意在考查学生的空间想象能力、分析思考能力，难度为易。
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷文科数学参考答案
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷文科数学参考答案2 2所以函数f (x)的最小正周期为 (II )由(I )易得M 3A于是由 f( ) M 3,即 2sin( A )1326因为 A 为三角形的内角，故 A .......................................................................................... 9 3 由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 得 4 b 2 c 2 be 2bc be be ....................................................... 11 解得be 413、8014、cosxn 4 C 16、215、2n 1三、解答题.17、解：(1)由 r r2a//b 得 2cos x2 3 sin xcos y0 ................ (2)2即 y 2cos x2、3 sin xcos cos2x ,3sin 2x1 2sin(2 x6) 14所以 f(x) 2sin(2x )1 , 6sin (A -) 1,于是当且仅当b c 2时，be的最大值为4 • (12)18解：12(I)由题，应从高三(7 )班中抽出12 4人，364'则从这6人中抽出2人的基本事件有：（人，人2）、（A,A 3）、（A,A 4）、（A i , B i ） > （A i , B 2）、(A 2, A 3) ' (A 2, A 4)、(A 2, B i )、(A 2, B 2)、(A 3, A 4)' (A 3,B i )、(A 3, B 2) > (A 4, B i ) >(A 4,B 2)、(B i ,B 2)共 15件,记“抽出的2人来自同一班”为事件C,则事件C 含:（A i , A>）、（A i , A 3）、（A, A 4）、（A 2, A 3）、(A 2,A 4)、(A 3,AJ 、(B i ,B 2)共 7 件,i7）班中抽出 i2 36 2人,3i ）班中抽出i293人,36 32）班中抽出 i2 9 3人。
2013年贵州省专升本招生统一考试《高等数学》真题及答案解析
2013年贵州省专升本招生统一考试高 等 数 学 试 卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
3.选择题部分必须使用 2B. 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净之后，再选涂其他答案标号；非选择题部分必须使用 0.5 毫米的黑字签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
4.请按照题号顺序在各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
5.保持卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液、涂改胶条。
6.本试题共4页，共150分。
第I 卷（选择题）一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分。
）1.函数()192−−=x x x f 的定义域是（ ）A.[]3,3−B.()3,3−C.[)(]3,11,3 −D.()(]3,11,3 −2.xx x x x 2314lim 323++−∞→的极限值是（ ） A.43 B.34 C.0 D.∞3.已知函数()xxx f sin 1−=，若()x f 为无穷小量，则x 的趋向必须是（ ） A.+∞→xB.−∞→xC.1→xD.0→x4.已知()x e x f −=31，则⎪⎭⎫⎝⎛''31f 是（ ） A.e 3−B.e3−C.3e D.e3 5.方程()0,012222>>=+b a b y a x 确定变量y 为x 的函数，则导数dx dy （ ）A.xb ya 22−B.ya xb 22−C.yb x a 22−D.xa yb 22−6.若函数x3为()x f 的一个原函数，则函数()=x f （ ）A.13−x x B.3ln 3xC.1311++x xD.3ln 3x 7.如()()x f x F ='，则()=−⎰dx xxf （ ） A.()C x F +−−2 B.()C x F x+−1C.()C x F+−D.()C x F +−−218.定积分()⎰'xt dt e 02（ ）A.2x eB.C ex +2C.12+x eD.12−x e9.已知函数()x f 在点0x 处可导，则下列极限中（ ）等于导数()0x f ' A ()()hx f h x f h 2lim000−+→B.()()hx f h x f h 22lim000−−→C.()()hh x f h x f h 2lim000−−+→D.()()hx f h x f h 0002lim−+→10.一阶导数=⎰10arctan xdx dxd （ ） A.0B.2πC.x arctanD.211x +第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。
数学贵州高考真题及答案
数学贵州高考真题及答案贵州高考数学试题一向具有一定的难度，测试学生的数学基础和解题能力。
以下是根据近年来贵州高考数学试题整理的一些真题及答案：一、选择题部分1. 已知函数$f(x)=x^2+mx+n$，对于任何实数$x$，都有$f(x)\geq 3x-4$，则$m+n$的最小值是多少？A. $-3$B. $-2$C. $-1$D. $0$解析：首先，由题意可得 $x^2+mx+n\geq 3x-4$，整理得 $x^2+(m-3)x+(n+4)\geq 0$。
由于对任意实数 $x$, 左侧都是一个二次函数，即判别式小于等于零，即 $(m-3)^2-4(n+4)\leq 0$。
计算得 $m^2-6m+1-16n\leq 0$。
根据题意可知，题目即为求不等式 $m^2-6m+1-16n\leq0$ 的最小整数解。
考察选项，将 $m=-2, n=-1$ 带入方程得到真值，故答案为B。
2. 设点 $A(3,4)$，点 $B(8,5)$，点 $C(6,2)$，则 $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ 的值是多少？A. $10$B. $12$C. $14$D. $16$解析：$\vec{AB}=(8-3,5-4)=(5,1)$，$\vec{BC}=(6-8,2-5)=(-2,-3)$，则 $\vec{AB}\cdot \vec{BC}=5\times(-2)+1\times(-3)=-10-3=-13$，故答案为D。
3. 函数 $y=ax^2+bx+c$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $3x-y-4=0$，则 $b$ 的值为多少？A. $6$B. $2$C. $4$D. $8$解析：由题意可知，函数 $f(x)$ 在点 $(1,3)$ 处切线的斜率等于$f(x)$ 在此点处的导数值。
即 $f'(x)=2ax+b$ 。
又因为切线方程为 $3x-y-4=0$ 的斜率为 3，则有 $2a=3$。
2013年贵州高考数学试卷(新课标II卷)及答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则M N = （ ） （A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2,3}- （D ）{0,1,2,3}2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- 4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 5、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ） （A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 6、执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）11112310+++⋅⋅⋅+ （B ）11112!3!10!+++⋅⋅⋅+ （C ）11112311+++⋅⋅⋅+ （D ）11112!3!11!+++⋅⋅⋅+7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A)(B)(C)(D)8、设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>9、已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2 10、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、设抛物线2:3(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =12、已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B）1(1)22-（C）1(1)23- （D ）11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
【备战】高考数学_2013全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编9_圆锥曲线_理
备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1错误！未指定书签。
．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．332 D ．2 【答案】A 【解析】设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c c c e e =+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e +=，整理得42430e e -+=，解得23e =，所以e A.2错误！未指定书签。
．（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）若P 点是以A （-3，0）、B （3，0）为焦点，实轴长为52的双曲线与圆922=+yx 的一个交点，则PB PA += （ ） A ．134 B.142 C. 132 D. 143 【答案】C错误！未指定书签。
3．（【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则22d d +的最小值 ( )A．22+ B．12+ C．22- D．12- 【答案】D 【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案、选择题.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项CDCBACDAABCA、填空题.解得bc 413、8014、4015、n2n 116、 [0,2]三、解答题.17、解：(I )由 a 〃b 得 2cos 2 x 2 . 3 sin xcos ycos2x ,3 sin 2x 1所以 f(x) 2si n(2x -) 1 ,6又T 22 2(II )由(I )易得M 3A于是由 f( ) M 3,即 2si n(A) 1 3 sin (A ) 1,2 6 6因为A 为三角形的内角，故 A —3由余弦定理a 2 b 22 2c 2bc cos A2c bc 2bc bc bc11于是当且仅当 2时，bc 的最大值为4 •122sin(2 x 1即 y 2cos 2 x 2、3sin xcos 所以函数f (x)的最小正周期为10的分布列为:18、解：(I )从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ,则 P(A)66(II )的所有可能取值为0,1,2则P( 0)c ：c C 12W,P(331)c ：c 8 C 12 ^,P( 332)C 'CC 123 330 1 2P 14331633333AEO!是平行四边形， (4)二AF //OE又QOE 平面PEC , AF 平面PECAF //平面PEC（II）如图，作AM CE交CE的延长线于M• 连接PM，由三垂线定理得PM CE ,PMA是二面角P EC D的平面角•即PMA 45°QPA 1 AM 1，设AE x,由AME CBE 可得x (2一乂厂1 x 545故，要使要使二面角P EC D的大小为45°，只需AE -4【法二】（I）由已知，AB, AD, AP两两垂直，分别以它们所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A xyz •11 uur 11则A(0,0,0) , F (0,—,—)，则AF (0, -，一) 2 22 2QE(1,0,0) , C(2,1,0) , P(0,0,1),ur设平面PEC的法向量为m (x, y,z)ur uuiumgEC 0 x y 0则ur uuu ，mgEP 0 x z 0令x 1 得m (1,1,1) ........................................uuur ur 1 1uuur ur由AFgm(呛尹1, ") 0,得AF m (12)10又AF 平面PEC ，故AF //平面PEC2仔 4k 2 3故,20、 设E(t,0,0)，设平面PEC 的法向量为mur uuumgE 0 (2 t)x yur，令x 1得mmgE Ptx zuuu T由 cos45。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）数学（理科）解析德江一中高三年级组：杨正稳 2013-6-15第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则M N =（ ）（A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2,3}- （D ）{0,1,2,3}【命题意图】本题主要考查集合的运算，属于基本题，考查学生的基本能力。
【解析】{}2{|(1)4,}13M x x x R x x =-<∈=-<<， {}0,1,2M N ∴⋂=，故选A2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -【命题意图】本题主要考查复数的基本预案算，属于基本能力题。
【解析】2(1)1(1)(1)i i z i i i +==-+-+，故选A 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- 【命题意图】本题考查等比数例的基本知识，包括等比数列的前n 项和及通项公式。
【解析】由题意知1q ≠，则31311(1)101a q S a q a q-==+-，得29q =，又4519a a q ==，则119a =，故选C 4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【命题意图】本题涉及直线和平面的基本知识，意在考查学生的空间想象能力、分析思考能力，难度为易。
【解析】由于m 、n 为异面直线，m ⊥垂直平面α，n ⊥垂直平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于m 、n ，又直线l 满足,l m l n ⊥⊥，则交线平行l ，故选D5、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1-【命题意图】本题涉及二项式定理、计数原理的基本知识，意在考查学生的分析和运算能力。
【解析】展开式中2x 项的系数为21555C aC +=，解得1a =-，故选D6、执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）11112310+++⋅⋅⋅+ （B ）11112!3!10!+++⋅⋅⋅+ （C ）11112311+++⋅⋅⋅+ （D ）11112!3!11!+++⋅⋅⋅+ 【命题意图】本题考察算法、程序框图以及考生的逻辑推理能力，属于基础题。
【解析】根据程序框图的循环结构，依次111,011,2;,1,3;2!2!T S k T S k ==+====+= 1111,1,4233!2!3!T S k ===++=⨯，从而选A 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D)【命题意图】本题考查三视图的基本知识。
【解析】作出空间直角坐标系，在坐标系中作出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状，易知选A8、设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>【命题意图】本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查学生的分析问题和合理运用知识巧妙求解问题的能力。
【解析】335577log 61log 2,log 101log 2,log 141log 2a b c ==+==+==+，则只需比较357log 2,log 2,log 2的大小即可。
易知选D9、已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2 【命题意图】本题考查线性规划，属于基础题。
【解析】由已知约束条件作出可行域，由目标函数2z x y =+的几何意义，易选B10、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =【命题意图】本题考查三次函数的性质，考查数形结合思想、考查学生分析问题和解决问题的能力。
【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x →-∞时，函数值→-∞，当x →+∞时函数值→+∞，又知三次函数的图像是连续不断的，故一定穿过X 轴，即一定00,()0x R f x ∃∈=，故选项A 正确；通过配方函数()f x 的解析式可以配为3()()x m n x m h ++++的形式，而函数3y x nx =+是奇函数，其图像关于原点对称，所以函数y =()f x 的图像也是对称图形，故选项B 正确；而选项D 易知正确，所以选C 。
11、设抛物线2:3(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x =（C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =【命题意图】本题考查抛物线和圆的有关知识，已在考查学生的综合运用知识的能力。
【解析】由易知的抛物线的焦点(,0)2p F ，设(0,2)A ，抛物线上点00(,)M x y ，则(,2)2p AF =-，200(,2)2y AM y P =-，由已知得0AM AF ⋅=,解得04y =，8(,4)M p 由5MF =，解得2p =或8p =，故选C.12、已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）(0,1) （B ）1(1)2- （C ）1(1)3 （D ）11[,)32【命题意图】本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查学生分析问题和解决问题的能力。
【解析】由1x y y ax b +=⎧⎨=+⎩消去x ，得1a b y a +=+，当0a >时，直线y ax b =+与x 轴交于点,0b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合图形知11(1)212a b b a a +⨯⨯+=+，化简得2()(1)a b a a +=+，则212b a b =-又20,012b a b >∴>-，解得12b <。
考虑极限位置，即0a =，此时解得12b =- 故答案为B 。
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=_______。
【命题意图】本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目意在考查学生的运算求解能力。
【解析】选向量的基向量为,AB AD ,则1,2BD AD AB AE AD AB =-=+,那么1()()22AE BD AD AB AD AB =-+=，（14）从n 个正整数1,2,,n ⋅⋅⋅中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n =__。
【命题意图】本题考查排列组合、古典概型等基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑分析能力。
【解析】试验的基本事件总个数为2n C ，而和为5的取法有1,4与2,3两种取法，由古典概型概率计算公式22114n P C ==，解得8n =。
（15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________。
【命题意图】本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本应用，意在考查学生灵活运用知识解决问题的能力、以及合理选择解法的能力。
【解析】由θ在第二象限，且1tan()42πθ+=，因而sin()45πθ+=-，因而sin cos )4πθθθ+=+=。
（16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为________.【命题意图】 本题考查等差数列的前n 项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高。
【解析】由已知1011511091002151415252S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得123,3a d =-=，那么23221(1)10233n n n n nS n a d n ⨯-=+=-。
由函数3210()33x f x x =-在203x =处取得极小值，因而检验6n =时，6648S =-，7n =时，7749S =-，故n nS 最小值为49-。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+。
（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的最大值。
【命题意图】本题主要考查解三角形的基本知识，已在考查学生运用正、余弦定理以及三角形面积公式求解相关问题的能力，属于易得分题。
【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin()sin cos sin sin sinA B C B C B C=+=+① 又()A B C π=-+,故sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C=+=+② 由①②和()0,C π∈得sin cos B B =,又()0,B π∈，所以4B π= （Ⅱ）ABC ∆的面积12sin 24S ac B ac ==， 由已知及余弦定理2242cos4a c ac π=+- 又222a c ac +≥，故422ac ≤-，当且仅当a c =时等号成立。