树与生成树
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5_3树的概念和算法
第10页
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
第 7页
定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
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定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
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定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
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定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
吴裕雄--天生自然数据结构学习笔记：什么是生成树，生成树（生成森林）详解
吴裕雄--天⽣⾃然数据结构学习笔记：什么是⽣成树，⽣成树
（⽣成森林）详解
对连通图进⾏遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是⼀棵普通树，通常称为⽣成树。
如图1所⽰，图 1a) 是⼀张连通图，图 1b) 是其对应的2种⽣成树。
连通图中，由于任意两顶点之间可能含有多条通路，遍历连通图的⽅式有多种，往往⼀张连通图可能有多种不同的⽣成树与之对应。
连通图中的⽣成树必须满⾜以下2个条件：
包含连通图中所有的顶点；
任意两顶点之间有且仅有⼀条通路；
因此，连通图的⽣成树具有这样的特征，即⽣成树中边的数量 = 顶点数 - 1。
⽣成森林
⽣成树是对应连通图来说，⽽⽣成森林是对应⾮连通图来说的。
我们知道，⾮连通图可分解为多个连通分量，⽽每个连通分量⼜各⾃对应多个⽣成树（⾄少是1棵），因此与整个⾮连通图相对应的，是由多棵⽣成树组成的⽣成森林。
《离散数学》课件-第16章树
解：易见所求为该图的一棵最小生成树，如图所示 总造价为57
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
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16.3 根树及其应用
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定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
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16.1 树及其性质
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定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
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平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
生成树的名词解释
生成树的名词解释生成树（Spanning Tree）是图论中的一个重要概念，用来描述在一个无向连通图中连接所有顶点的极小连通子图。
在一个无向连通图中，如果能够找到一颗包含所有顶点且边数最少的子图，那么这个子图就是该图的生成树。
生成树的概念最早由Otto Schönflies于1885年提出，并且在图论研究和实际应用中得到了广泛的运用。
生成树在电网规划、通信网络设计、计算机网络以及城市交通规划等领域都有着重要的应用价值。
生成树的定义可以用简洁的方式表述：在一个无向连通图中，生成树是保留了原图的所有顶点，但只保留了足够的边来使得这个子图连通，并且不包含任何环的一种连通子图。
换句话说，生成树是一个无向连通图中的极小连通子图，它连接了所有的顶点，并且不存在回路。
生成树具有很多重要的性质和应用。
首先，生成树的边数比原图的顶点数少一个。
这是因为生成树是一个连通子图，而且不包含任何环。
因此，生成树中的边数等于原图的顶点数减去1。
这个性质经常用于生成树的构造和推导。
其次，生成树可以用于表示图中的最小连接网络。
在一个无向连通图中，如果存在多个连通子图，那么通过连接这些子图的最少的边，就可以得到一个生成树。
这个生成树可以看作是一个最小的连通网络，其中所有顶点都能够通过最短路径相互到达。
此外，生成树还可以用于网络设计和优化问题。
在电网规划、通信网络设计和计算机网络中，生成树常常被用于实现信息的传输和路由的优化。
通过构造合适的生成树，可以使得信息的传输路径更加简洁和高效。
生成树有多种构造算法，其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个任意选定的顶点开始，逐步构建生成树。
具体地，Prim算法每次选择与已有的生成树连接边权值最小的顶点，并将其加入生成树。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的顶点。
Kruskal算法是一种基于边的方法，它首先将图中的边按照权值从小到大排序，然后依次将边加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点为止。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
代数结构-树
384
(1，2，5，6) (8，3，4，3)
6
7
离散数学 中国地质大学 计算机学院
18
生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
384 7
(1，2，5，6，3) (8，3，4，3，8)
离散数学 中国地质大学 计算机学院
19
生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
w(e1)<=w(e1’)，从而w(T1)<=w(T*)。 依此进行，可以将ek加入到Tk-1中，将形成环，此环中必然然存在边ek’在T*中而不在T中，于是，删除ek’， 则得到生成树Tk。而显然，两边序列e1e2e3…ek 与 e1e2e3…ek’均不构成环，而按kruskal算法，必然有 w(ek)<=w(ek’)， 从而 w(Tk)<= w(Tk-1)<=w(T*) ……， 最后可以将em加入到Tm-1中，得到生成树Tm，且w(Tm)<=…<=w(Tk)<= w(Tk-1)<=… <=w(T1)<=w(T*)。 而此时， T所有边都加入到Tm中，即Tm=T。故w(T)<=w(T*) 因此，T为最小生成树。
(3，2，2，3，4，1)
S:(5，6，7，2，3，4)
5
1
32 6
4
8
7
因此，序列集合{t1,t2,…,tn}与Kn的生成树集合存在双射关系。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
29
2 生成树(Spanning Tree) 最小生成树(minimum spanning tree)
算法？ Kruskal算法
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
第二章 生成树
第二章树教学安排的说明章节题目：§2.1树的特性；§2.2割边与割点，§2.3生成树学时分配：共2课时本章教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题．课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.1树的特性；§2.2割边与割点；§2.3 生成树授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题． 教学重点、难点：（1） 理解树的概念以及树的等价命题；（2） 掌握割边与割点的概念；（3） 理解生成树的定义；（4） 掌握找生成树的两种方法——避圈法和破圈法。
教学内容：树是图论中的一个重要概念。
树是一种极为简单而又非常重要的特殊图，它在计算机科学以及其它许多领域都有广泛的应用。
在1847年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857年凯莱在计算有机化学中222n C H 的同分异构物数目时也用到了树的理论。
各类网络的主干网通常都是树的结构。
本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。
2.1 树的特性定义2.1.1 连通无圈的无向图称为无向树，简称为树（Undirected tree ）。
记作T ，树中的悬挂点（或称T 中度数为1的顶点）又称为树叶（leave ）（或叶顶点），其它顶点称为树枝（Branch Point 或内点(Inner Point)）。
诸连通分支均为树的图称为森林（forest ），树是森林。
例1 图1中（a ），（b ）为树，（c ）为森林。
图1由于树无环也无重边（否则它有圈）,因此树必定是简单图。
树还有等价命题：设T 是一个无向(,)n m 图，则以下关于T 的命题是等价的。
(1) T 是树；（2）T 无圈且1m n =-；(3) T 连通且1m n =-；（4）T 无圈，但增加任一新边，得到且仅得到一个圈。
离散数学-树
该n元有序树又称n元位置树。2元位置树各分支结点 的左右儿子分别称为左儿子和右儿子。
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
无向树及生成树
一、无向树及其性质
1、 无向树 定义 5-17:不包括回路的无向连通图称为无向树， 简称树,记为 T . （1）两棵以上的图称为森林。 （2）设 T 是树，则 T 的边称为树枝。 （3）树中度数为 1 的结点，称为树叶。 （4）树中度数大于等于 2 的结点称为分支点。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 1 设 v1 , v 2 是 T 的两个不同结点， 则连接 v1 , v 2 有 且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路。 性质 2 设 v1 , v 2 是 T 的两个结点， 如果 v1 , v 2 不邻接， 则在 T 中添加边 v1 , v 2 后所得的图有且仅有一条回 路，而且这条回路是初级回路。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 3 树中任意删除一条边后所得的图是不连通 的。 性质 4 设 T 是 (n, m) 树，则 m n 1。 性质 5 设树 T 的结点数为 n(n 2) ，则至少两片树 叶。
一、无向树及其性质
2、 树的性质
例 5-7：设树 T 中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余 都是 4 度结点，问: T 中有几个 4 度结点？ 例 5-8．设树 T 中有 1 个 3 度结点，2 个 2 度结点， 其余结点都是树叶，问 T 中有几片树叶？ 例 5-9 画出所有 6 个顶点非同构的无向树。
e1 , e2 ,, em ，它们带的权分别为 a1 , a2 ,, am ，不妨
设 a1 a2 am （1） 一开始取权最小的边 e1 ， 且 w(e1 ) a1 ， 取
e1 在 T 中。
三、求最小生成权的克鲁斯科尔算法
（ 2）若 e2 不与 e1 构成回路，将 e2 添加在 T 中，否 则放弃 e2 ，再查 e 3 ，继续这一过程，直到得到的子 图就是所求的一棵最小生成树 T 为止。
7-7 树与生成树
实例
例 设G为n（n≥5）阶简单图，证明 或G的补图中必含 为 （ ）阶简单图，证明G或 的补图中必含 圈。 设简单图G和其补图的边数分别为 和其补图的边数分别为m和 ， 证 设简单图 和其补图的边数分别为 和m’，则 m+m’= n(n-1)/2 根据鸽巢原理， 与其补图必有一个边数 与其补图必有一个边数≥ 根据鸽巢原理，G与其补图必有一个边数 n(n-1)/4 ， 不妨设G的边数 下面证G中必含有圈 中必含有圈。 不妨设 的边数m≥ n(n-1)/4 ，下面证 中必含有圈。 的边数 假设G中没有圈， 个连通分支， 假设 中没有圈，设G有w个连通分支，则每个连通分支 中没有圈 有 个连通分支 都是树， 分别为第i个连通分支 都是树，mi=ni-1，i=1,…,w，mi,ni分别为第 个连通分支 ， ， 的边数与阶数， 的边数与阶数，所以有
实例
下面两个正整数序列中， 例 下面两个正整数序列中，哪个能充当无向树的度 数序列？若能画出2棵非同构的无向树 棵非同构的无向树。 数序列？若能画出 棵非同构的无向树。 （1）1,1,1,1,2,3,3,4 ） （2）1,1,1,1,2,2,3,3 ） 解 （1）不可以，因为所有度数之和等于 ，而结点 ）不可以，因为所有度数之和等于16， 数为8，假设可以构成树，则度数之和应为14， 数为 ，假设可以构成树，则度数之和应为 ，所 以不可以。 以不可以。 （2）可以。 ）可以。
Go
(1)⇒(2)的证明 ⇒ 的证明
如果T是无回路的连通图， 中无回路且e=v− ， 如果 是无回路的连通图，则G中无回路且 −1，其 中无回路且 是边数， 中e是边数，v是结点数 是边数 是结点数 归纳法。 证明 归纳法。 当v=2时，因为 连通无回路， 连通无回路， 时 因为T连通无回路 所以只有e=1，故e=v-1成立。 ， 成立。 所以只有 成立 假设v=k-1时命题成立，当v=k时， 时命题成立， 假设 时命题成立 时 是无回路且连通， 的结点u， 因T是无回路且连通，则至少有一个度为 的结点 ， 是无回路且连通 则至少有一个度为1的结点 设与其关联的边为(u,w)，删去u，得到一个 个结点 ，删去 ，得到一个k-1个结点 设与其关联的边为 的连通无向图T’， 的连通无向图 ，
离散数学第十一章 树
前言
1956年Kruskal设计了求最优树的有效算法。
树是一类既简单而又非常重要的图，是计算机中一种基本的数据结构和
表示方法，在输电网络分析设计、有机化学、最短连接及渠道设计等领 域也都有广泛的应用。 本章将对树进行详细的讨论，主要包括树的基本性质和生成树，以及有 向树中的m叉树、有序树和搜索树等。
11.2 有向树及其应用
m叉树
定义11.8 在有向树T中，若任何结点的出度最多为m，则称T为m叉树； 如果每个分支结点的出度都等于m，则称T为完全m叉树；进一步，若T的 全部叶点位于同一层次，则称T为正则m叉树。
例11.7 在图11.5(a)是一棵二叉树，而且是正则二叉树；图11.5(b)是一棵完全二 叉树；图11.5(c)是一棵三叉树，而且是正则三叉树；图11.5(d)是一棵完全三叉树。
图11.6
11.2 有向树及其应用
定义11.10 设<D,W>是叶加权二叉树。如果对于一切叶加权二叉树
D ',W ' 只要对于任意正实数r，D和 D ' 中权等于r的叶的数目相同，就
有<D,W>的叶加权路径长度不大于 D ',W ' 的叶加权路径长度，则称 <D,W>为最优的。 这样，我们把求某问题的最佳算法就归结为求最优二叉树的问题。
i 1 n
n 2 1 3 x
T 的边数 m n 1 5 x
又由 2m d(vi ) 得 2(5 x) 2 2 3 1 4 3 x 所以 x 9，即树 T 有9片树叶。
i 1 n
11.1 树与生成树
树及其性质
推论11.2 阶大于2的树必有割点。
图11.5
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
树
已知连通图G ，求其生成树步骤。
生成树的性质
设 G V , E 为连通图， V n， E m， (1) G至少有一棵生成树， (2) m n 1， (3) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
则 T '中有 m n 1条边。 (4) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
又由(1) m n 1 ，代入上式，解得 k 2 ，
即 T 至少2片叶。
例题
画出所有的6个顶点的非同构的树。 解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此 6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五 种 度数序列：
(1) 1 1 1 1 1 5
T1
(2) 1 1 1 1 2 4
(3) 1 1 1 1 3 3
注意： (1) 生成树不唯一，
(2) 余树不一定是树。
(3)
(3)是(2)的余树。
生成树存在条件
定理：无向图G具有生成树当且仅当G是连通图 证明:
必要性 显然 充分性，如果G无回路,则G本身就是它的生成树,如G 有回路,则在回路上任取一条边并去掉后仍是连通的, 如G仍有回路,则继续在该回路上去掉一条边,直到图 中无回路为止,此时该图就是G的一棵生成树
树的性质
(1) 树中顶点数与边数的关系： n m 1 。
(2) 非平凡树至少2片树叶。
证明： 设 T V , E 为 n 阶非平凡树，
设 T 有 k 片树叶，则有 (n k) 个顶点度数大于等
n
于2， 由握手定理， 2m d (vi ) k 2(n k ) i 1
T2
(4) 1 1 1 2 2 3
T3
(5)1 1 2 2 2 2
生成树的性质
设 G V , E 为连通图， V n， E m， (1) G至少有一棵生成树， (2) m n 1， (3) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
则 T '中有 m n 1条边。 (4) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
又由(1) m n 1 ，代入上式，解得 k 2 ，
即 T 至少2片叶。
例题
画出所有的6个顶点的非同构的树。 解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此 6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五 种 度数序列：
(1) 1 1 1 1 1 5
T1
(2) 1 1 1 1 2 4
(3) 1 1 1 1 3 3
注意： (1) 生成树不唯一，
(2) 余树不一定是树。
(3)
(3)是(2)的余树。
生成树存在条件
定理：无向图G具有生成树当且仅当G是连通图 证明:
必要性 显然 充分性，如果G无回路,则G本身就是它的生成树,如G 有回路,则在回路上任取一条边并去掉后仍是连通的, 如G仍有回路,则继续在该回路上去掉一条边,直到图 中无回路为止,此时该图就是G的一棵生成树
树的性质
(1) 树中顶点数与边数的关系： n m 1 。
(2) 非平凡树至少2片树叶。
证明： 设 T V , E 为 n 阶非平凡树，
设 T 有 k 片树叶，则有 (n k) 个顶点度数大于等
n
于2， 由握手定理， 2m d (vi ) k 2(n k ) i 1
T2
(4) 1 1 1 2 2 3
T3
(5)1 1 2 2 2 2
树与生成树
定理1 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点, 则(m-1)i=t -1 . 证明:T的所有结点的出度总和为 mi. 入度总和(i-1)+t. 故 mi=i-1+t 所以(m-1)i=t-1
七. m叉有序树转化成二叉树 因为二叉树便于存贮, 也便于处理, 所以通常可以将多叉 树化成二叉树.方法是: 1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其分支. 被剪掉 的结点如下处理(重新嫁接). 2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出(被剪掉的结 点 嫁接到它的哥哥结点上).
先将权按照升序排序设为w为儿子结点构造它们的父结点且其权为再与其余权一起排序再从此队列中取出前面两个权值为儿子结点同的方法构造它们的父结点
8-9 树与生成树
树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概念之一, 它有 着广泛的应用.在计算机科学中有如判定树、语法树、分 类树、搜索树、目录树等等. 一.树 (Tree) (a) 1.树的定义:一个连通无回路的 无向图T,称之为树. 如(a) 2.叶结点:度数为1的结点, 称为叶结点. (b) 3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. 4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑷⑸:关于点数用归纳法证明。 当n=1或2时，T是平凡图或K2，显然有m=n-1。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成立。 当n=k+1时。取T的一条边e，由⑷，e是割边， 所以T-e有两个分支T1和T2， 因为|V(T1)|k, |V(T2)|k, 所以，由归纳假设，有 |E(T1)|=|V(T1)|-1， |E(T2)|=|V(T2)|-1 故m=|E(T1)|+|E(T2)|+1 =|V(T1)|-1+ |V(T2)|-1+1 =n-1。
无向树和生成树
❖ (6)G是连通的且G中每条边都是桥; ❖ (7)G是连通的,但删除任何一条边后,
就不连通了. ❖ 其中n为G中顶点数,m为边数.
5
定理2
❖ 设T＝<V,E>是n阶非平凡的树,则T 中至少有2片树叶.
6
证明 因为T是非平凡树,所以T中每个顶点的度 数都大于等于1,设有k片树叶,则有(n-k)个顶点 度数大于等于2,由握手定理可知
15
例1 图G中,实线边所构成的子图是 G的一棵生成树T,求T对应的基本 回路和基本回路系统,基本割集和 基本割集系统.
16
解: G中顶点数n=6,边数m=9,基本回 路个数为m-n+1=4,即T有4条弦f,g,h,i. 对应的基本回路: Cf=facd; Cg=gba; Ch=hdcb; Ci=ied. 基本回路系统为{Cf,Cg,Ch,Ci}
19
Kruskal算法
设n阶无向连通带权图G=<V,E,W> 中有m条边e1,e2···,em,它们带 的权分别为a1,a2,…am,不妨设 a1≤a2≤…≤am.
20
(1)取e1在T中(e1非环,若e2为环,则弃e1); (2)若e2不与e1构成回路,取e2在T中,否则
弃e2,再查e3,继续这一过程,直到形成 生成树T为止.用以上算法生成的T是 最小生成树.
在图2中,实边所示的子图是图G的 一棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦c, 产生G的一个初级回路cef.这3个 回路中每一个回路都只含一条弦, 其余的边都是树枝,这样的回路称 为基本回路.
17
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
就不连通了. ❖ 其中n为G中顶点数,m为边数.
5
定理2
❖ 设T＝<V,E>是n阶非平凡的树,则T 中至少有2片树叶.
6
证明 因为T是非平凡树,所以T中每个顶点的度 数都大于等于1,设有k片树叶,则有(n-k)个顶点 度数大于等于2,由握手定理可知
15
例1 图G中,实线边所构成的子图是 G的一棵生成树T,求T对应的基本 回路和基本回路系统,基本割集和 基本割集系统.
16
解: G中顶点数n=6,边数m=9,基本回 路个数为m-n+1=4,即T有4条弦f,g,h,i. 对应的基本回路: Cf=facd; Cg=gba; Ch=hdcb; Ci=ied. 基本回路系统为{Cf,Cg,Ch,Ci}
19
Kruskal算法
设n阶无向连通带权图G=<V,E,W> 中有m条边e1,e2···,em,它们带 的权分别为a1,a2,…am,不妨设 a1≤a2≤…≤am.
20
(1)取e1在T中(e1非环,若e2为环,则弃e1); (2)若e2不与e1构成回路,取e2在T中,否则
弃e2,再查e3,继续这一过程,直到形成 生成树T为止.用以上算法生成的T是 最小生成树.
在图2中,实边所示的子图是图G的 一棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦c, 产生G的一个初级回路cef.这3个 回路中每一个回路都只含一条弦, 其余的边都是树枝,这样的回路称 为基本回路.
17
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
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8-9 树与生成树
树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概念之一, 它有 着广泛的应用.在计算机科学中有如判定树、语法树、分 类树、搜索树、目录树等等. 一.树 (Tree) (a) 1.树的定义:一个连通无回路的 无向图T,称之为树. 如(a) 2.叶结点:度数为1的结点, 称为叶结点. (b) 3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. 4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
三.赋权图的最小生成树 1.定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的 权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树. 最小生成树很有实际应用价值.例如结点是城市名,边的权 表示两个城市间的距离, 从一个城市出发走遍各个城市, 如何选择最优的旅行路线.又如城市间的通信网络问题,如 何布线,使得总的线路长度最短. 例如:右图所示 2 v3 v2 2.求最小生成树算法 3 5 1 1 2 7 ---Kruskal算法: 7 v1 8 v8 v5 3 v4 (贪婪算法) 4 3 4 6 2 4 v7 v6 6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1
|S|=n-1
N
Y
输出S
停பைடு நூலகம்
N
取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y
j=j+1
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
5.与树定义等价的几个命题 定理1给定图T, 以下关于树的定义是等价的. ⑴ T无回路的连通图. ⑵T无环且每对结点之间有一条且仅有一条路. ⑶ T无回路但在任一对不相邻的顶点间添加一条 新边e，则T+e包含唯一的回路. ⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑹ T无回路且m=n-1. 证明:⑴⑵:已知T是连通无回路图,所以T中无环。 若T中存在两条不同的u-v路P1和P2，则存在 P1的一条边e=xy，它不是P2的边，因此(P1 P2)-e连通，所以， (P1 P2)-e存在一条x-y 路P，故P+e是T的圈，矛盾。
二. 生成树 在图论的应用中,找出一个连通图的所有不同的生成树,以 及找出最小生成树是很有意义的. 1.定义:如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树. 2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合, 称为该生成树的补. v1 定理2 连通图G中至少有一棵生成树. v2 v3 证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v5 如果G中有回路,可以通过反复删去回路 v4 中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树. 思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少 条边,才得到一棵生成树?
⑸ T连通的且m=n-1. ⑹ T无回路且m=n-1. ⑸⑹:只需证明T无回路。对T关于顶点 数归纳。 当n=1或n=2时，显然成立。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成 立。 因为T连通，所以(T)1，由m=n-1及 d(v)=2m得，T中至少存在一点u，使 得d(u)=1。考虑T’=T-u，显然T’连通， 且|E(T’)|=|V(T’)|-1，由归纳假设，T’ 无回路，所以T无回路。
Prin算法(边割法)
⑵T无环且每对结点之间有一条且仅有一条路. ⑶ T无回路但在任一对不相邻的顶点间添加一条 新边e，则T+e包含唯一的回路. ⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑵⑶:显然T无回路，否则对回路上的任一对顶 点都至少存在两条路，与⑵矛盾。设u，v是T 中任意两个不相邻的点，令e=uv，由⑵，T中 有一条唯一的u-v路，所以T+e中包含唯一的回 路。 ⑶⑷:因为T无回路，所以T的每条边都是割边； 若T不连通，设T1，T2是T的两个分支，设 uV(T1), vV(T2), 则uvE(T)，显然T+uv 不存在回路，与⑶矛盾。
⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑷⑸:关于点数用归纳法证明。 当n=1或2时，T是平凡图或K2，显然有m=n-1。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成立。 当n=k+1时。取T的一条边e，由⑷，e是割边， 所以T-e有两个分支T1和T2， 因为|V(T1)|k, |V(T2)|k, 所以，由归纳假设，有 |E(T1)|=|V(T1)|-1， |E(T2)|=|V(T2)|-1 故m=|E(T1)|+|E(T2)|+1 =|V(T1)|-1+ |V(T2)|-1+1 =n-1。
边按升序排序:边(vi, vj)记成eij e34 e23 e38 e17 边 e28 权 1 1 2 2 2
e24 3
e45 3
e57 3
e16 4
e35 e46 e67 e58 e12 e18 边 e78 e56 4 5 6 6 7 7 8 权 4 2 v3 v2 3 5 1 1 7 2 7 v1 8 v8 v5 3 v4 4 3 4 2 v3 v2 6 2 4 1 1 v7 v 6 6 v1 v8 v5 3 v4 4 3 2 v7 v6
⑹ T无回路且m=n-1. ⑴ T无回路的连通图. ⑹⑴:假设T不连通，设T1, T2,…, Tk为T的连通分支，则 k2。对任意的Ti，Ti是无回路的连通图，所以Ti是树， 由⑹得， |E(Ti)|=|V(Ti)|-1 故m=i=1k|E(Ti)|=i=1k|V(Ti)|-k =n-k<n-1 矛盾。 定理2：每一非平凡树至少有两片树叶。 证明：设T是一非平凡树，则m=n-1。 因为T连通且非平凡，所以(T)1。 设T有k片树叶，则剩余的n-k个顶点的度至少为2。由 d(v)=2m得，k+2(n-k)m=2(n-1), 所以 k2。
树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概念之一, 它有 着广泛的应用.在计算机科学中有如判定树、语法树、分 类树、搜索树、目录树等等. 一.树 (Tree) (a) 1.树的定义:一个连通无回路的 无向图T,称之为树. 如(a) 2.叶结点:度数为1的结点, 称为叶结点. (b) 3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. 4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
三.赋权图的最小生成树 1.定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的 权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树. 最小生成树很有实际应用价值.例如结点是城市名,边的权 表示两个城市间的距离, 从一个城市出发走遍各个城市, 如何选择最优的旅行路线.又如城市间的通信网络问题,如 何布线,使得总的线路长度最短. 例如:右图所示 2 v3 v2 2.求最小生成树算法 3 5 1 1 2 7 ---Kruskal算法: 7 v1 8 v8 v5 3 v4 (贪婪算法) 4 3 4 6 2 4 v7 v6 6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1
|S|=n-1
N
Y
输出S
停பைடு நூலகம்
N
取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y
j=j+1
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
5.与树定义等价的几个命题 定理1给定图T, 以下关于树的定义是等价的. ⑴ T无回路的连通图. ⑵T无环且每对结点之间有一条且仅有一条路. ⑶ T无回路但在任一对不相邻的顶点间添加一条 新边e，则T+e包含唯一的回路. ⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑹ T无回路且m=n-1. 证明:⑴⑵:已知T是连通无回路图,所以T中无环。 若T中存在两条不同的u-v路P1和P2，则存在 P1的一条边e=xy，它不是P2的边，因此(P1 P2)-e连通，所以， (P1 P2)-e存在一条x-y 路P，故P+e是T的圈，矛盾。
二. 生成树 在图论的应用中,找出一个连通图的所有不同的生成树,以 及找出最小生成树是很有意义的. 1.定义:如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树. 2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合, 称为该生成树的补. v1 定理2 连通图G中至少有一棵生成树. v2 v3 证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v5 如果G中有回路,可以通过反复删去回路 v4 中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树. 思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少 条边,才得到一棵生成树?
⑸ T连通的且m=n-1. ⑹ T无回路且m=n-1. ⑸⑹:只需证明T无回路。对T关于顶点 数归纳。 当n=1或n=2时，显然成立。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成 立。 因为T连通，所以(T)1，由m=n-1及 d(v)=2m得，T中至少存在一点u，使 得d(u)=1。考虑T’=T-u，显然T’连通， 且|E(T’)|=|V(T’)|-1，由归纳假设，T’ 无回路，所以T无回路。
Prin算法(边割法)
⑵T无环且每对结点之间有一条且仅有一条路. ⑶ T无回路但在任一对不相邻的顶点间添加一条 新边e，则T+e包含唯一的回路. ⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑵⑶:显然T无回路，否则对回路上的任一对顶 点都至少存在两条路，与⑵矛盾。设u，v是T 中任意两个不相邻的点，令e=uv，由⑵，T中 有一条唯一的u-v路，所以T+e中包含唯一的回 路。 ⑶⑷:因为T无回路，所以T的每条边都是割边； 若T不连通，设T1，T2是T的两个分支，设 uV(T1), vV(T2), 则uvE(T)，显然T+uv 不存在回路，与⑶矛盾。
⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑷⑸:关于点数用归纳法证明。 当n=1或2时，T是平凡图或K2，显然有m=n-1。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成立。 当n=k+1时。取T的一条边e，由⑷，e是割边， 所以T-e有两个分支T1和T2， 因为|V(T1)|k, |V(T2)|k, 所以，由归纳假设，有 |E(T1)|=|V(T1)|-1， |E(T2)|=|V(T2)|-1 故m=|E(T1)|+|E(T2)|+1 =|V(T1)|-1+ |V(T2)|-1+1 =n-1。
边按升序排序:边(vi, vj)记成eij e34 e23 e38 e17 边 e28 权 1 1 2 2 2
e24 3
e45 3
e57 3
e16 4
e35 e46 e67 e58 e12 e18 边 e78 e56 4 5 6 6 7 7 8 权 4 2 v3 v2 3 5 1 1 7 2 7 v1 8 v8 v5 3 v4 4 3 4 2 v3 v2 6 2 4 1 1 v7 v 6 6 v1 v8 v5 3 v4 4 3 2 v7 v6
⑹ T无回路且m=n-1. ⑴ T无回路的连通图. ⑹⑴:假设T不连通，设T1, T2,…, Tk为T的连通分支，则 k2。对任意的Ti，Ti是无回路的连通图，所以Ti是树， 由⑹得， |E(Ti)|=|V(Ti)|-1 故m=i=1k|E(Ti)|=i=1k|V(Ti)|-k =n-k<n-1 矛盾。 定理2：每一非平凡树至少有两片树叶。 证明：设T是一非平凡树，则m=n-1。 因为T连通且非平凡，所以(T)1。 设T有k片树叶，则剩余的n-k个顶点的度至少为2。由 d(v)=2m得，k+2(n-k)m=2(n-1), 所以 k2。