非线性系统中的混沌之美
非线性动力学系统的混沌现象研究
非线性动力学系统的混沌现象研究在当代科学领域中，非线性动力学系统的混沌现象一直是比较热门的话题。
这个话题不仅影响了自然科学领域，也对社会科学领域有一定的影响。
本文将探讨非线性动力学系统的混沌现象研究，旨在深入了解这一重要科学问题。
非线性动力学系统是一类包括非线性微分方程、差分方程、递归方程等在内的系统。
这类系统具有多种复杂行为，其中混沌现象是最为突出的表现之一。
混沌是指系统表现出的随机、无规则的运动行为，具有高度的敏感性和极大的不确定性，它在科学、工程、生物学、社会科学等众多领域具有重要应用。
大约在20世纪60年代左右，混沌现象被科学家所发现和研究。
受到混沌这个词本身含义的影响，混沌似乎不是好事情，但是，非线性动力学系统的混沌现象却有着广泛的实际应用。
例如在工程控制中，混沌现象可以为自适应控制、噪声降低、各向异性滤波等提供有效手段。
在社会科学领域，混沌理论也被广泛应用于敌我互动、经济波动、政治变化等方面的研究。
混沌现象的研究不仅扩展了人类对自然、社会的认识，也在一定程度上对人类行为和社会发展提供了重要的理论支持。
非线性动力学系统的混沌现象与线性系统有所不同。
线性系统的稳定性只与系统的本征值有关，而非线性系统的本征值是不确定的，系统的稳定性因此也显得不稳定。
此外，非线性动力学系统还存在着吸引子、周期解等现象，在不同的初始条件下，系统表现出不同的稳定性和动力学特征。
由此引发了混沌现象的相关研究。
针对非线性动力学系统的混沌现象，科学家们提出了一些定量分析方法。
其中最为常见的方法是用分形维数和李雅普诺夫指数来描述混沌现象。
分形维数是描述复杂几何结构的量度，可以用来衡量混沌吸引子的几何质量。
李雅普诺夫指数则是描述混沌轨迹敏感性的指标，它可以反映系统状态随时间演变的速率。
除此之外，还有一些相应的图像处理和非线性数据分析方法，如小波分析、自回归模型和谱分析等，它们在非线性动力学系统的混沌现象研究中也发挥了重要作用。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌五：数据处理：1.计算电感L在这个实验中使用了相位测量。
根据RLC 谐振定律，当输入激励频率时LCf π21=，RLC 串联电路达到谐振，L 和C 的电压反向，示波器显示一条45度斜线穿过第二象限和第四象限。
实测：f=32.8kHz ；实验仪器标记：C=1.095nF 所以：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估计不确定性：估计 u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 但：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 这是mH L u 16.0)(=最后结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2、有源非线性负电阻元件的测量数据采用一元线性回归法处理： (1) 原始数据：(2) 数据处理：根据RU I RR =流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11对应的1R I 值。
对于非线性负电阻R1，将实验测量的每个（I ，U ）实验点标记在坐标平面上，可以得到：从图中可以看出，两个实验点（ 0.0046336 ，-9.8）和（ 0.0013899 ，-1.8）是折线的拐点。
因此，我们采用线性回归的方法，分别在V U 8.912≤≤-、 、 和8V .1U 9.8-≤<-三个区间得到对应的 IU 曲线。
0V U 1.8≤<-使用 Excel 的 Linest 函数找到这三个段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算，三段线性回归的相关系数非常接近1（r=0.99997），证明区间IV 内的线性符合较好。
应用相关绘图软件可以得到U<0范围内非线性负电阻的IU 曲线。
流体的非线性变形和混沌现象
流体的非线性变形和混沌现象流体是一种具有特殊性质的物质，它的变形和流动过程中存在着一些非线性现象和混沌行为。
这些现象在流体力学研究中具有重要的意义，对了解流体的行为和性质起着重要的作用。
本文将从流体的非线性变形和混沌现象两个方面进行探讨。
一、流体的非线性变形在流体的力学性质中，非线性变形是一种重要的现象。
传统的弹性体力学理论主要研究线性弹性体的变形行为，即物体在受力作用下的变形与所受力的关系呈线性关系。
但是，在某些情况下，流体的变形行为不遵循线性关系，就会出现非线性变形。
非线性变形的一个典型例子是黏弹性流体。
黏弹性流体是介于固体和流体之间的一种特殊物质，它在受力时既有像固体一样的弹性变形，又有像流体一样的黏性流动。
黏弹性流体的变形行为往往不符合线性弹性体力学的规律，而是表现为非线性的力学特性。
这种非线性变形的黏弹性流体在工程和生物领域有广泛应用，例如在高分子材料的合成加工和生物细胞的力学特性研究中。
此外，液滴的变形行为也是一种典型的非线性现象。
当一个液滴受到外部作用力时，其形状会发生变化，但这种变形不一定与作用力成线性关系。
液滴的变形行为受到表面张力、粘性阻力和物体间的相互作用等因素的影响，使得变形过程呈现出非线性特性。
这种非线性变形的液滴行为在微流体技术和液滴微操控领域具有重要应用，例如在微液体透镜的制备和微流控芯片的设计中。
二、流体的混沌现象混沌是一种看似无序却又有规律的行为，它在流体力学中也常常出现。
混沌现象指的是一种在非线性系统中非常敏感于初始条件的长期行为，即微小的扰动可能会引起系统的巨大变化。
流体作为一种复杂的非线性系统，在流动过程中常常表现出混沌的行为。
一个经典的流体混沌现象是雷诺数的变化引发的流动状态的转变。
雷诺数是描述流体流动性质的重要参数，当雷诺数超过一定的临界值时，流动状态会发生剧变，由层流变为湍流。
这种由层流到湍流的转变过程中，流体流动呈现出复杂、无规律的混沌行为。
混沌现象的出现导致了流体力学的难题，也为流体力学研究提供了新的视角和挑战。
混沌控制器在非线性系统中的应用研究
混沌控制器在非线性系统中的应用研究一、引言非线性系统是一个相对复杂的系统，它的特点是系统的行为与输入之间不是简单的线性关系。
而混沌现象是非线性系统中常见的一种现象。
混沌控制器是控制混沌现象的一种方法，是将混沌系统转化为非线性系统，从而使得控制更易于实现。
本文将探讨混沌控制器在非线性系统中的应用研究。
二、混沌现象的产生与特点混沌现象指的是非线性系统中具有确定性的随机性质的行为。
这种行为通常表现为周期性和不规则的变化。
混沌现象的产生是由于非线性系统中的反馈作用导致了系统的不稳定性，使得系统运动的轨迹变得复杂多样。
混沌现象的特点有以下几点：1. 系统的反应具有不可预测性。
即使微小扰动也可能会导致系统的轨迹发生巨大变化。
2. 系统的异构性使得系统的行为难以分析。
3. 混沌现象是确定性的。
虽然系统的行为看起来随机，但是它并不是无规律的。
三、混沌控制器的原理混沌控制器是一种基于混沌现象的控制方法，它的原理是通过将混沌现象转化为非线性系统来控制系统。
混沌控制器的基本思想是在混沌系统中添加一个控制器，从而使得混沌系统的行为逐渐趋向于稳定。
混沌控制器的基本原理是通过反馈控制来实现。
假设系统的控制器为u，系统的状态为x，系统的目标状态为x*，则控制器的公式可以表示为u=f(x, x*)。
其中f(x, x*)表示控制器的反馈函数。
反馈函数的选择非常重要，不同的反馈函数可能会导致不同的控制效果。
四、混沌控制器的应用混沌控制器在非线性系统中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 混沌控制器在通信中的应用。
混沌通信是利用混沌现象来实现加密和解密的一种方法。
混沌控制器将混沌系统的轨迹与通信信号混合起来，从而实现了对通信信号的加密和解密。
2. 混沌控制器在电力系统中的应用。
电力系统是一个具有复杂非线性特性的系统，混沌控制器可以用来控制电力系统的电压和频率，并且可以实现电力系统的稳定运行。
3. 混沌控制器在机器人控制中的应用。
微分反馈法控制非线性系统混沌现象
微分反馈法控制非线性系统混沌现象随着现代科技的发展，非线性动力系统的研究成为控制理论领域的一个重要分支。
非线性系统的动态行为通常比线性系统更加复杂，其中就包括混沌现象。
混沌现象指的是一个系统在一定区域内的状态变化非常敏感，即使微小的扰动也会导致系统的行为发生剧变。
如何控制非线性系统的混沌现象，对于很多实际应用非常重要。
微分反馈法（Differential Feedback Control, DFC）是一种常用的非线性系统控制方法。
该方法基于一个关键观点，即通过在系统的状态变量上引入一个微小的扰动，可以改变系统的动态行为，从而实现控制。
微分反馈法的基本思想是在系统的输出和输入之间加上微小扰动的差分表达式，通过调整这个扰动的大小和方向，使系统的状态变化趋向于期望的轨道，从而实现控制。
需要通过数学模型的建立来描述非线性系统的动态行为。
通常，非线性系统的动态行为可以用一组微分方程或离散映射来描述。
通过分析系统的动态特性和行为，可以得到系统的混沌现象。
确定控制目标，即希望系统达到的状态变量轨道。
通过定义一个性能指标，可以量化目标轨道与实际轨道之间的差异。
控制目标通常是通过期望的状态变量轨道以及稳定性和快速性等因素来确定的。
通过仿真和实验验证方法的有效性和性能。
通常，可以通过计算机仿真和物理实验来验证微分反馈法控制非线性系统混沌现象的有效性和性能。
仿真实验可以通过使用数值方法来求解非线性动力系统的微分方程或离散映射，从而得到系统的状态变量轨道。
而物理实验可以通过使用实际的控制器来控制一个实验装置，从而观察和分析系统的动态行为。
微分反馈法是一种有效的控制非线性系统混沌现象的方法。
通过在系统状态变量上引入一个微小的扰动，通过调整扰动的大小和方向，可以实现对非线性系统动态行为的控制。
这种方法在实际应用中具有重要的意义，并且已经在许多领域取得了良好的控制效果。
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考-研究性实验报告
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考摘要本实验共分为4部分第一部分为实验原理的阐述，基于对于实验原理的理解和讨论，介绍了混沌现象的发现与完善，及本小组对于混沌现象的深入体会和理解。
第二部分为实验操作过程介绍，介绍了实验过程中详细的操作流程，和本小组在做实验过程中的经验与总结。
第三部分为实验原始数据的处理，是在原有数据处理上的加深与全面分析。
第四部分即对于本实验的理论层面深入讨论与分析，是小组成员深入思考与讨论的结果。
关键词：混沌与秩序；蝴蝶效应；非线性电路；实验思考一、实验原理表述与探讨非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性的存在构成了多姿多彩的自然界。
从数学上来说，非线性（non-linear），是指输出输入均不是正比例的情形。
宇宙形成初的混沌状态即为非线性。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系现象则是近年来新出现的一个科学名词。
首先是科学家在对天气预报作计算机模拟时发现的,后来又从数学上和实验上得到证实. 混沌来自非线性.由于在自然界和人类社会中绝大多数是非线性系统,所以混沌是一种普遍现象.对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。
目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。
无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等．目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面．本实验电路及原理如下：如图1 所示．电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路．方程如下所示：这里，UC1、UC2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G = 1/R0是电导，g 为R的伏安特性函数．如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数．电阻R0的作用是调节C1 和C2的位相差，把C1 和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆．如果R是非线性的，会看到什么现象呢？。
非线性振动系统中的混沌现象及其特征
非线性振动系统中的混沌现象及其特征在自然界和人工系统中，存在着许多非线性振动系统，比如简单摆、双逆摆、电路振荡器等。
这些非线性振动系统中，由于系统的复杂性和动力学特征，可能会出现混沌现象。
混沌现象是指系统在长时间演化过程中，出现非周期性、随机性的运动状态。
本文将从混沌现象的定义、产生原因、特征以及应用等方面来探讨混沌现象在非线性振动系统中的表现及其特性。
I. 混沌现象的定义与起源混沌现象是指一种非周期性、高度随机化的动态现象，由于其高度随机化和复杂性，因而难以用常规的预测方法来描述其运动规律。
混沌现象早在19世纪末期即被研究学者发现，但直到20世纪才被正式命名为混沌现象。
混沌现象的起源可以追溯到非线性振动系统中的动力学方程。
非线性振动系统中，当重要参数经过一定范围的变化时，它的解会由周期性运动变成不规则的混沌运动。
这种变化是由小扰动逐渐放大而引起的，其过程是非线性的。
II. 混沌现象的特征混沌现象在非线性振动系统中表现出一些特殊的运动特征，下面列举几个典型的特征：a. 看似随机的运动状态：混沌运动的运动状态看似随机，但实际上，这种运动状态是在某种随机规律的控制下进行的。
比如，一些可控的晶体管电路中的混沌运动，看似不规则，但是经过分析，可以发现其具有一定的规律性。
b. 高灵敏度依赖于初始条件：混沌运动在初态条件下，存在着高度的灵敏度。
也就是说，初始条件稍稍有所不同，系统就会出现不同的运动模式。
这种灵敏度强化了混沌现象难以预测的特征。
c. 系统的长期稳定性不确定：在混沌运动状态下，系统的长期稳定性是不确定的。
尽管系统在某一时刻表现出某种稳定状态，但它的稳定性不一定会一直保持下去。
III. 混沌现象的应用尽管混沌现象看似随机性极高，但实际上它有着一定的应用价值。
在实际生产中，利用混沌现象，在制造高速钻床、麻花钻等工业设备中，可以实现重要参数的控制和改善；在医疗健康方面，混沌现象被运用在医学体检中，改进了疾病的预防和治疗；在信息加密方面，混沌现象被应用在密码学中，保障了信息的安全传输。
非线性动力系统在混沌理论中的应用
非线性动力系统在混沌理论中的应用随着科学技术的发展和人们对自然界规律的进一步探索，非线性动力系统的研究日益受到关注。
非线性动力系统是一类复杂的系统，其中包含许多相互关联的变量，其行为表现出非线性特征。
在这些复杂系统中，混沌现象的出现引起了学术界的极大兴趣。
本文将探讨非线性动力系统在混沌理论中的应用。
一、混沌理论简介1. 定义：混沌是指一种对初试条件极其敏感的、表现出看似随机无规则的行为的动态系统。
混沌的产生不是由于系统内部的声音或干扰引起的，而是由系统本身内在的非线性特征所带来的。
2. 特征：混沌系统具有不可预测性、灵敏依赖于初试条件、长期无周期性等特征。
3. 应用领域：混沌理论的应用已扩展到许多学科领域，包括物理学、生物学、化学、经济学等。
二、非线性动力系统与混沌1. 非线性动力系统：非线性动力系统是指在系统的描述中包含了非线性关系的动力学系统。
相比于线性系统，非线性动力系统表现出更复杂、更多样化的行为。
2. 混沌现象的起源：在20世纪60年代，物理学家Lorenz通过对大气对流模型的研究发现了混沌现象。
他发现通过微小的条件改变，系统的演化路径会有巨大的差异，即著名的“蝴蝶效应”。
三、非线性动力系统在混沌理论中的应用1. 混沌密码学：混沌理论在信息安全领域有着重要的应用。
混沌系统的随机性和不可预测性使其成为数据加密和解密的有效工具。
2. 混沌控制：混沌理论的研究还包括对混沌系统的控制。
通过合适的控制方法，可以调节系统参数，使其从混沌状态逐渐转变为稳定状态。
3. 混沌引子：混沌引子是指通过一个混沌系统来驱动另一个混沌系统，以实现对其行为的控制。
这种方法在通信、图像处理等领域有着广泛的应用。
4. 混沌时间序列分析：通过对混沌系统生成的时间序列进行分析，可以揭示系统内部的结构和动力学特征，帮助我们对系统的行为进行理解。
5. 混沌天气预测：混沌系统的初始条件敏感性使得天气预测成为一项极具挑战性的任务。
流体力学中的非线性问题和混沌现象
流体力学中的非线性问题和混沌现象流体力学是研究流体运动行为和性质的学科，涉及广泛的物理现象和工程应用。
在流体力学中，非线性问题和混沌现象引起了研究学者的广泛关注。
本文将探讨流体力学中的非线性问题和混沌现象，并讨论其在科学研究和工程应用中的重要性。
一、非线性问题的定义与特点在流体力学中，非线性问题指的是流体运动方程存在非线性项的情况。
一般来说，非线性问题的解析解难以得到，需要借助数值模拟等方法进行研究和求解。
非线性问题的特点主要包括以下几个方面：1. 非线性项引起的混合效应：流体运动方程中的非线性项会引起不同物理量之间的相互作用和耦合效应，使得流体运动的预测变得更加困难。
2. 非线性项的不可忽略性：在某些情况下，非线性项对流体运动行为的影响是不可忽略的，对于精确预测和分析流体运动具有重要意义。
3. 非线性问题的复杂性：非线性问题的求解往往需要借助高级的数值方法和计算技术，涉及到大规模的计算和复杂的数值求解算法。
二、非线性问题的研究与应用非线性问题在流体力学研究和应用中起着重要的作用。
例如，在天气预报、气候模拟和自然界环境研究中，非线性问题的研究可以帮助我们更好地理解大气运动和涡旋的形成机制，提高天气预报的准确性和精度。
此外，非线性问题的研究还在航空航天、海洋工程和环境科学等领域具有广泛的应用价值。
通过研究非线性问题，我们可以深入探究流体运动的特性和规律，为工程设计和科学研究提供有力的支持和指导。
三、混沌现象的出现和原理混沌现象指的是在动力系统中出现随机、不可预测、复杂甚至混乱的运动行为。
在流体力学中，混沌现象是由于非线性项引起流体运动方程无法用简单的数学公式来描述和解析的情况。
混沌现象的出现主要由以下几个原理解释：1. 灵敏依赖于初值条件：在动力系统中，初始条件的微小变化会导致系统演化出完全不同的轨迹，这种现象被称为灵敏依赖于初值条件。
2. 神经网络的局部性质：由于流体力学系统的复杂性和非线性特点，局部扰动可以导致整个系统的混沌行为。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
非线性系统混沌现象研讨论文
非线性系统混沌现象研讨论文编者按：本文主要从引言；混沌电路；EWB仿真分析；硬件电路调试；结束语进行论述。
其中，主要包括：非线性系统的性能是复杂多变的、混沌是非线性动力系统在一定参数条件下产生的对初始条件具有敏感依赖性的随机运动、电路理论分析、混沌现象在非线性电路中也普遍存在、二阶或二阶以上的强制系统、至少有一个非线性器件、构造非线性电阻电路、用EWB(ElectronicsWorkbench)软件对图3电路进行计算机模拟仿真分析、电路中电容电压和电感电流出现类似噪声的无规则振荡、示波器屏上可观察到一条直线、利用这个电路,还可以观察到周期性窗口、混沌现象不仅存在于电路中等，具体请详见。
1引言非线性系统的性能是复杂多变的。
长期以来,人们对非线性电路中的平衡状态和周期振荡状态研究较为充分,取得了许多有用的结果。
直到40多年前的一次重要模拟结果出现后,使非线性领域的研究进入了新纪元。
1963年,美国麻省理工学院著名的气象学家洛伦兹(E.N.Lorenz)在研究一个气象学模型时,发现了异常的情况。
洛伦兹经过长时间反复地在计算机上试验,其结果都是一样与经典认识不同。
它的特点是响应一直出现类似随机的振荡,状态轨迹在一个区域内永不重复地运动着,这一现象后来被称之为混沌[1][2]。
混沌是非线性动力系统在一定参数条件下产生的对初始条件具有敏感依赖性的随机运动。
混沌运动的根本原因是运动方程的非线性;混沌运动具有内在随机性,对初值非常敏感,若两次运动的初值有微小差别,长时间后两次运动会出现较大的、无法预知的偏差。
混沌现象是自然界的普遍现象,也是非线性系统所特有的复杂状态。
2混沌电路2.1电路理论分析混沌现象在非线性电路中也普遍存在,电路呈现混沌现象,原则上应考虑两个条件[3][4]:(1)二阶或二阶以上的强制系统;三阶或三阶以上的自治系统;(2)至少有一个非线性器件。
图1所示的三阶自治电路由四个线性元件(两个电容、一个电感、一个线性电阻)和一个非线性电阻所组成。
非线性动力学系统中的混沌行为
非线性动力学系统中的混沌行为引言混沌是指非线性系统在确定的初始条件下呈现出具有随机性、无规则性和复杂性的行为。
在许多动力学系统中，混沌行为的出现是一个重要的研究课题。
本文将介绍非线性动力学系统中的混沌行为，并探讨混沌现象的产生机理和应用。
一、混沌现象的基本特征混沌是一种混乱的、无规律的运动形式，其具有以下基本特征：1. 灵敏依赖于初始条件：在混沌系统中，微小的初始条件变化可能导致巨大的结果差异。
这种灵敏依赖使得混沌行为难以预测和控制。
2. 迭代和周期性：混沌行为通常通过迭代（即系统的输出作为下一时刻的输入）产生。
在某些情况下，混沌系统可能会出现周期解，即系统在一定时间间隔内重复相同的轨迹。
3. 唯一性：对于给定的动力学规律和初始条件，混沌系统的演化是唯一确定的。
这一特性使得混沌现象有一定的可预测性。
二、混沌行为的产生机理混沌行为主要源于非线性动力学系统的复杂性和敏感性。
在非线性系统中，微小扰动可能导致系统的演化路径发生根本性的改变，从而产生混沌行为。
这种非线性性质使得系统在规律性和随机性之间不断变化，使其行为变得难以预测。
例如，著名的洛伦兹吸引子就是一个非线性动力学系统的典型示例。
洛伦兹吸引子是由三个偏微分方程描述的，该方程描述了流体中的对流现象。
微小的变化可能导致系统演化路径从一个吸引子切换到另一个吸引子，或形成周期解，或产生混沌行为。
三、混沌现象的应用混沌行为不仅仅是一种理论现象，还在许多实际应用中发挥着重要的作用。
以下是几个典型的应用领域：1. 通信加密：混沌序列具有高度随机性和无规则性，可以用于数据通信的加密和解密。
通过混沌序列对数据进行加密，可以有效防止信息的被窃听和破解。
2. 生物医学：混沌行为在生物医学研究中有广泛的应用。
例如，混沌理论可以用来分析心电图和脑电图等生物信号，帮助医生诊断疾病和监测病情。
3. 金融市场：金融市场中的价格变动往往具有一定的混沌特征。
混沌理论可以用于预测股票价格的波动和市场风险的评估，为投资者提供决策依据。
非线性系统的混沌现象分析
非线性系统的混沌现象分析正文：非线性系统的混沌现象分析一、引言非线性系统是指系统的输出与输入不满足线性关系的系统，而混沌现象是在某些非线性系统中常常出现的一种特殊现象。
本文旨在分析非线性系统中的混沌现象，探讨其产生机制和应用价值。
二、混沌现象的定义与特征混沌现象最早由美国数学家洛伦兹在20世纪60年代发现，并以其姓氏来命名。
混沌现象意味着一个系统在初始条件微小变化下会产生巨大的结果变化。
混沌系统具有以下几个特征：1. 灵敏依赖于初始条件：小的初始条件变化会导致系统长期演化的完全不同结果。
2. 系统是无周期的：混沌系统的演化没有任何规律可循，无法进行精确预测。
3. 混沌系统是确定的：系统的演化完全由所选的非线性方程决定，不受任何随机性的影响。
三、混沌现象的产生机制混沌现象的产生机制十分复杂，目前还没有完全解释清楚。
然而，研究表明，以下几个因素在混沌现象的产生中起到重要作用：1. 非线性项的存在：当系统中存在非线性项时，就会出现混沌现象。
线性系统不存在混沌现象。
2. 正反馈作用：正反馈作用使得系统的输出进一步增大，从而导致系统进入混沌状态。
3. 系统的复杂性：系统的复杂性是产生混沌现象的基础。
越复杂的系统越容易产生混沌。
四、混沌现象的应用价值混沌现象在科学研究和应用领域中具有重要意义：1. 信息加密：混沌现象具有高度随机性和不可预测性，可以用于信息的加密传输，保护信息的安全性。
2. 系统控制：混沌现象可以应用于控制系统中，通过合适的控制手段，将系统从混沌状态引向稳定状态。
3. 数据压缩：混沌现象提供了一种高效的数据压缩方法，可以将大量数据用较少的存储空间进行存储和传输。
五、混沌现象的数学模型为了对混沌现象进行研究和理解，研究者们提出了多种数学模型，其中最著名的是洛伦兹模型和摆动模型。
1. 洛伦兹模型：洛伦兹模型是描述大气对流运动的非线性模型，由三个关联方程组成。
该模型展现了混沌现象的典型特征。
2. 摆动模型：摆动模型是描述摆动运动的非线性模型，通过调整摆线长度和重力加速度等参数，可以观察到不同的混沌现象。
非线性系统的混沌现象与控制方法研究
非线性系统的混沌现象与控制方法研究随着工业技术的发展和人们生活方式的改变，非线性系统得到了越来越广泛的应用。
一方面，高速铁路、航空航天等领域需要对非线性系统进行建模和控制；另一方面，金融市场、社会网络等复杂系统也表现出了非线性行为。
此外，在生物科学、医学领域，细胞自组织、人类生理、生物进化等现象都可以通过非线性系统来解释。
然而，非线性系统的复杂行为给研究者带来了很大的挑战。
以混沌现象为例，它是非线性系统中最常见的一种现象，也是研究者探究非线性行为的一个重要方向。
混沌现象是指非线性系统出现的一种高度不规则、难以预测的动态行为。
一个简单的示例，就是双摆的运动。
当一个摆动，另一个固定于它的末端，双摆的运动就呈现出类似于倒置的万花筒，既规则又混乱。
混沌现象常常在自然界中出现，在气象、天文、生态学等领域都有应用。
但是，混沌现象也会给电路控制、通信、控制理论等应用领域带来困扰。
混沌现象的研究与控制，是非线性科学中的基础问题之一。
下面，我们就来谈谈非线性系统的混沌现象及其控制方法。
一、混沌现象的特征混沌现象具有以下特征：1.复杂度高：非线性系统表现出高混沌度和不确定性，难以找到规律，并且有可能出现奇异吸引子。
2.高度敏感：非线性系统对初始条件的微小变化非常敏感，即所谓的“蝴蝶效应”。
3.迭代与周期性：非线性系统的混沌现象通常体现为迭代与周期性，出现周期突变的情况比较少。
4.调和性：混沌现象的成分通常包括一系列的谐波，即存在相互平等的频率成分。
5.统计性：非线性系统的混沌现象不可预测，因此通常采用统计方法进行研究、分析和控制。
二、混沌现象的成因混沌现象的成因在于非线性系统中，微小的扰动会导致系统的行为产生不可预测和不规则的波动。
这种波动可以简单的看作是一个会遗忘自己过去行为的系统。
在这个意义上，非线性系统的混沌现象被称为是“记忆消失的线性效应”。
三、混沌现象的控制方法对于混沌现象的控制方法，目前研究者主要采用以下方法：1.非线性反馈控制法非线性反馈控制法是通过引入一种非线性控制器实现对于混沌系统的控制。
非线性系统的动力学特征
非线性系统的动力学特征随着科学技术的不断发展，我们的世界已经不仅仅是简单的直线和等比例增长了。
许多自然现象和社会现象都具备非线性效应，即当变化量一定程度时，响应量发生不同比例的变化。
而这种非线性效应在数学上就被称为非线性系统。
非线性系统的复杂度比线性系统高得多，因为它们的动力学特征更加多样化和复杂。
本文将介绍非线性系统的一些动力学特征。
混沌混沌是非线性系统的重要动力学特征之一。
混沌是指一种随着时间的推移，系统状态看似随机变化，但在实质上，其随时间变化的规律性是存在的。
而且，即使是经过无数次重复，这种规律性仍然不可能通过简单的数学公式来精确描述。
混沌现象最早在20世纪60年代被发现，但直到今天，仍然没有一个统一的理论来描述它。
不过，在实践中，混沌理论已经在很多领域得到了广泛的应用，比如通信、物理、化学等等。
李亚普诺夫指数李亚普诺夫指数是测量非线性系统混沌程度的指标之一。
它可以通过计算在系统离开初始状态后，所谓的李亚普诺夫指数能够测量随着时间的推移，系统状态间的距离发生的相对距离的增加速度。
通过计算李亚普诺夫指数，能够评估系统状态是否具有混沌特征，以及混沌程度大小的量化测度。
对于非线性系统，李亚普诺夫指数提供了一种量化分析混沌程度的方法，对于研究非线性系统的动态行为具有重要意义。
分岔分岔是指非线性系统中参数变化的一种动力学特征。
简单地说，当改变系统参数的大小时，系统的行为方式也会发生变化。
分岔现象的本质是系统动力学行为的非线性响应。
分岔的一种典型形式是周期倍增分岔。
这种分岔现象就是当系统参数超过某个特定的临界值时，系统的周期性响应会呈现一种倍增形式。
在数学上，周期倍增分岔被称为Feigenbaum常数。
这种分岔现象在许多领域得到了广泛的应用，比如天文学、生态学、材料科学等。
自组织自组织是非线性系统的另一种重要的动力学特征。
它指的是，当系统的所有部分之间的相互作用和反馈机制形成一种稳定的结构时，系统会表现出一种自组织现象。
非线性系统动力学的混沌现象
非线性系统动力学的混沌现象混沌现象是非线性系统动力学中一种特殊的行为模式，具有高度复杂和难以预测的特点。
在这篇文章中，我们将探讨非线性系统动力学的混沌现象的基本原理、数学模型以及其在现实世界中的应用。
一、混沌现象的基本原理混沌现象的基本原理可以追溯到20世纪60年代，由美国数学家Edward Lorenz首次提出。
他的研究是关于大气系统的，但混沌现象在各个领域都有普遍存在。
混沌现象的关键特征是对初始条件高度敏感，微小的变化可能导致系统行为的巨大变化。
混沌现象通常与非线性系统密切相关。
非线性系统是指系统响应与输入之间存在非线性关系的系统。
与线性系统不同，非线性系统的行为不可简单地通过叠加原理来描述。
相反，非线性系统的行为可能会出现周期性振荡、迭代循环和无限逼近的情况，最终导致混沌现象的发生。
二、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一些著名的数学模型来描述，其中最著名的模型之一是洛伦兹吸引子。
洛伦兹吸引子是一个三维非线性系统的解的图像，在空间中呈现出奇特的形状。
洛伦兹吸引子的图像包含了无数个封闭的轨迹，每个轨迹都是系统在不同的初始条件下的解。
另一个重要的数学模型是Henon映射。
Henon映射描述了一个二维非线性系统的动力学行为。
通过迭代计算，Henon映射可以生成一系列的点，这些点在相图中形成一个具有分支和岛屿的复杂结构。
这些数学模型的分形特征是混沌现象的重要表征，分形是指在任意局部都具有相似性的几何结构。
混沌系统通常具有分岔现象，即系统在参数变化时会出现从稳定状态到混沌状态的跃迁。
三、混沌现象的应用混沌现象在现实世界中的应用十分广泛。
在物理学领域，混沌现象用于解释分子动力学、流体力学以及天体运动等复杂的物理现象。
在生物学领域，混沌现象被应用于描述神经网络、心脏跳动的不规则性以及遗传变异等复杂生物系统的行为。
混沌现象还在信息科学领域具有重要的应用。
混沌系统可以用来生成随机数序列，这些序列在密码学和数据压缩中具有重要作用。
数学中的非线性动力学与混沌
数学中的非线性动力学与混沌数学是一门探索规律和关系的学科，其中非线性动力学与混沌理论作为数学中的一个重要分支，研究的是非线性系统中的动态行为及其特性。
非线性动力学与混沌理论在科学研究、工程应用以及生活中都有着重要的作用。
一、非线性动力学的基本概念与理论非线性动力学是研究非线性系统中系统行为的学科，与线性动力学相对应。
在非线性动力学中，系统的演化过程不再服从线性关系，而是通过非线性关系来描述。
非线性动力学主要研究非线性微分方程、非线性差分方程以及非线性映射等数学模型。
混沌现象是一种在非线性动力学系统中出现的非周期性且高度敏感依赖于初始条件的行为。
混沌现象的起源可以追溯到20世纪60年代，由此引发了对混沌理论的热烈研究。
混沌系统表现出的复杂性和确定性的矛盾性，使得其在自然科学和社会科学等各个领域引起了广泛的关注。
二、混沌系统的特点与产生机理混沌系统具有以下几个主要特点：1. 非周期性：混沌系统在长时间演化中不会重复出现相同的状态，相比于周期性系统，更具有随机性和不可预测性。
2. 敏感依赖于初始条件：混沌系统中微小的初始条件变化会导致长期的演化差异，这被称为“蝴蝶效应”，即小的初始误差会随时间放大并产生巨大的差异。
3. 延迟的混沌现象：在某些情况下，混沌现象并不会立即出现，而是会在经过一段时间的演化后才出现。
混沌系统产生的机理主要包括非线性项的存在、系统的复杂性和混沌吸引子的形成等。
在非线性系统中，其演化过程受到非线性项的影响，导致系统行为的不可预测性。
系统的复杂性也是混沌现象产生的重要原因，复杂的动力学关系使得系统行为难以精确描述。
最后，混沌吸引子是混沌系统中的一种特殊的吸引子，它可以对系统的演化过程进行一定程度的限制。
三、非线性动力学与混沌的应用非线性动力学与混沌理论在科学研究、工程应用以及生活中都有着广泛的应用。
在科学研究方面，非线性动力学与混沌理论促使人们对自然界中的复杂现象进行深入研究，如气象学中的天气预报、物理学中的气体动力学以及生物学中的生物节律等。
数学中的非线性动力系统与混沌现象
数学中的非线性动力系统与混沌现象在我们日常所接触的数学世界中，线性系统占据了相当重要的地位。
然而，当我们深入探索数学的奥秘时，会发现非线性动力系统如同一个神秘而充满魅力的领域，其中的混沌现象更是令人着迷。
首先，让我们来理解一下什么是非线性动力系统。
简单来说，它是指一个系统的演化规律不能用线性方程来准确描述。
与线性系统中输入和输出之间存在简单的比例关系不同，非线性系统的行为要复杂得多。
举个例子，想象一下一个钟摆的运动。
在小幅度摆动时，我们可以用线性方程近似地描述它的运动，但当摆动幅度较大时，就必须考虑非线性的因素，比如空气阻力、摆绳的弹性等。
这种情况下，钟摆的运动就成为了一个非线性动力系统。
那么，混沌现象又是什么呢？混沌并非是毫无规律的混乱，而是指在确定性的系统中出现的看似随机、不可预测的行为。
一个经典的例子是“蝴蝶效应”。
这个概念说的是，在一个动力系统中，初始条件的微小变化可能会导致结果的巨大差异。
就好像一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可能会在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。
虽然这是一种夸张的说法，但它形象地说明了混沌系统对初始条件的极度敏感。
在数学中，混沌现象具有一些明显的特征。
比如，长期预测的不可能性。
即使我们知道了系统的精确方程和初始条件，也无法准确预测其在很长一段时间后的状态。
再比如，存在奇怪吸引子。
吸引子是系统在长期演化过程中趋向的状态，而在混沌系统中，吸引子的形状往往是复杂而奇特的。
非线性动力系统和混沌现象在许多领域都有着广泛的应用。
在气象学中，天气的变化就是一个复杂的非线性动力系统。
虽然我们可以通过气象模型进行预测，但由于混沌的存在，长期的准确预报仍然是一个巨大的挑战。
在生物学中，种群的增长和生态系统的动态变化也常常表现出非线性和混沌的特征。
例如，某些物种的数量可能会在一段时间内看似无规律地波动。
在物理学中，像流体的流动、量子力学中的一些现象等都与非线性动力系统和混沌有关。
研究非线性动力系统和混沌现象不仅有助于我们更好地理解自然界中的复杂现象，还为技术和工程领域带来了创新。
非线性电路中的混沌现象
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。
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非线性科学中的混沌XXX中南大学物理与电子学院，湖南长沙，410083摘要：本文介绍了非线性科学中的混沌概念和混沌发展历史；论述了混沌在科学认识论中的重要地位；同时分析了混沌产生的基本原理及主要特征，指出混沌现象广泛存在于自然界中；最后综述了混沌在科学研究中的广泛应用，并展望了混沌理论未来的发展前景。
关键词：混沌；蝴蝶效应；非线性科学The chaos theory in nonlinear scienceXXXSchool of physics and electronics,Central South University,Changsha 410083,ChinaAbstract: The main conception and development of chaos are introduced in this paper; The important status of chaos in scientific epistemology is discussed.At the same time ,the basic principle of chaos and the main characteristics of chaos are analyzed.It is also pointed that the Chaos is a common phenomenon in the nature. In the end, the extensive application of chaos in scientific research is summarized and the prospect of chaos theory is discussed.Key words:chaos; Butterfly Effect; nonlinear science前言人类在认识自然规律的进程中，最初试图用“确定论”的观点来认识客观世界。
但是随着人类的认识深入，发现了现实世界中存在许多不能用“确定论”解释的随机事件。
而概率与统计的思想在物理学的引入，迫使人们从决定论的“经典科学缔造的神话”中走了出来，寻找新的观点来描述真实世界。
混沌理论基本思想的出现，给人类的研究提供了巨大的帮助，使人们在认识世界方法上得到了突破性的进展，对探索描述及研究客观世界的复杂性发挥了巨大的作用，因此混沌理论被认为是继相对论，量子力学后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性科学领域的第三次大革命。
随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术出现和普遍应用，混沌科学作为一门新兴交叉学科受到学术界的广泛重视。
混沌是一种貌似无规则的运动，是在确定性线性系统中不需附加任何随机因素就可以出现的类似随机的行为。
在现代的物质世界中,混沌现象无处不在,存在于大气中，海洋湍流中，野生动植物种群的涨落中，风中飘拂的旗帜中，水流缭乱的旋窝中，心脏的跳动中，摆动的秋千中，气候的变化中等，大至宇宙,小至基本粒子,无不受混沌理论的支配。
混沌的研究在数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中各个学科中均有涉及。
因此,在现代科学中普遍存在的混沌现象打破了不同科学间的界限,混沌科学是涉及系统总体本质的一门科学。
1 混沌的发展历史混沌通常用来描述混乱，乱七八糟，杂乱无章等状态。
在我国古代“混沌”也称“浑沌”，表示“世界形成以前的状态”，认为宇宙最初是天地不分、混沌一片，在经过演化逐渐成为现在的样子。
正所谓“混沌者，言万物相混而未分离”。
同时也表示人类在认识上处于浑浑噩噩的朦脓状态，“未有天地之时，混沌如鸡子，盘古生其中”或者“气似质具而未相离，谓之混沌”等都很好的表明了对混沌的认识。
在古希腊中，混沌的英文为“Chaos”，来源于希腊文。
是对传说中宇宙形成前模糊一团的景象描述，基本与中国古代对于混沌的认识比较相似。
早在19-20世纪之交,法国数学家庞加莱在研究天体力学中发现：能够解决地球绕太阳公转的二体问题的Newton万有定律在处理三体问题时遇到了困难。
他指出三体问题中，其解在一定范围内是随机的。
实际上这是一种保守系统中的混沌。
从而他成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一人。
1963年，美国数学家E.N.Lorenz在气象预报的研究中，用计算机模拟天气情况发现了天气变化的非周期性和不可预言性之间的联系。
同时Lorenz发现了天气演变对初值的敏感依赖性[1]。
并提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变三个月后美国德克萨斯州的气候。
”这个比喻称为“蝴蝶效应”，它形象了表示了混动系统中长期行为对初值的敏感依赖性。
1971年法国物理学家芦厄勒和荷兰数学家塔肯斯为耗散系统引入了“奇异吸引子”这一概念[2],发现了混沌现象,并且提出了一个新的湍流发生机制,以揭示湍流的本质。
1975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克在美国《数学月刊》发表了题为“周期意味着混沌”的著名文章[3],深刻揭示了从有序到混沌的演化过程。
从此“混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学词汇之中。
1976年美国数学生物学家MayR在《自然》杂志上发表的题为“具有极其复杂的动力学的简单数学模型”文章中,给出了著名的虫口方程Logistic模型[4]。
并指出,在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型具有极为复杂的动力学行为,提出了有关实际问题,为该领域的深入探索发挥了巨大的作用。
1978年，M.Feigenbaum 通过对R.May和York的Logistic模型的深入研究，发现倍周期分岔的参数值，呈几何级数收敛，从而提出了Feigenbaum 收敛常数和标度常数[5]。
M.Feigenbaum的卓越贡献在于他看到并指出了普适性，真正地用标度变换进行计算，使混沌学的研究从此进入蓬勃发展的阶段。
1983年，美国人蔡少堂提出了“蔡氏电路”。
该电路结构简单，有丰富的非线性特征，提出后就震动了学术界。
此后，混沌科学得到了迅猛的发展,基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,所以对混沌的研究不仅推动了其它科学的发展,而且其它科学的发展又促进了对混沌的深入研究，奠定混沌在现代科学技术中的重要地位。
2 混沌定义混沌是由非线性确定系统产生的随机行为，混沌现象根源于非线性交叉耦合的耦合作用。
1975年,李天岩和约克在“周期意味着混沌”的文章中第一次给出了混沌的一种数学定义[3]：连续映射或者点映射F ：[][]()()λλ,,,,,x F x b a R b a →→⨯称为混沌的，如果（1）存在一切周期的周期点：（2）存在不可数子集[]b a ,S ⊂，S 不含周期点，使得()()()()()()为周期点p S x p F x F yx S y x x y F y x F y x S y x x y F y x F n n n n n n n n n ,,0,,sup lim ,,,0,,sup lim ,,,0,,inf lim ∈>-≠∈>-≠∈=-∞→∞→∞→λλ 则称f 在S 上是混沌的。
根据李约克定义，一个混沌系统应该有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐进周期轨道。
（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。
此外，对混沌的定理还有Sharkovskii 定理，Smale 马蹄，横截同宿点，拓扑混合及符号动力系统等定义[6]。
混沌现象的发现以及对混沌的定义，不仅是人们认识客观事物运动从定常周期或者准周期的运动扩展到了无序的混沌形式。
而且还发现了确定论与概率论这两套体系描述之间的由此及彼的桥梁。
混沌概念的提出，丰富了人类对远离平衡态现象的认识，使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的有结构的行为，而非某种外来的偶然行为。
3 混沌的特征混沌现象的出现首先得保证这个系统是非线性的，线性系统是不可能发生混沌现象，它主要有以下几个特征：3.1 混沌对初值条件具有高度敏感性最著名的理论是Lorenz 蝴蝶效应，它是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性。
通常用Lyapunov 指数来刻画这种对初值敏感的依赖性，可以说明系统的混沌性。
3.2 有界性混沌的运动状态并不是没有边界的，其运动路线无论经过多少次迭代，都会固定在某个区域中，不会超出该区域，这个区域就是吸引域。
对于混沌系统而言，有界性表现出系统的整体稳定性。
3.3 遍历性遍历性是指混沌运动轨迹吸引子会遍历系统吸引域的每一个状态点，但是又不会停留在具体的某一个状态点。
3.4 内在的随机性内在随机性与外在随机性的不同在于，外在随机性是由于外部环境中的某些随机因素对系统造成的影响，而内在随机性是由于系统内部自发生成的，不需要存在随机因素，就会出现类似随机性的行为。
3.5 自相似性混沌具有自相似性。
所谓的自相似性，就是指把混纯吸引子相图的某一局部放大，放大后的相图与原混纯吸引子的相图是相似的。
4 通往混沌的道路系统是通过怎样的方式或者途径从规则运动过渡到混沌运动，是混沌研究的重要问题。
以下为三种走向混沌的主要途径。
4.1 准周期道路这是由法国著名科学家D.Rulle和F.Takens在70年代首次提出。
混沌可以看作具有无穷多个频率耦合而成的振动现象，其特点是平衡态→周期运动→准周期运动→混沌运动。
4.2 倍周期分叉道路倍周期分叉道路是由分形理论创始人 B.B.Mandelbrot和P.Myberg以及J.A.Yorke等一大批科学家共同努力而发现的。
即从周期不断加倍而产生的混沌。
→ 无限倍周期凝聚点→奇怪吸引其特点为不动点→两周期点→四周期点→子。
4.3 间歇道路间歇混沌模型也称为Pomeau-Manneville途径，它是由Pomeau和Man-neville 与1980年所提出的一条途径。
这条途径是一种规则的运动状态通过有时规则有时混乱的间歇状态转变为混沌运动状态的。
5 混沌在自然科学中的应用5.1 生物医学随着混沌理论的普及，人们发现人体的心率，脑电波都是混沌的。
真正周期的心率或是脑电波则是致病因素。
因此，人们开始用混沌理论来研究心脏的动力学问题，试图用混沌控制来减少或者消除心脏的“致命混沌”，控制心律不齐的发生。
例如利用混沌系统对初始扰动的敏感性，可以在心脏系统偏离正常状态的初期，只用微小的扰动去控制心脏的混沌状态，就能使偏离正常状态的心脏系统及时地从有害的无节奏状态回复到正常状态。
不仅如此，在治疗神经疾病方面，运用混沌控制理论将其所表现的“周期态”变为“混沌态”，进行混沌反控制，从而治疗这种所谓的“动态病”。