利用隐圆解决几何问题1

利用“隐圆”解决几何问题

光谷实验中学江芳

几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．

在一个平面内，线段OA绕它的一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。从画圆的过程可以看出：

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

根据圆的定义，在解决几何问题中，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，这里常常隐藏了一个圆，我们就可以以这个定点为圆心，以这个距离为半径作出这个隐藏的圆，从而帮助我们解决问题。因为这个圆没有画出，因此我们把它称为“隐圆”。笔者谈一谈利用“隐圆”解决几何中的一些常见的问题。

一．利用“隐圆”求几何的最值

几何中的最值近年广泛出现于中考中，成为中考的热点问题．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．极端位置法；

2．几何定理(公理)法；

3．“三角函数”法等．

例1.（武汉市2013年中考第16题）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________.

思路点拨：易证⊿ABE≌⊿DCF, ⊿ABG≌⊿CBG 则∠EBC=∠FCB=∠BAG=∠AEB,可证∠AHB=900，取AB的中点O,有OH=OA=OB,故H点在以AB为直径的圆O上，当H点在DO与圆O的交点时取得最小值 5 -1.

注：本题求最值是应用的极端位置法。D点是

定点，H点是动点，主要是找H点运动的极端

位置，直线DO与圆O的交点是H点的

极端位置。

例2.如图，△ABC 中，∠ABC=90°, AB=6，BC=8， O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF,OE,OF 分别 交射线AB,BC 于E 、F, 则EF 的最小值为_____. 思路点拨：取EF 的中点G ，连接OG 、BG 、BO ， ∵∠ABC=∠EOF=900则GO=GB=GE=GF,则B 、E 、 F 、O 在以G 为圆心，以EF 为直径的圆上，

∴EF=GB+GO ，E 、F 点分别在AB 、AC 上运动， 且满足∠EOF=900,当G 点在BO 上时，GB+GO 最小， 等于BO,即EF 的最小值是BO.而OB=1

2

AC=5，

因此EF 的最小值是5.

注：本题求最值是应用几何公理法，即应用“两点之间， 线段最短”的公理，来求EF 的最小值。

例3.如图，∠xOy=45°，一把直角三角形△ABC 的 两个顶点A,B 分别在Ox ，Oy 上移动，其中AB=10， 点O 到AB 的距离的最大值为（ ）

思路点拨：过A 、O 、B 三点作⊙O ’,过点O 、O ’分别

作AB 的垂线，垂足为点E 、F ，过O ’作O ’G ⊥OE,

连接OO ’,根据垂线段最短可知，O G ≤OO ’,

易证O ’F=GE,则OE=OG+GE ≤OO ’+O ’F,当G 点与O ’ 点重合时(此时E 点与F 点也重合)，OE 取得最大值， 连接O ’A, ∠AO ’E=450,AE=BE=o ’E=5,O ’A=OO ’=5 2 , ∴OE 的最大值是5+5 2

注：本题求最值是应用几何公理法，即应用“垂 线段最短”的公理，来求EO 的最大值。 2

二．利用隐圆求变量的取值范围

利用隐圆求变量的取值范围，实际上可转化为求最值，即求出变量的最大值和最小值，再进一步确定变量的取值范围。

例4. （武汉市2012中考题第16题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3.0），点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范

围是．

思路点拨：本题实际就是求m的最大值或最小值，

A点是定点，C点是动点,且AC=2,故C点在以A为圆心，2为半径的圆上，而点C是第一象限内一点，所以点C在

切点M处∠BOC最小，此时tan∠BOC=5

2，当点C

在G、F时，tan∠BOC为无穷大，∴m≥5 2

注：本题求最值是应用的极端位置法。本题C点的极端位

置是过O点做圆A的切线的切点为M、N,N点不符合题意。

例5. .如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0，-6），

C的坐标为（0，7），点P是坐标平面内一个动点，且PC=5，

线段PB与x轴交于点D,则△ABD面积的最大值是___.

注：本题求最值是应用的也极端位置法。本题P点的极端位

置是过B点做圆C的切线的切点为G、H，P的点在G点时，

△ABD面积的最大，P的点在H点时，△ABD面积的最小。

三．利用隐圆求弧长，角度

有些平面几何题,用常规方法求解难度很大,技巧性强,

且不易奏效.但若能针对题目的本质特征,恰当地画出

隐藏的圆,巧妙地运用圆的有关知识找到解题捷径,往

往可化难为易,化繁为简.

例6.如图，四边形ABCD中，∠ACD=∠ADB=90°，

∠ADC=25°, 则∠ABC=_______

思路点拨：以AB为直径作⊙E，则∠ABC=∠ADC=25°

注：本题关键是发现EA=EB=EC=ED,构造⊙E.

例7. （武汉市2013年中考第16题）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若∠CED=x0, ∠ECD=y0, ⊙B的半径为R，则弧DE的长度是

A. ∏(90-x)R

90

B.

∏(90-y)R

90

C. ∏(180-x)R

180

D.

∏(180-y)R

180

思路点拨: 由切线长定理可知：PC=PD=PE,

∴点C、D、E在⊙P上，则∠DPE=2∠ECD =2 y0, ∵∠BDP=∠BEP=900, ∴∠DBE=1800-2 y0,

A