高三数学共线向量与共面向量
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质几何学是数学的一个重要分支，而解析几何则是几何学中的一个重要工具。
在高中阶段的数学学习中，我们需要掌握一些几何知识，其中包括向量的共线与共面性质。
本文将对这些性质进行解析解析，以加深对几何知识的理解。
一、向量的共线性质在几何中，向量是一个具有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
在解析几何中，我们通常将向量表示为坐标形式，即[x, y]。
如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们是共线的。
换句话说，如果两个向量的方向向量相等或者相反，那么它们是共线的。
例如，向量A=[2, 3]，向量B=[4, 6]，可以通过将向量B的坐标除以2得到向量A，即[4/2, 6/2] = [2, 3]，所以向量A和向量B是共线的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的斜率来判断两个向量是否共线。
如果两个向量的斜率相等，那么它们是共线的。
以直线上的两个点A和B为例，坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么两个点的斜率就可以通过公式(y2-y1)/(x2-x1)来计算。
二、向量的共面性质在几何中，如果三个或者更多个向量在同一个平面上，那么它们是共面的。
换句话说，如果一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么它们是共面的。
例如，有向量A=[1, 2, 3]，向量B=[4, 5, 6]，以及向量C=[2, 4, 6]。
我们可以看到，向量C可以表示为向量A和向量B的线性组合，即C=2A+2B。
因此，向量A、向量B和向量C是共面的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的混合积来判断三个向量是否共面。
向量的混合积可以通过公式[A, B, C]来计算，其中A、B和C是三个向量。
如果混合积等于零，那么这三个向量是共面的，否则就不共面。
总结：在高中的几何学中，向量的共线与共面性质是非常重要的知识点。
通过解析几何的方法，我们可以判断两个向量是否共线，以及三个向量是否共面。
向量的共线性质可以通过方向向量相等或者相反来判断，也可以通过计算斜率来判断；向量的共面性质可以通过线性组合或者计算混合积来判断。
共线与共面向量
2. 共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） a // b ！ R，使 a b . 判定 说明:(1) a // b (b 0) a b(b 0) 性质 a // b (b 0) a b(b 0)
OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线，或直线 直线平行 平行于平面
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p xa yb
p 与两不共线向量 a ， b
a ， 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如 b 果 p xa yb ，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
对空间任意一点O,点P在l上的充要条件是 ① OP OA ta 我们把非零向量 a 叫做直线l的方向向量. 若在l上取 AB a 则有 OP OA t AB ②
P B
O
a
A
l
①和②都称为空间直线的向量参数方程，空间任意直线 由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 进一步， OP (1 t)OA t OB A，P，B三点共线 ③ 特点: (1-t)+t=1
同时①②③也都是P,A,B,C四点共面的充要条件.
例1.如图,已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA、 OB、OC、OD，在四条射线上分 别取点E、F、G、H，并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证：E、F、G、H四点共面. E 求证：平面AC∥平面EG
第二课时共线向量与共面向量
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
共线向量与共面向量PPT课件
A
O
a
BP
l
注 : 我 们把 非零
向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a . ∴ 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
Байду номын сангаас
l
a
P
我们已经知道：平面中，如图 OA、 OB 不共线，
AP t AB(t R)，则可以用OA 、 OB表示OP如下：
OP OA AP OA t AB OA t (OB OA) (1 t )OA tOB
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
2 MA －MB 5.对于空间中的三个向量MA 、MB 、
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
D.既不共线又不共面向量
7.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
共线向量与共面向量
复习回顾: 复习回顾 : 一、共线向量： 1. 1.共线向量 共线向量: : 如果表示空间向量的有向线段所在的 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向 a 平行于 向量． b 记作 ab //． b． 量． a 平行于 b 记作 a // 规定 是共线向量. . a 是共线向量 规定: :o 与任一向量 a o 与任一向量 a、 2. 空间任意两个向量 、 ） ， b 2.共线向量定理： 共线向量定理： 空间任意两个向量 a （b ≠0 ， b（ b≠ 0） a ，使 ，使a . a b b. a // //b 的充要条件是存在实数 b 的充要条件是存在实数 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。
共线向量与共面向量,新
O M Q P B N C
OP OM MP 1OA 2 MN 1OA 1OB 1OC 2 3 6 3 3 A
练习：课本第98页
第 6，7，8题
例5 如图3.1 17, 在正方 形 ABCD A1 B1C1 D1 中, E1 , F1分别是A1 B1 , C1 D1的一个 四等分点 , 求 BE1 与DF1 所 成角的余弦值 .
分析 BE1与DF1 所成的角 就是BE1与 DF1 所成的角.因
D1
又 A1 1,0,1, D0,0,0 , 所以 DA1 1,0,1 .
A1
z
D1
F
C1 B1
所 以 EF DA1 1 1 1 , , 1,0,1 0. 2 2 2
x
A
D
O
E
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
图3.1 18
因此 , EF DA1 , 即 EF DA1 .
共线向量与共面向量
复习平面向量
1. 平面向量共线的充要条件:
a ‖b( b 0 ) a λ b(λR)
2.平面向量基本定理: 若 a , b 不共线,则平面内任一向量
p 1 a 2 b(1 , 2 R)
那么空间向量共线、共面的条件是什么?
一、共线向量
定义: 表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 1. 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量) 记作: a // b // c 思考:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那么 a
向量共线与共面的判定
向量共线与共面的判定在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体的运动和位置。
在研究向量的性质和关系时，一个重要的问题是如何确定两个或多个向量是否共线或共面。
本文将介绍判定向量共线与共面的方法。
共线向量的判定两个向量是共线的，意味着它们位于同一条直线上或平行于同一条直线。
判定两个向量是否共线的一种简单方法是比较它们的方向比例。
假设有两个向量a和b，则a和b共线的条件是存在一个实数k，使得a=k*b。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定两个向量是否共线。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，则向量a和b共线的条件可以表示为以下方程组：a1=k*b1a2=k*b2a3=k*b3如果存在一个实数k满足这个方程组，则向量a和b共线；否则，它们不共线。
共面向量的判定三个或三个以上的向量是共面的，意味着它们位于同一个平面上或平行于同一个平面。
判定三个向量是否共面可以使用向量的混合积。
假设有三个向量a、b和c，则a、b和c共面的条件是它们的混合积为零，即(a×b)·c=0。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定三个向量是否共面。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，向量c的分量为(c1,c2,c3)，则向量a、b和c共面的条件可以表示为以下方程：a1*(b2*c3-b3*c2) + a2*(b3*c1-b1*c3) + a3*(b1*c2-b2*c1) = 0如果上述方程成立，则向量a、b和c共面；否则，它们不共面。
综合判定除了使用上述方法判定向量共线与共面外，还可以使用线性方程组或矩阵运算来进行综合判定。
例如，可以将向量的分量构成方程组，并求解该方程组的解。
如果存在解，则向量共线或共面；如果不存在解，则不共线或不共面。
此外，还可以使用矩阵的秩来判定向量的共线性或共面性。
将向量的分量构成矩阵，并对该矩阵进行行变换，然后观察矩阵的秩。
共线向量与共面向量
C.3个
D.4个
2MA －MB 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为：
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
共线向量与共面向量
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
（其中 P、A、B、 x y z ）的四点 1 C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，
点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
注意：
空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对 （x , y ） , 使得MP xMA yMB
3OP OA AB
OP OA t AB
OP OA AB
，则P、A、B不共线
D.若
4.若对任意一点O，且 OP xOA y AB ，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设点P在直线AB上并且AP PB( 1) ，O为空间任意一点，求证：
平面向量的共线与共面
平面向量的共线与共面在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，而共线和共面则是用来描述向量之间的关系的。
共线指的是多个向量在同一直线上，共面则意味着多个向量在同一平面上。
平面向量的共线与共面是一种重要的概念，在几何学和物理学中都有广泛的应用。
一、共线向量共线向量是指多个向量位于同一直线上的情况。
为了判断向量是否共线，我们可以通过以下两种方法：方法一：向量的数量积法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们的数量积（又称为点积）的结果为0。
数量积的计算公式如下：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，θ表示向量a和b之间的夹角。
如果两个向量的数量积为0，则它们共线。
方法二：向量的比例法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们之间存在一个实数k，使得a=kb。
也就是说，如果一个向量是另一个向量的k倍，那么它们是共线的。
二、共面向量共面向量是指多个向量位于同一平面上的情况。
为了判断向量是否共面，我们可以通过以下方法：方法一：向量的数量积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的数量积的结果为0。
数量积的计算公式如下：(a × b)·c = 0其中，×表示向量的叉积运算。
如果三个向量的数量积为0，则它们共面。
方法二：向量的混合积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的混合积的结果为0。
混合积的计算公式如下：(a × b)·c = 0同样，如果三个向量的混合积为0，则它们共面。
三、应用举例1. 平面几何中的共线与共面在平面几何中，通过判断点是否共线或者判断线段是否相交，我们可以应用共线和共面的概念来求解几何问题。
例如，当我们需要判断三个点A、B和C是否共线时，可以计算向量AB和向量AC，然后判断这两个向量是否共线。
如果它们共线，则说明三个点在同一直线上。
同样地，如果我们需要判断四个点A、B、C和D是否共面，可以计算向量AB、向量AC和向量AD，然后判断它们的混合积是否为0。
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
第2讲空间向量与立体几何共线向量与共面向量定理
2.空间向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), a=( a1, a2, a3), a·b=a1b1+a2b2+a3b3, a b a= b a1= b1,a2= b2,a3= b3( R), a b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0.
第2讲 空间向量与立体几何
1.共线向量与共面向量定理 （1）如果表示空间向量的有向线段所在直线互相 平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量. （2）平行于同一个平面的向量叫做共面向量. （3）共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b 0),a b的充要条件是存在实数 ，使a= b. （4）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线， 则向量p与向量 a、b共面的充要条件是存在实数对 (x,y)，使p=xa+yb.
5.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
平面 v=(a4,b4,c4)
（以下相同）.
(1)线线夹角
设l，m的夹角为 (0≤ < )，则
2
cos
a·b a ·b
=|cos |.
变式训练2 （2009·江西文，20）如图，在四棱锥 P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心，BD为直径 的球面交PD于点M.
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线PC与平面ABM所成的角； （3）求点O到平面ABM的距离.
共线向量与共面向量
A'
a 1e1 2e2
共面向量定理
b
b 不共线， 如果两个向量 a，
p
则向量 p 与向量a ，b 共面 的充要条件是存在实数对x， y ，使
a
bB
p xa yb
P A'
M
aA
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x,y使
MP xMA yMB
或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
数乘: k a(k R) 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋kb
平面共线向量的定义：
4.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， ,则x的值为：
4、已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外任 一点O,确定在下列各条件下，点M是否与A、B、 C一定共面：
(1)OM 2OA OB 2OC
(2)OM 4OA OB 2OC
(3)OM 2OA OB 3OC
3.已知E、F 、 G 、 H分别为长方体AC’的棱AB 、 AD 、 BC 、 DC的中点,
求证:(1)E 、 F 、 D’ 、 B’四点共面
(2)平面A’EF∥平面B’D’HG
D’ A’ B’ C’
D F A E
H G B
C
共线向量与共面 向量
D' C' B'
a
移动 A
A'
D B
C
湖南省临湘市一中
李君英
9.5空间向量及其运算第二课时_共线向量与共面向量
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共线问题 【例 2】 如果点 O 为平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中 AC1 的中点． 求证：B1、O、D 三点共线．
思路点拨：可由三点 B1、O、 D 任意构造两向量，然后证明它们为共线向量即可．
证明：如图所示．连结 OB1、OD. 1 OB1― →＝OC1― →＋C1B1― →＝ AC1― →＋C1B1― → 2
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3 ． 向 量 a 、 b 不 共 线 ， p ＝ ma ＋ nb ， 则 p ＝ 0 的 充 要 条 件 是 ________________________________________________________________________ ．
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第二课时
共线向量与共面向量
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想一想： 1．共线向量 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量 或平行向量， a 平行于 b 记作 a∥ b. (2)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0)， a∥ b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝ λb. (3)推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，满足等式 OP― →＝OA― →＋ ta.① 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量，在 l 上取 AB― →＝ a，则①式可化为
12共线向量与共面向量
定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件
是有且只有一个实数 ，使得b a .
•
2. 平面向量基本定理：
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平 面 向 量 基 本 定 理 ：如 果 e1 、e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的任 一
向量 推 a 的论直：线如，果那l 为么经对过任已一知点点O，A 且点平P 行在于直已线知l 上非的零
充要条件是存在实数 t，满足等式
其中向量
a
OP OA ta . 叫做直线l 的方向向量
① .
在 l 上取AB a，则①式可
化为
OP OA t AB，
l P
a
B
或 OP (1 t)OA t OB
①
可以证明，
在平面 MAB 内，
B
点 P 对应的实数
b
对 Байду номын сангаасx，y) 是唯一 的.
M
a
A
①式叫做
平面MAB的向
量表示式.
O
P A'
例 2 对空间任一点O 和不共线的三点 A、B、 C，试问满足向量关系式
OP x OA y OB z OC (其中x y z 1) 的四点 P、A、B、C 是否共面.
②
A
当 t 1 时 ， 点P 是 线 段AB 的
2
中点，则
OP
1 2
(OA
OB
)
.
③
O
① 或②都叫做空间直线的向量参数表示式，
③ 是线段AB 的中点公式.
• （三）共面向量：
于 行平 于定面 平义 面，：记或 已作知aa在平∥面 内.，，作那O么A 我a们，就如说果A向直量线aO平A行平
高中数学同步教学课件 共线向量与共面向量
如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上， 点F在C1D上， 易知EF∥A1D， 且 EF＝12A1D， ∴E→F＝12—A1→D ，
即E→F－12—A1→D ＝0，∴λ＝－12.
1234
四
课时对点练
基础巩固
1.已知非零向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝7a－2b，则一
<<<
注 (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
意 点
(2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段
不一定在同一条直线上.
例 1 (1)若 P，A，B，C 为空间四点，且有P→A＝αP→B＋βP→C，则 α＋β＝1 是 A，B，C 三点共线的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
三
随堂演练
1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
√A.共面向量
B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量
由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量.
1234
2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是
√A.O→M＝3O→A－O→B－O→C √C.M→A＋M→B＋M→C＝0
用待定系数法求出参数.
跟踪训练 2 (1)已知 O 为空间任意一点，A，B，C，P 满足任意三点不共 线，但四点共面，且B→P＝mO→A＋O→B＋O→C，则 m 的值为
A.－1
B.2
√C.－2
D .－3
由B→P＝O→P－O→B＝mO→A＋O→B＋O→C， 得O→P＝mO→A＋2O→B＋O→C，
∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， ∴m＋2＋1＝1，∴m＝－2.
第2课时 共线向量、共面向量 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,
Q 分别为 A1D1,D1C1,AA1,CC1 的中点,求
证:M,N,P,Q 四点共面.
证明:令1 1 =a,1 1 =b,1 =c.
因为 M,N,P,Q 均为相应棱的中点,
1 1
1
1
所以= b- a,=1 +1 = a+ c,
第一章
空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1
空间向量及其线性运算
第 2 课时
[学习目标]
共线向量、共面向量
1.理解共线向量的充要条件,能应用其证
明共线问题.
2.理解共面向量的充要条件,能应用其证明共面问题.
3.通过类比、猜想、证明,将平面向量拓展到空间范畴,
发展直观想象素养.
一、共线向量
=-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点是
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
(
)
D.A,C,D
解析:因为 = + + =3a+6b=3(a+2b)=3 ,所以
∥ .又因为 与 有公共点 A,所以 A,B,D 三点共线.
答案:A
(2)设 e1,e2 为空间两个不共线的向量,如果=e1+ke2,
【思考】
如何证明“向量 p 与向量 a,b 共面(a,b 不共线)”的充要条
件是“存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb”?
提示:充分性.因为 xa,yb 分别与 a,b 共线,
所以 xa,yb 都在 a,b 确定的平面内.
又因为 xa+yb 是以|xa|,|yb|为邻边的平行四边形的一条
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