22二分法及函数模型
函数模型及其应用-人教版高中数学
知识图谱-函数与方程零点的概念与二分法零点存在性判断定理函数与方程综合第02讲_函数模型及其应用错题回顾函数与方程知识精讲一．函数零点的概念1．函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．2．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3．二次函数的零点：，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．二．函数零点存在性判定定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点．即存在，使得，这个也就是方程的根．说明：这样得到方程在区间内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值．三．函数零点的基本性质从“数”的角度看：即是使的实数．从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标．若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．四．二次函数零点的分布问题1．当，在区间上的最大值，最小值，令．若，则，；若，则，；若，则，；若，则．2．二次方程的实根分布及条件．（1）二次方程的两不等实数根中一根比大，另一根比小；（2）二次方程的两不等实数根都大于（3）二次方程在区间内有两不等实数根（4）二次方程在区间内只有一根（不包括两等根），当或检验另一根若在内成立．五．二分法1．二分法定义：我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再进行比较，按需求留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求函数零点的近似值（1）确定区间，验证，给定精确度．（2）求区间的中点．（3）计算①若，则就是函数的零点；②（2）若，则令；③若，则令．（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值（或），否则重复第二、三、四步．三点剖析一．注意事项利用零点存在性定理判定函数的零点个数时，当函数在区间上是连续不断的曲线，且，此时可得函数在区间存在零点，但个数不能确定，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．二．方法点拨函数零点个数的判断方法1．直接求零点令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．当单调，在内有且只有一个零点．3．利用图象交点的个数画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．题模精讲题模一零点的概念与二分法例1.1、函数的零点为________．例1.2、若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是x=0和x=____．例1.3、已知，函数恒有零点，求实数的取值范围．例1.4、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5例1.5、用二分法求方程的正实根的近似解(精确度)时，如果我们选取初始区间是，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．题模二零点存在性判断定理例2.1、已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的，x，f（x）对应值表如下：则函数y=f（x）存在零点的区间有（）A、区间[1，2]和[2，3]B、区间[2，3]和[3，4]C、区间[2，3]和[3，4]和[4，5]D、区间[3，4]和[4，5]和[5，6]例2.2、若方程2ax2-1=0在（0，1）内恰有一解，则实数a的取值范围是____．题模三函数与方程综合例3.1、设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A、B、C、D、例3.2、已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是_______．例3.3、已知函数f（x）=x2+（2-a）x+4，a∈R（1）若a=8，求不等式f（x）＞0的解；（2）若f（x）=0有两根，一根小于2，另一根大于3且小于4，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）=x2+（2-a）x+4在区间[1，3]内有零点，求实数a的取值范围．随堂练习随练1.1、函数f（x）=x3-3x+2的零点为（）A、1，2B、±1，-2C、1，-2D、±1，2随练1.2、函数的一个零点为1，则它的另外一个零点为________随练1.3、若，则方程的根是（）A、B、C、2D、随练1.4、设f（x）=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A、（1，1.25）B、（1.25，1.5）C、（1.5，2）D、不能确定随练1.5、用二分法求下图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（）B、A、C、随练1.6、已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表，那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A、（-∞，1）B、（1，2）C、（2，3）D、（3，+∞）随练1.7、已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是__________．随练1.8、函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________随练1.9、设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A、B、[﹣1，0]（﹣，﹣2]C、（﹣∞，﹣2]D、（﹣，+∞）自我总结课后作业作业1、若求下列函数的零点：（1）；（2）作业2、二次函数中，则函数的零点个数是（）A、没有零点B、有一个零点C、有2个零点D、不能确定作业3、设f(x)=()x-x+1，用二分法求方程()x-x+1=0在（1，3）内近似解的过程中，f（1）＞0，f（1.5）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，则方程的根落在区间（）A、（1，1.5）B、（1.5，2）C、（2，3）D、无法确定作业4、用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为____．作业5、函数f（x）=x-2-x+1的零点所在区间为（）A、（0，1）B、(1，)C、D、（2，3）(，2)作业6、已知关于x的方程为2kx2-2x-3k-2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（）A、k＞0B、k＜-4C、-4＜k＜0D、k＜-4或k＞0作业7、已知f（x），g（x）均是定义在[﹣2，2]的函数，其中函数f（x）是奇函数，函数f（x）在[﹣2，0]上的图象如图1，函数g（x）在定义域上的图象如图2，则函数y=f[g（x）]的零点个数（）A、3B、4C、5D、6作业8、设函数若f（﹣3）=f（﹣1），f（﹣2）=﹣3，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为个．。
函数模型及其应用
选定初始区间 [a, b] 求区间 [a, b]的中点 x1 计算
f ( x1 )
是
f ( x1 ) 0
否
x1 是函数的零点
否
f (a) f ( x1 ) 0
是
零点x0 (a, x1 )，令b x1
零点x0 (a, x1 )，令b x1
否
| a b |
是
零点的近似值是 a或b
(2)函数y a x (0 a 1), y loga x(0 a 1), y xn (n 0)的变化趋势 总会存在一个 x0 ,当x x0时, 就有xn a x loga x
实际问题
问 题 解 决
数学化 (转化为数学问题)
数学问题
数 学 解 答
实际问题结论
函 数 的 模 型
函 数 与 方 程 函 数 模 型 及 其 应 用
函数的零点与其对应方程根的关系
用二分
解 决 具 体 问 题
用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
方程f ( x) 0的实数根 函数y f ( x)的零点 函数y f ( x)的图象与x轴的交点的横坐标
符合实际 (回到实际问题)
数学问题结论
收集数据
画散点图 选择函数模型
不 符 合 实 际
求函数模型
检 验
符合实际
用函数模型解释实际问题
函数零点判断的方法
如果函数y f ( x)在区间 [a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线，
f (a) f (b) 0
函数y f ( x)在区间(a, b)内有零点 即存在c (a, b), 使得f (c) 0 c也就是方程 f ( x) 0的实数根
2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (
高中数学课本内容分布
高中数学课本内容分布文科必修一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用文科必修1一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、算法案例二、统计1、随机抽样2、用样本估量总体3、变量间相关关系三、概率1、随机事件概率2、古典概型3、几何概型必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、几何概型。
函数的零点复习
知识点二、二分法求方程的近似解
1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过 不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)＜0，给定精确度 ε； ②求区间(a，b)的中点 c； ③计算 f(c)； (ⅰ)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (ⅱ)若 f(a)· f(c)＜0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (ⅲ)若 f(c)· f(b)＜0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度 ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤 ②③④.
9．某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜ 240，x∈N*)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成 本)的最低产量是 A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台 ( )
10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10
)
7．若方程 a x x a 0 有两个解，则实数 a 的取值范围是 A． (1, ) B． (0,1) C． (0, )
8．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB，直线 l 截这个三角形所 得的位于直线右方的图形面积为 y，点 A 到直线 l 的距离为 x，则 y=f（x）的图象大致 为 ( )
D．(3,4)
有关二次函数的零点问题
关于高中数学教材中“函数应用”内容的教学建议
关于高中数学教材中“函数应用”内容的教学建议作者：武恒彬来源：《考试周刊》2013年第90期摘要：“函数应用”这部分内容体现了新课程强调发展学生数学应用意识和创新意识的思想。
在教学过程中教师要明确教学目标，准确把握基本要求；实现信息技术与“函数应用”学习的有效整合；引导学生领悟函数与方程的密切联系，体会函数思想。
关键词：高中数学教学函数应用教学策略信息技术高中数学《必修1》中的“函数应用”这一章包括两部分内容，一是函数与方程，二是函数模型及其应用。
函数应用的第一个重点是二分法及用二分法求方程近似解，第二个重点是函数模型的应用实例。
这部分内容在课程标准中首次独立成章，充分体现了新课程强调发展学生数学应用意识和创新意识的思想。
增加这部分内容，一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来；二是二分法这部分内容较好地体现了算法的思想，其有效、快速、规范的求解过程，可以为后面学习算法内容做好必要的准备。
因此，在教学过程中教师一定要强调对概念、结论的产生的背景和应用蕴涵的数学思想的理解，让学生领会什么是真正的应用。
一、明确教学目标，准确把握基本要求函数与方程（函数的零点与方程根的关系和用二分法求方程的近似解），函数模型及其应用（几类不同增长的函数模型和函数模型的应用实例）是本章学习的主要内容。
针对这些内容，课本提出了四个学习目标：①结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；②根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；③利用计算工具，比较指数函数，对数函数，以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
12函数与方程
练习一：求以下函数的零点 1. f x e 2;
x
2. f x 1 ln x.
考向二：函数零点所在区间的判断
例 2. 函数 f(x)＝log3x＋x－3 的零点一定在区间( C ) A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4)
练习：1.函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
考向三：函数零点个数的判断
例3.若定义在 R上的偶函数 f(x)满足f(x＋2) ＝f(x),且当
x∈[0, 1] 时， f(x) ＝ x, 则函数 y ＝ f(x) － log3|x| 的零点个
数是
4 .
B．有且仅有一个根
练习：1.方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内( C ) A．没有根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 (2)函数 f(x)＝log3x－x＋2 的零点的个数是( C )
A． 0 C． 2 B．1 D． 3
考向四：二次函数的零点
例 4： 已知函数 f(x)＝x2-2ax-1+3a.如果函数 y＝f(x) 有两个正零点，求实数 a 的取值范围．
练习.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一 根在区间(1,2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围．
第四步，判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零 点近似值 a(或 b)；否则重复第二、三、四步.
考向一：解函数零点
2 x 2, x [1, ) 1 y f ( x ) 例1.设函数 f ( x ) 2 ,则函数 4 x 2 x , x ( ,1) 9, 2 5 的零点是___________. 8 2
高中数学二分法
高中数学二分法二分法：1、定义：二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。
2、特点：二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。
3、应用场景：二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。
4、具体实现：二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。
5、优点：二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。
6、缺点：二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。
综上所述，二分法是一种有效的有限迭代的方法，是高中数学中必不可少的重要的求解手段，它可以用来求解函数在某一区间最大值、最小值等问题，可以获得近似精确的结果，但同时也有一些缺点需要注意，所以才能在快速有效精确的基础上找到最佳解。
第二章函数模型及其应用
一、三种增长型函数增长速度的比较
在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y
＝xn(n>0)都是 函数，但它们增的
不同．增随长着速x度的
增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 ，会超过并远快远大
于y＝xn(n>0)的增长速度；而y＝logax(a>1)的增长速度则会
例4．求 3 3 的近似值。（精确度0.1）
解: x=3 3
x3 3
x3 3 0 再利用二分法求近似根
解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不 需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三 天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公 斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料 的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天． ∴每次购买的原材料在x天内的保管费用： y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.
不改变本题的条件下，材料厂家有如下优惠条件：若一 次购买不少于4 800公斤，每公斤按9折优惠，问该工厂 是否可接受此条件？
解：购买一次原材料平均每天支付总费用为 f(x)＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400×0.9＝60x0＋6x ＋534(x≥12)， f′(x)＝－6x020＋6＝6x2－x2600， 当 x≥10 时，函数 f(x)为增函数． f(x)min＝f(12)＝656， 而 714>656，故该厂可接受此条件．
解：(1)1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)． 2年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3. …
二分法推论-定义说明解析
二分法推论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二分法是一种非常重要的数学方法，它在计算机科学、数学和工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将通过介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及探讨其优缺点，来阐明二分法的重要性和潜在价值。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解二分法的应用领域和潜力，以及对未来发展的展望和建议。
内容1.2 文章结构文章结构部分:本文共分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，将简要概述文章的主题，并介绍文章的结构和目的。
接下来，在正文部分将详细介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及二分法的优缺点。
最后，在结论部分将总结二分法的重要性，展望二分法的未来发展，并提出结论和建议。
整篇文章将围绕二分法展开，深入探讨其相关的理论和实践应用，以期对读者有所启发和帮助。
1.3 目的本文的目的是探讨和分析二分法在实际问题中的应用以及其优缺点，以便更好地理解和应用这一算法。
同时，我们将总结二分法的重要性，展望其未来的发展，并提出结论和建议，希望能为相关领域的研究和实际应用提供有益的参考和指导。
通过本文的阐述和讨论，读者将对二分法有更深入的了解，并在实际问题的解决中能够更灵活地运用该算法，提高问题求解的效率和准确性。
2.正文2.1 二分法的基本概念二分法是一种常见的算法，用于在有序列表中查找特定元素的位置。
其基本思想是将目标元素与列表中间的元素进行比较，然后根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并不断缩小搜索范围，直到找到目标元素或确定其不存在于列表中。
具体来说，二分法的基本步骤如下：1. 首先，确定有序列表的起始位置和结束位置，以及目标元素的值。
2. 然后，找到中间位置的元素，并将其与目标元素进行比较。
3. 如果中间元素等于目标元素，则找到了目标元素的位置；否则，根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并更新搜索范围。
4. 继续对更新后的范围重复上述步骤，直到找到目标元素或确定其不存在。
人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
二分法与三分法了解二分法和三分法的应用
二分法与三分法了解二分法和三分法的应用二分法与三分法：了解二分法和三分法的应用在数学领域，二分法（Bisection Method）和三分法（Ternary Search）是两种常用的数值计算方法，用于求解函数的根或者优化问题。
它们通过不断缩小搜索区间，逐步逼近目标值，具有高效、准确的特点。
本文将为您介绍二分法和三分法的原理、应用场景以及解决实际问题的案例。
一、二分法的原理及应用1. 原理二分法是一种迭代算法，其基本思想是将搜索区间通过取中点进行划分，然后根据中点处的函数值与目标值的大小关系，舍弃一半的搜索区间。
具体步骤如下：步骤一：确定搜索区间[low, high]，其中low和high为初始的下限和上限；步骤二：计算中点mid = (low + high) / 2；步骤三：计算函数在中点处的值f(mid)；步骤四：根据f(mid)与目标值的大小关系，舍弃一半的搜索区间，并更新low或high；步骤五：重复步骤二至步骤四，直到搜索区间足够小，或者满足精度要求。
2. 应用场景二分法广泛应用于求解单调函数的根的情况，例如求解方程f(x) = 0的根。
此外，它还可以用于求解非线性方程组、求解凸函数的极大值或极小值等问题。
其优点在于收敛速度快、实现简单、结果可靠。
二、三分法的原理及应用1. 原理三分法是在二分法的基础上进行的改进方法，其原理是将搜索区间通过取两个等分点进行划分，然后根据两个等分点处的函数值与目标值的大小关系，舍弃一部分搜索区间。
具体步骤如下：步骤一：确定搜索区间[low, high]，其中low和high为初始的下限和上限；步骤二：计算两个等分点left = low + (high - low) / 3，right = low + (high - low) / 3 * 2；步骤三：计算两个等分点处的函数值f(left)和f(right)；步骤四：根据f(left)和f(right)与目标值的大小关系，舍弃一部分搜索区间，并更新low或high；步骤五：重复步骤二至步骤四，直到搜索区间足够小，或者满足精度要求。
4.5.3 函数模型的应用-学生版
1．常见函数模型题型一一次函数与二次函数模型的应用例1某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?题型二分段函数模型的应用例2某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?跟踪训练二1.甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)=假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).(2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?题型三指数或对数函数模型的应用例3一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?跟踪训练三1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3成正比,且当Q=900时,v=1.(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?例4某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。
高三数学一轮复习 函数与方程、函数模型及应用课件 新人教B版
• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的 符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问 题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三 个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在 区间(an，bn)中． 第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根． 注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万 元，B产品的利润为g(x)万元． 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元． 当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2
备战高考数学二轮专题复习 专题1第3讲函数、方程及函数的应用课件 文 新人教版
第3讲 │ 主干知识整合
二、二分法 1．二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0. 2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近． 3．二分法的步骤：其中给定精确度 ε 的含义是区间 (a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
第3讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20－cos90°－30° ＝ 900t2－600t＋400 ＝ 900t－132＋300. 故当 t＝13时 Smin＝10 3，v＝101 3＝30 3，
3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行 距离最小．
第3讲 │ 要点热点探究
【点评】 关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅 读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、 细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式， 然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．本 题中弄清“销量”、“售价”、“生产成本”、“促销费”、 “利润”等词的含义后列出函数关系式是解决本题的关键．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？
(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试 确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶， 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的 取值范围；若不存在，请说明理由．
又 t＝0 时，x＝1. ∴3－1＝0＋k 1，解得 k＝2. ∴x 与 t 的关系式是 x＝3－t＋2 1(t≥0)．
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专题12 函数的应用(知识精讲)(解析版)
专题十二函数的应用知识精讲一知识结构图二.学法指导1.常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.2. 由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.3．函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.4.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.5.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.三.知识点贯通知识点1 三种函数模型的性质例1.（1）下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快 【答案】C 【解析】观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变．（2）函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小．【解析】 (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32； 当x ＞2时，f (x )＞g (x )， ∴f (2 019)＞g (2 019)．知识点二 函数的零点对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．例题2：求函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；【解析】当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.知识点三 判断函数零点所在的区间函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a )f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的解．例题3 .若函数f (x )＝x ＋a x(a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．0C ．1D ．3【答案】A【解析】f (x )＝x ＋ax (a ∈R )的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a ＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.知识点四 二分法二分法的定义对于在区间[a ，b ]上图象连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．例题4．已知函数f (x )的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3 【答案】D [【解析】图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D. 知识点五 函数的应用常用函数模型例0经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？【解析】 先设定半衰期h ，由题意知40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，当T ＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30.因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.五 易错点分析易错一 零点个数例题6.已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数．画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.误区警示利用函数的图象判断零点的个数，应准确地画出函数的图象，一种是画一个函数的图象，看图象与x 轴交点的个数，进而判断零点的个数；一种是画两个函数的图象，看两个函数的图象交点的个数，进而判断零点个数。
基础算法02_二分法、三分法
基础算法02_⼆分法、三分法更多⼆分题⽬⼆分是⼀种思想，⽽⾮模板在什么情况下使⽤⼆分？需要同时满⾜两个条件：上下界[L,R]确定，函数在[L,R]内是单调的。
⼆分法模板：int left = ？, right = ？;//给L和R确定边界while (left < right){int ans;//ans记录答案int mid = (left + right) >> 1;if (check(mid)) {ans = mid;//记录答案...//移动left（或者right）}else ...//移动right（或者left）}所以，⼆分的难点就在于如何建⽴模型（寻找单调性作为mid）和check()条件（如何缩⼩边界），在写⼆分的时候，可能会⽤上其他的算法或者数据结构，⽐如在DP中，或者图论中。
⼆分法的典型应⽤有：最⼤值最⼩化，最⼩值最⼤化。
最⼤值最⼩化（让最⼤值尽可能的⼩）题⽬：题⽬背景在艾泽拉斯⼤陆上有⼀位名叫歪嘴哦的神奇术⼠，他是部落的中坚⼒量有⼀天他醒来后发现⾃⼰居然到了联盟的主城暴风城在被众多联盟的⼠兵攻击后，他决定逃回⾃⼰的家乡奥格瑞玛题⽬描述在艾泽拉斯，有n个城市。
编号为1,2,3,...,n。
城市之间有m条双向的公路，连接着两个城市，从某个城市到另⼀个城市，会遭到联盟的攻击，进⽽损失⼀定的⾎量。
每次经过⼀个城市，都会被收取⼀定的过路费（包括起点和终点）。
路上并没有收费站。
假设1为暴风城，n为奥格瑞玛，⽽他的⾎量最多为b，出发时他的⾎量是满的。
歪嘴哦不希望花很多钱，他想知道，在可以到达奥格瑞玛的情况下，他所经过的所有城市中最多的⼀次收取的费⽤的最⼩值是多少。
输⼊格式第⼀⾏3个正整数，n，m，b。
分别表⽰有n个城市，m条公路，歪嘴哦的⾎量为b。
接下来有n⾏，每⾏1个正整数，fi。
表⽰经过城市i，需要交费fi元。
再接下来有m⾏，每⾏3个正整数，ai，bi，ci(1<=ai，bi<=n)。
江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题
江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是（）A．A∩B＝{3}B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C．∁U A＝{4，5，6，7，8}D．∁U B＝{1，2，7}2．已知a，b∈R，那么“3a≤3b”是“log a＞log b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1050km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）A．2200km B．1650km C．1100km D．550km4．用二分法求函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣1在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A．5B．6C．7D．85．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．46．设函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）．若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．17．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则满足的a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．C．D．8．定义：正割secα＝，余割cscα＝．已知m为正实数，且m•csc2x+tan2x≥15对任意的实数x均成立，则m的最小值为（）A．1B．4C．8D．9二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9．下列选项中，与sin（﹣）的值相等的是（）A．2sin15°sin75°B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°C．2cos215°﹣1D．10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（）A．y＝3|x|+1B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）C．y＝x2+2D．11．函数f（x）＝3sin（2x+φ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A．f（x）的最小正周期为πB．是f（x）的最小值C．f（x）在区间上的值域为D．把函数y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象12．若6b＝3，6a＝2，则（）A．＞1B．ab＜C．a2+b2＜D．b﹣a＞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
用二分法求方程的近似解
3、1、2用二分法求方程的近似解（寄语教师：二分法是新课标新增加的一个内容.二分法对于学生来说应该是一个难点，并且二分法是我们到大学以后学习计算机语言的一个基础，在讲解二分法的时候，建议老师能涉及一点点计算机编程的知识，譬如“循环”这个计算机程序常用语.)一、【学习目标】（寄语教师：第一个学习目标是我们必须完成的，但是不排除有学生可能一生也理解不了二分法.有些情况是允许出现的，因为这是自然规律.有些学生的发散性思维就是不强，作为老师应该有包容心，不要对学不会的学生嗤之以鼻，以免伤害孩子们的自尊心.毕竟不是每一个学生都要靠上学吃饭的，这方面不行，其余的可能会有很多闪光点.我们老师的任务是教会那些应该会的学生.）1、理解并掌握二分法求解方程近似解的过程；会利用二分法解决 简单的题目；2、进一步巩固函数的零点和方程的根的知识，理解函数的零点和 方程的根的区别与联系.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生把握课堂的学习目的.二、【自学内容和要求及自学过程】自学教材第89页—90页内容，然后回答问题<1>我们知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间），（32内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？（寄语教师：问题<1>是一个引子，要给学生足够的思考空间.）<2>你能介绍一下“取中点”的方法缩小零点所在的范围吗？（一般的我们把2/)(b a x +=叫做区间）（b a ,的中点）（寄语教师：这一部分一定要强调到，要让学生真正的做到自学，学好，学懂，学会，这是一个要点，也是我们以后做题的依据）<3>请你试求函数62ln )(-+=x x x f 在区间），（32内零点近似值；精确度为01.0；（寄语教师：要解释好精确度，这一点要让学生弄清.精确度和我们学习的“精确到”是不一样的，精确度是指近似值与真实值之间的差别度.）<4>我们把书上求零点近似值的方法叫做二分法，你能总结一下用二分法求函数零点近似值的步骤吗？（寄语教师：二分法的步骤书上给的理论性很强，学生一时不易弄懂，老师要有耐心，要耐心的讲解，这样学生才能体会其中的道理.当然，学生掌握解题过程，比只会背诵定理重要得多.）结论：<1>一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量减缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.<2>譬如62ln )(-+=x x x f 在区间），（32内有零点，并且我们知道0)3(,0)2(><f f ，那么我们取区间），（32的中点5.2，用计算器算得084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<∙f f ，所以零点在区间），（35.2内.再取区间），（35.2的中点75.2，用计算器算得512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<∙f f ，所以零点在区间），（75.25.2内，因为）（），（），（7.2,5.235.232≠≠⊃⊃，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.这样，在一定的精确度下，我们可以在有限重复相同的步骤后，将所得的零点所在区间内任意一点作为函数零点的近似值，特别的可以将区间的端点作为近似值.<3>解题过程如下图所示，请同学们仔细的品味一下：由于01.00078125.053125.25390625.2<=-，所以我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 的根的近似值.<4>对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<∙b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1、确定区间],[b a ，验证0)()(<∙b f a f ，给定精确度ε；2、求区间）（b a ,的中点c ；3、计算)(c f ；①若)(c f =0，则c 就是函数的零点；②若0)()(<∙c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；③0)()(<∙b f c f ，则另c a =，（此时零点),(0b c x ∈）.4、判断是否达到精确度ε：即若ε<-b a ，则得到零点近似值为a （或b ），否则重复步骤2—4.（事实上区间],[b a 上任意一点都可作为近似值，为了方便，我们这里统一取端点做近似值.思考：用二分法求函数零点近似值的特点.结论：由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.（寄语教师：思考内容为我们学习算法这一部分内容做准备，老师要点到.）（教学效果：学生对于二分法的具体的解题步骤都能理解并接受，但是对于二分法的步骤总结，因为数学符号太多，学生不是很理解.)三、【练习与巩固】请同学们自学教材第90页例2，然后完成练习 练习一：请同学们先自学例2，然后把书合上，回味例2的解题过程，想一下自己是否掌握了二分法求零点近似值的方法？试一下！（寄语教师：例1是一个基本的题目，这个题目是要求所有学生都会都理解的.) 练习二:①根据表格中的数据，可以判断方程02=--x e x 的一个根所在的区间为：②在用二分法求方程0)(=x f 在]1,0[上的近似解时，经计算，0)6875.0(,0)75.0(,0)625.0(<><f f f ，即可得出方程的一个近似解是 （精确度为1.0）；③证明方程062ln =-+x x 在],2[e 内有根；④设函数235.0,-==x y x y 的图像交点为),(00y x ，则0x 所在的区间为 A 、（0，1）B 、（1，2）C 、（2，3）D 、（3，4）（寄语教师：练习二的四个题目是考试常涉及的题目，这类题目要求每一个学生都掌握，老师们要做好教学上的准备，检查学生的学习情况.要通过口头询问和作业检查来检查教学效果）【教学效果】：学生基本上能顺利的完成练习.四、【作业】1、必做题：①设函数823)(-+=x x f x ，那么我们用分法求方程0823=-+x x 在)2,1(∈x 内近似解的过程中，我们可以得到： 0)25.1(,0)5.1(,0)1(<><f f f ，则方程的根所在的区间为 ②用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次计算，得0)5.0(,0)0(><f f ，第二次应计算)(1x f ，则=1x ；2、选做题：教材第91页练习1、2（同学们可以课下借助计算机或者计算器做一做.（寄语教师：必做题事实上是对我们教学工作的一个检测，要根据作业情况来设计习题课的情况.)五、【小结】这一节课我们主要讲了用二分法求函数零点的近似值，也即是求方程根的近似值.这一节课是一个难点内容，一方面老师要做好教学准备工作，另一方面老师一定要强调学生做好预习工作.这节课学习完以后要求学生能达到顺利的完成作业和课堂练习题的水平.六、【教学反思】教学，什么是真正的教学？狭义的认为就是教书，把书本上的知识教给学生就可以了，事实上，我个人认为不是这样.那么，作为老师，你看一下，你有没有以下几点？<1>学生上课捣乱，不交作业，你会暴怒；<2>学生稍微的顶一下嘴你就会暴怒；<3>学生犯了错误，不问青红皂白就开始批评，长篇大论；<4>批改学生作业时，发现自己讲过的题目，甚至讲过好几遍的题目学生还是不会做，或者抄袭作业你就暴怒；<5>一边批改作业一遍骂学生笨蛋；<6>和同事讨论时说某某学生是个垃圾，是个神经病；<7>觉得学生犯错误是个不可思议的事情；上面的<7>条你是否具备其中一条呢？事实上，若是你具备其中哪怕只是一条，就说明你还不合格，还不是一个合格的教师，还需要磨练.我们逐一的分析一下，第一条学生捣乱，不交作业，事实上学生毕竟是学生，捣乱是学生表现自己的一种形式，而不交作业，我想，我们要从两方面考虑，第一：是不是我们的作业太难了？太多了？第二，事实上学生的不交作业，是一种自律性差的表现，我们追究的不是不交作业，而是要想一想，怎么样提高学生的自律性.第二条，学生稍微的顶一下，我们就暴怒.你有没有想过学生也想表达自己？学生也想把自己的意见表达给你？你有没有给学生话语权？第三条，学生犯了错你总以为学生是错的，你有没有想过学生在学校是一个弱势群体，有没有想到要听学生的辩白？第四条，有一些学生确实是对我们讲的知识不会，举一个简单的例子，你上大学时是否每一个题都会？是否老师讲了几遍我们都会了？第五条，我们是一个老师，能骂人吗？骂人首先就不是为人师表应该做的.我们的学生为什么会“笨”，你只是骂，你找过原因吗？你在想过帮助你的学生，让他怎么变得不“笨”吗？第六条，自己说学生笨就可以了，还要告诉别人，这种事情是小孩子都不能做的，我们能做吗？我觉得这不合适.有议论学生的时间，还不如多搞搞自己的业务.第七条，学生是要我们教的，学生犯错误是很正常的，若是学生不犯错误，那要我们老师做什么？所以说，上面的七条我们是都不能犯的，这是做老师的大忌，谨以此给青年教师提一个醒希望我的教案能给青年教师一个示例！为我们在新课标的教学中指明航向！另：若有教学教法上的疑问可以给我QQ：191745313或者我的邮箱：heda2007@写邮件！。
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邹平双语学校2014—2015 高一年级数学课时学习目标流程 编号：22 使用时间： 编制人：孙晓迪 审核人： 领导签字： 班级： 小组： 姓名： 科代表： 教师评价：
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二分法及函数模型
【使用准备与要求】
一、所有学生仔细阅读各目标中的知识点，在学习过程中准备红蓝双色笔用红笔标出有疑问的地方，并自查工具书。
二、A 层学生完成全部题目，B 层学生完成B 、C 层题目，C 层学生完成C 层题目。
三、自主学习课完成目标一至目标三
【目标一】理解二分法的概念
二分法：对于在区间[a,b]上 连续不断 且 f(a)*f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点 逐步逼近零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
激情探究：
1.下列函数中不能用二分法求零点的是 （ ）
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x 3
C.f(x)=|x|
D.f(x)=lnx
2.为了求函数f(x)=2x -x 2
的的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表所示：
A.(0.6，1.0)
B.(1.4，1.8)
C.(1.8，2.2)
D.(2.6，3.0)
【目标二】掌握二分法的步骤
给定精确度e ，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[a,b]，验证 f(a)*f(b)<0 ,给定精度e 。
（2）求区间（a,b ）的中点 c 。
（3）计算f(c).
①若f(c)=0，则c 就是函数的零点；
②若f(a)*f(b)<0,则令 b =c(此时零点x 0∈(a,c)); ③若f(c)*f(b)<0,则令 a =c(此时零点x 0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度e ：即若 |a-b|<e ,则得到零点近似值a(或b);否则重复（2）-（4）
激情探究：
（A 层）求函数f(x)=x2-5的负零点（精确度为0.1）。
【规范解答】由于f(-2)=-1<0, f(-3)=4>0,
故取区间（-3，-2）作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算，列表如下：
所以函数的一个近似零点可取-2.25.
【目标三】了解几种不同增长的函数模型
激情探究：
1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 （ ） A.y=2x B.y=log 2x
C.y=x 2
D.y=2
x
2.下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是 ( )
A.y=e x
B.y=100lnx
B.C.y=x 100 D.y=100*2x
（B 层）3.三个变量y 1,y 2,y 3随着变量x 的变化情况如下表：
A. y 1,y 2,y 3
B.y 2,y 1,y 3
C. y 3,y 2,y 1
D.y 3,y 1,y 2。