常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)

一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A(1α 2β) 1Aα 2Aβ
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
学生活动
变式：
设
a,b
R
若M

a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1

y


y

T
:

y



y


y
温故知新
2.伸压变换矩阵 M

a 0
0 1

N

1 0
0
b

伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,
0 1
01作用下变换得到的
几何图形，并给出图示，其中
O(0, 0), B(2, 0),C(2,1), D(0,1)
2.求出曲线
y

3
x
经 M1

1 0
0 1
和
0 M2 1
1 0
作用下变换得到的曲线.
学生活动
3.求 y

x2 (x

0)在M1

1 0
心对称与旋转1800是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向
为逆时针.
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形
的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋 转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转1800的变换相当于 关于定点作中心反射变换.
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
求a, b 的值.
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
2.求出曲线y 3 x 在矩阵
作用下变换得到的曲线.
M

0 1
1
0

学生活动
1.求矩形OBCD在矩阵
0
1
1
M2


0
0 1
1
M3


0
0
0
1 M4 1
1 0
分别作用下变换得到的曲线.
4.二阶矩阵M对应的变换将 (1, 1) 与 (2,1)
分别变换成 (5, 7) 与 (3,6) （1）求矩阵M （2）求直线l : x y 4在此变换下所变成的直线
y
O
x
已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得 到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?
问题1：若将一个平面图形 F 在矩阵M1 的作用变换下得到关于 y 轴对称的几
何图形，则如何来求出这个矩阵呢？
x x x 1 0 x
y 10x y
y lg x (x 0)
1
O
1
x
数学应用 例3.求直线l : 2x y 7 0 在矩阵 M
作用下变换得到的图形.

3 1
0 1
思考1：若矩阵M

3 1
10改为矩阵
A

3 1
1 1
则变换得到的图形是什么？
思考2：我们从中能猜想什么结论？ 或点
T1
:

y


y


y



0
1

y
变换矩阵为 M1

1

0
0 1
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M2

1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
(2) M3

1

0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形；
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换； 2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义； 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
温故知新
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
E

1 0
0 1
恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
数学应用
例1 求出曲线 y x2
(x 0) 在矩阵
M

1 0
0 1
作用下变换所得的图形. y
y x2 (x 0)
1
O
1
x
-1
y x2 (x 0)
数学应用
例2.求出直线 y 4x 在矩阵
作用下变换得到的图形.
M

0 1
1 0
变: y lg x(x 0)
l 的解析式.
构建数学 旋转变换
2.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
θ的变换矩阵P(.x其, y中)θ称为旋转角,点O为旋转中心.
r
r P(x, y)
x r cos

y

r
sin

x r cos( ) r cos cos r sin sin xcos y sin
变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.
延伸拓展
已知二阶矩阵M对应的变换将（1，-1）与（-2，1） 分别变换为（5，7）与（-3，6）. （1）求矩阵M；
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
(3)
M4

0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x对称的图形；
(4) M5

0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形；
构建数学
一般地，称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
0 0.5
问题情境
求圆C：(x 2)2 ( y 2)2 2在矩阵
1
M

0
0 1
作用下变换所得的曲线.
y
(x 2)2 ( y 2)2 2
(x 2)2 ( y 2)2 2
(2, 2)
(2, 2)
O
x
两个几何图形有何特点？
问题情境
或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
1 0
0 1 2

x

y



x y 2

wenku.baidu.com
T
:
x

y



x y


x y 2

伸压变换——
1 0
0 2
3 0
0 1
1 0

y

r
sin(
)

r sin
cos

r
cos
sin

y
cos

x sin
cos sin x x cos y sin x
sin
cos


y

x sin

y
cos



y
旋转变换
M=
cos sin
sin
cos

0 1 0 1
1
0

,
-1
0

0 1
1 0
x

y


y x

T
:

x y



x y

y x
旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两
个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中