计算复杂性理论总结_郭培赞

二、 不可判定问题及相关结论，图灵机停机判定问题，文法 不可判定问题
（1） 不可判定问题及结论
设判定问题π ，使π 为真的实例的集合为 Yπ ，实例的全体集合为 Dπ ，这样 一个判定问题就可以这样描述π =（Dπ ，Yπ ） 。通过二元组编码和谓词对应来讨 论。通过编码建立判定问题与谓词的对应关系 设编码为 e， Dπ —>A*(谓词)。对于 I∈Dπ ， Dπ （I）<=>I∈Yπ ，其中 e （I） =x 对于同一个判定问题， 其编码 e1 与 e2 得谓词 P1 与 P2， 根据 chuuring-Turing 命题， 若 e1 与 e2 是可计算的，则有可计算函数 f1: A *— >A*; f2: A *— >A*使得 P1(x)<=>P2(X) P2(X)<=> P1(x)。 定义：如果谓词π 是可计算的，则称判定问题是可判定的，如果谓词π 是半可 判定的，则称判定问题是半可判定的，否则是不可判定的。 定义：设π 1 与π 2 两个判定问题，若有函数 f：Dπ 1—> Dπ 2 满足： (1)f 是可计算的； (2)对于每个实例 I∈Dπ 1 总有 I∈Yπ <=>f（I）∈Yπ 2 则称 f 为判定问题π 1 到π 2 的规约。 定理：设判定问题π 1 可规约为判定问题π 2，则 π 2 是可判定的，蕴含π 1 是可判定的； π 2 是不可判定的，蕴含π 1 是不可判定的。
（2） Bar-Hillel 泵引理及主要作用
Bar-Hillel 泵引理:设 chomsky 范式文法有 n 个变元， L=L(G)， 对于 x∈L， 若|X| ≥2n 则 x 可以表示成 x=u1v1uv2u2，使得 （1）|v1uv2|≥2n； （2）|v1v2|≠ε； （3）对于所有的 k≥0，u1v1kuv2k u2∈L 推论：设 L 是上下文无关语言，则存在正整数 m，使得长度大于 m 的 x 可用 于验证某些语言不是上下文无关语言。 作用：通过泵引理以反证法证明 L 不是上下文无关语言。
（4） 离线图灵机
离线图灵机有一条输入带和 k 条工作带，输入带的带头只读不写，工作带的带头是 和普通多带图灵机一样的读写头。# $分别表示输入带的左端和右端。
（ 各种图灵机之间关系
定理：四元图灵机与五元图灵机是等价的。 定理：单向图灵机与四元机是等价的。
定理：多带图灵机与单带图灵机是等价的。 定理：离线图灵机与单带图灵机是等价。 总结：图灵机都是等价的。
（2） 图灵机形式化定义，图灵机的接受过程及接受语言过程
定义：一个基本图灵机 M 定义为一个七元组 TM={Q,C,δ,A,B,q1,F}。 Q 是状态集，一个非空有穷集合，标示图灵机的所有状态； C 是带字母表， （放在带方格中的符号集合）非空有穷集； δ 是动作函数，包括控制函数或过程转换函数（定义控制器） ，是 QxCQxC ∪（R,L）的部分函数；A 是输入字母表，A⊆C-{B}； B 是空白符，B∈C； q1 是初始状态，q1∈Q； F 是接收状态集，F⊆Q，F 中的元素叫做接收状态 图灵机的每一步计算由动作函数 δ 确定，设当前状态 q,被扫描的符号为 s δ（q，s）=（q’,s’） ，把被扫描的方格的内容改写成 s’并且转换到状态 q’，读 写头的位置保持不变。 δ（q，s）=(q’,R)，读写头左移一格并且转换到状态 q’，带的内容保持不变。 δ（q，s）=(q’,L)，读写头右移一格并且转换到状态 q’，带的内容保持不变。 δ（q，s）无定义，则停止计算。 图灵机的格局包括带的内容、读写头的位置和控制器的状态，可表示成
四、 上下文无关文法
（1） chomsky 范式的文法及相关理论（等价性）
chomsky 范式文法：设上下文无关文法 G=(V ,T,P,S)的每一个产生式都有如下 形式：x—>yz，x—>a 其中 x，y，z∈V，a∈T，则上下文无关文法 G 为 chomsky 范式文法。 定义：设正上下文无关文法 G=(V ,T,P,S)，形如 X→Y 的产生式称作单枝的， 其中 X,Y∈V。如果 G 不含单枝的产生式，则称它是分枝的。 定理： G 为上下文 无关文法， 则存在 分枝的正的上下文 无关文 法 G’ 使 L(G)=L(G’)
计算复杂性理论总结报告
——计算机技术 33 班郭培赞指导老师：王宝文
一、 图灵机
（1） 图灵机基本模型
基本图灵机有一条带作为存储装置和一个控制器，控制器带一个读写头（又叫 做带头） 。带的两端是无穷的，被划分成无穷多个小方格，每个小方格内可以存放 一个符号，控制器有有穷个状态。在计算的每一步，控制器总处于某个状态，读写 头可左移或右移扫描一个方格， 根据控制器当前所处的状态和读写头扫描的方格内 的符号。控制器完成下列三个动作中的其中一个： 1.改写被扫描方格的内容，控制器转换到一个新的状态； 2.读写头向左移动一格，控制器转换到一个新的状态； 3.读写头向右移动一格，控制器转换到一个新状态； 结构如图所示： 左右无穷的带 读写头 控制器
机 M’使 L(M)=L(M’)。 这里的 M 可以是 DTM，也可以是 NTM，但是它是多带的，M 的时间上界是 t(n)。M’是单带，可以是 DTM，也可以是 NTM，M’的时间上界是 t2(n)。
空间复杂度
定义：设 DTM M，字母表为 A，对所有的 w∈A*，M 总停机，把 M 关于 w 的 计 算 中 在 每 一 条 工 作 带 上 使 用 的 方 格 数 的 最 大 值 记 为 ������������ (������) . 称 ������������ (n)=max{������������ ������ ������ ∈ A ∗ 且 w| ≦ n},n∈N 为 M 的空间复杂度。设全函数 s:N→ N。如果������������ (������)=O(s(n))，则称 s(n)是 M 的空间复杂度上界。 定理： 设 M 是一台有 k 条工作带的 s(n)空间界限的离线 DTM(NTM)， 其中 k>1， 则存在只有一条工作带的离线 DTM(NTM)M’， 使得 L(M’)=L(M)并且 M’与 M 有相 同的空间复杂度上界。
（2） 图灵机停机判定问题
定义：图灵机的停机问题——任给图灵机和格局 ζ，从格局 ζ 开始，图灵机是否最 终停机？ 定理：图灵机的停机问题是不可判定的。
（3） 文法不可判定问题
引理：如果 u∈L(M),则 L(������M,u )={������������ |������ > 0},如果 u 不属于 L(M),则 L(������M,u )=空集 定理：下述问题是不可判定的： 任给一个文法 G，是否 L(G)为空集？ 任给一个文法 G，是否 L(G)是无穷的？ 任给一个文法 G 和字符串 x，是否 x∈L(G)？
（3） 非正则语言的定义及相关结论 （4） 泵引理内容及主要作用
正则语言的泵引理：设 L 是正则语言，则存在与 L 相关的常数 n 满足：对于 任何 L 中的串 w，如果|w|≥n，则我们就能够把 w 打断为三个串 w=xyz 使得： （1）y ≠ε。 （2）|xy| ≤ n。 （3）对于所有的 k ≥ 0，串 xykz∈L。 换句话说，我们总能够在离 w 的开始处的地方找到一个非空的串 y，然后可以把它 作为“泵” ，也就是说，重复 y 任意多次，或者去掉它（k=0 的情况） ，而所得到的
（m ）
(x1,x2,…..xm)=y
若图灵机停机在非接收状态或永不停机，则无定义。 定义图灵机接受过程：如果从初试格局 q1Bx 开始计算，图灵机最终停机在接 受格局，则称图灵机接收 x。图灵机接收的所有字符串组成的集合称作图灵机接收 的语言，或图灵机识别的语言。
（3） 图灵机其他形式 （1） 五元图灵机
三、 正则语言
（1） chomsky 文法分类
文法为四元组 G=（V，T，P，δ ）其中，V 为非终结符集合，T 为终结符集合， P 为规则集，δ 为开始符号 0 型文法：等价于图灵机。对产生式不附加任何条件。 1 型文法：线性界限自动机。是上下文有关文法，每一个产生式α →β 都满足条件 |α |≦|β | 2 型文法：下推自动机。是上下文无关文法，每一个产生式都形如 A→α ，其中 A ∈V，α ∈(T∪U)* 3 行文法： 有穷自动机。 正则文法， 若文法满足 A—>aB 或 A—>w,其中 A， B∈V， w∈A*， 则称此种文法为右线型文法； 若 A—>Ba， A—> A—>w,其中 A， B∈V，w∈A*,则称此种文法为左线型文法。
五元图灵机的一步要做四元图灵机两步做的事情， 改写一个符号并且左移一格， 或者改写一个符号并且右移一格。
（2） 单向无穷带图灵机
单项无穷带图灵机的带仅在一个方向上是无穷的，有一个最左方格#被固定在 带的左端，他左边的方格永远不会被使用。
（3） 多带图灵机
多带图灵机有 k 个读写头， 没个读写头扫描一条带， 可以改写被扫描方格内的符号、 左移一格或者右移一格。 读写头的动作由当前的状态和 k 个读写头从 k 条带上读到 的 k 个符号决定。
（2） DFA，NFA 正则定义及相关结论
确定自动机 DFA M=（Q,A, δ，q1,F）其中 Q 是状态集；A 是输入字母表； q1 是初态， q1∈Q； F 是终态集， F⊆Q； δ 是控制函数或者转换函数， δ： QxA—>Q , δ 是确定的。 Q={q1，q2，q3，q4}；A={a,b} F={q3} 则根据状态转化图得知 L（G）={bna / n≥1}. 不确定自动机 NFA M=（Q,A, δ*，q1,F） ，其中 Q 是状态集；A 是输入字母 表；q1 是初态，q1∈Q；F 是终态集， F⊆Q；δ 是控制函数或者转换函数，δ*： QxA*2Q 根据状态转化图得知 L（G）={an / n≥2}∪{bna / n≥1} DFA 与 NFA 仅仅是控制函数的不同。 结论：不确定自动机和确定自动机是等价的。 定理：语言 L 能被 DFA 接受当且仅当语言 L 能被 NFA 接受。 定理：语言 L 是正则语言当且仅当存在 DFA M 使 L=L(M)。