抛物线——阿基米德三角形
专题一阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的____________ 。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴___________________ 。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线定点C,则另一顶点Q的轨迹为____________________ 。
性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹____________________ 。
性质4若直线I与抛物线没有公共点，以I上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为___________________ 。
性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的_____________ ，且阿基米德三角形的面积的最小值为_____ 。
性质7 在阿基米德三角形中，/ QFA= / QFB。
性质8在抛物线上任取一点I （不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T,则△QST 的垂心在_______________ 上。
性质9 |AF| |BF|=|QF|2.性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB _____________ 。
性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的___________ 倍。
高考题中的阿基米德三角形例1 （2005卷，理22题）如图，设抛物线C ：y = x 2的焦点为F ,动点P 在直线l :x - y- 2= 0上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1 ）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明/ PFA= / PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为（x,x ：）和（x.x ：）*! 1 X 。
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形及其性质一、阿基米德三角形的概念过圆锥曲线上任意两点作两条切线交于点Q ，则称△QAB 为阿基米德三角形．二、抛物线的阿基米德三角形的性质：（以抛物线22y px =为例） 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．证明：设112200(,),(,)(,)A x y B x y Q x y ，，弦AB 的中点为(,)M M M x y ， 则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+， 联立两切线方程，解得1212,22y y y y x y p +==，所以1202y y y +=， 又122M y y y +=，所以0M y y =，即QM 平行于x 轴． 性质2 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p． 证明：Q 到AB 的距离为2121212()224x x y y y y d QM p p+-≤=-=，设AB 方程为x my n =+， 则23222221211(1)()()428a a AB a m y y y y a d S ad p p ==+-⇒-≤⇒≤⇒=≤． 性质3 若阿基米德三角形底边AB 过抛物线内定点00(,)C x y ，则顶点Q 的轨迹方程为00()y y p x x =+．证明：设(,)Q x y ，则由性质1有1212,22y y y y x y p +==， 由AB AC k k =10122221210222y y y y y y y x p p p--⇒=--，化简得1201202()y y px y y y +=+， 即0000222()px px yy yy p x x +=⇒=+为Q 点的轨迹方程．推论 若阿基米德三角形底边AB 过焦点，则Q 点的轨迹为准线，且QA QB ⊥．性质4 阿基米德三角形底边的中线QM 的中点P 在抛物线上，且O 处的切线与AB 平行．证明：由性质1得12121212,,,2222y y y y x x y y Q M p p ⎛⎫+++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，QM 中点21212(),82y y y y P p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 显然P 在抛物线上，过P 的斜率为122AB p k y y =+，故P 处的切线与AB 平行．性质5 在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠．证明：作','AA BB 垂直于准线，垂足分别为','A B ，如图，对22y px =两边求导得12'2'QA p p yy p y k y y =⇒=⇒=， 又1'FA y k p-=，所以'1'QA FA k k QA FA ⋅=-⇒⊥，又'AA AF =，设'A F 与QA 交于C ， 则'''','ACA ACF QAA QAF QAA QAF QA QF QA A QFA ∆≅∆⇒∠=∠⇒∆≅∆⇒=∠=∠， 同理可证'''90''90'QA A QA B QB A QB B QFA QFB ∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质6 在阿基米德三角形中有2AF BF QF ⋅=．证明：222221212121212()()()()2224244y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p +⋅=++=+++=++， 2221212()()222y y y y p QF p p +=-+=22221212()244y y y y p p +++，所以2AF BF QF ⋅=． 三．阿基米德焦点三角形的性质把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形．性质1 AB 过焦点F ，则PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，△PAB 面积的最小值为2p ．性质2 P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在椭圆右准线上，且PF ⊥AB ,△PAB 面积的最小值为4b ac． 性质3 P 是双曲线22221x y a b-=过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在双曲线右准线上，且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为4bac．【拓展】当阿基米德三角形的顶角为直角时，有如下性质：对于圆222x y r+=，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y r+=对于椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=+；对于双曲线22221(0)x ya ba b-=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=-．。
高考数学复习微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
两条切线，切点分别为 A，B.
(1) 求证：直线 AB 过定点；
【解答】 设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.由于 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t ＝x1，整理得 2 tx1－2 y1＋1＝0.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2 y2＋1＝0.故直
设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，过 F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为原点，△OMN 的面积为 2.
(1) 求拋物线 C 的方程； 【解答】 由题意得，点 M，N 的纵坐标均为p2，由 x2＝2p·p2，解得 x＝±p，则|MN| ＝2p，由 S△CMN＝12·|MN|·|OF|＝12·2p·p2＝12p2＝2，解得 p＝2，故抛物线 C 的方程为 x2＝ 4y.
主题三 几何与代数 第八章 解析几何
微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米 德三角形．
过弦的端点分别作切线 已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点与原 点不重合，点 M(1,2)为线段 AB 的中点． (1) 若直线 l 的斜率为 1，求抛物线 C 的方程；
1. 若 AB 过焦点，则 AB 的端点的两条切线的交点 Q 在其准线上； 2. 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即 xQ＝xM； 3. AB 过抛物线的焦点； 4. AQ⊥BQ； 5. 阿基米德三角形面积的最小值为 p2.
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(2) 分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线，若两条切线交于点 S，求证：点 S 在一 条定直线上．
阿基米德三角形在抛物线中的应用
解题篇 题 源高二数学 2021年3月■四川省绵阳实验高级中学 余强抛物线中的阿基米德焦点三角形是高考 的热点，在近几年全国卷中多次出现，同时也 频频出现在近年的高考模拟题中#我们把抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，把弦经过焦点的阿基米德三角形称为阿基米德焦点三角形# 阿基米德焦点三角形有一些有趣的性质！下面我们对阿基米德焦点三角形的性质进行总结，供同学们参考#性质1:一条过抛物线y 2 = 2@" (@>0)的焦点F 的弦AE ,抛物线在点A.B 处的两条切线相交于点6，我们称96AB 为阿基米德焦点三角形#则：(1) 点6在y 2 = 2@"的准线上；(2) 6A 丄6B ,6)丄AB #y 2 = 2p"1,故 I ^-2," +y ： = 011证明：设直线AB 的方程为"=$y +2y 2=2@",由. @可得：I " =$y +2,y 2 一 2p$y 一 @2 = 0 #显然 &>0,设 A"— ,y —) ,B ("2 ,y 2)，则y —+y 2 =2p$ , y — y 2 = —p 2 #(1)设切线 6A : y — y — = k 1("—"1 ) #y — y —=k 1 (" —"1),消去",可得y 2 = 2p"联立故，6A = k —=y 1因此,直线6A 的方程为y — y —p("——"1),艮卩 yy — = p (" + "— ) #同理可得k 6B = ，直线6B 的方程为y 2yy 2 = p (" +"2)#抛物线在A.B 两点的切线方程分别为y — y = p ("+"1)，y 2y = p("+"2)CC解之得.y — y 2y 1+y 2_2_交点6的坐标为y 1+y 2 \_2_ /由此求得两切线的所以点6在y 2 = 2p"的准线上#一” ppp 2(2)因为，A6 + k B 6 =——+ ——=-----=y — y 2 y — y 2p 2上^=—1,所以 6A 丄6B #—p由题意知，6)= ( p , — p$ / , AB =("2—"1 ?y 2 — y 1' #因为 6) - AB = p ("2 一 "— / 一22p 2py —y一石 y +kT2p"1 = 0p 2 2 p y —由& = 0 '可得p ［一kT +2p "1 = 0# 又p$(y 2 — y —' = pp$ (y 2—y — ) = 0 ,所以 6)丄AB #! !(江西省鹰潭市2020年高二质检)解题篇创新题源高二数学 2021年3月中孝生皋捏化过抛物线"*2=4y 的焦点作直线；交抛物线 于89 两点，分别过8 9 作抛物线的切线；1! ； 2!则切线；1与切线；2的交点2的轨迹 方程是(4("2 —"1 '程是y = — 1#故选A评注：本题考查了求轨迹方程、利 用导数研究曲线上某.处的切线方程和整体运算思 想。
有关抛物线阿基米德三角形的三个性质
解题技巧与方法■JIETI JIQIAO YU FANGFA_关”•-阿基采德三角形的三个性质◎王利民(甘肃省秦安县第一中学，甘肃天水741600)!摘要】阿基米德三角形的定义：抛的—与过—的的切的三角为阿基米德三角.通过类比和联想，通过对赛题1和题2进行探究，得出了抛阿基米德三角形的三个性质.!关键词】阿基米德；三角形；性质米德三角形的定义:抛物线的弦与过弦的端点的两条切线的三角形称为米德三角形.阿基米德是伟大的古希腊数学家和力学家，被后为数学之，他的著作有《论球与》《的》《论劈锥曲面体与》《螺线》《抛物弓形求积》等10.纟米德最早在著作《抛物弓形求积》用的证明了有关性:抛物线的弦与抛物线的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分.纟过类比，通过对题1题2探究,得出了抛物线米德三角形的三个性质,现介绍.赛题1(2014数题A卷第9题)平面标系中,@是不在"轴上的一个动点，满足条件:过@可作抛物线D=4#的两条切线，点连线J与垂直,设直线J与直线@。
，“轴的交点分别为[，V(1)证明V是一个定点；(2)求的最小值.赛题2(2013年福建高中数学竞赛初赛)已知A，B为抛物线C&D=4#上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，J，J分别过点A，B且与抛物线C相切,@为J与J的点.(1)若直线AB过抛物线C的焦点：,求证:动点@在一条定直线上，并求此直线方程.(2)设C,D为直线J,J与直线#=4的交点，求％@CD 面积的最小值.道赛题都是抛物线的定点和最值问题,都以阿基米德三角形为背景，不仅形式优美，简，力考查生的能力和运算求解能力，也做到把数学史中著名定理和数学知识•考查线与抛物线的位置、基本不等式，也考查归与转化的，旨在考查推理和数学运算的题1中,记过点@作的抛物线D=4#的两条切线的切点分别为A,B,则％@AB是阿基米德三角形.笔者通过对题1探究,得出：1面标系#D中,@是不在x轴上的一个动点，满足条件:过@可作抛物线D=2p#(p>0)的条线，点连线J与，设线J与直线P。
抛物线阿基米德三角形二级结论推广
抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。
一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。
该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。
二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。
2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。
3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。
三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。
2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。
3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。
四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。
2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。
五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。
专题一 阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF |·|BF |=|QF |2.性质10 QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的 倍。
例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C yx 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB .解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：20020;x x y x 切线BP 的方程为：21120;x x yx解得P 点的坐标为：0101,2PPx x x y x x所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pPGx y y y y x x x x x x x x y所以234p GG y y x ，由点P在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyx yx x 即（2）方法1：因为221000111111(,),(,),(,).4244x x FAx x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP∴201010012220111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FA AFPFP FA FP FP x x同理有20110110122211111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP FP x x∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当1010000,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P 点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x dBF yx x 而直线的方程即211111()0.44x x x yx所以P 点到直线BF 的距离为：221111112222211||11|()|()||42442121()()44x x x x x x d x x x所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当100x x 时，直线AF 的方程：2020011114(0),()0,4044x yx x x x yx x 即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,444x yx x x x yx x 即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001122220111|()()||)()||42424121()44x x x x x x x x x x x d xx x ，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2yx 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c 交于,P Q ，（1）若2OA OB，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由。
抛物线阿基米德三角形结论证明
抛物线阿基米德三角形结论证明1. 概述抛物线作为古代数学中的重要研究对象，其性质和结论一直以来都备受学者们的关注。
其中，抛物线上的阿基米德三角形结论一直是一个备受研究的课题。
本文旨在对抛物线上的阿基米德三角形结论进行证明，并探讨其中的数学内涵。
2. 抛物线的性质2.1 抛物线的定义抛物线是平面上的一种曲线，其定义可以与焦点和直线上一点的距离比例为常数通联起来。
一般来说，抛物线是指平面上一点到定直线和定点的距离比例为常数的轨迹。
2.2 抛物线的方程一般情况下，抛物线可以用一般二次方程的形式表示为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 阿基米德三角形的性质3.1 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是指一个锐角三角形，其三边长度成等比数列。
3.2 抛物线上的阿基米德三角形研究发现，在抛物线上，可以构建多个满足阿基米德三角形定义的三角形。
4. 抛物线上的阿基米德三角形结论证明4.1 抛物线的焦点性质我们需要利用抛物线的定义和性质证明其焦点的特殊性质。
根据抛物线的定义和焦点的几何性质，我们可以得出抛物线上的任意一点到焦点的距离和到定直线的距离之比是一个定值。
4.2 阿基米德三角形在抛物线上的构造进而，我们可以利用抛物线的焦点性质，构造出满足阿基米德三角形定义的三角形。
具体来说，我们可以选择抛物线上的三个或多个点，然后利用这些点到焦点和定直线的距离比例的性质，构造出符合阿基米德三角形定义的三角形。
4.3 阿基米德三角形的等比性质我们需要证明抛物线上构造出的三角形是等比数列。
在这一步中，我们需要运用一些几何和代数方法，通过计算抛物线上构造出的三角形的边长，并证明其边长满足等比数列的条件。
5. 结论通过以上的证明和分析，我们可以得出抛物线上的阿基米德三角形确实存在，并且构造出的三角形满足阿基米德三角形的定义和等比性质。
这一结论不仅对于抛物线的研究具有重要意义，同时也有助于深化对阿基米德三角形的理解，为数学研究提供了新的思路和方法。
抛物线阿基米德三角形常用结论高中
抛物线、阿基米德三角形常用结论一、抛物线1. 抛物线的定义抛物线是一种特殊的曲线，其定义可以由平面上的点P到给定直线上一点F的距离等于P到另一固定点D的距离的平方的约束条件定义。
2. 抛物线的常用方程抛物线的常用方程形式为y = ax^2 + bx + c 或者 x = ay^2 + by + c。
其中a、b、c为常数，a≠0。
3. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴与顶点抛物线的对称轴是其顶点处的垂直平分线。
（2）抛物线的焦点和直线抛物线的焦点是与其对称轴上的一个定点F，直线是与抛物线平行于其对称轴的直线。
二、阿基米德三角形1. 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是一种特殊的三角形，其三边分别由三个与三个同一直线上的点相连而得到。
这三个点一般是由同一圆的直径上得到。
2. 阿基米德三角形的常用结论（1）阿基米德三角形的边长关系公式设阿基米德三角形的边长分别为a、b、c，其边长关系可由公式a^2 = b^2 + c^2得到。
（2）阿基米德三角形的面积公式设阿基米德三角形的三角形边分别为a、b、c，其面积S可由公式S = 1/2 * b * c * sinA得到。
其中A为a对应的角度。
三、高中数学中抛物线和阿基米德三角形的应用1. 抛物线在物理学中的应用在物理学中，抛物线常常用来描述抛体运动的轨迹。
抛出的物体在水平方向上的运动可以用抛物线方程描述。
2. 阿基米德三角形在几何学中的应用在几何学中，阿基米德三角形经常用于解决三角函数相关问题。
在求解三角函数值时，可以利用阿基米德三角形的边长关系进行变换，从而简化计算。
四、结语抛物线和阿基米德三角形作为数学中的重要内容，在高中数学教学中被广泛应用。
通过对其定义、性质以及应用的深入了解，不仅可以增加数学知识的广度和深度，还能够帮助学生更好地理解数学的应用价值。
希望学生们能够加强对抛物线和阿基米德三角形的学习，不断提升数学思维能力和解决问题的能力。
抛物线和阿基米德三角形作为数学中重要的内容，不仅在高中数学教学中被广泛应用，而且在科学研究和工程技术中也发挥着重要作用。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质切线方程：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为:)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴。
证明：设),(11y x A ,),(22y x B ，M 为弦AB 的中点,则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=,联立方程,1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q + 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线的定点C ,则另一顶点Q 的轨迹为一条直线性质3：.抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹性质4：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点性质5:底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为2p 性质7：在阿基米德三角形中，QFB QFA ∠=∠性质8：抛物线上任取一点I （不与B A ,重合），过I 作抛物线切线交QA ，QB 于T S ,，则QST ∆的垂心在准线上 性质9：2QF BF AF =⋅性质10：QM 的中点P 在抛物线上,且P 处的切线与AB 平行性质11：在性质8中，连接BI AI ,，则ABI ∆的面积是QST∆面积的2倍 1。
如图，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，M 为 直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线,切点分别为B A ,(Ⅰ)求证：M B A ,,三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ)已知当M 点的坐标为)2,2(p -时，410AB =，求此时抛物线的方程；(Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）。
阿基米德三角形
.
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
.
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐
2
2
标为 ( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点
8p
2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，
2
结论得证．
.
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积
| 1 t 8
(x02 4t)2 (t 1)2 x02
，
又S
QAB
1 4 (1 2
x02 ) 4
4 x02 2
S
于是
QAB
4
(x02 4)[x02 (t 1)2 ]
S PDE 1 t
(x02 4t)2
4 x04 [4 (t 1)2 ]x02 4(t 1)2
1t
x04 8tx02 16t 2
抛物线阿基米德三角形常用结论
【题目】探索抛物线阿基米德三角形常用结论一、引言抛物线阿基米德三角形是数学中一个经典且重要的概念，其常用结论在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨抛物线阿基米德三角形的常用结论，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。
二、抛物线阿基米德三角形的定义和性质回顾抛物线阿基米德三角形是由一条抛物线和两条其切线所构成的三角形。
其性质包括边长关系、角度关系、面积计算等内容。
在具体的问题中，我们经常会用到抛物线阿基米德三角形的各种性质来解决实际问题。
三、抛物线阿基米德三角形的常用结论1. **关于边长的结论**针对抛物线阿基米德三角形，我们可以得出与边长相关的重要结论，例如三边关系、高度计算公式等。
这些结论在解题过程中起到至关重要的作用。
2. **关于角度的结论**抛物线阿基米德三角形中角度的关系也是我们经常需要用到的，例如两个对应角相等的性质等。
这些结论在解题过程中能够帮助我们更加深入地理解问题的本质。
3. **关于面积的结论**面积是解决问题中不可或缺的要素，抛物线阿基米德三角形的面积计算公式以及相关的性质是我们解题过程中的利器，通过这些结论我们可以更加方便地求解各种问题。
四、个人观点和理解抛物线阿基米德三角形的常用结论在数学和物理学中具有重要的地位，它们不仅能够帮助我们解决具体问题，还能够拓展我们的数学思维和逻辑推理能力。
在实际解题过程中，对于这些常用结论的灵活运用往往能够事半功倍。
五、总结通过本文的全面探讨，相信读者对抛物线阿基米德三角形的常用结论有了更深入的理解和认识。
在今后的学习和应用中，希望读者能够灵活运用这些结论，不断拓展自己的数学视野。
【结语】抛物线阿基米德三角形的常用结论是数学学习中的重要内容，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
也希望读者在学习过程中保持好奇心和求知欲，不断探索数学的奥秘。
以上是根据你提供的内容、主题或概念撰写的文章，希望能够满足你的需求。
如果需要进一步修改或添加其他内容，请随时告诉我。
高中数学阿基米德三角形知识归纳(解析版)
阿基米德三角形【方法技巧与总结】如图所示，AB 为抛物线x 2=2py (p >0)的弦，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，分别过A ,B 作的抛物线的切线交于点P ，称△PAB 为阿基米德三角形，弦AB 为阿基米德三角形的底边．1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2.若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C x 0，y 0 ，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3.若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4.底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为a 38p．5.若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p 2．6.点P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22p；7.底边AB 所在的直线方程为x 1+x 2 x -2py -x 1x 2=0;8.△PAB 的面积为S △PAB =x 1-x 238p．9.若点P 的坐标为x 0,y 0 ，则底边AB 的直线方程为x 0x -p y +y 0 =0．10.如图，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则|AC ||CP |=|CE ||ED |=|PD ||DB |.11.若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形△PAB 的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则S△EAB S △PCD =2．12.抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．【题型归纳目录】题型一：定点问题题型二：交点的轨迹问题题型三：切线垂直问题题型四：面积问题题型五：外接圆问题题型六：最值问题题型七：角度相等问题【典例例题】题型一：定点问题例1.已知点A (0,-1)，B (0,1)，动点P 满足|PB ||AB |=PA ⋅BA ．记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)设D 为直线y =-2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．【解析】解：(1)设P (x ,y )，则PA =(-x ,-1-y )，PB=(-x ,1-y )AB =(0,2)，BA =(0,-2)，所以|PB ||AB|=PA ⋅BA ，所以(-x )2+(1-y )2=1+y 化简得x 2=4y ，所以C 的方程为x 2=4y ．(2)由题意可设D (t ,-2)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由x 2=4y ，得y =x 24，则y ′=x 2，所以k DE =x 12，直线DE 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1)，即y -y 1=x 12x -x 122，①因为E (x 1，y 1)在x 2=4y 上，所以x 12=4y 1，即x 122=2y 1，②将②代入①得x 1x -2y 1-2y =0，所以直线DE 的方程为x 1x -2y 1-2y =0，同理可得直线DF 的方程为x 2x -2y 2-2y =0，因为D (t ,-2)在直线DE 上，所以tx 1-2y 1+4=0，又D (t ,-2)在直线DF 上，所以tx 2-2y 2+4=0，所以直线EF 的方程为tx -2y +4=0，故直线EF 过定点(0,2)．例2.已知曲线C :y =x 22，D 为直线y =-12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点．(2)若以E 0,52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【解析】(1)证明：设D t ,-12，A (x 1，y 1)，则x 12=2y 1，由于y ′=x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1-t=x 1，整理得：2tx 1-2y 1+1=0．设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2-2y 2+1=0．故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0．∴直线AB 过定点0,12 ；(2)解：由(1)得直线AB 的方程y =tx +12．由y =tx +12y =x22，可得x 2-2tx -1=0．于是x 1+x 2=2t ,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M t ,t 2+12，由于EM ⊥AB ，而EM =(t ,t 2-2)，AB 与向量(1,t )平行，∴t +(t 2-2)t =0，解得t =0或t =±1．当t =0时，|EM |=2，所求圆的方程为x 2+y -522=4；当t =±1时，|EM |=2，所求圆的方程为x 2+y -522=2．例3.在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y =x -2上一动点，过点M 作抛物线C :x 2=y 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点．(1)证明：MN ⊥x 轴；(2)直线AB 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】解：(1)设切点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 2)，因为y =2x ，所以切线MA 的斜率为2x 1，直线MA 的方程为：y =2x 1(x -x 1)+x 21=2x 1x -x 21，设M 的坐标为：(t ,t -2)所以x 21-2tx 1+t -2=0，直线MB 的斜率为2x 2，切线MB 的方程为y =2x 2x -x 22，所以M 点是方程x 22-2tx 2+t -2=0，所以x 1，x 2是方程x 2-2tx +t -2=0的两根，x 1+x 2=2t ，因为N 为AB 的中点．所以x N =x 1+x 22=t ，所以M ，N 的横坐标相同，即证MN ⊥x 轴．(2)由(1)得y N =12(x 21+x 22)=(x 1+x 2)2-2x 1x 22=2t 2-t +2，又因为k AB =x 12-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2t ，所以直线AB 的方程为：y -(2t 2-t +2)=2t (x -t )，即y -2=2t x -12，所以直线AB 恒过一定点12，2．变式1.在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y =x -3上的动点，过点M 作抛物线C :x 2=2y 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点．(1)证明：MN ⊥x 轴；(2)直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】解：(1)证明：设切点为A x 1，x 122 ，B x 2，x 222，x 2=2y 即y =12x 2的导数为y ′=x ，所以切线MA 的斜率为x 1，切线的方程为y -x 122=x 1(x -x 1)，设M (t ,t -3)，则有t -3-x 122=x 1(t -x 1)，化简可得x 21-2tx 1+2t -6=0，同理可得x 22-2tx 2+2t -6=0，所以x 1，x 2是方程x 2-2tx +2t -6=0的两根，所以x 1+x 2=2t ，x 1x 2=2t -6，x N =x 1+x 22=t =x M ，所以MN ⊥x 轴；(2)因为y N =14(x 21+x 22)=14(x 1+x 2)2-12x 1x 2=t 2-t +3，所以N (t ,t 2-t +3)，因为k AB =12⋅x 12-x 22x 1-x 2=x 1+x 22=t ，所以直线AB 的方程为y -(t 2-t +3)=t (x -t )，即y -3=t (x -1)，所以直线AB 恒过定点(1,3)．题型二：交点的轨迹问题例4.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)设点P (x 0，y 0)为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(Ⅲ)过(Ⅱ)中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，求l 1，l 2交点M 满足的轨迹方程．【解析】解：(Ⅰ)∵抛物线C 的焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322，∴|0-c -2|2=322，解得c =1或c =-5，(舍)，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ．(Ⅱ)设P (x 0，x 0-2)，设切点为x ,x 24 ，曲线C :y =x 24，y ′=x 2，则切线的斜率为x 24-(x 0-2)x -x 0=y ′=x 2，化简，得x 2-2x 0x +4x 0-8=0，设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，则x 1，x 2是以上方程的两根，∴x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4x 0-8，k AB =x 124-x 224x 1-x 2=x 1+x 24=x 02，直线AB 为：y -x 124=x 1+x 24(x -x 1)，化简，得：x 0x -2y -2y 0=0，定点Q (2,2)．(Ⅲ)设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，过A 的切线y =x 12(x -x 1)+x 124，过B 的切线y =x 22(x -x 2)+x 224，交点M x 1+x 22，x 1x 24设过Q 点的直线为y =k (x -2)+2联立y =k (x -2)+2x 2=4y，得x 2-4kx +8k -8=0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -2，∴M (2k ,2k -2)，∴y =x -2．∴点M 满足的轨迹方程为x -y -2=0．例5.已知动点Q 在x 轴上方，且到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1，(Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点P (1,1)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为l 1，l 2且l 1，l 2交于点M ，求证：M 在定直线上．【解析】解：(Ⅰ)动点P (x ,y )(其中y >0)到x 轴的距离为y ，到x 轴的距离为y +1．∴|PM |=y +1，又M (0,1)，∴x 2+(y -1)2=y +1．得轨迹C 的方程：x 2=4y ，y ≠0．(Ⅱ)证明：由题意，直线l 的斜率为存在并且不为1，设直线l 的方程为：y =k (x -1)+1，k ≠1，与x 2=4y 联立，可得x 2-4kx +4k -4=0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4k -4，①又y =x 24，所以y ′=x2，所以切线l 1的方程为：y =x12(x -x 1)+y 1，即y =x 12x -x 124，同理，切线l 2:y =x 22x -x 224，联立可得：x =x 1+x 22=2k ，y =x 1x24=k -1，两式相消k 可得：x -2y -2=0，当k =1时，x =2，y =0，所以解得M 的轨迹方程为：x -2y -2=0，去掉(2,0)．交点M 在定直线上．例6.已知抛物线C ．y =ax 2(a >0)的焦点为F ，直线x =2与x 轴相交于点M ，与曲线C 相交于点N ，且|MN |=45|FN |．(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，求证点A 的纵坐标为定值．【解析】解：(1)由已知抛物线C :x 2=1a y (a >0)的焦点F 0,14a，由|MN |=45|FN |，得|FN |=54|MN |=|MN |+14a ，即|MN |=1a，点N (2,4a )，所以1a =4a (a >0)a =12，所以抛物线方程：x 2=2y ．(2)∵抛物线x 2=2y 的焦点为F 0,12，∴设过抛物线x 2=2y 的焦点的直线为y =kx +12．设直线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 2=2yy =kx +12，消去y 得：x 2-2kx -1=0，根据韦达定理，得x 1x 2=-1，抛物线x 2=2y ，即二次函数y =12x 2，对函数求导数，得y =x ，所以抛物线在点P 处的切线斜率为k 1=x 1，可得切线方程为y -y 1=x 1(x -x 1)，化简得y =x 1x -12x 21，同理，得到抛物线在点Q 处切线方程为y =x 2x -12x 22，两方程消去x ，得两切线交点A 纵坐标满足y A =x 1x22，∵x 1x 2=-1，∴y A=-12，即点A 的纵坐标是定值-12．变式2.已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(Ⅰ)若以A ，B 为直径的圆的方程为(x -2)2+(y -3)2=16，求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)过A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，证明：l 1，l 2的交点在定直线上．【解析】解：(1)由抛物线的定义可得p2+3=4，得p =2，故抛物线C 的标准方程为x 2=4y ，(2)由抛物线x 2=2py 得其焦点坐标为F 0,p2．设A x 1，x 212p ，B x 2，x 222p，直线AB :y =kx +p2，代入抛物线方程，得：x 2-2kpx -p 2=0．∴x 1x 2=-p 2⋯①．又抛物线方程求导得y ′=xp，∴抛物线过点A 的切线的斜率为x 1p ，切线方程为y -x 212p =x1p(x -x 1)⋯②抛物线过点B 的切线的斜率为x 2p ，切线方程为y -x 222p =x2p(x -x 2)⋯③由①②③得：y =-p2．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=-p 2．变式3.抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，抛物线过点P(p,1)．(Ⅰ)求抛物线C的标准方程与其准线l的方程；(Ⅱ)过F点作直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C的准线l上．【解析】解：(Ⅰ)由p2=2p×1，得p=2，所以抛物线的标准方程为x2=4y，准线l的方程为y=-1；(Ⅱ)证明：根据题意直线AB的斜率一定存在，又焦点F(0,1)，设过F点的直线方程为y=kx+1，联立抛物线方程得x2-4kx-4=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k，x1x2=-4．∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16k2+8．由y=14x2得，y =12x，过A，B分别的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1)y-y2=12x2(x-x2)，即y=12x1x-14x12 y=12x2x-14x22 ，两式相加，得y=14(x1+x2)x-18(x21+x22)，化简，得y=kx-(2k2+1)，即y=k(x-2k)-1，所以，两条切线交于点(2k,-1)，该点显然在抛物线C的准线l:y=-1上．题型三：切线垂直问题例7.已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，点M是AB的中点．(1)求证：切线PA和PB互相垂直；(2)求证：直线PM与y轴平行；(3)求ΔPAB面积的最小值．【解析】(1)证明：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在．设点P坐标为(t,-1)，切线斜率为k，过点P的切线方程为y=k(x-t)-1，联立方程，x2=4yy=k(x-t)-1，消去y，得x2-4kx+4(kt+1)=0，由△=16k2-16(kt+1)=0，得k2-tk-1=0，记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1，k2，则k1，k2分别为切线PA，PB的斜率，由根与系数的关系知k1k2=-1，所以切线PA和PB互相垂直．(2)证明：设点A x1x21 4,B x2,x224，由x2=4y，知y=14x2，则y =12x，所以过点A的切线方程为y=x12(x-x1)=x214，将点(t,-1)代入，化简得x21-2tx1-4=0，同理可得x22-2tx2-4=0，所以x1，x2是关于x的方程x2-2tx-4=0的两个根，由根与系数的关系知x1+x2=2t，所以x1+x22=t，即AB中点M的横坐标为t，而点P的横坐标也为t，所以直线PM与y轴平行．(3)解：点M t,x21+x22 8，则|PM|=x21+x228+1，则SΔPAB=12|PM|⋅|x1-x2|=12×x21+x228+1×|x1-x2|，由(2)知，x1+x2=2t，x1x2=-4，则x21+x22=4t2+8，|x1-x2|=4t2+16，SΔPAB=12×x21+x228+1×|x1-x2|=12(t2+4)t2+4=12(t2+4)3，当t=0时，ΔPAB面积的最小值为4．例8.已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．(1)若点P坐标为(0,-1)，求切线PA，PB的方程；(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直．【解析】(1)解：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为k，点P坐标为(0,-1)，过点P的切线方程为y=kx-1，联立x2=4yy=kx-1，消去y，得x2-4kx+4=0，由△=16k2-16=0，解得k=±1，所以切线PA，PB的方程分别为y=x-1和y=-x-1，即切线方程分别为x-y-1=0和x+y+1=0；(2)证明：设点P坐标为(t,-1)，切线斜率为k，过点P的切线方程为y=k(x-t)-1，联立x2=4yy=k(x-t)-1，消去y，得x2-4kx+4(kt+1)=0，由△=16k2-16(kt+1)=0，得k2-tk-1=0，记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1，k2，则k1，k2分别为切线PA，PB的斜率，由根与系数的关系知k1k2=-1，所以切线PA和PB互相垂直．例9.已知中心在原点的椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0)，椭圆Γ1的离心率为12，抛物线Γ2的顶点为原点．(Ⅰ)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；(Ⅱ)设点P为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ2的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．【解析】解：(Ⅰ)设椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，y2=2px，(p>0)，∵椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0)，椭圆Γ1的离心率为12，∴ca=12c=1p2=1，解得a=2，c=1，p=2，∴b=4-1=3，∴椭圆Γ1的方程为x24+y23=1，抛物线Γ2的方程为y2=4x．(Ⅱ)证明：设P(-1,t)，过点P与抛物线y2=4x相切的直线方程为y-t=k(x+1)，由y-t=k(x+1)y2=4x，得y2-4k y+4tk+4=0，由△=-4 k2-44t k+4=0，得k2+tk-1=0，∵直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1．∴k1k2为定值．变式4.抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB．【解析】解：(1)因为抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2．所以p=2，所以x2=4y；(2)证明：联立直线y=kx+1与x2=4y，得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=--4k1=4k，x1x2=-4，y=14x2，求导数得y′=12x，所以过点A的抛物线切线为：y-y1=12x1(x-x1)，①过点B的抛物线切线为：y-y2=12x2(x-x2)，②①-②得y2-y1=12x(x1-x2)-12(x21-x22)，所以x=(y2-y1)+12(x12-x22)12(x1-x2)=14x22-14x12+12(x12-x22)12(x1-x2)=x1+x22=4k2=2k，①×x2-②×x1，得x2(y-y1)-x1(y-y2)=-12x12x2+12x1x22，∴(x2-x1)y=-12x12x2+12x1x22-x1y2+x2y1∴(x2-x1)y=-12x12x2+12x1x22-x1∙14x22+x2∙14x21∴(x2-x1)y=14x1x22-14x12x2∴(x2-x1)y=14x1x2(x2-x1)，∴y=14x1x2=-1，所以P(2k,-1)，F(0,1)，所以k PF ∙k AB =1-(-1)0-2k∙k =-1，所以PF ⊥AB ．题型四：面积问题例10.已知抛物线C 的方程为x 2=2py (p >0)，点A x ,32是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)点Q 为直线y =-12上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求ΔQDE 面积的最小值．【解析】解：(1)设抛物线焦点为F ，由题意可得|AF |=32+p 2=2，故p =1，抛物线的方程为x =2y ．(2)设Q m ,-12．由题可知切线的斜率存在且不为0，故可设切线方程为y +12=k (x -m )，k ≠0．联立y +12=k (x -m )x 2=2y，消去y 得．x 2-2kx +2km +1=0．由直线与抛物线相切可得△=0，∴k 2-2km -1=0，即k 2=2km +1．∴x 2-2kx +k 2=0，解得x =k ，可得切点坐标为k ,k 22，故可设D k 1，k 122 ，E k 2，k 222，由k 2-2km -1=0，可得k 1+k 2=2m ，k 1⋅k 2=-1，∴QD ⊥QE ，∴ΔQDE 为直角三角形，∴QDE 的面积S =12|QD |⋅|QE |．令切点k ,k22到点Q 的距离为d ，则d 2=(k -m )2+k 2+12 2=4k 2-8km +4m 2+(2km +2)24=k 2+m 2+k 2m 2+1=(k 2+1)(m 2+1)，∴|QD |=(k 12+1)(m 2+1)，|QE |=(k 22+1)(m 2+1)，∴S =12(m 2+1)k 12+k 22+k 12k 22+1=12(m 2+1)(k 1+k 2)2-2k 1k 2+2=12(m 2+1)4m 2+4=(m 2+1)32，当m =0时，即点Q 的坐标为0,-12时，ΔQDE 的面积S 取得最小值1．例11.已知点A (0,2)，动点M 到点A 的距离比动点M 到直线y =-1的距离大1，动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)Q 为直线y =-1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求ΔQDE 的面积S 的最小值【解析】解：(1)设动点M (x ,y )，由题意得，动点M 到点A 的距离与动点M 到直线y =-2的距离相等，∴动点M 的轨迹为抛物线，且焦点为A ，准线为y =-2，∴曲线C 的方程为：x 2=8y ；(2)设Q (m ,-1)，设切线的斜率为k ，则切线方程为：y +1=k (x -m )，代入抛物线整理：x 2-8kx +8km +8=0，由△=0得：64k 2=32(km +1)，∴km =2k 2-1，∴x 2-8kx +16k 2=0，解得：x =4k ，∴切点坐标为(4k ,2k 2)，由2k 2-km -1=0，得k 1+k 2=m 2，k 1k 2=-12，设直线QD 与QE 的夹角为θ，则tan θ=k 2-k 11+k 1k 2，则sin 2∠QDE =1-cos 2∠QDE =1-11+tan 2∠QDE=1-11+(k 2-k 1)2(1+k 1k 2)2=1-11+(k 1+k 2)2-4k 1k 214=1-11+4m 24+2 =1-1m 2+9=m 2-8m 2-9．令切点(4k ,2k 2)到Q 的距离为d ，则d 2=(4k -m )2+(2k 2+1)2=16k 2-8km +m 2+(km +2)2=16k 2-8km +m 2+k 2m 2+4km +4=(8+m 2)(k 2+1)，∴|QD |=(m 2+8)(k 12+1)，|QE |=(m 2+8)(k 22+1)，∴S =12(8+m 2)⋅(k 1+k 2)2-2k 1k 2+54⋅m 2-8m 2-9=12(8+m 2)⋅m 24+94⋅m 2-8m 2-9=14(8+m 2)⋅9+m 2⋅1-19-m 2≥42，∴当m =0，即Q (0,-1)时，ΔQDE 的面积S 取得最小值42．例12.已知点A (-4,4)、B (4,4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为-2，点M 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求曲线C 的轨迹方程；(Ⅱ)Q 为直线y =-1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求ΔQDE 的面积S 的最小值．【解析】解：(I )设M (x ,y )，由题意可得：y -4x +4-y -4x -4=-2，化为x 2=4y ．∴曲线C 的轨迹方程为x 2=4y 且(x ≠±4)．(II )设Q (m ,-1)，切线方程为y +1=k (x -m )，联立y +1=k (x -m )x 2=4y，化为x 2-4kx +4(km +1)=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k 2-km -1=0．∴x 2-4kx +4k 2=0，解得x =2k ．可得切点(2k ,k 2)，由k 2-km -1=0．∴k 1+k 2=m ，k 1⋅k 2=-1．∴切线QD ⊥QE ．∴ΔQDE 为直角三角形，S =12|QD |⋅|QE |．令切点(2k ,k 2)到Q 的距离为d ，则d 2=(2k -m )2+(k 2+1)2=4(k 2-km )+m 2+(km +2)2=4(k 2-km )+m 2+k 2m 2+4km +4=(4+m 2)(k 2+1)，∴|QD |=(4+m 2)(k 21+1)，|QE |=(4+m 2)(k 22+1)，∴S =12(4+m 2)(k 1+k 2)2-2k 1k 2+2=12(4+m 2)4+m 2≥4，当m =0时，即Q (0,-1)时，ΔQDE 的面积S 取得最小值4．变式5.如图，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且|RF |=2，过点P (-4,0)作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E (异于点A ，B )，且直线DE 交线段PB 于点H ．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)(ⅰ)求证：|AD |+|BH |为定值；(ⅱ)设ΔEAD ，ΔEBH 的面积分别为S 1，S 2，求S =3S 1+13S 2的最小值．【解析】解：(Ⅰ)∵抛物线C :y 2=2px (p >0)上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且|RF |=2，∴由抛物线定义得1+p 2=2，解得p =2，∴抛物线C 的方程为C :y 2=4x ．(Ⅱ)(i )证明：设直线AP :y =k (x +4)，由y =k (x +4)y 2=4x，得k 2x 2+(8k 2-4)x +16k 2=0，△=(8k 2-4)2-64k 4=0，解得k =±12，代入方程k 2x 2+(8k 2-4)x +16k 2=0，得x =4，设AP :y =12(x +4)，BP :y =-12(x +4)，则A (4,4)，B (4,-4)，设D (2t ,t +2)，t ∈(-2,2)，设直线DH :x =m (y -t -2)+2t ，则由x =m (y -t -2)+2t y 2=4x，得y 2-4my +4mt +8m -8t =0，由△=16m 2-16mt -32m +32t =0，可得m 2-(t +2)m +2t =0，解得m =t ，或m =2(舍)，∴E (t 2，2t )，DH :x =ty -t 2，由x =ty -t 2y =-12(x +4)，得H (-2t ,t -2)，∴|AD |+|BH |=1+14(|x A -x D |+|x B -x H |)=52(4-2t +4+2t )=45为定值．(ii )由(i )得d E -AD =|t 2-4t +4|5=15(t -2)2，|AD |=5|4-2t |2，d E -BH =|t 2+4t +4|5=15(t +2)2，|BH |=5|4+2t |2，∴S 1=12×|AD |×d E -AD =12(2-t )3，S 2=12×|BH |×d E -BH =12(2+t )3，∴S =3S 1+13S 2=32(2-t )3+16(2+t )3=f (t )，f (t )=12(t +2)2-92(2-t )2=12(t +2+6-3t )(t +2-6+3t )=-4(t -1)(t -4)，当t ∈(-2,1)时，f ′(t )<0，当t ∈(1,2)时，f ′(t )>0，∴f (t )在(-2,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴S min =f (1)=6，∴S =3S 1+13S 2的最小值为6．变式6.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，直线l :mx +y -32=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ΔABP 面积的最小值．【解析】解：(1)设抛物线C 的方程为x 2=2py ，∵直线l :mx +y -32=0经过抛物线C 的焦点0,p 2 ，∴p 2-32=0，得p =3，∴抛物线C 的方程为x 2=6y ，(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)，由x 2=6ymx +y -32=0 得x 2+6mx -9=0，则△=36m 2+36>0，x 1+x 2=-6m ，x 1x 2=-9，∴|AB |=1+m 2⋅36m 2+36=6(1+m 2)，由x 2=6y ，得y =16x 2，则y ′-13x ，∴抛物线经过A 点的切线方程是y -y 1=13x 1(x -x 1)=13xx 1-x 216，同理抛物线经过B 点的切线方程是y -y 2=13x 2(x -x 2)=13xx 2-x 226，解方程组y =13x 1x -x 216y =13x 2x -x 226，得x =x 1+x 22y =x 1x 26 ，∴x =-3m y =-32．∴P -3m ,-32 到直线mx +y -32=0的距离d =m (-3m )-32-32 1+m2=31+m 2，∴ΔABP 面积S =12×6×(1+m 2)×31+m 2=9(1+m 2)32，∵1+m 2≥1，∴S ≥9，即当m =0时，S =9，∴ΔABP 面积的最小值是9．题型五：外接圆问题例13.已知P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点，A 、B 是C 上的两个动点，且PA ⋅PB =-4．(1)试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；(2)设点M 是ΔPAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．【解析】解：(1)因为点P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点，故点P 的坐标为(0,-3)，根据题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +b ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故PA =(x 1,y 1+3),PB =(x 2,y 2+3)，因为PA ⋅PB =-4，则x 1x 2+(y 1+3)(y 2+3)=-4，因为A 、B 是C 上的两个动点，则有y 1=14x 12-3，y 2=14x 22-3，故x 1x 2+116x 1x 22=-4，整理可得x 12x 22+16x 1x 2+64=0，解得x 1x 2=-8，由y =kx +b y =14x 2-3，消去y 可得x 2-4kx -12-4b =0，则有x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-12-4b ，所以-12-4b =-8，解得b =-1，故直线AB 的方程为y =kx -1，所以直线经过一个定点(0,-1)．(2)线段PA 的中点坐标为x 12,x 128-3 ，又直线PA 的斜率为k PA =14x 12x 1=x 14，所以线段PA 的垂直平分线的方程为y -x 128+3=-4x 1x -x 12，①同理，线段PB 的垂直平分线的方程为y -x 228+3=-4x 2x -x 22，②由①②解得x =x 1+x 22,y =(x 1+x 2)28，设点M (x ,y )，则有x =x 1+x 22y =(x 1+x 2)28，消去x 1+x 2，得到x 2=12y ，所以点M 的轨迹方程为x 2=12y ．例14.已知点P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且PA ⋅PB =-4．(1)判断点D (0,-1)是否在直线AB 上？说明理由；(2)设点M 是ΔPAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．【解析】解：(1)由抛物线的方程可得顶点P (0,-3)，由题意可得直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立直线与抛物线的方程：y =kx +b y =14x 2-3，整理可得：x 2-4kx -4(b +3)=0，△=16k 2+16(3+b )>0，即k 2+3+b >0，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4(b +3)，y 1y 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=-4k 2(b +3)+4k 2b +b 2=b 2-12k 2，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b =4k 2+2b ，因为PA ⋅PB =(x 1，y 1+3)(x 2，y 2+3)=x 1x 2+y 1y 2+3(y 1+y 2)+9=-4(b +3)+b 2-12k 2+3(4k 2+2b )+9=b 2+2b -3，而PA ⋅PB =-4，所以b 2+2b -3=-4，解得b =-1，m 满足判别式大于0，即直线方程为y =kx -1，所以恒过(0,-1)可得点D (0,-1)在直线AB 上．(2)因为点M是ΔPAB的外接圆的圆心，所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点，设线段PA的中点为F，线段PB的中点为E，因为P(0,-3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以Fx12，y1-32，E x22，y2-32，k PA=y1+3x1，k PB=y2+3x2，所以线段PA的中垂线的方程为：y-y1-32=-x1y1+3x-x12，因为A在抛物线上，所以y1+3=14x12，PA的中垂线的方程为：y-x128+3=-4x1x-x12，即y=-4x1x+x128-1，同理可得线段PB的中垂线的方程为：y=-4x2x+x228-1，联立两个方程y=-4x1x+x128-1y=-4x2x+x228-1，解得x=-x1x2(x1+x2)32y M=x12+x22+x1x2-88，由(1)可得x1+x2=4k，x1x2=-4(b+3)=-8，所以x M=--8×4k32=k，y M=x12+x22+2x1x28=(x1+x2)28=2k2，即点M(k,2k2)，所以x2M=12y M，即点M的轨迹方程为：x2=12y．题型六：最值问题例15.如图，已知P(-2,t)是直线x=-2上的动点，过点P作抛物线y2=4x的两条切线，切点分别为A，B，与y轴分别交于C，D．(1)求证：直线AB过定点，并求出该定点；(2)设直线AB与x轴相交于点Q，记A，B两点到直线PQ的距离分别为d1，d2；求当|AB|d1+d2取最大值时ΔPCD的面积．【解析】解：(1)证明：设过点P与抛物线相切的直线方程为：x+2=m(y-t)，由x+2=m(y-t)y2=4x⇒y2-4my+4(mt+2)=0 ，因为相切，所以△=0⇒y1=y2=2m16m2=16(mt+2)⇒m2-tm-2=0 ，设m1，m2是该方程的两根，由韦达定理得：m1+m2=t m1m2=-2，m1，m2分别表示切线PA，PB斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点A(m21,2m1),B(m22,2m2)⇒k AB=2(m1-m2)m21-m22=2m1+m2所以直线AB为：y=2m1+m2(x-m21)+2m1⇒y=2m1+m2x+2m1m2m1+m2，直线AB方程为：y=2t(x-2)，所以AB过定点(2,0)．(2)方法一由(1)知|AB|=(m21-m22)2+4(m1-m2)2=|m1-m2|(m1+m2)2+4，由(1)知点Q坐标为(2,0)，P(-2,t)，所以直线PQ方程为：y=-t4(x-2)，即：tx+4y-2t=0⇒d1+d2=|tm21+8m1-2t|t2+16+|tm22+8m2-2t|t2+16，A，B分居直线两侧⇒d1+d2=|t(m21-m22)+8(m1-m2)|t2+16=|m1-m2||t(m1+m2)+8|t2+16，⇒|AB|d1+d2=(m1+m2)2+4t2+16|t(m1+m2)+8|=t2+4t2+16 t2+8=(t2+16)(t2+4)(t2+8)2=1+4t2t4+16t2+64，∴|AB|d1+d2=1+4t2+64t2+16≤1+432=342，∴当且仅当t2=8，又由x+2=m(y-t)，令x=0得：C0,2m1+t,D0,2m2+t⇒SΔPCD=12×2×2m1-2m2，⇒SΔPCD=2m1-m2m1m2=|m1-m2|=(m1+m2)2-4m1m2=t2+8=4；方法二：因为|AB|d1+d2=|AB|⋅|PQ|(d1+d2)|PQ|=|AB|⋅d P-AB⋅|PQ|2SΔPAB⋅d P-AB=2SΔPAB⋅|PQ|2SΔPAB⋅d P-AB=|PQ|d P-AB，由(1)知点Q坐标为(2,0)，P(-2,t)⇒|PQ|=t2+16，又由(1)知直线AB方程为：2x-ty-4=0⇒d P-AB=|-4-t2-4|t2+4=t2+8t2+4，|AB|d1+d2=|PQ|d P-AB=t2+16⋅t2+4t2+8=(t2+16)(t2+4)(t2+8)2=1+4t2t2+16t2+64，∴|AB|d1+d2=1+4t2+64t2+16≤1+432=342当且仅当t2=8取到等号，又由x+2=m(y-t)，令x=0得：C0,2m1+t,D0,2m2+t⇒SΔPCD=12×2×2m1-2m2，⇒SΔPCD=2m1-m2m1m2=|m1-m2|=(m1+m2)2-4m1m2=t2+8=4．题型七：角度相等问题例16.如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．(1)求ΔAPB的重心G的轨迹方程；(2)证明∠PFA=∠PFB．【解析】解：(1)设切点A、B坐标分别为(x0，x20)和(x1，x21)、(x1≠x0)，∴切线AP的斜率为2x0，用点斜式求得它的方程为：2x0x-y-x20=0；同理求得切线BP的方程为：2x1x-y-x21=0．解得P点的坐标为：x P=x0+x12，y P=x0x1．所以ΔAPB的重心G的坐标为，y G=y0+y1+y P3=x20+x21+x0x13=(x0+x1)2-x0x13=4x P2-y p3，所以y p=-3y G+4x2G．由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-(-3y+4x2)-2=0，即y=13(4x2-x+2)．(2)方法1：因为FA =x 0，x 20-14 ，FP =x 0+x 12，x 0x 1-14 ，FB =x 1，x 21-14 ．由于P 点在抛物线外，则|FP |≠0．∴cos ∠AFP =FP ⋅FA |FP ||FA |=x 0+x 12⋅x 0+x 0x 1-14 x 02-14 |FP |x 02+x 02-14 2=x 0x 1+14|FP |，同理有cos ∠BFP =FP ⋅FB |FP ||FB |=x 0+x 12⋅x 1+x 0x 1-14 x 12-14 |FP |x 12+x 12-142=x 0x 1+14|FP |，∴∠AFP =∠PFB ．方法2：①当x 1x 0=0时，由于x 1≠x 0，不妨设x 0=0，则y 0=0，所以P 点坐标为x 12，0 ，则P 点到直线AF 的距离为：d 1=|x 1|2．而直线BF 的方程：y -14=x 21-14x 1x ，即x 21-14 x -x 1y +14x 1=0-0．所以P 点到直线BF 的距离为：d 2=x 21-14 x 12+x 14 x 21-142+(x 1)2=x 21+14 |x 1|2x 21+14=|x 1|2所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB ．②当x 1x 0≠0时，直线AF 的方程：y -14=x 20-14x 0-0(x -0)，即x 20-14 x -x 0y +14x 0=0，直线BF 的方程：y -14=x 21-14x 1-0(x -0)，即x 21-14 x -x 1y +14x 1=0，所以P 点到直线AF 的距离为：d 1=x 20-14 x 0+x 12 -x 02x 1+14x 0 x 20-142+x 02=x 0-x 12 x 02+14 x 02+14=|x 1-x 0|2，同理可得到P 点到直线BF 的距离d 2=|x 1-x 0|2，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB ．例17.已知F ，F 分别是椭圆C 1:17x 2+16y 2=17的上、下焦点，直线l 1过点F 且垂直于椭圆长轴，动直线l 2垂直l 1于点G ，线段GF 的垂直平分线交l 2于点H ，点H 的轨迹为C 2．(Ⅰ)求轨迹C 2的方程；(Ⅱ)若动点P 在直线l :x -y -2=0上运动，且过点P 作轨迹C 2的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想∠PFA 与∠PFB 的大小关系，并证明你的结论的正确性．【解析】解：(Ⅰ)∵17x 2+16y 2=17，∴y 21716+x 2=1∴椭圆半焦距长为14，F ′0,-14 ，F 0,14，∵|HG |=|HF |∴动点H 到定直线l :y =-14与定点F 0,14 的距离相等∴动点H 的轨迹是以定直线l ；y =-14为准线，定点F 0,14为焦点的抛物线∴轨迹C 2的方程是x 2=y ；(Ⅱ)猜想∠PFA =∠PFB证明如下：由(Ⅰ)可设A (x 1,x 12)，B (x 2,x 22)(x 1≠x 2)∴切线AP 的方程为：2x 1x -y -x 12=0，切线BP 的方程为：2x 2x -y -x 22=0联立方程组可解得P 的坐标为x P =x 1+x 22，y P =x 1x 2∵P 在抛物线外，∴|FP |≠0∵FA =x 1,x 12-14 ，FP =x 1+x 22，x 1x 2-14 ，FB =x 2,x 22-14∴cos ∠AFP =FP ⋅FA |FP ||FA |=x 1x 2+14|FP |同理cos ∠BFP =FP ⋅FB |FP ||FB |=x 1x 2+14|FP |∴cos ∠AFP =cos ∠BFP∴∠PFA =∠PFB ．。
阿基米德三角形及其性质
1
1
2
2
3
3
易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
抛物线的阿基米德焦点三角形问题及其应用
2019年10月高中*项目基金:本文系福建省科学教育“十三五”规划2018年度立项课题《提升学生核心素养的高中数学校本课程开发研究》(课题立项批准号:FJJKXB18-243)的阶段研究成果之一。
抛物线的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.特别地，抛物线过焦点的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的特殊三角形称为阿基米德焦点三角形.有关抛物线的阿基米德焦点三角形问题在近几年高考等试卷中时有出现.了解涉及抛物线的阿基米德焦点三角形的一些基本性质，对于解决相应问题很有帮助，其可以更加快捷地处理相应问题，也能有效地拓展知识面.一、结论展示抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 就是阿基米德焦点三角形.该阿基米德焦点三角形有以下几个基本性质：（1）点P 必在抛物线C 的准线上；（2）△PAB 是以P 为直角的直角三角形（即PA ⊥PB ）；（3）PF ⊥AB.根据抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质，可以用其破解很多与之相关的抛物线问题，从而使问题的求解变得简单快捷，易于操作.二、应用问题1.三角形形状的判定例1已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 的形状为（）.A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .随点P 位置变化前三种情况都有可能分析:常规方法是设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l 1，l 2的方程，进而求解交点P 的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.此过程比较烦琐，解答起来比较费时，而结合阿基米德焦点三角形的基本性质，基本可以达到“秒杀”的效果.解:结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知△PAB 是以P 为直角的直角三角形.故答案为B .点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定对应的三角形的形状,不但处理起来比较简单,而且效果良好.2.直线位置关系的判定例2已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则直线PF 与弦AB 所在的直线的位置关系为（）.A .相交但不垂直B .相交且垂直C .平行D .相交但是否垂直随点P 位置变化而改变分析:常规方法也是设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l 1，l 2的方程，进而求解交点P 的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.若直接利用阿基米德焦点三角形的基本性质，则更为简单快捷.解:结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知PF ⊥AB.故答案为B .点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定两直线的位置关系,可以很好地确定其相应的垂直关系,避免了繁杂的运算过程,节约时间,提高效益.3.线段长度的求解例3已知F 为抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点，过点F抛物线的阿基米德焦点三角形问题及其应用*◉福建省石狮市石光中学林建森教学参谋解法探究272019年10月高中的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，设|AB|=q ，则|PF|的值为______.（结果用含q 的代数式表示）分析:设出|AF|=m ，|BF|=n ，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得到|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，进而由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p的变形与转化来确定|PF|的值.解:设|AF|=m ，|BF|=n ，则有|AB|=m+n=q ，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p ，可得m+n mn =2p ，则有q|PF|2=2p ，则有|PF|=2pq√2.故填答案为2pq√2.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,以确定相应的三角形的形状,结合直角三角形的射影定理加以转化与应用,从而提升效率,拓展思维.4.三角形面积的破解例4已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 的面积的最小值是______.分析:设出弦AB 所在直线的倾斜角θ，结合抛物线的极径公式得到|AF|与|BF|的三角表达式，再利用阿基米德焦点三角形的性质来确定|PF|的三角表达式，通过三角形的面积公式来进行转化，结合三角函数的图像与性质来确定最值即可.解:设直线AB 的倾斜角为θ，不失一般性，根据抛物线的对称性，不妨设θ∈0，π2[)，由抛物线的极径公式可得|AF|=p 1-sin θ，|BF|=p 1-sin （π+θ）=p1+sin θ，可得|AB|=|AF|+|BF|=p 1-sin θ+p 1+sin θ=2pcos 2θ.由阿基米德焦点三角形的性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=p 1-sin θ·p 1+sin θ=p 2cos 2θ，即|PF|=p cos θ，那么S △PAB =12|AB||PF|=p 2cos 3θ≥p 2，当且仅当cos θ=1，即θ=0时，△PAB 的面积取得最小值为p 2.故填答案为p 2.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,结合抛物线的极径公式及直角三角形的射影定理,有效转化三角形的面积关系式,进而转化为有关的三角函数问题,结合三角函数的图像与性质即可有效破解.5.最值问题的应用例5（2019届四川省成都市高三模拟·16）已知F 为抛物线C ：x 2=4y 的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则|PF|+32|AB|的最小值为______.分析:设出|AF|=m ，|BF|=n ，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得以|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p的变形与转化得到m+n=mn ，结合条件通过均值不等式的应用，利用配凑法来确定|PF|+32|AB|的最小值.解:设|AF|=m ，|BF|=n ，则有|AB|=m+n ，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p ，可得1m +1n=1，变形可得m+n=mn ，即|AB|=|PF|2=mn ，结合均值不等式，可得|PF |+32|AB |=mn √+32mn =mn√2+mn√2+32mn≥3mn √2×mn√2×32mn 3√=6，当且仅当mn√2=32mn，即mn=16时取等号，所以|PF|+32|AB|的最小值为6.故填答案为6.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,结合抛物线的焦点弦性质及均值不等式,能很好地达到转化与应用,进而为求解复杂关系式的最值问题奠定基础,有效拓展思维,提高素养.在破解一些相关问题时，如果能够巧妙地借助抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来处理，特别在解答一些选择题或填空题时，不失为一种很好的方法.灵活借助抛物线的阿基米德焦点三角形相关的基本性质，可以很好地处理问题，从而有效提升学习的宽度与深度，提高数学效益，培养数学素质，提升思维品质.F教学参谋解法探究28。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线；【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y yx p'=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122pk y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=−−┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b −−=且 0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知：22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则2221(1)()a m y y =+−，所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =−，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=−，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。
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解析几何——阿基米德三角形知识点：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。
因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3预备知识：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=阿基米德三角形有一些有趣的性质：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+，联立方程组得1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点Q (122y y p ，122y y +)，进而可知QM ∥x 轴.性质2：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行．证明：由性质1知Q (122y y p ，122y y +)，M 1212(,22x x y y ++，易得P 点坐标为21212()(,82y y y y p ++，此点显然在抛物线上；过P 的切线的斜率为121222p p y y y y =++=ABk ，结论得证．性质3如图，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB 、△TBI 、△SAI ；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI 与抛物线所围面积为1S ，AI 与抛物线所围面积为2S ，AB 与抛物线所围面积为S ，则123322ABI QAB QST S S S S S =--- =12333222QST S S S S --- =123()2QST S S S S --- =32ABI QST S S - ，∴ABI S = 2QST S ．性质4：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线证明：设Q (x ，y )，由性质1，x =122y y p ，y =122y y +，∴122y y px=由A 、B 、C 三点共线知10122221210222y y y y y y y x p p p--=--，即21121020y y y y x y x +--2102y py =-，将y =122y y +，122y y px =代入得00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程.性质5：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．利用两式相减法易求得以C 点为中点的弦的斜率为0p y ，因此该弦与Q 点的轨迹即直线l 平行．性质6若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l 方程为0ax by c ++=，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 过点C 00(,)x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点C （c a ，bp a-）.性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q 在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p ．证明（2）：若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点轨迹方程为2p x =-即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA ⊥QB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点；∴|QM |=122x x ++2p =22124y y p++2p ≥122||4y y p +2p =224p p +2p =p ，而121||()2QAB S QM y y =- ≥12||||QM y y ⋅≥2p性质8底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．证明：|AB |=a ，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知1212||22x x y y d QM p +≤=-221212244y y y y p p +=-=212()4y y p-，设直线AB 方程为：x my n =+，则2221(1)()a m y y =+-∴221()y y -≤2a ，∴d ≤24a p ，即S =12ad ≤38a p.性质9在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB ．证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接QA '、QB '、QF 、AF 、BF ，则1'FA y k p=-，显然'1FA QA k k ⋅=-，∴FA '⊥QA ，又∵|AA '|=|AF |，由三角形全等可得∠QAA '=∠QAF ，∴△QAA '≅△QAF ，∴|QA '|=|QF |，∠QA 'A =∠QFA ，同理可证|QB '|=|QF |，∠QB 'B =∠QFB ，∴|QA '|=|QB '|，即∠QA 'B '=∠QB 'A '∴∠QA 'A =∠QA 'B '+900=∠QB 'A '+900=∠QB 'B ,∴∠QFA =∠QFB ，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB 过焦点F ，则QF ⊥AB.性质10|AF |·|BF |=|QF |2．证明：|AF |·|BF |=12(()22p p x x +⋅+=21212()24p p x x x x +++=212(2y y p +22124y y ++24p ，而|QF |2=221212()()222y y y y p p +-+=212()2y y p +22124y y ++24p =|AF |性质11在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST 的垂心在准线上．证明：设211(2,2)A pt pt 、222(2,2)B pt pt 、233(2,2)I pt pt ，易求得过B 、I 的切线交点T 2323(2,())pt t p t t +，过T 向QA 引垂线，其方程为1231232()4t x y p t t pt t t +=++，它和抛物线准线的交点纵坐标123123()4y p t t t pt t t =+++，显然这个纵坐标是关于123,,t t t 对称的，因此从S 点向QB 引垂线，从Q 点向ST 引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．例1：（2019年台州高三期末21）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.由121,,x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=.因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.即(1,1)A .同理可得(1,1)B -.所以AB ：1x =.（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.由11002,,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=.因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.所以0120y k k x +=，12014k k x =.则12k k -==.又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-，所以1211||=k k -1212=k k k k-4,⎡∈⎣.P A B Oxy例2：已知点H (0,-8),点P 在x 轴上,动点F 满足PF ⊥PH ,且PF 与y 轴交于点Q ,Q 是线段PF 的中点.(1)求动点F 的轨迹E 的方程;(2)点D 是直线l :x-y-2=0上任意一点,过点D 作E 的两条切线,切点分别为A ,B ,证明:直线AB 过定点.解:(1)设F (x ,y ),y ≠0,P (m ,0),Q (0,n ),则 =(-m ,-8), =(-m ,n ),∵PF ⊥PH ,∴m 2-8n=0,即m 2=8n ,=0, ,∴ =− , = 2,代入m 2=8n ,得x 2=4y (y ≠0).故轨迹E 的方程为x 2=4y (y ≠0).(2)证明:设D (x 0,x 0-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵直线DA 与抛物线相切,且y'= 2,∴k DA = 12,∴直线DA 的方程为y= 12x-y 1,∵点D 在DA 上,∴x 0-2= 12x 0-y 1,化简得x 0x 1-2y 1-2x 0+4=0.同理,可得B 点的坐标满足x 0x 2-2y 2-2x 0+4=0.故直线AB 的方程为x 0x-2y-2x 0+4=0,即x 0(x-2)-2(y-2)=0,∴直线AB 过定点(2,2).练习1.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM 与BM 相交于点M，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D、E，求△QDE 的面积S 的最小值．练习2．如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且()2,0AF = ，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．（1）求抛物线τ的方程；（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．欢迎扫码关注公众号“数学HOME”，获取本文（包括练习详解）及更多资料的WORD版。