24一元一次方程的解法知识讲解
一元一次方程解法知识点总结
一元一次方程解法知识点总结一元一次方程是数学中最基础的方程之一，也是解决实际问题的常用工具。
在解一元一次方程时，有几种常见的方法可以使用，本文将对这些解法进行总结。
1. 直接运用方程性质解法：对于形如ax + b = 0的一元一次方程，可以直接运用方程性质进行解答。
将方程中的常数项b移到等号右侧，得到ax = -b，然后将方程两边同除以系数a，即可得到x的解。
2. 倍数迭代法解法：倍数迭代法是解一元一次方程的常用方法之一。
该方法的原理是通过倍数迭代来逼近方程的解。
具体步骤如下：- 将方程中的常数项移到等号右侧，得到ax = -b。
- 初始值设为x0，可以是任意一个实数。
- 迭代公式为：xi+1 = xi - b/a。
根据公式，计算xi+1的值，并代入下一次迭代计算。
- 重复以上步骤，直到计算得到的xi+1与xi非常接近，即可得到方程的解。
3. 代入法解法：代入法是求解一元一次方程的另一种常见方法。
通过将已知的变量代入方程中，从而求解未知变量的值。
具体步骤如下：- 将方程中的已知变量用代入的方法表示出来，设为y。
- 将y代入方程中，得到一个只含有未知变量x的方程。
- 解这个只含有未知变量x的方程，求得x的解。
- 利用已知变量y和未知变量x之间的关系得到方程的解。
4. 图解法解法：对于一元一次方程，可以通过图形的方式来解答。
截取x轴和y轴的某个特定区间，将方程绘制成直线，然后通过该直线与x轴相交的点来确定方程的解。
具体步骤如下：- 将方程转化为y = ax + b的形式，其中a和b分别为方程的系数。
- 根据a的正负值和零的情况，绘制出直线的大致趋势。
- 确定直线与x轴相交的点，即为方程的解。
本文介绍了一元一次方程的四种常见解法：直接运用方程性质解法、倍数迭代法解法、代入法解法和图解法解法。
通过掌握这些解法，相信读者可以轻松解答一元一次方程的问题，并在实际应用中灵活运用。
一元一次方程的解法 知识方法总结
等式的性质 2
分数线有括号的作用，分子是整体，所以去分 母时需添上括号；不要漏乘不含分母的项
一般先去小括号，再去中括号，最后
去括号法则 括号前是负号的注意要全变号，不要漏乘括号
去大括号
（分配律） 内的任何一项
通常把含有未知数的项移到等号的左
移项时注意改变项的符号，不移动的项不改变
边，把常数项移到等号的右边（分离 含有未知数的项与常数项）
类型 分母中含有小 数 某些项含有分 母
有括号 方程两边均含 有未知数或常 数项
有同类项
ax b
步骤 小数化 为整数 去分母
去括号
移项
合并同 类项 系数化法
依据
注意事项
分子分母同乘一个不为零的数
分数的基本性质 可约分的进行约分
（商不变性质）
方程两边同乘各分母的最小公倍数
得x b a
等式的性质 2 纸上进行检验
等式的性质 1
符号；若移项后含有未知数的项的系数和常数 项均为负数，不妨改变移项的方向，方便运算，
注意最后写成“ x a ”的形式
得到 ax b
合并同类项法则 把同类项的系数相加，未知数和未知数的指数
（分配律的逆用） 均不变
方程两边同除以未知数的系数 a ，解
解的分子分母不要颠倒位置，最后记得在草稿
一元一次方程的解法(公开课)资料讲解
如果 a b , 那么 ac bc
如果a b(c 0) ,那么ac cb
知识回顾
什么是解方程？
解方程就是将方程转化为 形如x=a(a为常数）的过 程
x=a(a为常数）：1、它仍然是方程. 2、未知数在等号一
边，常数项在等号另一边. 3、x的系数为1.
3) 3(x 1) x 1
5
5
变形名称 去分母
去括号
移项
解一元一次方程的一般步骤:
具体的做法 每一项乘所有的分母的最小公倍数. 依据是等式性质二 先去小括号,再去中括号,最后去大括号 依据是去括号法则和乘法分配律 把含有未知数的项移到一边,常数项移到另 一边.“过桥变号”依据是等式性质一
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加。 依据是乘法分配律
约公元825年，中亚细亚 数学家阿尔—花拉子米写 了一本代数书，重点论述 怎样解方程。这本书的拉 丁译本为《对消与还原》。 “对消”与“还原”是什 么意思呢？
一元一次方程的解法
执教者：曾杨烨
知识回顾 等式的基本性质
等式的性质1： 等式两边加(或减)同一个 数(或式子),结果仍相等。
如果 a b, 那么 a c b c
程的另一边，对方程进行移项变形。
(1) 2x-3= 6
2x = 6 + 3
(2) 5x=3x-1
5x -3x = -1
(3) 2.4y+2= -2y
2.4y+2y = -2
⑷ 8- 5x=x+2
-5x-x=2-8
你能解以下一元一次方程吗？
1)3x 3 x 1
有括号
2024七年级数学上册第3章3.2一元一次方程及其解法第2课时用去分母法解一元一次方程课件新版沪科版
C
6，其错误的原因是(
)
A. 分母的最小公倍数找错
B. 去分母时，漏乘了分母为1的项
C. 去分母时分子部分的多项式未添括号，导致符号错误
D. 去分母时，分子未乘相应的数
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知识点2
用去分母法解一元一次方程
4. [2024·合肥四十五中月考]根据下列解方程
.+.
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【解】将2 x ＋3， x －2分别看成一个整体，移项、合并
同类项，得
(2 x ＋3)＝ ( x －2)，
即 (2 x ＋3)＝ ( x －2).
去分母，得2(2 x ＋3)＝ x －2.
去括号，得4 x ＋6＝ x －2.
移项、合并同类项，得3 x ＝－8.
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6. [母题 教材P100例3]解下列方程：
+
−
+
－1＝
－
.
【解】去分母，得10(3 x ＋2)－20＝5(2 x －1)－4(2 x ＋1).
去括号，得30 x ＋20－20＝10 x －5－8 x －4.移项、合并
同类项，得28 x ＝－9.系数化为1，得 x ＝－ .
系数化为1，得 x ＝－ .
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是数学中的基础知识，求解一元一次方程是我们学习数学的起点。
本文将介绍一元一次方程的解法，帮助读者理解和掌握求解一元一次方程的方法。
一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常可以写为ax+b=0的形式，其中a、b为已知常数，x为未知数。
解一元一次方程的关键是找到方程的根，即使得方程成立的未知数的值。
解法一：等式两边同时加减法则我们可以通过对方程等式两边进行加减操作，将未知数所在的项移至方程的另一边，从而得到未知数的值。
举例说明：假设有方程3x-5=7，我们希望求解x的值。
首先，我们将方程等式两边加上5，得到3x-5+5=7+5，化简得到3x=12。
接下来，我们再将方程等式两边除以3，得到(3x)/3=12/3，化简得到x=4。
因此，方程3x-5=7的解为x=4。
解法二：移项法移项法是求解一元一次方程的另一种常见方法，通过将等式两边的项进行移位，使得方程的形式更加简化。
举例说明：假设有方程2x+4=10，我们希望求解x的值。
首先，我们将方程中的常数项4移至等式的另一边，得到2x=10-4，化简得到2x=6。
接下来，我们再将方程中的系数项2移至等式的另一边，得到x=(6/2)，化简得到x=3。
因此，方程2x+4=10的解为x=3。
解法三：代入法代入法是求解一元一次方程的一种简便方法，通常适用于方程中含有多个未知数的情况。
举例说明：假设有方程3x+y=9，2x-y=1，我们希望求解方程的解。
首先，我们可以选择其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数。
假设我们选取第二个方程2x-y=1，将y表示成x的函数，得到y=2x-1。
接下来，我们将y的表达式代入第一个方程中，得到3x+2x-1=9，化简得到5x=10。
最后，我们将方程5x=10化简，得到x=2。
将x的值代入到第二个方程2x-y=1中，得到2(2)-y=1，化简得到y=3。
因此，方程3x+y=9和2x-y=1的解为x=2，y=3。
2024年北师大七年级数学上册 第2节 一元一次方程的解法第3课时 利用去括号解一元一次方程(课件)
思考 观察例2两种解方程的方法，说出它们的区别.
针对练习
解方程
【选自教材P143 随堂练习】
(1)5(x-1)=1
解：
去括号，得 移项，得 化简，得
5x – 5 = 1 5x = 1 + 5 5x = 6
方程两边都除以 5，得
x
=
6 5
(2)2-(1-x)=-2
解：
去括号，得 2-1+x=-2
移项，得
x=-2-2+1
化简，得 x = -3
（3）11x + 1= 5（2x + 1）
解：
去括号，得 11x + 1 = 10x + 5
移项，得 11x – 10x = 5 – 1
化简，得
x=4
（4）4x – 3(20 – x)= 3；
解：去括号，得 1+6x=6-2x
移项，得
6x+2x=6-1
合并同类项，得 8x=5
方程的两边都除以8，得
x=58
例2 解方程： -2(x-1)=4
解法一：
解法二：
去括号，得 -2x+2=4 移项，得 -2x=4-2 化简，得 -2x=2 方程的两边都除以-2，得x=-1.
直接去括号求解
方程的两边都除以-2，得
活动引入，合作探究
探究点 利用去括号解一元一次方程
问题1 小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元，售货员 找回3元. 已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算出1袋牛奶多少钱吗？
一元一次方程的解法
（2） 调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系， 常见是“和、 差、 倍、 分”关系， 要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人 数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲 处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独 做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天， 丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法 知识点和方法概述 1、等式 等式：用“=”表示相等关系的式子。 等式的性质： 1） 等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， 则 A±C=B±C。 2） 等式两边都乘以 （或除以） 同一个数 （除数不为 0） ， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。 等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样 的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 （注：用等式的 两条性质所得的方程与原方程是同解方程。 ） 方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式。 不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。 检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和 右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。 含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时 也简称绝对值方程。 解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方 式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对
一元一次方程知识点及经典例题
一、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念 1、 一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程． 2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为： －=1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据注 意 事 项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21．不能漏乘不含分母的项；2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 1．分配律应满足分配到每一项 2．注意符号，特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质11．移项要变号；2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同 类 项 把方程中的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a ，得a b x = 等式性质2 分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。
2024年苏科版七年级数学上册 4.2 一元一次方程及其解法(课件)
知1－练
解：(1)3x－2＝7， 两边同时加2，得3x－2＋2＝7＋2 ， 等式的性质1
即3x＝9， 两边同时除以3，得x＝3 .
等式的性质2
(2)12x＋3＝23x－1， 两边同时减3，得12x＋3－3＝23x－1－3 ，
知1－练
等式的性质1
即12x＝23x－4， 两边同时减23x，得12x－23x＝ 23x－4－23x，
知1－练
例 2 若(m＋2)x|m|－1＝4是关于x的一元一次方程，求m的值. 解题秘方：由一元一次方程的概念可知未知数的次 数为1，系数不为0，据此求待定字母的值. 解：根据题意，可得|m|－1＝1，且m＋2 ≠ 0 . 由|m|－1＝1，得|m|＝2，所以m＝± 2 . 由m＋2 ≠ 0，得m ≠－2 .所以m＝2 .
系数化为1，得x＝12.
(2)15x－1＝65x，
15x－65x＝3＋1 ， －x＝4， x＝－4 .
移项 合并同类项 系数化为1
知2－练
知2－练
方法提醒 移项一般将含未知数的项放在等号的左边，常数项放
在等号的右边，若移项时为计算简便不是这样放置的，在 合并同类项时可直接交换过来，不需要变号，因为等式具 有对称性.
知2－练
例 4 解方程： (1)8－3x＝x＋6； (2)15x－1＝3＋65x. 解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤：移项 →合并同类项→系数化为1 .
解：(1)8－3x＝x＋6， －3x－x＝6－8， －4x＝－2 ，
移项 合并同类项
知2－练
x＝12.
系数化为1
也 可 移 项 ， 得 8 － 6=x ＋ 3x. 合 并 同 类 项 ， 得 4x ＝ 2.
1 7
x＝19这样等号两边都是整式，
一元一次方程所有知识点
一元一次方程所有知识点一、一元一次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
- 例如：2x + 3=5x - 1是一元一次方程，它只含有一个未知数x，x的次数是1，等号两边2x + 3和5x-1都是整式。
- 一般形式：ax + b = 0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
- 例如：对于方程2x+3 = 7，当x = 2时，左边=2×2 + 3=4 + 3 = 7，右边=7，所以x = 2就是方程2x+3 = 7的解。
二、一元一次方程的解法。
1. 移项。
- 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
- 例如：在方程2x+3 = 5x - 1中，为了求解x，我们将5x移到左边变为-5x，3移到右边变为-3，得到2x-5x=-1 - 3。
- 移项的依据是等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2. 合并同类项。
- 将方程中含有相同字母且相同字母的指数也相同的项合并在一起。
- 例如：在2x-5x=-1 - 3中，2x-5x=-3x，-1-3 = -4，方程变为-3x=-4。
3. 系数化为1。
- 在方程ax = b(a≠0)的形式下，将方程两边同时除以a，得到x=(b)/(a)。
- 例如：对于方程-3x=-4，两边同时除以-3，得到x=(4)/(3)。
三、一元一次方程的应用。
1. 行程问题。
- 基本公式：路程=速度×时间。
- 相遇问题：两者路程之和等于总路程。
例如：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是v_1，乙的速度是v_2，经过t小时相遇，AB两地间的距离s=(v_1 + v_2)t。
- 追及问题：两者路程之差等于初始距离。
例如：甲、乙两人同向而行，甲的速度是v_1，乙的速度是v_2（v_1>v_2），开始时甲、乙相距s_0，经过t小时甲追上乙，则s_0=(v_1 - v_2)t。
一元一次方程的解法知识讲解
一元一次方程的解法知识讲解解一元一次方程的方法有两种：平衡法和倒运算法。
1.平衡法平衡法的基本原则是在方程的两边逐步交换操作，使方程变为x=一个已知的数值的形式。
步骤：a)首先将方程转化为标准形式，即将b移到等号的另一边。
例如，方程为2x+3=1，可以变为2x=1-3b)然后再对方程进行化简，将x的系数移到方程左边，将常数项移到方程右边。
继续上面的例子，可以得到2x=-2c)接下来，将方程两边同时除以x的系数，即将方程左边的2x除以2，得到x=-1、这就是方程的解。
2.倒运算法倒运算法的基本思想是使用与方程中运算相反的运算，从而将方程变为x=一个已知的数值的形式。
步骤：a)用方程中的运算逆运算，去消去x的系数。
例如，对于方程2x+3=1，可以用减法逆运算去消去2x的系数，得到2x-2x+3=1-2x。
b)化简方程，将常数项移到方程的右边。
继续上面的例子，可以得到3=1-2x。
c)接下来，用减法逆运算去消去常数项的系数，得到3-1=-2x。
继续计算，可以得到2=-2x。
d)最后，将方程两边同时除以x的系数，即将方程左边的-2x除以-2，得到x=-1、这也是方程的解。
这两种解法可以互相验证，使用任意一种方法得到的解都可以代入方程进行验证。
除了这两种基本的解法，还可以使用图形解、代数解、矩阵解等方法来解一元一次方程。
这些方法更加灵活，可以用于更复杂的方程求解。
需要注意的是，一元一次方程可能有一个解、无解或无数解。
如果方程化简后得到的是一个恒等式，比如0=0，那么方程就是一个恒等方程，它对任何x都成立，即有无数解。
如果方程化简后得到一个矛盾的式子，比如1=0，那么方程无解。
如果方程化简后得到一个确定的式子，比如x=5，那么方程有一个解，即x=5总结一下，解一元一次方程的关键是将方程变为x=一个已知的数值的形式，可以使用平衡法或倒运算法进行计算。
解一元一次方程能够帮助我们解决各种实际问题，如计算成本、求解速度等。
一元一次方程的解法的解题技巧总结
一元一次方程的解法的解题技巧总结一元一次方程是初中数学中的基础知识之一，掌握解题技巧对学生提升数学水平至关重要。
本文将总结一元一次方程的解题技巧，并提供具体例子，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。
一、一元一次方程的定义和解的含义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的含义是求出能够使方程成立的未知数的值。
方程的解也可以看作是方程与x轴相交的点的横坐标。
二、一元一次方程的解题技巧1. 移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。
通过移动方程中的项，将含有未知数的项移到一个侧，而将常数项移到另一个侧，从而解出未知数的值。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以将3移到等号右侧，得到2x= 7 - 3，进一步化简得到2x = 4，最后除以2得到x = 2，即方程的解为x = 2。
2. 消元法消元法适用于同时含有两个方程的情况，通过将两个方程进行合并和消除某些项，最终求得未知数的值。
例如，对于方程组2x + y = 5和3x - y = 1，我们可以通过消去y的方式，将两个方程相加或相减。
相加得到5x = 6，最后除以5得到x =6/5，再代入其中一个方程求得y的值。
3. 代入法代入法适用于含有多个方程，但其中一个方程已经解出未知数的情况。
通过将已得到的未知数的值代入另一个方程，解出另一个未知数的值。
例如，对于方程组3x + 2y = 10和2x - y = 1，我们可以通过解出其中一个方程中的未知数，然后代入另一个方程。
假设我们已经解得x = 2，将其代入第二个方程，得到2(2) - y = 1，化简得到y = 3，即方程组的解为x = 2，y = 3。
4. 等式性质利用等式性质也是解一元一次方程的常用技巧之一。
根据等式性质，两边同时加减、乘除相同的数，等式仍然成立。
例如，对于方程3x - 2 = 4x + 1，我们可以将2移动到等号右侧，得到3x = 4x + 3，进一步化简得到x = -3，即方程的解为x = -3。
一元一次方程的解法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第02讲 一元一次方程的解法1.会通过去分母解一元一次方程；2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法；3.体会建立方程模型解决问题的一般过程；4.体会方程思想，增强应用意识和应用能力．知识点1 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母两边同乘最简公分母 2.去括号（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 abx =； （2）注意：分子、分母不能颠倒【题型1 解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x+3＝3x﹣15．【变式1-1】解方程：5x﹣8＝2x﹣3．【变式1-2】解方程：2x+2＝3x﹣2．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【变式2-1】解方程：（1）4x+5＝3（x﹣1）；（2）﹣＝1．【变式2-2】解方程：（1）3x﹣5（2x﹣4）＝7﹣4（x﹣1）；（2）．【变式2-3】解方程：（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）（2）＝1．【题型2 一元一次方程的整数解问题】【典例3】是否存在整数k，使关于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整数解？并求出解．【变式3-1】当整数k为何值时，方程9x﹣3＝kx+14有正整数解？并求出正整数解．【变式3-2】若关于x的方程ax﹣3＝0有正整数解，则整数a的值为（）A．1或﹣1或3或﹣3B．1或3C．1D．3【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例4】若代数式与的值的和为5，则m的值为（）A．18B．10C．﹣7D．7【变式4-1】若P＝2a﹣2，Q＝2a+3，且3P﹣Q＝1，则a的值是（）A．0.4B．2.5C．﹣0.4D．﹣2.5【变式4-2】若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1B．C．3D．﹣3【变式4-3】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式4-4】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，则x的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【题型4 错解一元一次方程的问题】【典例5】一位同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（）”处的数字看成了（）A．3B．﹣C．﹣8D．8【变式5-1】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5B．6C．7D．8【变式5-2】某同学解方程5y﹣1＝口y+4时，把“口”处的系数看错了，解得y ＝﹣5，他把“口”处的系数看成了（）A．5B．﹣5C．6D．﹣6【变式5-3】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝﹣，则该同学把m看成了（）A．3B．C．8D．﹣8【变式5-4】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数a看成了下列哪个数？（）A．5B．6C．7D．8【题型5 一元一次方程的解与参数无关】【典例6】定义一种新运算：a⊙b＝5a﹣b．（1）计算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化简：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值．【变式6-1】（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理数对（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，则x＝．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．【变式6-2】（1）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差与x，y的值无关，求n m+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】【典例7】定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式7-1】新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，则x的值为．【变式7-2】规定一种新的运算：a*b＝2﹣a﹣b，求*＝1的解是．【变式7-3】已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，那么当＝18时，x的值是．1．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7 2．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5B．﹣5C．7D．﹣7 3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 4．（2023•陇西县校级模拟）定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣2 5．（2023•青山区一模）若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1B．C．3D．﹣3 6．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1C．9x﹣3﹣4x+2＝6D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6 7．（2021•广元）解方程：+＝4．8．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．9．（2021•西湖区校级自主招生）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．10．（2022秋•陵城区期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．1．（2023春•榆树市期末）一元一次方程8x＝2x﹣6的解是（）A．x＝1B．x＝0C．x＝﹣2D．x＝﹣1 2．（2022秋•汾阳市期末）方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5B．3x﹣2x﹣6＝5C．3x﹣2x+3＝5D．3x﹣2x+6＝5 3．（2023•乐东县一模）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（）A．B．2C．﹣2D．无法计算4．（2022秋•宜城市期末）定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2 5．（2022秋•泸县期末）如果表示ad﹣bc，若＝4，则x的值为（）A．﹣2B．C．3D．6．（2022秋•潮安区期末）设a⊕b＝3a﹣b，且x⊕（2⊕3）＝1，则x等于（）A．3B．8C．D．7．（2022秋•泰山区期末）王林同学在解关于x的方程3m+2x＝4时，不小心将+2x看作了﹣2x，得到方程的解是x＝1，那么原方程正确的解是（）A．x＝2B．x＝﹣1C．x＝D．x＝5 8．（2022秋•碑林区校级期末）小亮在解方程3a+x＝7时，由于粗心，错把+x 看成了﹣x，结果解得x＝2，则a的值为（）A．B．a＝3C．a＝﹣3D．9．（2022秋•六盘水期末）已知代数式6x﹣12与4+2x的值互为相反数，那么x 的值等于．10．（2022秋•嘉祥县期末）解下列方程：（1）2x﹣3（2x﹣3）＝x+4；（2）．。
一元一次方程的基础解法-讲义(学生版)
一元一次方程的基础解法一、课堂目标1．掌握移项、去分母、去括号的依据，会用移项和合并同类项、去括号、去分母等手段解一元一次方程．2．掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练准确的解方程．二、知识引入前面我们学过等式的性质：等式性质——如果，那么．等式性质——如果，那么；如果（），那么．也能用等式的性质解简单的一元一次方程，例如，①解方程；②解方程．三、知识讲解1. 解方程——移项、合并同类项解方程解：两边加，得这个过程也可以看成把原方程左端的常数项移动到方程右端、得，此时这项在等号右端变成符号（ →）；像上面这样把等式一边某一项变号后移到另一边叫做移项，所以我们可以用移项这个手段来解形如的一元一次方程．【注意】移项要变号．解方程解：两边减 ，得这个过程也可以看成把原方程左端的未知数项 移动到方程右端、得 ，此时这项在等号右端变成符号（ →）．再比如，解方程 ，观察到这个方程两边都有含未知数项和常数项，因此【总结】解形如 的一元一次方程的一般步骤为：移项→合并同类项→系数化．经典例题11.已知关于的方程的解是，那么．思路梳理知识点：1、2、3、A. B.C.D.2.方程移项后，正确的是（ ）．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习1A. B. C.D.1.对方程合并同类项正确的是（）．（1）（2）（3）（4）2.给下列各方程移项：： ．：．： ．：．A. B. C. D.3.若，则的值是（）．经典例题2解关于的方程：．思路梳理知识点：1、2、3、 题目练习21.解方程：．2.解方程：．（1）3.解方程：．4.当 时，代数式与的值互为相反数．2. 解方程——去括号接下来看这个方程．观察发现这个方程多了带括号的成分，因此【总结】解带括号的一元一次方程的一般步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化．经典例题3阅读下列解方程的过程，回答问题：，去括号，得： ①，移项，得： ②，合并同类项，得： ③，系数化为， 得： ④，上述过程中，第 步计算出现错误，其错误原因是 ，第②步的数学依据是．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习3A.由 得B.由 得C.由得 D.由得1.下列方程去括号正确的是（）．。
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法【知识要点】1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：【典型例题】例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？x+2y=9 x 2－3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ；(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3．解下列简易方程1．5223-=+x x 2．4.7-3x=113．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x例4．解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1．列方程解决实际问题的一般步骤（1）找——找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系.（2）设——设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个未知数.（3）列——列出方程，用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找准的等量关系，列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度＝船速－水速2.分析应用题中等量关系的一般方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.（2）线示法：用同一直线的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系.（3）列表法：将已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系.（4）图示法：利用图表示题中的数量关系，它可以使量之间的关系更为直观，更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题，关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力，大多数属于当基本题或中档题，学习中应抓住其核心问题——建模，从等量关系入手，而不是只让学生套题型，套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母）应如何分配加工螺栓、螺母的工人？分析：等量关系为螺栓数：螺母数＝1︰2.设加工螺栓人数为x，则加工螺栓的总数为18x个，加工螺母总数为24（100－x）个.解：设加工螺栓的人数为x人，依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x （人）.∴加工螺母的人数为 100－x ＝100－40＝60（人） 答：应分配40人去加工螺栓.点评：此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶，底面半径为11cm ，高25cm ，将满桶的水倒入底面长30cm ，宽20cm 的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（π取3.14，结果精确到0.1cm ）? 分析：从相等关系入手，即圆柱形容器积＝长方体器容积. 解：设长方体容器的高为x cm ，依题意，有 30×20x ＝25π×112，解方程，得 ≈=24121πx 15.9cm ， 答：长方体容器的高至少需要15.9cm.点评：“等积变换”是中学数学的常用方法，要让学生理解和把握这方法，并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装，每件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%.（1）在这次买卖中，这位个体户是赔是赚还是正好保本？ （2）若将题中的135元改成为任何正数a 元，情况如何？ 分析：关键把握等量关系： 进价（1＋盈利率）＝售价，进价（1－亏本率）＝售价.解：（1）设第一件进价为x 元，则135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元，则135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.（2）仿前一小题方法可得： a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=， a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是亏本.点评：解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系，同时理解好一些常用“词”：如：打八折，进价，售价，盈利10%，亏本20%等.拓广：在例3中，将题中的135元改为任何正数a 元，同时又将题中的25%改为m%（0＜m ＜100）情况如何？工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用20小时可注满一池水，乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后，乙管才开始工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？分析：利用等量关系，甲管工作量＋乙管工作量＝1，来解题，为了理清工作量的关系，可列表如下：（设两管一起开后x 小时可注满全池）解：设两管一起打开后x 小时可注满全池，依题意，得140208=++xx . 解得 8=x （小时），答：两管一起打开后8小时可注满水池.点评：“列表法”在分析等量关系中，有其特点，但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上，提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路，后31的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在距离丙地44千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？分析：本题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3－5－1所示，相等关系是A 车行驶时间＝B 车行驶时间.距丙地44千米处，有两种可能，（1）相遇处在高速公路上距丙地44千米，（2）相遇处在普通公路上，解题时要考虑到这两种情况，再根据实际取舍.解：设甲、乙两地相距x 千米，A 车从甲地到丙地，需要15010032xx=（小时），B 车从乙地到丙地，需要2107031x x=（小时）， ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答：甲、乙两地之间的距离是441千米.点评：“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况，以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元，大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行，年利率为1.98%，免收利息税，小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券，但要交纳20%的利息税，一年后两人得到的收益恰好相等，问两人的压岁钱各是多少？分析：抓住这一问题的等量关系.1.利息（免税的）＝存入钱数×年利率，2.利息（不免税的）＝存入钱数×年利率×（1－税率），3..大宝的收益＝小宝的收益.解：设大宝的工钱为x元，则小宝的工钱为（1000－x）元，由题意，得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x（元），1000－x=490(元).=答：大宝的工钱是510元，小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追及超越卡车，需要花费的时间约是（）A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票，已知该旅客现已购行李票60元，则它的飞机票价为（）A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？4.某商品的进货单价为280元，按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化，决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为22毫米的正方形，高是15毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少毫米？6.一艘船在甲、乙两地之间航行，顺水要3小时，逆水要3.5小时，已知船在静水中航行速度是每小时26千米，求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走，一圈为400米，甲的速度为平均每分钟80米，乙的速度是甲的1.25倍，如果乙在甲的前面100米，多少分钟后两人相遇？8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min，只好以15km/h的速度前进，结果比规定时间早4min到达B地，求A、B 两地的距离？二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件，如果商店销售这些商品时，要获利12%的利润，那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝，第一次用去了它的一半少1m，第二次用去了剩下的一半多1m，结果还剩下10m，这卷铁丝原长多少？3.有大中小三个正方形水池，它们的内池分别为6m、3m、2m，把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6cm和4cm，如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m，试求各铁桥的长？5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品，已知该贷的年利率为1.5%（不计复利），每人新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税是销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润用来归还贷款，问需要几年才能一次性还清？（利润＝销售额－成本－应纳税款）6.某班共40名学生，其中33人数学成绩不低于80分，32人英语成绩不低于80分，且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。
一元一次方程的概念及解法(含解析)
一元一次方程的概念及解法考试要求：例题精讲：板块一等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x=x+=需要1才成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，+=-．x x11等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．【例1】下列各式中，哪些是等式⑴31x+<⑷53x+=⑸()x-⑵523-=⑶212-=-⑹x y z xz yz+=1x y【解析】等式的概念【答案】⑵⑷⑸⑹☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程，如21x+=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
☞关于方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如50x+=中(x的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n 等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数． 【例2】 下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【解析】方程的概念 【答案】⑶⑷⑹⑺⑻【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+ ⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -= 【解析】判断一个式子是不是方程，一要看是否为等式，二要看是否含未知数． 【答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程【例3】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【解析】方程的解（注意严格要求学生的书写格式，不能直接将数值代入方程，如3(1)15(1)⨯--=+-，这样写不对的原因在于未检验之前，并不知道1x =-是否是方程的解）【答案】⑴把3x =分别代入原方程的左边和右边，得左边3318=⨯-=，右边538=+= ∴左边=右边∴3x =是方程315x x -=+的解⑵把1x =-分别代入原方程的左边和右边，得 左边3(1)14=⨯--=-，右边514=-= ∵左边≠右边∴1x =-不是方程315x x -=+的解【巩固】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【解析】方程的解【答案】⑴把23x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边，得左边22(3)12=⨯+-+=，右边2(3)32=---= ∴左边=右边 ∴23x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解⑵把10x y =⎧⎨=⎩分别代入原方程的左边和右边，得左边21013=⨯++=，右边1032=--=- ∵左边≠右边∴10x y =⎧⎨=⎩不是方程213x y x y ++=--的解⑶把02x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边，得左边20(2)11=⨯+-+=-，右边0(2)31=---=- ∴左边=右边 ∴02x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解【例4】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【解析】将2x =-代入原方程中，即可求解 【答案】3m =-【巩固】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【解析】略 【答案】3-板块二 等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠☞注意：⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到： 对称性，即：如果a b =，那么b a =．传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．又称为等量代换 易错点：等号左右互换的时候忘记变符号 【例5】 根据等式的性质填空：(1)4a b =-，则______a b =+； (2)359x -=，则39x =+ ；(3)683x y =+，则x =_________； (4)122x y =+，则x =__________．【解析】(1)4a b =+，在等式两端同时加上b ；(2)395x =+，在等式两端同时加上5；(3)836y +，在等式的两端同时乘以16；(4)24y +，在等式的两端同时乘以2．【答案】(1)4a b =+ (2)395x =+ (3)836y + ；(4)24y +【巩固】下列变形中，不正确的是( )A ．若25x x =，则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=，则1012x x -= D ．若x ya a=，则ax ay = 【解析】根据等式的性质二，除数不能为0 【答案】A【巩固】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+，那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=，那么6x =+_________；根据⑶如果324x y -=，那么34x y -=______；根据⑷如果34x =，那么x =_____________；根据【解析】略【答案】⑴1-，等式的性质1；⑵y ，等式的性质1；⑶8，等式的性质2；⑷43，等式的性质2板块三 一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．☞一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =(0a ≠，a ，b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠，a ，b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误． ⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成 【例6】 下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【解析】方程、等式的概念【答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是【巩固】下列方程是一元一次方程的是( )．A ．2237x x x +=+B ．3435322x x -+=+ C ． 22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=【解析】略 【答案】B【巩固】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．【解析】一元一次方程的定义 【答案】如图【例7】 若131m x -=是一元一次方程，那么m = 【解析】一元一次方程的定义 【答案】2m =【巩固】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =【解析】1120k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩【答案】2k =-【巩固】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程，则a = ，方程的解是【解析】一元一次方程的定义 【答案】原方程化为一般形式得222(1)(3)0a x a x a a ---++=，则10a -=，∴1a =，1x =-【巩固】已知关于x 的方程(21)50nm x --=是一元一次方程，则m 、n 需要满足的条件为 【解析】一元一次方程的定义【答案】210m -≠且1n =，即12m ≠且1n =±板块四 一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． 2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号． 温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边． 温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ )，得到方程的解 bx a=．温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒． 【例10】 下列等式中变形正确的是（ ）（2）（1）⑤③①②（2）（1）A.若31422x x -+=，则3144x x -=-B. 若31422x x -+=，则3182x x -+= C. 若31422x x -+=，则3180x -+= D. 若31422x x -+=，则3184x x -+=【解析】考查去分母解方程第一步骤，学生很容易出现漏乘等问题造成失分 【答案】D【例11】 122233x x x -+-=-【解析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解答【答案】35x =-．【巩固】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【解析】略【答案】⑴23x =；⑵117y =【巩固】解方程：(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+；(3)135(3)3(2)36524x x ---= 【解析】略 【答案】(1)107x =-；(2)38x =；(3)12x =．☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算【例12】 解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-． 解：原方程可化为7110.251432x x x --+=-去分母，得 ．根据等式的性质( ) 去括号，得 ．移项，得 ．根据等式的性质( ) 合并同类项，得 ．系数化为1，得 ．根据等式的性质( )【解析】注意解方程的基本步骤与等式的性质【答案】去分母，得3(71)4(10.2)6(51)x x x -=--+．根据等式的性质1去括号，得21340.8306x x x -=---．移项，得210.830346x x x ++=+-．根据等式的性质1合并同类项，得51.81x =．系数化为1，得5259x =．根据等式的性质2【例13】0.130.4120 0.20.5x x+--=【解析】略【答案】原方程可变形为3041020 25x x+--=去分母得5(30)2(410)200x x+--=去括号得5150820200x x+-+=移项、合并得330x-=∴10x=-【巩固】解下列方程：⑴2 1.21 0.70.3x x--=；⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=；⑶1(0.170.2)1 0.70.03xx--=⑷0.10.020.10.10.3 0.0020.05x x-+-=⑸422 30%50%x x-+-=⑹1(4)33519 0.50.125xxx+++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-⑻0.10.90.21 0.030.7x x--=【解析】解这类方程通常先应用分数的基本性质，将系数化为整数⑴原方程可化为201210173x x--=，而后解得2126x=；⑵原方程可化为49532 523 x x x+-+-=去分母6(49)15(5)10(32)x x x+--=+解得9x=；⑶原方程可化为101720173xx--=，解得1417x=．⑷原方程可化为1002010100.325x x-+-=，则4812.3x=，解得41160x=．⑸原方程可化为10401020235x x-+-=，解得13110x=．⑹解得7x=-．⑺解得9x=．⑻解得48127619x==．【答案】略☞逐层去括号含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。
一元一次方程解法详解
一元一次方程解法详解一元一次方程是初中数学中的基础知识，也是解决实际问题的数学工具之一。
本文将详解一元一次方程的解法，帮助读者理解和掌握这一重要概念。
一、一元一次方程的定义一元一次方程（简称一次方程）是指等号两边含有变量、常数和运算符（如加减乘除）的代数式。
通常形式为ax+b=0，其中a、b都是已知的实数，而x是未知数，a不等于0。
二、解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤如下：步骤一：将方程按照等号两边排列，使得方程左边为零。
步骤二：类似项合并，即合并方程左边的x项和常数项，使方程左边只剩下一个x。
如果方程左边有多个x，则可以进行移项、合并同类项等操作。
步骤三：通过除法运算，将x的系数化为1。
即将方程左边的x系数除以x的系数，使得方程左边x的系数变为1。
步骤四：通过加减法逆运算，将常数项移到方程右边。
步骤五：检验解是否正确。
将方程左边的x代入原方程，验证等式是否成立。
三、解一元一次方程的示例为了更好地理解解一元一次方程的步骤，以下给出一个具体的示例：示例一：2x+3=7步骤一：将方程按照等号两边排列2x-4=0步骤二：合并同类项2x=4步骤三：将x的系数化为1x=2步骤四：将常数项移到方程右边x-2=0步骤五：检验解是否正确将x=2代入原方程，得到2*2+3=7，等式成立示例二：3(x-4)=5x-7步骤一：将方程按照等号两边排列3x-12=5x-7步骤二：合并同类项3x-5x=-7+12-2x=5步骤三：将x的系数化为1x=-5/2步骤四：将常数项移到方程右边x+5/2=0步骤五：检验解是否正确将x=-5/2代入原方程，得到3*(-5/2-4)=5*(-5/2)-7，等式成立通过以上示例，我们可以看出解一元一次方程的步骤是一致的，只是具体的计算过程和运算符的选择会有所不同。
四、解一元一次方程的注意事项在解一元一次方程时，需要注意以下几点：1. 当方程左边的系数为0时，方程无解。
2. 当方程左边和右边的系数相等且常数项相等时，方程有无数解。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一、方程的概念与组成1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。
2.方程的组成：a.未知数：用字母表示的数，如x、y等。
b.常数：已知的数，如2、3、4等。
c.运算符号：加、减、乘、除等。
二、一元一次方程的定义与特点1.定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。
a.方程中只有一个未知数。
b.未知数的最高次数为1。
c.方程的两边都是整式。
2.移项：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。
3.合并同类项：将方程中同类项合并，化简等式。
4.系数化为1：将方程中的未知数系数化为1，得到未知数的值。
四、解题步骤1.识别方程：判断方程是否为一元一次方程。
2.移项：将未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。
3.合并同类项：化简等式，使未知数系数化为1。
4.求解：根据合并同类项后的等式，求得未知数的值。
5.检验：将求得的未知数值代入原方程，验证等式是否成立。
五、常见解题方法1.加减法解法：适用于方程两边都有未知数的情况。
2.乘除法解法：适用于方程中有未知数的乘除运算。
3.换元法：适用于方程中未知数的系数较大或较复杂时，通过设定新未知数简化方程。
六、解题注意事项1.保持等号对齐：在移项、合并同类项过程中，要注意保持等号对齐，避免出错。
2.符号变化：移项时，要注意符号的变化，负数移到等式另一边要变正，正数移到等式另一边要变负。
3.检验：求得未知数值后，要进行检验，确保解是正确的。
七、方程的应用1.实际问题：将实际问题转化为方程，通过求解方程得到问题的答案。
2.数学运算：在一元一次方程的基础上，进行加减乘除等运算，解决更复杂的数学问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握一元一次方程的基本概念、解法步骤和应用方法，为后续数学学习打下基础。
习题及方法：1.习题：2x - 5 = 3a.移项：将常数移到等式右边，未知数移到等式左边。
2x = 3 + 5b.合并同类项：将等式右边的常数相加。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程是高中数学中的基础内容，不仅在数学学科中有广泛的应用，也在生活中有着实际的意义。
本文将介绍一元一次方程的解法及其应用。
一、一元一次方程的定义一元一次方程也可称为一次方程，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知实数，a≠0，x为未知数。
一元一次方程的解即为使该方程成立的实数x的值。
二、解一元一次方程常用的方法有两种：等式法和变量法。
1. 等式法等式法是通过变形，将方程两边的式子化为相等的形式，从而得到方程的解。
步骤如下：（1）将方程化为形如ax = b的形式，即将方程中的常数项移到方程的右侧。
（2）将方程两边同乘（或除以）相同的数（非零数），使方程的系数为1。
（3）得到方程的解。
示例：求解方程3x + 5 = 14。
解：将方程中的常数项移到方程的右侧，得到3x = 14 - 5，即3x = 9。
将方程两边同除以3，得到x = 3。
所以方程的解为x = 3。
2. 变量法变量法是通过引入一个新的变量，使得方程转化为等价的两个方程，从而得到方程的解。
步骤如下：（1）引入一个新的变量，用于表示方程中的未知数。
（2）通过变量的代入，得到方程的另一个等价形式。
（3）解得新方程的解，并通过代入求得原方程的解。
示例：求解方程2x + 3 = x + 7。
解：引入新变量y，将方程转化为2x + 3 = y + 7。
通过变量的代入，得到x = y - 4。
将x = y - 4代入原方程，得到2(y - 4) + 3 = y + 7，化简得到y = -3。
再将y = -3代入x = y - 4，得到x = -3 - 4，即x = -7。
所以方程的解为x = -7。
三、一元一次方程的应用1. 问题解决一元一次方程在问题解决中有广泛应用。
例如，解一元一次方程可以用于计算购买商品的总价、求解行程的时间等。
示例：某商场举办特价销售活动，一件原价为180元的商品打7折出售，求购买该商品的价格。
《一元一次方程及其解法》 知识清单
《一元一次方程及其解法》知识清单一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（其中$a$，＄b$为常数，且$a ＼neq 0$）。
例如：＄2x ＋ 3 ＝ 7$，＄05x 1 ＝ 2$等都是一元一次方程。
需要注意的是，方程必须是等式，并且等式两边都是整式。
二、一元一次方程的解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解。
例如，对于方程$2x ＋ 3 ＝ 7$，当$x ＝ 2$时，方程左边$＝ 2×2 ＋3 ＝ 7$，方程右边$＝ 7$，因为左边等于右边，所以$x ＝ 2$是方程$2x ＋ 3 ＝ 7$的解。
三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤如下：1、去分母如果方程中有分母，要根据等式的性质，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。
例如，方程$＼frac{x}｛2} ＋＼frac{x}｛3} ＝ 1$，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，方程两边同时乘以 6，得到：＄6×＼frac{x}｛2} ＋ 6×＼frac{x}｛3} ＝ 6×1$＄3x ＋ 2x ＝ 6$2、去括号如果方程中有括号，要先去括号。
去括号时，要遵循乘法分配律，用括号外的数乘以括号内的每一项。
例如，方程$2(x ＋ 3) ＝ 5x 1$，去括号得到：＄2x ＋ 6 ＝ 5x 1$3、移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
移项时要注意变号。
例如，方程$3x ＋ 5 ＝ 7x 9$，移项得到：＄3x 7x ＝－9 5$＄－4x ＝－14$4、合并同类项将方程中的同类项进行合并，化简方程。
例如，上面得到的$－4x ＝－14$，合并同类项得到：＄－4x ＝－14$5、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如，＄－4x ＝－14$，两边同时除以$－4$得到：＄x ＝＼frac{7}｛2}＄四、实际问题中的一元一次方程一元一次方程在实际生活中有广泛的应用，例如行程问题、工程问题、销售问题等。
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元一次方程的解法(基础)知识讲解【学习目标】
1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据;
2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想;
3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
要点诠释:
(1 )解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化.
(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再
去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆.
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义.
要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c的形式，再分类讨论：
(1)当C 0时，无解；⑵当C可化为：ax b c或且x b
2.含字母的一元一次方程
方程无解.
【典型例题】
类型一、解较简单的元一次方程0时，原方程化为：且x b 0
C.
(3)当C 0时，原方程
此类方程一般先化为最简形式(1 )当aZO 时，X »
ax = b,再分三种情况分类讨论:
当a = 0, b= 0时，x为任意有理数；(3)当a二0, bP时,
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是（）
A 由2x-3 二- ■x-4,得2x+x = -4-3
B 由x+3= 2-4x,得5x= 5
C 由
2 3
2X2, 得三”
由3二x-2, 得-x = -2~3
D
1 2 2x 1 10x 7 2 3 2 x 1 2 x
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为【答案与
解析】（1）去括号得：4x 2 10x 7
移项合并得：6x 5
解得：X 5
6
（2）去括号得：3 2x 2 2x 6
移项合并得：4x 7
7
解得：X
4
【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“是“-”，各项均变号.
举一反三：
【变式】解方程：5（x-5） +2x = -4 .
【答案】解：去括号得：5X-25+2X = -4 .移项合
并得：7x = 21.
解得：x = 3.
类型三、解含分母的一元一次方程（常数项）
ax= b（a羊0）的形式.
（3）系数化为1:即根据等式性质2:方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解x -
a
3
1,从而解出方程.
号，不变号；括号前面
a,曲春?新乡期末)解方程筈I/'弩
【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把X系数化为1的步骤，即可求
出解.
【答案与解析】
解：去分母得：2 (2x- 1) - 12=3 (3x+2),
去括号得：4x- 2 - 12二9x+6,
移项合并得：5x=- 20,
解得：x= - 4.
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1,求出解. 举一反三：
【变式】(2015?岳池县模拟)解方程：X注少-2 -上二？
2 3 4
【答案】解：去分母得：12x+30=24x - 8 - 3X+24,
移项合并得：-9x=- 14,解得：x=2\
9
类型四、解较复杂的一元一次方程
0^
.解方程：△—0^ 1
0. 7 0. 03
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误.
10x
【答案与解析】原方程可以化成：竺3 1.
7
去分母，得：30x-7 (17-20x) = 21.
去括号、移项、合并同类项，得：170x= 140.
14
系数化成1,得：x —.
17
【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开.
(x 1)【答案与解析】
解法1：先去小括号得:
17 20
x
分子同时扩大相同的倍数，以使
-x
1
) 2 1) 2 -X
3
Z
3 1
再去中括号得：-X
2
4’
移项，合并得：
5 一X
12
11
系数化为1,得：X —
5
解法2:两边均乘以2,去中括号得： 1 4
x 2(x 1) -(X 1) 3 去小括号，并移项合并得：
11 11 X
1
-[(x n —,解得：
6 詼
解法3:原方程可化为： 1 1)
■ 2 (x 1)]
2 (X 1)
1 1
去中括号，得丄八1）丄
11
解得X
5
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号, 构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便•例如本题的方法
左、右两边都含（X-1）,因此将方程左边括号内的一项X变为（X-1）后，把体运算.
举一反三：
3 2
s
【变式】汀2（- 1）2]
2 3 4
【答案】
解：去中括号得：（兰1）2x2
4
3
去小括号，移项合并得：°
—X 6,解得x= -8
类型五、解含绝对值的方程
—6 .解方程凶-2 = 0
【答案与解析】
解：原方程可化为：
但有时根据方程的结
3:方程（X-1）视为一个整
当x > 0时，得x=2 ,
当x〈0时，得-x=2,即，所以原
x= -2 . 方程的解是x = 2或x二-
【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要漏解.。