2.8 正态分布-王后雄学案

张喜林制

2.8 正态分布

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1．正态分布是现实中最常见的分布，它有两个重要的参数；均值μ和方差),0(2>σσ通常用 表示X 服从参数为2σμ和的正态分布，其中μ 是总体的 .,σ是总体的 2．正态分布密度函数满足以下性质： (1)函数图像关于直线 对称．

)0()2(>σσ的大小决定函数图像的 =+<<-)()3(σμσμX P =+<<-)22(σμσμX P =+<<-)33(σμσμX P

要点核心解读

1．正态密度曲线

正态变量概率密度曲线的函数表达式为

,,21.)(22)(R x e

x P u x ∈⋅=

--

σσ

π

其中σμ,是参数，且.,0R ∈>μσ

上式中的参数σμ和分别为正态变量的数学期望和标准差．正态变量概率密度函数的图像叫做正态密度曲线．

[注意] (1)由上述函数特点知，随机变量X 落在区间(a ，b)的概率为),()(~

)(x d x P b X a P b

a

⎰<<

也就是说，由正态密度曲线，分别过点(a ，0)，(b ，0)的两条垂直x 轴的直线及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，6)的概率的近似值，如图2-8 -1所示． （续）

(2)曲线与x 轴之间的面积为1． 2．正态分布

若X 是一个随机变量，对任给区间)(],,(b x a P b a ≤<恰好是正态密度曲线下方和x 轴上（a ，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为2σμ和的正态分布，简记为).,(~2σμN X

[注意] (1)正态分布完全由参数σμ和确定，所以正态分布常记作),,(2σμN 如果随机变量X 服从正态分布，则记作⋅),(~2σμN X 我们把1,0==σμ的正态分布叫做标准正态分布．

(2)正态分布是自然界中最常见的一种分布，在理论研究和实际应用中都有非常重要的作用．

(3)在实际中，如果一个随机变量是由众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素所引起的，则它服从或近似服从正态分布．

(4)参数σμ和可分别用样本的均值（期望）和标准差去估计， 3．正态密度曲线的性质

从正态密度曲线图像可以看出，正态密度曲线具有以下性质： (1)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交，且关于直线μ=x 对称；

(2)曲线在μ=x 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；

(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 性质(1)说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．并且说明了函数具有对称性；性质(2)说明了函数在μ=x 时取最值；性质(3)说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中．

4．随机变量取值的概率与面积的关系

若随机变量ξ服从正态分布),,(2

σμN 那么对于任意实数),(b a b a <、当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线b x a x ==,以及x 轴所围成的图形的面积相等，如图2 -8 -3(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间（a,b]上取值的概率，

一般地，当随机变量在区间),(a -∞上取值时，其取值的概率是正态曲线在a x =左侧以及x 轴围成图

形的面积，如图2 -8—3(2)．随机变量在),(+∞a 上取值的概率是正态曲线在a x =右侧以及x 轴围成图形的面积，如图2 -8—3(3)．

根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解． 5．标准正态分布

将正态分布X —N(O ，1)称为标准正态分布，相应的函数表达式为：).,(,21)(2

2+∞-∞∈=

-

x e

x P x π

说明：(1)由于标准正态总体N(O ，1)在研究中占有非常重要的地位，为此专门制作了标准正态分布表（见教材附表1）．在这个表中，对应于0X 的值)(0X Φ是指总体取值小于0X 的概率，即

⋅≤=Φ)()(00X X P X (2)由于标准正态曲线关于y 轴对称，表中仅给出了对应于非负值0X 的值).(0X Φ

如果,00

),(21x x 内取值的概率，例如：它在（-1，2）内的取值的概率是：

+Φ=--Φ--Φ=-Φ-Φ=)2()]}1([1{)2()1()2(P 9772.01)1(=-Φ.8185.018413.0=-+

6．非标准正态分布与标准正态分布的转化

(1) -般正态分布),(2

σμN 均可化为标准正态分布N(O ，1)来研究，例如，对任意一正态分布

),(~2σμN X 来说，只需作变换σ

μ

-=

X Z 就可使一般正态分布转化为标准正态分布~Z ⋅)1,0(N

(2)对于正态分布),,(2σμN 取值小于等于x 的概率)(x X P ≤等于),(

σ

μ

-Φx 即

⋅-Φ=≤)(

)(σ

μ

x x X P ≤

)(

).122σ

μ

σ

μ

-Φ--Φ=x x x 其中μ为正态分布的数学期望，即

σμ),(X E =为正态分布的标准差，即⋅=)(X V σ

7．三个概率值

从正态曲线可以看出，对于固定的σμ和而言，随机变量取值在),(σμσμ+-上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X 取值落在区间),(σμσμ+-的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大，

理论上已经证明，当),(~2

σμN X 时，X 在区间+-μσμ,(σμσ2(),-),2,σμ+)3,3(σμσμ+-

内取值的概率分别是,9974.0,9544.0,6826

.0即,6826.0)(=+≤<-σμσμX P μσμ≤<-X P 2（ μσ(,9544.0)2P =+=+≤<-)33σμσX .9974.0

以上几个概率值在实际生产生活中具有重要的应用，

σ3.8原则

由于随机变量在),(+∞-∞内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间)2,2(σμσμ+-之外取值的概率是4.6%，在区间)3,3(σμσμ+-之外取值的概率是0.3%．于是，随机变量的取值几乎都在距