与数列有关的恒成立问题

与数列有关的恒成立问题

(一)根据与数列通项有关的不等式恒成立，求参数范围。

【例1】（2020·广东华南师大附中高二期末）已知数列满足，

，那么成立的的最大值为

______

，所有

，公差

，

解，得，所以成立的的最大值为5，故答案为：5

【例2】（2020·黑龙江高三（理））已知数列满足，且

，

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅰ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【解】（Ⅰ）证明：∵a n+1−12=3a n −32=3(a n −1

2)

， 所以数列

是以1为首项，以3为公比的等比数列； （Ⅰ）解：由（1）知，

，由b n +1

b

n+1

−1

≤m 得3

n−1+1

3n −1

≤m ，即13+4

3(3n −1)≤m

设c n =1

3+4

33−1，所以数列{c n }为减数列，(c n )max =c 1=1，∴m ≥1 【巩固训练】若数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =(−1)n+2018a,b n =2+(−1)n+2019

n

，且a n

意n ∈N +恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[−1,1

2)

B ．[−1,1)

C ．[−2,1)

D ．[−2,3

2)

【解】因为a n

(−1)n+2019

n

，当n 为奇数，-a<2+1

n ,又2+1

n 单调递减，故2+1

n ＜2，故- a ≤2，解

a ≥−2，当n 为偶数，a <2−1

n ，又2-1

n 单调递增，故2-1

n ≥3

2，故a <3

2，综上−2≤a <3

2，故选D

{}n a 11a =0n a >1=32n a

32n a n =

(二) 根据与数列前n 项和有关的不等式恒成立求参数范围

【例3】2020·湖北高三月考（理））已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【解】由数列的前项和， 可得，故， 故， 故=，不等式恒成立， 即恒成立，即， 由，可得，(当n =1时等号成立)，所以，故选：A . 【例4】数列{a n }的前n 项和S n =2−1

2n−1(n ∈N ∗)．

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)对于(2)中的T n ，若不等式(−1)n λ

2n−1对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围． 【详解】(1)数列{a n }的前n 项和S n =2−1

2n−1(n ∈N ∗)①．当n ≥2时，S n−1=2−1

2n−2②， ①−②得：a n =S n −S n−1=2−1

2n−1−2+1

2n−2=1

2n−1．当n =1时，S 1=a 1=2−1

20=1，

{}n a n 231

22n S n n =

-1

1n n n b a a +=n T {}n b n

*n N ∈93n T n λ<+λ(,48)-∞(,36)-∞(,16)-∞(16,)+∞{}n a n 231

22

n S n n =

-22113131

(1)(1)()312222

n n n S n n n n a n S ++==

+-+--=+-32n a n =-111111

()(32)(31)33231

n n n b a a n n n n +=

==--+-+111111(1...)34473231n T n n =

-+-+++--+11(1)33131

n n n -=++93n T n λ<+2min

3(31)n n λ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦min 1396n n λ⎛

⎫<++ ⎪⎝⎭*n N ∈1

910n n

+

≥48λ<

符合上式，故：a n =1

2n−1．

(2)由于：a n =1

2n−1，则：b n =na n =n

2n−1，则：T n =1

20+2

21+3

22+⋯+n

2n−1①，

1

2T n

=121+222+323+⋯+n 2n ②，①−②得：1

2

T n =1−

1

2n 1−12

−

n 2n

，故：T n =4−4+2n 2n

．

(3)由于不等式(−1)n λ

2n−1对一切n ∈N ∗恒成立，所以：不等式(−1)n ⋅λ<4−2

2n−1对一切n ∈N ∗恒成立．由于f(n)=4−2

2n−1在n ∈N +为递增函数．若n 为偶数时，λ−2，故：−2<λ<3．

【巩固训练】（2020·黑龙江牡丹江一中高一月考）已知不等式对一切正整数恒成立，则实数的范围为( ) A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】∵，所以不等式对一切正整数恒成立，化为＞， 所以＞，因为是增函数，所以的最小值是，

∴

log 2（a ﹣1）+a ﹣，所以4﹣a ＞log 2（a ﹣1），所以4＞a+log 2（a ﹣1），所以因为是增函数（增+增=增），观察选项所以1＜a ＜3,故选B.

点睛：本题用到了两次恒成立问题，第一次是＞得到log 2（a ﹣1）+a ﹣，第二次是

4＞a+log 2（a ﹣1）得到.恒成立问题实质就是最值问题，所以恒成立问题一般转化成最值问题.

()()2

11117

...log 112233412

a a n n ++++>-+-⨯⨯⨯+n a ()0,3()1,3()2,4()3,+∞111

(1)1

n n n n =-++()()2

11117...log 112233412a a n n ++++>-+-⨯⨯⨯+n 1111

111223

1n n -

+-++

-+()27log 12

a a -+-1111n -

+()27log 12a a -+-1111n -+1111n -+11

122

-=1

2

>722max 4[log (1

]a a >+-）2log (1y a a =+-）1111n -

+()27log 12a a -+-1

2

>722max 4[log (1

]a a >+-）