上海市2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
2019年高考数学专题十七离心率精准培优专练文
培优点十七 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::PF PF F F =且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba-=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，对点增分集训所以12t t +=412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，ca =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1 D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ===．本题选择C 选项．5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥，故选C ． 7．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值，当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b =，即为a =，c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为by x a =±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a ==则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+， 由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛ ⎝⎦ D．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛ ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△，由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =，所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-， 即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值． 【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△ 【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知 111x x λ=-+，221x x μ=-+， 2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++．②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△ 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=， 所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯=△， 令211t k =+>，则OAB S ==△ 因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤⎪⎝⎭，故32OAB S ≤<△，综上32OAB S ≤<△。
2019上海高考试题—数学(理)解析版(纯word版)
2019上海高考试题—数学（理）解析版（纯word 版）一．填空题 1．计算：3-i=1+i（i 为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】3-i(3-i)(1-i)2-4i===1-2i 1+i (1+i)(1-i)2. 【点评】本题着重考查复数旳除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母旳共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A . 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 【解析】根据集合A 210x +>，解得12x >-，由12,,13x x --<<得到，所以⎪⎭⎫⎝⎛-=3,21B A .【点评】本题考查集合旳概念和性质旳运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式旳解法.解决此类问题，首先分清集合旳元素旳构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 旳值域是 . 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,25【解析】根据题目22sin 212cos sin )(--=--=x x x x f ，因为12sin 1≤≤-x ，所以23)(25-≤≤-x f . 【点评】本题主要考查行列式旳基本运算、三角函数旳范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式旳运算性质. 4．若)1,2(-=是直线l 旳一个法向量，则l 旳倾斜角旳大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan【解析】设直线旳倾斜角为α，则2arctan ,2tan ==αα.【点评】本题主要考查直线旳方向向量、直线旳倾斜角与斜率旳关系、反三角函数旳表示.直线旳倾斜角旳取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx -旳二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160-【解析】根据所给二项式旳构成，构成旳常数项只有一项，就是333462C ()160T x x=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式旳展开式要清楚，特别注意常数项旳构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比旳等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【答案】78【解析】由正方体旳棱长组成以1为首项，21为公比旳等比数列，可知它们旳体积则组成了一个以1为首项，81为公比旳等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列旳极限、等比数列旳通项公式、等比数列旳定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 旳取值范围是 . 【答案】(]1,∞- 【解析】根据函数,(),x a x ax a e x a f x ee x a---+⎧≥⎪==⎨<⎪⎩看出当a x ≥时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间[)+∞,1上为增函数，所以a 旳取值范围为：(]1,∞- .【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数旳单调性旳判断，分类讨论在求解数学问题中旳运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要旳错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥旳侧面展开图是面积为π2旳半圆面，则该圆锥旳体积为 . 【答案】33π 【解析】根据该圆锥旳底面圆旳半径为r ，母线长为l ，根据条件得到ππ2212=l ，解得母线长2=l ，1,22===r l r πππ所以该圆锥旳体积为：ππ331231S 3122=-⨯==h V 圆锥. 【点评】本题主要考查空间几何体旳体积公式和侧面展开图.审清题意，所求旳为体积，不是其他旳量，分清图形在展开前后旳变化；其次，对空间几何体旳体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【答案】1- 【解析】因为函数2)(x x f y +=为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(==+=g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(-=+-=+-=--=-f g f .(1)(1).f f -=-【点评】本题主要考查函数旳奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件旳运用，平时要加强这方面旳训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 旳直线l 与极轴旳夹角6πα=，若将l 旳极坐标方程写成)(θρf =旳形式，则=)(θf .【答案】)6sin(1θπ-【解析】根据该直线过点)0,2(M ，可以直接写出代数形式旳方程为：)2(21-=x y ，将此化成极坐标系下旳参数方程即可 ，化简得)6sin(1)(θπθ-=f .【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见旳曲线旳参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目旳比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择旳项目完全相同旳概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同旳项目旳取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下旳概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 旳长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上旳点，且满足||||CD BC =，则AM ⋅旳取值范围是 .【答案】[]5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).22224284423N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)83235,4821(),1,(x x AM x AN --==→→.所以83235)4821(x x x AN AM -+-=•→→⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤2521x ，所以2 5.AM AN →→≤•≤642246105510ADCBMN【点评】本题主要考查平面向量旳基本运算、概念、平面向量旳数量积旳运算律.做题时，要切实注意条件旳运用.本题属于中档题，难度适中. 13．已知函数)(x f y =旳图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）旳图象与x 轴围成旳图形旳面积为 . 【答案】45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩从而得到22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩所以围成旳面积为45)1010(10121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成旳图形旳面积为45 .【点评】本题主要考查函数旳图象与性质，函数旳解析式旳求解方法、定积分在求解平面图形中旳运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强旳分析问题和解决问题旳能力，在以后旳练习中加强这方面旳训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直旳棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 旳体积旳最 大值是 . 【答案】13222--c a c【解析】据题a CD AC BD AB 2=+=+，也就是说，线段CD AC BD AB ++与线段旳长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC 平面⊥时，此时有最大值，此时最大值为：13222--c a c .【点评】本题主要考查空间四面体旳体积公式、空间中点线面旳关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题旳关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分） 15．若i 21+是关于x 旳实系数方程02=++c bx x 旳一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 【答案】 B【解析】根据实系数方程旳根旳特点1-也是该方程旳另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择B.【点评】本题主要考查实系数方程旳根旳问题及其性质、复数旳代数形式旳四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧旳考查，复习时要特别注意.16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆旳形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C RcB R b A R a===代入得到222a b c +<， 由余弦定理旳推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理旳运用.主要抓住所给式子旳结构来选择定理，如果出现了角度旳正弦值就选择正弦定理，如果出现角度旳余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、旳概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x xx +++++、、、、旳概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、旳方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D = C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 旳大小关系与4321x x x x 、、、旳取值有关 【答案】 A【解析】 由随机变量21,ξξ旳取值情况，它们旳平均数分别为：1123451(),5x x x x x x =++++，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭且随机变量21,ξξ旳概率都为2.0，所以有1ξD ＞2ξD . 故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量旳期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题旳前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数旳个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 【答案】C【解析】依据正弦函数旳周期性，可以找其中等于零或者小于零旳项.【点评】本题主要考查正弦函数旳图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻旳14项旳和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题旳能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 旳中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 旳面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成旳角旳大小.（6分）[解]（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2， 所以三角形PCD 旳面积为3232221=⨯⨯（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)， )1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设与旳夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ，θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成旳角旳大小是4π ……12分[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成旳角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成旳角旳大小是4π ……12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面旳位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成旳角旳求解，同时考查空间几何体旳体积公式旳运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角旳情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 旳取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期旳偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数 )(x g y =])2,1[(∈x 旳反函数.（8分） [解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分yABC DP EF由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数旳概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数旳图象与性质，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船旳当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船旳正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船旳移动路径可视为抛物线24912xy =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置旳横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 旳纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度旳大小和方向；（6分）（2）问救援船旳时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 旳横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912xy =中，得P 旳纵坐标y P =3. ……2分 由|AP |=2949，得救援船速度旳大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan307，故救援船速度旳方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船旳时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船旳时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 旳左顶点引1C 旳一条渐近线旳平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成旳三角形旳面积；（4分）（2）设斜率为1旳直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上旳动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 旳距离是定值.（6分）[解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行旳直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y xy ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形旳面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 旳方程是b x y +=.因直线与已知圆相切， 故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x bx y ，得01222=---b bx x .设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x b x x .又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 旳距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 旳方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 旳方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分设O 到直线MN 旳距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33. 综上，O 到直线MN 旳距离是定值. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线旳概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线旳关系、椭圆旳标准方程和圆旳有关性质.特别要注意直线与双曲线旳关系问题，在双曲线当中，最特殊旳为等轴双曲线，它旳离心率为2，它旳渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质旳运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中nx x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 旳值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 旳通项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直旳元素必有形式),1(b -. ……2分所以x =2b ，从而x =4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一旳负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分 假设1=kx ，其中n k <<1，则nx x <<<101.选取Yx x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则nn x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i qx ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则kA 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而kA 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ； 当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A有性质P ，则},,,1,1{2kk x x A -= 也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能； 所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分 [解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中旳唯一负数，},,,{)0,(32nx x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<< (1)2x x注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列旳通项公式为111)(12--==k k x x k qx x ，k =1, 2, …, n . ……18分【点评】本题主要考查数集、集合旳基本性质、元素与集合旳关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X 具有性质P ”这一概念，考查考生分析探究及推理论证旳能力．综合考查集合旳基本运算，集合问题一直是近几年旳命题重点内容，应引起足够旳重视．。
2019上海高考压轴卷数学附答案解析
2019上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A. B. C. D.2.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.4.定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作．给出函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数是周期函数，最小正周期为；③函数在上是增函数；④函数的图象关于直线∈对称.其中所有的正确命题的序号为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若=0，则x=______．6.已知双曲线=1的离心率为，则m=______．7.（-）6的展开式中常数项为______ ．8.函数f（x）=4x-2x+2（-1≤x≤2）的最小值为______ ．9.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是______．10.若数列{a n}满足a11=，-=5（n∈N*），则a1= ______ ．11.已知，＜，是R上的增函数，则a的取值范围是______ ．12.已知圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是______ ．13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______．14.已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于______．15.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是16.函数f（x）=lg（x≠0，x∈R），有下列命题：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）的最小值是2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；④f（x）没有最大值．其中正确命题的序号是______ ．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．18.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解，求实数k的取值范围．19.某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量件与单价元之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．根据周销售量图写出件与单价元之间的函数关系式；写出利润元与单价元之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．21.各项均为正数的数列中，前n项和．求数列的通项公式；若恒成立，求k的取值范围；是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），设M（x0，y0），∴，则，整理得：，又，得，即，联立，得，即，解得e=．故选D．2.【答案】A【解析】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3.【答案】D【解析】如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=∵，SE=3，∴R=5棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，故选：D．4.【答案】B【解析】∵ 中，由题意知，{x}-{x}+，则得到f（x）=x-{x}∈（-]，故错误；中，由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-]的最小正周期为1，，故正确；中，由于{x}-{x}+则得f（x）=x-{x}为分段函数，且在上是增函数，，故命题正确；中，由题意得，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）不对称，故命题错误；由此可选择，故选B.5.【答案】1【解析】=4x-2×2x=0，设2x=t，t＞0，则t2-2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）则2x=t=2，则x=1，故答案为：1．6.【答案】2或-5【解析】双曲线-=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，即，解得m=2，当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=-5．故答案为2或-5．7.【答案】60【解析】（-）6的展开式中的通项公式：T r+1==（-1）r26-r，令-6=0，解得r=4．∴（-）6的展开式中常数项==60．故答案为60．8.【答案】-4【解析】f(x)=(2x)2-4•2x，令t=2x，∵-1≤x≤2，∴t∈[，4]，则y=t2-4t=(t-2)2-4，y在t∈[，2]上递减，在t∈[2，4]上递增，所以当t=2时函数取得最小值-4．故答案为-4．9.【答案】【解析】复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==．故答案为：．10.【答案】【解析】-=5，∴{}是以5为公差的等差数列，∴=+5（n-1），∵a11=，∴=+5（11-1）=52，即=2，∴a1=.故答案为．11.【答案】[2，+∞）【解析】首先，y=log a x在区间[1，+∞）上是增函数且函数y=（a+2）x-2a区间（-∞，1）上也是增函数∴a＞1 (1)其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）-2a≤log a1⇒a≥2 (2)联解（1）、（2）得a≥2．故答案为[2，+∞）．12.【答案】6【解析】∵圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．∵P（2，2）是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|==，∴由垂径定理，得|BD|=2．因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．故答案为613.【答案】【解析】口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．14.【答案】8【解析】各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．故答案为：8．15.【答案】（4，8）【解析】当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=-x2，得a=-，设g（x）=-，则g′（x）=-=-，由g′（x）＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a（x-2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为（4，8）16.【答案】①④【解析】f（-x）=lg=f（x），∴函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故正确；2，∴f（x）=lg≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故不正确；函数g（x）=在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故函数f（x）=lg在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故不正确；由知，f（x）没有最大值，故正确故答案为：．17.【答案】（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+=2，即p=2，可得抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=•=8，可得n=-m2，=2m，==2m2+n=+m2=+m2+1-1≥2-1=3，当且仅当=m2+1，即m2=1，即m=±1，T到y轴的距离的最小值为3，此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..【解析】（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）由题意，f（）=2sin（•ω+φ）=0，即•ω+φ=kπ，∈①，即T=，得ω=2，代入①得φ=，∈，取k=1，得φ=，∴f（x）=2sin（2x）；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴∈[，]，，得f（x）∈[-2，1]，由f（x）+log2k=0，得log2k=-f（x）∈[-1，2]，∴k∈[，4]．【解析】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．（Ⅰ）由函数的零点列式得到•ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解即可求得k的范围．19.【答案】（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b，则,解得a=-2，b=50.∴p=-2x+50，同理得，当20＜x≤28时，p=-x+30，所以;（2）当12≤x≤20时，销售利润,因此当时,;当20＜x≤28时，销售利润,∵函数在（20,28]上单调递减，∴y<75，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.【解析】本题考查了函数的表示方法,分段函数,待定系数法和一次函数、二次函数模型.（1）利用函数图象,结合分段函数的概念,运用待定系数法计算得结论;（2）利用二次函数模型，分段求最值得结论.20.【答案】（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=-，直线l2的方程y=-（x-1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k1=-，直线l1的方程y=-（x+1），联立，解得：，则Q（-x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02-1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=-，=-，直线l1的方程y=-（x+1），①直线l2的方程y=-（x-1），②联立解得：x=-m，则Q（-m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2-n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2-c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02-1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】（1）∵，∴，，两式相减得，，整理得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n-a n-1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又得a1=1，∴a n=2n-1；（2）由题意得＞，∵，∴=＜，∴；（3）∵a n=2n-1．假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即即（2m+9）2=（2m-1）•（2k-1），∵（2m-1）≠0，∴，∵2k-1∈Z，∴2m-1为100的约数，∴当2m-1=1，m=1，k=61,当2m-1=5 , m=3 , k=23,当2m-1=25, m=13, k=25.故存在.【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）利用递推关系得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，数列{a n}的各项均为正数，可得a n-a n-1=2，n≥2，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由题意得，利用，“裂项求和”方法即可得出；（3）a n=2n-1．假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即．可得，进而得出．。
2019届高考数学专题十八离心率精准培优专练理 - 副本
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．13 D ．162．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,1+D ．(2,1 1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．2 C D 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线 ()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1 D ．25．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D ．347．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =， 则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43 B ．53C ．2D ．73 8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞ 10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）A B ．2 C D ．311．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> （1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率2e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值； ②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．。
2019届高考数学专题十八离心率精准培优专练理
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::23PF PF F F =且122a PF PF =+，122c F F =，所以1212232F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a=，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）A 10B 5C 13D 5【答案】D【解析】 双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba-=-，即12b a =，222251c b e a a ∴==+=，故选D ．2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A 2B 2C 3D 3【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB = ，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =．故选A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”对点增分集训及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a-=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率5ce a==D ．4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A 2B 3C 21D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =，则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，AF =，据此有：22c a -=，即)1c a -=，则双曲线的离心率：1c e a ===+．本题选择C 选项．5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝B ．()0,1C．⎫⎪⎪⎭D．⎛ ⎝【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，21e <<．故选C ．6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A 2B 3C 6D ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒，因为tan a OMA b ∠=，所以tan60ab≥︒=，a ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值，当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ．解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34B 3C ．12D 2【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a ==．故选D ．9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．(B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a ==>=，则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限P 的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）A 2B ．2C 3D ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒，即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得23e =C ．11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D．⎫⎪⎪⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=，221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝，故选C ．12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=，故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以123BF c =，4BF c =，所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以127AF c =，由双曲线的定义可知2274a c c =-72+．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥ ，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e > ，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S=△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BF C △～△，由14PAB PBF S S=△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =，所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为3c e a ==．3．16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-，即222a a c >-，解得12e >，又因为1e <，所以112e <<，当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）2y x =±；（2）1m =±．【解析】（1）由题意，得3ce a==223c a ∴=，∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程2by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>），∴1202x x x m +==，002y x m m =+=，∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ= ，PB BF μ= ．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②322OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，2c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ= ，PB BF μ= 知111x x λ=-+，221x x μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++．②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△．当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+12OAB S OA OB =⨯==△，令211t k =+>，则OAB S ====△，因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤⎪⎝⎭，故32OAB S ≤<△32OAB S ≤<△．。
离心率(10-19年高考题)
离心率1.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2ab =（B ）22.34ab =（C ）2a b=（D ）34a b=2．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．143．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是 A ． 3 B ．3C ．23D ．594．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3．3C ．3D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年浙江)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n-=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．mn >且121e e > B ．m n >且121e e <C ．mn <且121e e > D ．m n <且121e e <7．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为 A 、21B 、32 C 、43 D 、54 8．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．9．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．10．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．11．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．12．（2013福建）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线)y x c =+与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于13．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．14.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．15.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标 原点，以为直径的圆与圆交于P ，Q 两点.若，则C 的离心率为ABC ．2D16．（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1CD ．217.（2019天津理5）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为C.18．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b)0(1:2222>>=+Γb a by a x 21,F F c 2ΓM 12212F MF F MF ∠=∠22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =uuu r uu u r 120F B F B ⋅=uuu r uuu r22221(0,0)x y a b a b-=>>O OF 222x y a +=PQ OF =24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>A B ||4||AB OF =O 2A．=y B．=y C．=y x D．=y x 19．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1|||PF OP =，则C 的离心率为 AB ．2CD20．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 BCD．321．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E的离心率为 AB ．32C．222．（2015湖北）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >23．（2014重庆）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为 A ． B ．C ．D ．3 24．（2013新课标1）已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．25．（2013重庆）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 26．（2012福建）已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于 ABC ．32D ．4321F F ，)0,0(12222>>=-b a by a x P,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+343549C 22221x y a b-=0,0a b >>2C 14y x =±13y x =±12y x =±y x =±C O O 06011A B 22A B 1122A B A B =1A 1B 2A 2BC 2]2))+∞)+∞27．（2010新课标）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-，则它的离心率为AB28．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是 ．29．（2017新课标Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．30．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．31．(2016山东)已知双曲线E ：(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 .32．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．33．（2014山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ．34．（2014浙江）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是____．35．（2013陕西）双曲线的离心率为 ． 36．（2014湖南）设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．22221x y a b-=221169x y -=。
高三精准培优专练十八 离心率(理) 考试版
7．已知双曲线 的渐线方程为 ，则此双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
8．如图，点 在以 ， 为焦点的双曲线 上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，若四边形 为菱形，则该双曲线的离心率为（）
A． B．2C． D．
9．椭圆 ： 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，
∴ ，离心率 ，∴ ，故选A．
二、填空题
11．【答案】
【解析】根据椭圆的方程可得： ， 题意，双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故答案为 ．
13．【答案】
【解析】∵ 垂直于 ，∴可得 ，
又∵ 为等腰三角形，∴ ，即 ，
整理得 ，解得 ．
若 是直角三角形( 为坐标原点)，则 的离心率为（）
A． B． C． D．
10．经过双曲线 的右焦点，倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．椭圆 的离心率为______．
12．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率
（1）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；
（2）若直线 在 轴上的截距为2，且 ，求 ， ．
16．已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 在双曲线上，求证： ；
例1：【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，∴ ．故选C．
例2：【答案】C
【解析】由 ，得双曲线标准方程为 ， ，
因此双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
，得 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 ，故选B．
8．【答案】C
专题18 圆锥曲线的综合问题-2019年高考数学重难点专题训练含答案
专题18 圆锥曲线的综合问题-2019年高考数学重难点专题训练含答案1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 2与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，求|AC |＋|BD |的最小值．解 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c ＝1， 又因为e ＝c a ＝1a ＝33，所以a ＝3，所以b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)①当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时， 直线BD 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，并化简得(3k 2＋2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.Δ＝36k 4－4(3k 2＋2)(3k 2－6)＝48(k 2＋1)>0恒成立． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2，|BD |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝()1＋k 2·[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43()k 2＋13k 2＋2.由题意知AC 的斜率为－1k ，所以|AC |＝43⎝⎛⎭⎫1k 2＋13×1k 2＋2＝43()k 2＋12k 2＋3.|AC |＋|BD |＝43()k 2＋1⎝⎛⎭⎫13k 2＋2＋12k 2＋3＝203()k 2＋12()3k 2＋2()2k 2＋3≥203()k 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤()3k 2＋2＋()2k 2＋322＝203()k 2＋1225(k 2＋1)24＝1635.当且仅当3k 2＋2＝2k 2＋3，即k ＝±1时，上式取等号， 故|AC |＋|BD |的最小值为1635.②当直线BD 的斜率不存在或等于零时， 可得|AC |＋|BD |＝1033>1635. 综上，|AC |＋|BD |的最小值为1635.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为点D ，右焦点为F 2(1,0)，延长DF 2交椭圆C 于点E ，且满足|DF 2|＝3|F 2E |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 2作与x 轴不重合的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线HA ，HB 分别与直线x ＝3交于M ，N 两点，记直线F 2M ，F 2N 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1与k 2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)椭圆C 的上顶点为D (0，b )，右焦点F 2(1,0)，点E 的坐标为(x ，y )． ∵|DF 2|＝3|F 2E |，可得DF 2→＝3F 2E →， 又DF 2→＝(1，－b )，F 2E →＝(x －1，y )，∴⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－b3，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，可得⎝⎛⎭⎫432a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 32b 2＝1，又a 2－b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1， 即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.∴y M ＝y 1()3＋2x 1＋2.同理可得y N ＝y 2()3＋2x 2＋2，∴M ，N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1()3＋2x 1＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2()3＋2x 2＋2，∴k 1k 2＝y M －03－1·y N －03－1＝14y M y N＝14·y 1()3＋2x 1＋2·y 2()3＋2x 2＋2 ＝y 1y 2(3＋2)24()my 1＋1＋2()my 2＋1＋2＝y 1y 2(3＋2)24[]m 2y 1y 2＋()1＋2m ()y 1＋y 2＋()1＋22＝－11－62m 2＋24⎣⎢⎡⎦⎥⎤－m 2m 2＋2＋－2()1＋2m 2m 2＋2＋3＋22＝－11－62m 2＋24×6＋42m 2＋2＝42－98.∴k 1与k 2之积为定值，且该定值是42－98.6．已知平面上动点P 到点F ()3，0的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程，并探究：若M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得()x －32＋y 2⎪⎪⎪⎪x －433＝32. 整理，得x 24＋y 2＝1，∴曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2， ∵直线与圆有两个不同交点C ，D ， ∴|CD |2＝4⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2.又∵m 24＋n 2＝1(m ≠0)，∴|CD |2＝4⎝⎛⎭⎫1－43m 2＋4.∵|m |≤2，∴0<m 2≤4， ∴0<1－43m 2＋4≤34.∴|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(]0，3， 即|CD |的取值范围为(]0，3.②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1. 下面证明：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切， 其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0， 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16()1－n 2＝4()m 2＋4n 2－4＝0恒成立，从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M ()m ，n 是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B＝1()A ·B ≠0恒相切．7. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F 2(1,0)，点B ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －4)(k ≠0)与椭圆C 由左至右依次交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．解析：(1)由F 2(1,0)，知c ＝1，由题意得⎩⎨⎧a 2＝1＋b 2，1a 2＋94b 2＝1，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为y ＝k (x －4)，所以直线l 过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G 在直线x ＝x 0上． 当直线l 过椭圆C 的上顶点时，M (0，3)， 所以直线l 的斜率k ＝－34，由⎩⎨⎧y ＝－34x －，x 24＋y23＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝335，所以N ⎝⎛⎭⎫85，335，由(1)知A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 所以直线lA 1M 的方程为y ＝32(x ＋2)，直线lA 2N 的方程为y ＝－332(x －2)，所以G ⎝⎛⎭⎫1，332，所以G 在直线x ＝1上．当直线l 不过椭圆C 的上顶点时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 所以Δ＝(－32k 2)2－4×(3＋4k 2)·(64k 2－12)＞0，得－12＜k ＜12，x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1·x 2＝64k 2－123＋4k 2，易得直线lA 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线lA 2N 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，当x ＝1时，3y 1x 1＋2＝－y 2x 2－2得2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝0， 所以k 2－3＋4k 2－5×32k 23＋4k 2＋＋4k 23＋4k 2＝0显然成立，所以G 在直线x ＝1上．8．已知平面直角坐标系内两定点A (－22，0)，B (22，0)及动点C (x ，y )，△ABC 的两边AC ，BC 所在直线的斜率之积为－34.学-科网(1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若(1)中轨迹E 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以AP 为直径的圆的面积的取值范围．解析：(1)由已知，k AC ·k BC ＝－34，即y x ＋22·y x －22＝－34，所以3x 2＋4y 2＝24，又三点构成三角形，所以y ≠0， 所以点C 的轨迹E 的方程为x 28＋y 26＝1(y ≠0)．(2)设点P 的坐标为(0，t )当直线MN 的斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2. ①联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，当Δ＞0得64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)＞0，整理得t 2＜8k 2＋6. 所以x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－243＋4k 2， ②。
2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） AB 3C ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::3PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以1212232F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,12+D ．()2,12+【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a=，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，222251c b e a a ∴=+，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） AB 2C 3D 3 【答案】A【解析】设直线的参数方程为22x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得22224112022a b t b ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以21222b c t t +=412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，2ca=A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） AB 3C ．2D 5【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B 3C 21 D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，()()2222''2222AF F F AFc c c =++，据此有：2222c c a -=，即)21c a =，则双曲线的离心率：2121c e a ===-．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） AB 3C 6D ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan603a b ≥︒，3a b ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥C ．7．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有22c b a c ==-，即为2a c =，2c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．( B ．(5⎤⎦C ．)5,+∞D ．)5,+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为by x a =±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭则双曲线的离心率的取值范围为()5,+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2C 3D ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，222b e a ⎛ ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF 3______． 72+【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以123BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以127AF c =，由双曲线的定义可知2274a c c =-72+ 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______． 3 【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△，由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为3c e a == 3． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________． 【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）2y x =±；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得3ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程2by x x a=±=±．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率2e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知2OAB S =△ 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+ ()2224222112252122OAB k S OA OB k k k k+=⨯==++++△， 令211t k =+>，则()()22222211112121512911242OABt t S t t t t t tt ===+--+-+⎛⎫+--- ⎪⎝⎭△因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故322OAB S ≤<△322OAB S ≤<△。
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
2019上海高考数学试卷及答案(K12教育文档)
(完整word)2019上海高考数学试卷及答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word)2019上海高考数学试卷及答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word)2019上海高考数学试卷及答案(word版可编辑修改)的全部内容。
2019年上海市高考数学试卷2019。
06。
07一。
填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1. 已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞,则A B = 2. 已知z ∈C ,且满足1i 5z =-,求z = 3。
已知向量(1,0,2)a =,(2,1,0)b =,则a 与b 的夹角为 4. 已知二项式5(21)x +,则展开式中含2x 项的系数为5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为6。
已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =,则3()2f =7. 若,x y +∈R ,且123y x +=，则y x的最大值为8。
已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =9。
过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B 上 方,M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则λ=10。
某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有 两位数字相同的概率是11。
高考离心率的常用解法及配套习题与答案汇编
高考离心率的常用解法及配套习题与答案前言：椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线方程是23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26D. 332解：双曲线右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D 变式练习1.1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23D 2 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==ace （31-舍去），故选D变式练习2.1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.332 变式练习2.2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
2019年高考数学(理科)专题十九圆锥曲线综合精准培优专练(含答案)
培优点十九 圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q两点，且PQ =（1）求C 的方程；（2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析，()2,1． 【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，因为PQ =(P c -，代入椭圆方程得22221c a b+=，又因为c e a ==，所以21212b+=，b c =，所以24b =，2228a b ==， 所以C 的方程为22184x y +=．（2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=， 设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，联立()1122184y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩得，()()()2221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=，由相切得()()()222211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦，化简得()221184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=，因为方程只有一解，所以1111122111822x y x y x k x y y ===---，所以切线MA 的方程为()11112x y y x x y -=--， 即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=，又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020202828x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩，所以直线AB 的方程为0028x x y y +=，又004x y +=，所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=，即()02880x x y y -+-=，令20880x y y -=-=⎧⎨⎩，得21x y ==⎧⎨⎩，所以直线AB 恒过定点()2,1．2．面积问题例2：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c =与椭圆相交于A 、B两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤⎥⎝⎦． 【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则tan b cα=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c a α=，()12122sin9012||sin sin 90F F c a ce b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++， 解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=．（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得A ⎛ ⎝，B，得AB =，由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m⎛∈⎝，12CD x-而21lk=-与11lk=，知21l l⊥，12ACBDS AB CD∴=⨯=由m⎛∈⎝，得232,03m⎛⎤-∈-⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦，∴四边形ACBD面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．3．参数的值与范围例3：已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点()1,0F，点()1,2A在抛物线C上，过焦点F的直线l交抛物线C于M，N两点．（1）求抛物线C的方程以及AF的值；（2）记抛物线C的准线与x 轴交于点B，若MF FNλ=，2240BM BN+=，求λ的值．【答案】（1）24y x=，2AF=；（2）2λ=．【解析】（1）抛物线()2:20C y px p=>的焦点()1,0F，12p∴=，则24p=，抛物线方程为24y x=；点()1,2A在抛物线C上，122pAF∴=+=．（2）依题意，()1,0F，设:1l x my=+，设()11,M x y、()22,N x y，联立方程241y xx my==+⎧⎨⎩，消去x，得2440y my-=-．所以121244y y my y+==-⎧⎨⎩①，且112211x myx my=+=+⎧⎨⎩，又MF FNλ=，则()()11221,1,x y x yλ--=-，即12y yλ=-，代入①得()222414y y mλλ⎧-=--=⎪⎨⎪⎩，消去2y 得2142m λλ=+-，()1,0B -，则()111,BM x y =+，()221,BN x y =+，则()()222222221122||11BM BN BM BN x y x y +=+=+++++()222212121222x x x x y y =++++++()2222121212(1)(1)222my my my my y y =+++++++++()()()2221212148m y y m y y =+++++()()22421168448164016m m m m m m =+++⋅+=++，当4216401640mm ++=，解得212m =，故2λ=±．4．弦长类问题例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x Cy -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C 的渐近线的距离为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-，求12M M 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）(． 【解析】（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ， 双曲线2C 的渐近线为：0yx =⇔±=， 1b ⇒=，∴椭圆方程2213x y +=．（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k xkmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()222222221301303641333013k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩，设()111,Q x y ，()222,Q x y ，则有：122613kmx x k +=-，21223313m x x k --⋅=-．又()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++． 又：125OQ OQ ⋅=-，所以有：()()()22222221133613513k m k m m k k⎡⎤+--++-=-⎣⎦-， 2219m k ⇒=-，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>．③由①②③有2109k <≤．设()133,M x y 、()244,M x y ．有342613kmx x k -+=+，23423313m x x k -⋅=+，12M M==将2219m k =-代入有1212M M M M ==12M M ⇒=2t k =，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()()()()()2311'1313t t tf t f t t t +-=⇒=++，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()(1250,72f t M M ⎛⎤∈⇒∈ ⎥⎝⎦．5．存在性问题例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴122a AF AF =+==∴a =2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，353,P x ⎛⎫⎪⎝⎭，()44,Q x y ，MN 的中点为()00,D x y ，由22222y x t x y =++=⎧⎨⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229ty y +=，且()2243680Δt t =-->，故12029y y t y +==且33t -<<， 由PM NQ =，知四边形PMQN 为平行四边形， 而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=，又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．对点增分集训一、解答题1．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()221:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1:2l x =，设点()1,0D -，直线AD 交l 于M ，求证：直线BM 经过定点．【答案】（1）()22103y x x -=>；（2）见解析． 【解析】（1）由已知12| | 2PF PF =+，12| | 2PF PF -=，P 轨迹C 为双曲线的右支，22a =，1a =，12| 24F F c ==，2c = ∴曲线C 标准方程()22103y x x -=>．（2）由对称性可知，直线BM 必过x 轴的定点，当直线1l 的斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，知直线BM 经过点()1,0P ，当直线1l 的斜率存在时，不妨设直线()1:2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 直线()11:11y AD y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭， ()22233y k x x y =--=⎧⎪⎨⎪⎩得()()222234430k x k x k -+-+=，212243k x x k -+=-，2122433k x x k +=-， 下面证明直线BM 经过点()1,0P ，即证PM PB k k =，即1212311y yx x -=+-， 即12112233y x y x y y -+=+，由112y kx k =-，222y kx k =-，整理得，()12124540x x x x -++=，即()22222243434450333k k k k k k -+⋅-⋅+=--- 即证BM 经过点()1,0P ，直线BM 过定点()1,0．2．已知点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB 的（1）求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）22143x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，有229141a b +=，由等面积法，可得原点O 到直线AB= 联立两方程解得2a =，b E 的方程为22:143x y E +=．（2）设点()()00000,,0P x y x y >>，则2200143x y +=，即22003412x y +=．直线()00:22y PA y x x =++，令0x =，得0022D yy x =+．从而有00022y BD x =+=+，同理，可得AC =．所以四边形的面积为01122AC BD ⋅= 241243128312124312831122y x y x y x y x y ++++++++====．所以四边形ABCD的面积为．3．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =．（1）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，且3445OF OF ≤⋅≤（其中O 是坐标原点），求k 的取值范围．【答案】（1）是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，2212x y +=；（2）32,⎡⎡⎢⎢⎣⎦⎣⎦．【解析】（1）由题意MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为∴a =1c =，1b ==，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=．（2）设直线l ：y kx b =+，()11,F x y ，()22,H x y ， 直线l 与圆221x y +=1=，即221b k =+，联立2212x y y kx b +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kbx b +++-=，()()()2222222164122182180Δk b k b k b k =-+-=-+=>，得0k ≠，122412kbx x k +=-+，21222212b x x k -=+， ∴()()()()()222221212121222122411212k bkb OF OH x x y y k x x kb x x b kbb kk+--⋅=+=++++=++++()()222222222124111121212k k k k k k kk k+++=-++=+++， 所以223144125k k +≤≤+，得21132k ≤≤，k ≤≤，解得k ≤k ≤≤，故所求范围为32,⎡⎡⎢⎢⎣⎦⎣⎦． 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求PQ 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=，221x y +=；（2）⎡⎢⎣⎦．【解析】（1）设B 点到x 轴距离为h ，则1111222A AB A OB S S AO h a h ==⋅⋅⋅=⋅△△，易知当线段AB 在y 轴时，max h BO c ==，12A AB S a c ∴=⋅=△，12c e a ==，2a c ∴=，2a ∴=，1c=，b = 所以椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y +=．（2）当直线L 的斜率不存在时，直线L 的方程为1x =±，此时223b PQ a==；设直线L 方程为：y kx m =+，直线为圆的切线，1d ∴==，221m k ∴=+，直线与椭圆联立，22143y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，判别式()248320Δk =+>，由韦达定理得：122212284341243km x x k m x x k -+=+-⋅=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以弦长12PQ x -=2433t k =+≥，所以PQ ⎛= ⎝⎦；综上，PQ ⎡∈⎢⎣⎦，5．如图，己知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的左、右焦点，直线():1l y k x =+经过左焦点1F ，且与椭圆G 交A ，B 两点，2ABF △的周长为． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）是否存在直线I ，使得2ABF △为等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22132x y +=；（2）不存在，见解析． 【解析】（1）设椭圆G 的半焦距为c ，因为直线l 与x 轴的交点为()1,0-，故1c =． 又2ABF △的周长为，即224AB AF BF a ++==a 222312b ac =-=-=．因此，椭圆G 的标准方程为22132x y +=． （2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即22AF BF ≠． 由题意知()21,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，假设22AF BF =又2211132x y +=，2222132x y +=，代入上式，消去21y ，22y 得：()()121260x x x x -+-=． 因为直线l 斜率存在，所以直线l 不垂直于x 轴，所以12x x ≠，故126x x +=．(与1x 2x ≤126x x +≤<矛盾）联立方程()221321x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，得：()2222326360k x k x k +++-=，所以21226632k x x k +=-=+矛盾． 故22AF BF ≠．再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰． 假设2ABF △为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点． 设1AF m=，则2AF m =，在12AFF △中，由勾股定理得：()224m m +=，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。
(2021年整理)高考复习圆锥曲线中的离心率问题(含详细答案)
(完整版)高考复习圆锥曲线中的离心率问题(含详细答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)高考复习圆锥曲线中的离心率问题(含详细答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)高考复习圆锥曲线中的离心率问题(含详细答案)的全部内容。
(完整版)高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望 (完整版)高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案) 这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为〈（完整版)高考复习圆锥曲线中的离心率问题(含详细答案）〉这篇文档的全部内容。
圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ac e =来求解.例1。
过双曲线C:)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB ｜=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A 。
10B. 5C 。
310D.25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。
解:易知A （-1,0），则直线l 的方程为1x y +=.直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=｜BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a ce ==，从而选A 。
2019年上海市高考压轴卷数学试题(解析版)
2019上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A. 3B. 3C. 23D. 3【答案】D【解析】【分析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a =-- ，②,联立①②可解得. 【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ．【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】 “a＞1”⇒“11a ＜”，“11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a ＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.已知三棱锥S ABC -，ABC △是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. 100πB. 68πC. 72πD. 64π 【答案】A【解析】如图所示，直角三角形ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点D ，过D 作面ABC 的垂线，球心O 在该垂线上，过O 作球的弦SC 的垂线，垂足为E ，则E 为SC 的中点，球半径R OS =114,3,522CD AB SE SC R ====∴=，棱锥的外接球的表面积为24100R ππ=，故选A. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4.定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1；③函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2k x k Z =∈对称. 其中所有的正确命题的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①②④D. ①②③【答案】B【解析】【分析】①中,根据题意易得11(){}(,]22f x x x =-∈-,故①错误; ②中,由(1)()f x f x +=可知小正周期为1，故②正确, ③中，()f x 在11(,]22-和13(,)22上是增函数, 故命题③正确, ④中,()()f k x f x -≠, 故命题④错误. 【详解】∵①中，显然(){}f x x x =- 的定义域为R,由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到(){}f x x x =-11(,]22∈-，故①错误； ②中，由题意知:(1)(1){1}1{}1f x x x x x +=+-+=+--={}()x x f x -=,所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于11{}{}22x x x -<≤+,则得(){}f x x x =-为分段函数，且在1113,,,2222⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，()(){}(){}()f k x k x k x x x f x -=---=---=-()f x ≠所以函数y =f （x ）的图象关于直线x =2k （k ∈Z ）不对称，故命题④错误； 由此可选择②③，故选B .【点睛】本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若42021xx =，则x =___ 【答案】1【解析】4221xx =422022,1x x x x -⋅=∴==6.已知双曲线22121x y m m -=++m = ______. 【答案】2或5-【解析】 双曲线22121x y m m -=++，当焦点在x 轴时，a 2=m+2，b 2=m+1，可得c 2=a 2+b 2=3+2m ，双曲线22121x y m m -=++的离心率为2，所以327224m m m +=∴=+ 当焦点在y 轴时，a 2=-m-1，b 2=-m-2，可得c 2=a 2+b 2=-3-2m ，所以327514m m m --=∴=--- 故答案为2或-5． 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出22,a b ，2c 即可得解7.62(x -的展开式中常数项为______ ．【答案】60【解析】【分析】先求出展开式的通项公式,再令x 的指数为0,解出r ,进而可求出常数项.【详解】62(x 的展开式中的通项公式：366621662()((1)2r r r r r r r r T C C x x ---+==-. 令32r -6=0，解得r =4．∴62(x的展开式中常数项为:4246(1)2C -⨯=60． 故答案为60．【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.8.函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．【答案】-4【解析】分析】 换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】2()(2)42x x f x =-⋅ ,令2x t =, 因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈,则224(2)4y t t t =-=--, y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增， 所以当t =2时函数取得最小值-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.9.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z|==．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭复数为a bi -．【10.若数列{a n }满足a 11=152，11n a +-1na =5（n ∈N *），则a 1=______ ． 【答案】12【解析】【分析】 根据111n na a +-5=,可得1{}n a 是以5为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得. 【详解】因为111n na a +-5=,所以1{}n a 是以5为公差的等差数列, 所以1115(1)n n a a =+-, 所以111115(111)a a =+-, 所以111115052502a a =-=-=, 所以112a =. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属基础题.11.已知()()()()2211a a x a x f x log x x ⎧+-⎪=⎨≥⎪⎩，＜，是R 上的增函数，则a 的取值范围是______ ． 【答案】[2，+∞）【解析】【分析】因为分段函数为R 上的增函数,所以分段函数在两段上也是增函数,且1x < 时的函数值恒小于等于1x ≥ 时的函数值.【详解】首先，y =log a x 在区间[1，+∞）上是增函数且函数(2)2y a x a =+-在区间（-∞，1）上也是增函数∴a ＞1 ①其次在x =1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a +2）-2a ≤log a 1⇒a ≥2 ②联解（1）、（2）得a ≥2．故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属中档题.12.已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．【答案】【解析】【分析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积.【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3．∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12．故答案 【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题.13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________． 【答案】23【解析】从袋中一次随机摸出2个球,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，四种基本事件数，因此概率为4263=14.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，2316a a =，则数列{}2log n a 的前四项和等于_____．【答案】8.【解析】各项为正的等比数列{a n }中，a 2a 3=16，可得a 1a 4=a 2a 3=16，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4=log 2（a 1a 2a 3a 4）=log 2256=8．故答案为：8．点睛：这个题目考查是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。
2019年上海市高考数学(理科)试卷及答案(word版)
16
．
14． x0
2．
15．B． 16．B． 17．A． 18．D．
三、解答题
19．因为 ABCD- A1B 1C1D1 为长方体，故 AB // C1D1, AB C1D1 ，故 ABC 1D1 为平行四边形，故 BC1 // AD1 ，
显然 B 不在平面 D1AC 上，于是直线 BC1 平行于平面 DA1C；直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平
20．（6 分+8 分 ）甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1 x 10 ），每小时 可获得利润是100(5x 1 3) 元. x
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元， 求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
11．若 cos x cos y sin x sin y 1 ,sin 2x sin 2 y 2 ，则 sin(x y) ________
2
3
12．设 a 为实常数，y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，f (x) 9x a2 7 ，若 f (x) a 1 x
直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 y kx 与 C2 有公共点，求证| k | 1，进而证明原点不是“C1—C2 型点”； (3)求证：圆 x2 y2 1 内的点都不是“C1—C2 型点”．
2
23．（3 分+6 分+9 分）给定常数 c 0 ，定义函数 f (x) 2 | x c 4 | | x c | ，数列 a1, a2 , a3,满
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
2019届高考数学专题十八离心率精准培优专练理
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::PF PF F F =且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba-=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为2x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，ca=A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”对点增分集训及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1 D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ===．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥，故选C ． 7．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b =，即为a =，c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为by x a =±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a ==则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛ ⎝⎦ D．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛ ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△，由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =，所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________． 【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值． 【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△ 【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知 111x x λ=-+，221x x μ=-+， 221212221212444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△ 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯=△， 令211t k =+>，则OAB S ==△ 因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤⎪⎝⎭，故32OAB S≤<△，综上32OAB S ≤<△。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE ac =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A．3B．2CD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ===，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a =．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a =>=，则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S △． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OABS ==△因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤<△，综上32OAB S ≤<△．。