经纬度转换XYZ

我们用经纬度来表示地球上的点，用三维体系来表示空间中的点，那么在地球上构造一个三维体系，是否会对我们有很大的帮助？我们要想让三维体系使我们最方便，那应该把三维体系构造在地球上的哪个位置？三维体系坐标与地球经纬度又有什么关系？本文将会对这些问题进行探索。

【关键字】：经纬线三维体系坐标关系

1 前言

由于地球的极半径与赤道半径长度相差不多，所以我们通常地把地球看成是一个规则球体，本文将会把三维体系建立在地球地心处，让z轴与地轴重合，y轴与0—180度经线圈于0度纬线的直径重合，则x轴与90E—90W经线圈于0度纬线的直径重合。如图①

图①

然后通过一定的计算，让地球的点（纬度，经度，海拔）表示为三维体系中的点（x,y,z）。

2 地球经纬度与三维体系坐标的关系是什么

设纬度α，经度为β，海拔为h（米）。

若地球上任意一点为（α,β,h）表示为三维体系中的点（x,y,z），则：

东经：x≈(6372.8+h/1000)(cos α)(sin β)西经：x=(6372.8+h/1000)(cos α)sin (180+β)

y≈(6372.8+h/1000)(cos α)(cos β)

北纬：z≈(6372.8+h/1000)(sin α)南纬：z=(6372.8+h/1000)sin (90+α)

海拔计算时单位是米，x,y,z单位是千米。

3 如何证明“地球经纬度与三维体系坐标的关系”

切换仰视视角：

点A是南半球的一点，作与A同一海拔，同一经度，纬度为0度的点B，如图③

海拔=h米=h/1000千米

∴B到地心的距离BO=地球平均半径+h/1000

≈6372.8+h/1000千米

切换回立体的视角

图④

作AC⊥BO，C为垂直，r为平均半径

CO=AO×cosα

=(r+h/1000) ×cosα

再切换回仰视

∠BOF=β

x=CO×sinβ

=(r+h/1000) ×cosα×sinβ

y=CO×cosβ

=(r+h/1000) ×cosα×cosβ

在图④

z=CA=AO×sinα=(r+h/1000) ×sinα

但是地球有南北纬东西经之分，所以要分类讨论

东经：x=(r+h/1000)(cosa)(sinb)

西经：x=(r+h/1000)(cos a)sin (180+b)

y坐标不会因东西经差异而被影响

北纬：z=(r+h/1000)(sin a)

南纬：z=(r+h/1000)sin (90+a)，所以：

东经：x≈(6372.8+h/1000)(cos α)(sin β)西经：x=(6372.8+h/1000)(cos α)sin (180+β)

y≈(6372.8+h/1000)(cos α)(cos β)

北纬：z≈(6372.8+h/1000)(sin α)南纬：z=(6372.8+h/1000)sin (90+α)

这样便证明了地球经纬度与三维体系坐标的关系。

4 实际应用

我们可以通过三维体系坐标与地球经纬度关系的换算公式来解决实际问题，以下是一个实际例子：

在地球的一处A有一导弹发射器，发射出来的导弹航线图形为直线，A的位置是东经50度，北纬50度，海拔0米；在地球另一处B有一直升飞机，该飞机停留在空中不动，B的位置是东经70度，北纬70度，海拔2000米；导弹发射一段时间后被雷达捕捉，此时导弹位于C点，C点的位置是东经60度，北纬60度，海拔1000米。问该导弹是否可以击中B点处飞机？

该问题可以转化成数学模式的问题。运用本文建立的三维体系将用经纬度和海拔表示的点转化成用三维体系坐标表示的点。

将三点的经纬度与海拔分别代入：

A：x≈(6372.8+0/1000) (cos 50)(sin 50)

x≈ 3137.99

y≈(6372.8+0/1000)(cos 50)(cos 50)

y≈2633.09

z≈(6372.8+0/1000)(sin 50)

z≈4881.85

∴A(3137.99，2633.09，4881.85)

同理：经计算，解之得：

B(2048.82，745.71，5990.35)

C(2759.94，1593.45，5519.87)

这样，就转化成了问点B是否在直线AC上的纯数学的计算问题。

将A点坐标和C点坐标代入三维体系直线解析式公式：解之，得:

再将B点的x，y的坐标代入解析式得：

z≈4333.91775

4333.91775≠5990.35

∴B点的飞机不会被击中

看来通过三维体系坐标与地球经纬度关系的换算公式来解决实际问题，可以为我们带来简便。

5相关程序

用PC-500S来编写程序，计算此公式，程序如下：

5：“SWDQ”INPUT“A=”;A,“B=”;B,“H=”;H

10:LET X1=(6372.8+H/1000) COS A SIN B

15:LET X2=(6372.8+H/1000) COS ASIN (180+B)

20:LET Y=(6372.8+H/1000) COS ACOS B

25:LET Z1=(6372.8+H/1000) SIN A

30: LETZ2=(6372.8+H/1000) SIN (90+A)

35:PRINT“X1=”;X1,“X2=”;X2,“Y=”;Y,“Z1=”;Z1,“Z2=”;Z2

40:GOTO 5

45:END

操作时只需要将纬度，纬度，海拔输入即可。A为纬度，B为经度，H为海拔。若是东经看X1，若是西经则看X2，若是北纬看Z1，若是南纬则看Z2。

6结束语

地球经纬度与三维体系坐标相结合，可以为我们的生活带来方便，但是由于地球不是规则的球体，所以实际计算时误差较大，最好是把（6372.8+H/1000）改为点到地心的距离，但是又