抛物线——阿基米德三角形

解析几何——阿基米德三角形

知识点：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。

因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3

预备知识：

1.过抛物线px y 22

=上一点),(00y x M 的切线方程为：)

(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)

(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)

(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=阿基米德三角形有一些有趣的性质：

性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为

11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+，联立方程组得

1122211

22

2()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点Q (122y y p ，122

y y +)，进而可知QM ∥x 轴.

性质2：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行．

证明：由性质1知Q (122y y p ，122y y +)，M 1212(,22x x y y ++，易得P 点坐标为21212()(,82

y y y y p ++

，此点显

然在抛物线上；过P 的切线的斜率为121222p p y y y y =++=AB

k ，结论得证．

性质3如图，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的2倍．

证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB 、△TBI 、△SAI ；

应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的

23；设BI 与抛物线所围面积为1S ，AI 与抛物线所围面积为2S ，AB 与抛物线所围面积为S ，

则123322ABI QAB QST S S S S S =--

- =12333222QST S S S S --- =123()2QST S S S S --- =32

ABI QST S S - ，∴ABI S = 2QST S ．性质4：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线

证明：设Q (x ，y )，由性质1，x =122y y p ，y =122

y y +，∴122y y px

=由A 、B 、C 三点共线知

10122221210222y y y y y y y x p p p

--=--，即2

1121020y y y y x y x +--2102y py =-，

将y =122y y +，122y y px =代入得00(

)y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程.性质5：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．

利用两式相减法易求得以C 点为中点的弦的斜率为0

p y ，因此该弦与Q 点的轨迹即直线l 平行．性质6若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．

证明：如上图，设l 方程为0ax by c ++=，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 过点C 00(,)x y ，

由性质2可知Q 点的轨迹方程00()y y p x x =+，

该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点C （c a ，bp a

-）.性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q 在准线上，则底边过焦点．

（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p ．

证明（2）：若底边过焦点，则00,02p x y =

=，Q 点轨迹方程为2

p x =-即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA ⊥QB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点；

∴|QM |=122x x ++2p =22124y y p

++2p ≥122||4y y p +2p =224p p +2p =p ，而121||()2QAB S QM y y =- ≥12||||QM y y ⋅≥2

p

性质8底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为3

8a p

．证明：|AB |=a ，设Q 到AB 的距离为d ，

由性质1知1212||22x x y y d QM p +≤=-221212244y y y y p p +=-=212()4y y p

-，设直线AB 方程为：x my n =+，则2221(1)()a m y y =

+-∴221()y y -≤2a ，∴d ≤24a p ，即S =12ad ≤38a p

.性质9在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB ．

证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接

QA '、QB '、QF 、AF 、BF ，则1'FA y k p

=-，显然'1FA QA k k ⋅=-，∴FA '⊥QA ，又∵|AA '|=|AF |，

由三角形全等可得∠QAA '=∠QAF ，

∴△QAA '≅△QAF ，∴|QA '|=|QF |，∠QA 'A =∠QFA ，

同理可证|QB '|=|QF |，∠QB 'B =∠QFB ，

∴|QA '|=|QB '|，即∠QA 'B '=∠QB 'A '

∴∠QA 'A =∠QA 'B '+900=∠QB 'A '+900=∠QB 'B ,

∴∠QFA =∠QFB ，结论得证．

特别地，若阿基米德三角形的底边AB 过焦点F ，则QF ⊥AB.