轴的扭矩图
扭转及扭矩图
(rad/m)
或
T 180 [ ] m ax GI max P
(°/m)
例、(同上例)d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m， G=80GPa，[ ]=0.5°/m，(1)试校核轴的刚度；(2)计算 相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。
解：① 刚度计算
9kN.m 3kN.m B
T2
1m
C
1m
D
9kN.m 3kN.m
3kN.m
T3
ΣMx=0：-T2+9-3=0
CD段： T2=6kN.m
6kN.m + x 3kN.m
ΣMx=0：-T3-3=0
T3=-3kN.m
四、薄壁圆筒扭转实验时的切应力与切应变
m t 2π r 2 t
rF g L
切应力互等定理
T l 180 AD AD F ＝ 0 . 635 AD G I P
计 算 变 形 时 ︐ 扭 矩 应 取 代 数 值 ︒
T
轴两端截面之间的相对扭转角为：
F ＝ F ＋ F ＋ F ＝ 0 . 805 BD BC CA AD
在相互垂直的两个平面上，剪应力成对存在且数值相等， 且都垂直于这两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离该 交线。
t Gg 剪切虎克定律 G－切变模量（剪切弹性模量） E 对各向同性材料： G 2(1 )
五、圆轴扭转时的应力
等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力：
MA=15.9kN.m ， MD＝6.37kN.m 。
(1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。
扭矩和扭矩图
解: (1)计算外力偶矩 由公式
Pk/n
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
例 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min. 试画出传动轴的扭矩图。
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m
NA mA 9550 3.82 kN m n
mB 0.96kN m mC 1.27 kN m
mD 1.59kN m
M n1 0.96 kN m
M n 2 2.87 kN m
M n3 1.59 kN m
二、扭矩图
扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂 直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线。
第一节 扭矩和扭矩图
1.内力——扭矩
T = Me
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
一、圆轴扭转时的 内力——扭矩
截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离 开截面，扭矩为正，反之为负。
注意：“正”“负”不是计算出 来的
例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3 将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭 矩。
解：
例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW， 转速n=300r/min，计算扭矩。
概述传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图薄壁
*
扭转
3 扭矩的正负号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
Me
Me
Me
T
x
*
扭转 4 扭矩图：表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。例前轴的扭矩图如下： x T
A
C
E
40Nm
T
D 0.0226m， 取D=23mm。
x
代入数值得：
(＋)
*
扭转 右端面转角为：
扭转
[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368 kW， 输出功率分别 P2 = 148kW及 P3 = 220kW，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa， =1º/m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？
n
A B C D
Me2 Me3 Me1 Me4
4.78
6.37
–
–
*
§3–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
（r0：为平均半径）
一、实验：
加载前：
绘纵向线，圆周线。 施加一对外力偶 Me。
一、传动轴的外力偶矩
扭转
传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
已知某传动轴的传递功率为Ｐ(kW），转速为ｎ（rpm),
求该轴上作用的外力偶矩Me。作用在轴上的外力偶矩Me在每秒钟内完成的功应等于给轴输入的功：
3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
工程力学--第八章_圆轴的扭转
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
扭矩图(精)
在AD段内将轴沿3-3截面切开，任取右段为研究对象， 截开面上扭矩T3仍设为正，由平衡方程
M x 0
M D T3 0
得
T3 MD 446N m
同理，在CA段内将轴沿2-2截面切开，任取左段研究，
其上扭矩T2仍设为正，由平衡方程
M x 0
T2 MC MB 0
段内，其值为Tmax=700Nm。
结论：任一截面上的扭矩等于截面一侧（左或右）所有
扭转外力偶矩的代数和，当外力偶转向与所求截面扭矩正
向相反时，外力偶矩取正；反之取负，即
解: (1)计算外力偶矩
由公式
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
谢谢观看，再！
T2 MC MB 700N m
在AD段内将轴沿3-3截面切开，任取右段为研究对象，
截开面上扭矩T3仍设为正，由平衡方程
M x 0
M D T3 0
得
T3 MD 446N m
结果为正，表明的方向与假设的方向相同，既为正扭矩。
（3）作扭矩图 由扭矩图可知，轴最大扭矩发生在AC
MD
9549
PD n
9549
14 300
Nm
446N m
（2）用截面法求各段内力 在BC段内，将轴沿截面1-1
分成两段，并任取左段研究，将扭矩T1设为正，由平衡方
程
M x 0
T1 M B 0
T1 M B 350N m
T1为BC段内各截面上的扭矩值，结果中负号表示的实 际方向与图中所设的方向相反，按右手螺旋法则，为负扭 矩。
绘制扭矩图
为表示扭矩沿轴线的变化情况，可绘制扭矩图。作图时， 横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩。
§7-1 圆轴扭转的力学模型 §7-2 扭矩和扭矩图
穿插在讲解例题当中讲解
四、扭矩图：
[导入]：为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律，以便分析最大扭矩（Tmax）所在截面的位置，常用横坐标表示轴各截面位置，纵坐标表示相应横截面上的扭矩。
[练习]：书本习题113页9
【小结】
本节重点讲了扭转的概念，外力偶矩的计算方法，扭矩的相关知识及怎么样画扭矩图。
【作业】
书本习题112页6
教学参考及教具（含电教设备）：工程力学教学参考书，绘图工具
授课执行情况及分析：
板书设计或授课提纲
§7-1圆轴扭转的力学模型§7-2扭矩和扭矩图
一、扭转的概念
二、外力偶矩的计算
三、扭矩
四、扭矩图
【复习提问】
前面我们讲过杆件的几种变形形式？都从几个方面入手来学习？
【引入新课】
今天我们再来学习第三种变形形式扭转。
归纳方法：
假设某截面上的扭矩均为正号，则该街面上的扭矩等于截面一侧（左或右）轴上的所有外力偶矩的代数和。
计算扭矩时外力偶矩的正负号规定：使右手拇指与截面外法线方向一致，若外力偶矩的转向与其他四指的转向相同，则取负号，反之取正号。这样正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负扭矩。当外力偶矩的代数和为正时，截面上的扭矩为正，反之为负
【讲授新课】
一、扭转的概念
[讲解]：受力特点：
变形特点：
二、外力偶矩的计算
[讲解]：公式：M=9550P/n
注意：确定外力偶矩M转向时，凡输入功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向一致。凡输出功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向相反。
三、扭矩
[图解]：
[讲解]表示符号：
单位：
正负号的判定：
计江苏省技工院校
试作下列各轴的扭矩图
计 算 题( 第五章 )5.1 试作下列各轴的扭矩图。
5.1图5.2 图示传动轴，转速m in r 300=n ，A 轮为主动轮，输入功率kW 50=A P ，B 、C 、D 为从动轮，输出功率分别为kW 10=B P ，kW 20==D C P P 。
⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A 和轮C 的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题5.2图 题5.3图5.3 T 为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。
5.4 图示圆截面空心轴，外径mm 40=D ，内径mm 20=d ，扭矩m kN 1⋅=T ，试计算mm 15=ρ的A 点处的扭转切应力A τ以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题5.4图5.5 一直径为mm 90的圆截面轴，其转速为m in r 45，设横截面上的最大切应力为MPa 50，试求所传递的功率。
5.6 将直径mm 2=d ，长m 4=l 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量GPa 80=G ，求此时钢丝内的最大切应力m ax τ。
5.7 某钢轴直径mm 80=d ，扭矩m kN 4.2⋅=T ，材料的许用切应力[]MPa 45=τ，单位长度许用扭转角[]m )(5.0 =θ，切变模量GPa 80=G ，试校核此轴的强度和刚度。
5.8 阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm ，d2=70mm ，轴上装有三个皮带轮，如图所示。
已知由轮3输入的功率为N3=3kW ，轮1输出的功率为N1=13kW ，轴作匀速转动，转速n=200r/min ，材料的许用切应力[]MPa 60=τ，GPa 80=G ，许用扭转角[]m 2=θ＝。
试校核轴的强度和刚度。
题5.8图5.9 一钢轴受扭矩m kN 2.1⋅=T ，许用切应力[]MPa 50=τ，许用扭转角[]m 5.0 =θ，切变模量GPa 80=G ，试选择轴的直径。
5.10 桥式起重机题 5.10图所示。
若传动轴传递的力偶矩m kN M e ⋅=08.1，材料的许用切应力[]MPa 40=τ，GPa 80=G ，同时规定=][θ0.5°/m 。
3-2圆轴扭转时的内力和扭矩图
§3-2 圆轴扭转时的内力和扭矩图课时计划：讲授3学时教学目标：1.本节课以扭转变形为例，分析在外力作用下产生的内力。
2.使学生理解并掌握采用截面法计算扭矩的方法。
教材分析:1.重点为分析扭转变形受力和变形的特点；2.难点是利用截面法计算圆轴上的扭矩并绘制出扭矩图。
教学设计：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。
以扭转变形为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析轴上的扭矩，掌握扭矩的计算方法及正负号的规定，进而掌握扭矩图的绘制方法。
教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容是让学生理解圆轴扭转的概念以及外力偶矩的计算。
以扭转变形的圆轴为例分析其受力和变形的特点，全面理解圆轴扭转的概念。
一、圆轴扭转的概念构件受外力偶的作用，当外力偶作用面和构件的轴线垂直时，就发生扭转变形。
机械工程中常见的扭转构件，如图3-7a所示的汽车方向盘的转轴，图3-7b所示的汽车发动机与后轮轴之间的传动轴，图3-7c所示用于加工小孔径内螺纹的丝锥CD，图3-7d 所示的电动机转轴CD，这些构件都受到外力偶作用，外力偶的作用面都和轴线垂直，都发生扭转变形。
本书分析扭转承载能力的构件，其截面都是圆形的，这样的构件称为圆轴。
二、外力偶矩的计算机器的轮轴多数由电动机或内燃机等动力设备带动，轮轴把动力设备的功率传递给工作机械。
可查得这些设备的功率P和转速n，作用在轮轴上的外力偶矩为：nPM 9550式中：P ——圆轴传递的功率，（KW ）；n ——圆轴的转速，（r/min ）；M ——作用在轮轴上的外力偶矩，N ·m 。
第2学时 教学内容：本次课讲解扭转变形杆件的扭矩计算方法。
分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的扭矩，根据平衡条件建立扭矩与外力的关系。
从而求得扭矩的大小，并对扭矩的正负做出规定，进而求出扭矩的具体数值。
圆轴扭矩图绘制课件
式中, M--外力偶矩（N m）； P--功率 (kw) ; n--转速 (r/min)
5
三、扭矩与扭矩图
以图示圆轴扭转的力学模型为例, 用截面法分析其内力。
Mx(F)=0: T-M=0
Mm
M
T=M
A
B
T为截面的内力偶矩,
Mm
称为扭矩。同理, 也可取右 段求出截面扭矩。
A
T
Mx(F)=0: T'-M=0
32
d/D=
。则
WP
D 3
16
(1 4 )
0.2D3 (1 4 )
3.圆轴扭转的强度准则:
max
Tm a x WP
[ ]
14
应用举例
例3: 某汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成。轴外径D=90mm， 壁厚t=2.5mm，传递最大力矩M=1.5 kN ·m， [ ]=60MPa。 试: 1）校核轴的强度;2）若改用同材料实心轴，要求和原轴强 度相同，试设计其直径D1;3）比较实心轴和空心轴的重量。
T
9kN·m
2.画出传动轴的扭矩图
x
-6kN·m
8
应用举例 图示传动轴，A轮输入功率PA=50kW，B.C轮输出功率 PB=30kW，PC=20kW，轴的转速n=300r/min。1）画轴的 扭矩图，并求Tmax。 2）若将轮A置于B.C轮之间，哪种布置较合理？
MA
MB
MC
A
B
C
a)
T 1592kN·m 637kN·m
43mm
所以, 轴取公称直径d=45mm
20
环节八、课堂小结与任务布置
小结: 剪切与挤压强度计算； 扭矩的计算及扭矩图绘制； 扭转强度与刚度的计算。 任务: 课后练习题
扭矩和扭矩图
注意：“正”“负”不是计算 来的
例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3 将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭 矩。
解：
例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW， 转速n=300r/min，计算扭矩。
(2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段
轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有∑Mx=0 得：
T1+MB=0
T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0
T3=MD=446N.m
(3)画出扭矩图如 d)
第一节 扭矩和扭矩图
1.内力——扭矩
T = Me
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
一、圆轴扭转时的 内力——扭矩
截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离 开截面，扭矩为正，反之为负。
mA955 N nA03.8k2N m mB0.9k6N mmC1.27kNm
mD1.5k9N m
M n10.9k6N m
Mn22.8k7N m Mn31.5k9N m
二、扭矩图
扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂 直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线。
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
轴的扭矩图
6—6 轴的扭矩图·功率N 、转速n 和外力偶矩间的关系轴在受到垂直于其轴线的一对力偶矩作用时，轴将受到扭转。
(1)N ·n ·间的关系在工程实践中，作用于轴上的外力偶矩常常不是直接给出的。
经常给出的是轴所传递的功率和转速。
设通过轮子传递的功率为N 千瓦(kW)，轴的转速为每分钟n 转(r/min)，则作用此轮上的外另偶矩可如下求得(图6-15)：N 个kW 的功率相当于每分钟作功：它应等于作用于轮上的外力偶矩每分钟内所作的功：=n ×(N ·)由两者相等可得：当给出的功率N 是以马力(Ps)为单位时，因1PS=735.5N ·m ／秒,故外身偶矩的计算公式就是：此即作用手轴上的外力偶矩(N ·m)和轴所传递的功率N (kW 或PS )、轴 的转速n (r ／min )间的关系。
(2)扭矩图 知道了作用在轴上的诸外力偶矩，则轴内任一横截面上的扭矩，也可根据截面一边所有外力偶矩(或所有外力对轴线x 之矩)的代数和而求得，用式子表达即：式中是截面二边的任一广义力，它可代表力也可以代表力偶。
各项前的正、负号也是按变形方式来规定的，如图6-16所示，即以引起右旋扭转变形的扭矩为正，反之为负。
m m mm m m 2W m nM m i P例6-6 设有一传动轴如图6-17a 所示，其转速n=300r ／min ，轮1输入的功率=50kW ，轮2、轮3输出的功率分别为=20kW 和=30kW 。
试作该轴的扭矩图。
解：1)首先由公式(6-8)求出作用在各轮子上的外力偶矩：=9549·／n=9549·50／200=2387 N ·m同理，’=9549·20／200=955N ·=9549·30／200=1432 N ·m2)由公式(6-10)分段列出扭矩表达式：1N 2N 3N 1m 1N 2m m 3m3)由此可作出扭矩图，如图6-l7b 所示。
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6—6 轴的扭矩图·功率N 、转速n 和外力偶矩间的关系
轴在受到垂直于其轴线的一对力
偶矩作用时，轴将受到扭转。
(1)N ·n ·间的关系
在工程实践中，作用于轴上的外力偶矩常常不是直接给出的。
经常给出的是轴所传递的功率和转速。
设通过轮子传递的功率为N 千瓦(kW)，轴的转速为每分钟n 转(r/min)，则作用此轮上的外另偶矩可如下求得(图6-15)：
N 个kW 的功率相当于每分钟作功：
它应等于
作用于轮上的外力偶矩每分钟内所作的功：
=n ×
(N ·)
由两者相等可得：
当给出的功率N 是以马力(Ps)为单位时，因1PS=735.5N ·m ／秒,故外身偶
矩的
计算公式就是：
此即作用手轴上的外力偶矩(N ·m)和轴所传递的功率N (kW 或PS )、轴 的
转速n (r ／min )间的关系。
(2)扭矩图 知道了作用在轴上的诸外力偶矩，则轴内任一横截面上的扭矩，也可根据截面
一边所有外力偶矩(或所有外力对轴线x 之矩)的代数和而求得，
用式子表达即：
式中是截面二边的任一广义力，它可代表力也可以代表力偶。
各项前的正、负号也
是按变形方式来规定的，如图6-16所示，即以引起右旋扭转变形的扭矩为正，反之为负。
m m m
m m m 2
W m n
M m i P
例6-6 设有一传
动轴如图6-17a 所示，其转速n=300r ／min ，轮1输入的功
率=50kW ，轮2、轮3输出的功率分别为=20kW 和=30kW 。
试作该轴的扭矩图。
解：1)首先由公式(6-8)求出作用在各轮子上的外力偶矩：
=9549·／n
=9549·50／200
=2387 N ·m
同理，
’
=9549·20／200
=955N ·
=9549·30／200
=1432 N ·m
2)由公式(6-10)分段列出扭矩表达式：
1N 2N 3
N 1m 1N 2m m 3
m
3)由此可作出扭矩图，如图6-l7b 所示。
由图可见，轴内
的最大扭矩发生在
右段，其
值=1432
N ·。
对于等截面轴来说，若将主动轮放在轴的一端，则其扭矩图将如图6-18所示。
这时轴内的最大扭矩将
增至=2387N ·。
显然，这种布置是不合理的。
@@@@@@@@@@@@
大学里的机械设计书上就有，最小实心轴径公式：d=A*(p/n)^(1/3)，系数A 可以取97-149(根据所选轴的材料事业确定），P 为功率（单位Kw ），n 为转速（单位转/分）
举个例子：P=250Kw ，n=750rpm ，取A=100，则得d=69.336mm ，取整得d=70mm ，若上面有一个键槽则需增加5%，d=69.336*1.05=72.803mm ，取d=75，若为双键则需增加
1
max n M m max n M m
0%。
若是重要轴还要进行弯扭合成强度计算和刚度计算等等。
最好对照手册算一遍。