平差模型的假设检验

因此，假设检验实际上就是要在原假设 之间做出选择。
H0
与备选假设
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第二章 平差模型的假设检验
接受域与拒绝域
根据观测样本，通过检验来判断母体分布是否具有指定的特 征。在这里，我们通过对改正数的检验，构造统计量，在所作的 假设下，判断是否有模型误差。
显著（性）水平
接受域和拒绝域的范围大小是与我们所给 定的 值大小有关的， 值愈大，则拒绝域愈 大，被拒绝的机会就愈大， 的大小通常应根 据问题的性质来选定，当不应轻易拒绝原假设 时，应选择较小的 ，一般使用的 值可以 是0.05、0.01等。 称之为检验的显著（性） 水平 。
2
V T PV
2
2 ) 1 2
对检验结果的理解，特别是对拒绝零假设的理解
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第二章 平差模型的假设检验
四、 F 检验法
2 2 ˆ0 / I F 2I 0 2 ˆ 0 II / 0 II
F (r1 , r2 )
2 0I 2 0I
假设检验的零假设是关于 ,
2 ˆ0 ˆ0 V T PV 2 2 0r 0 0
t (r )
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第二章 平差模型的假设检验
四、 F 分布统计量（检验方差比）
定义：随机变量 X , Y 相互独立， X
~ ( f1 )
2
Y ~ 2 ( f2 )
X / f1 F ~ F ( f1 , f 2 ) Y / f2 f1 , f 2 分别称为第一、第二自由度
2
X ～ N (0,1) / n
X 0 ，即 ～ N (0,1) ，于是应有 / n
X 0 P(u u ) 1 / n 2 2
0

n
u x 0
2

n
u
2
上式成立则接受 H0 : 0
，上式不则成立接受 H1 : 0 武汉大学测绘学院 孙海燕
2 T M 为非中心化参数。 称为非中心化 分布。R(M ) 自由度，
可以证明:
V PV
T

2 0

2 ( n t ,0)

2 (r )
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第二章 平差模型的假设检验
三、 学生（ t ）分布统计量
设X
N (0,1) ， Y
2 (n) ，且
X t Y /n
X , Y 独立，则称随机变量
H0 : x 0
0.62 x 0.03" 421
2 2
H1 : x 0
u
x P(u u u ) 1 0.95
x x
0.04 1.33 0.03
u0.025 1.96
接受零假设
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第二章 平差模型的假设检验 二、 t 检验法
~ E( ) E( L) BX
T T
2 2 T T DLL Q
令
E ( ) u
u
N (0,1)
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第二章 平差模型的假设检验
例1：直接平差
L1 , L2 ,, Ln
n
独立，且 Li ～ N ( X , i ) ，则
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第二章 平差模型的假设检验
例：设有正态母体 X ～ N (, 2 ) ，其方差为已知，抽取子样
X1 , X 2 ,, X n ，子样观测值为 x1 , x2 ,, xn
子样平均值
标准化统计量 设 H0 : 0
1 n N ( , ) X Xi ～ n n i 1
母体的分布 F 、母体的数字特征（期望、方差等）
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第二章 平差模型的假设检验
随机样本（简单随机样本）
在相同条件下对母体X 进行 n 次重复、独立的观察，将 n 个观察结果按试验次序记为 X1, X 2 , X n ，称为来自母 体 X 一个简单随机样本。
n 次观察得到的结果 x1, x2 ,
ˆ X X t ˆX ˆ t (r )
例：检验平差后观测值改正数的数学期望。
Vi
2 N ( E (Vi ), V ) i 2 2 ˆV ˆ0 QVV
i i i
H0 : E(Vi ) 0
Vi E (Vi ) Vi t ˆVV ˆVV i i i i
H1 : E(Vi ) 0
2
~
ˆ X
pL
i 1 n i
i

2 ˆ X
02
p
i 1
i
p
i 1
n
考虑间接平差模型
i
于是
u
~ ˆ X X
Xˆ

~ ˆ X X
0 /
p
i 1
n
～ N (0,1)
i
例2：间接平差
~ ˆ X X i i u 0 QXˆ Xˆ
i
u
i
vi 0 QViVi
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第二章 平差模型的假设检验
假设检验的四种可能性 现象
H 0 为真
判断 接 受
结果 正确 第一类错误 （弃真）
概率
1
拒 绝
H 0 为假


1
（检验功效）
接 受 拒 绝
第二类错误 （纳伪）
正确
( H1 为真）
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第二章 平差模型的假设检验
第二节 统计量及其概率分布
服从自由度为 n 的
t ( n) 分布。
2 2 ， 其中 N ( X , ) ˆ ˆ ˆ 未知 0 QXX X
2 ˆ X
ˆ 考虑 随机变量 X
u
ˆ X X
X
N (0,1)
V T PV

2 0
(r )
2
ˆ X ˆ X u X X 0 t ˆ 0 / 0 0 QXX ˆ0 ˆX ˆ ˆˆ
一、标准正态分布统计量
考虑间接平差模型
~ L BX
2 2 1 E() 0, D() D 0 Q 0 P
ˆ L V BX
ˆ (BT PB)1 BT PL X
对任意的观测值的线性函数
1L1 2 L2 n Ln T L
2 2 H0 : 0 I 0 II
之间的大小关系，如
2 2 H1 : 0 I 0 II
等价于
2 2 ˆ ˆ H 0 : E ( 0 I ) E ( 0 II ) 2 2 ˆ ˆ H1 : E ( 0 I ) E ( 0 II )
考察两的母体的方差之间的关系
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第二章 平差模型的假设检验
原假设与备选假设
当需要根据子样信息来判断母体分布是否具有指定的特 征时，总是先作一个假设，称为原假设（或零假设）， 记为 H 0 。 然后，找一个适当的且其分布为已知的统计量，确定该 统计量经常出现的区间，使统计量落入此区间的概率接近于 1，如果由抽样的结果计算出的统计量的数值不落在这一经 常出现的区间内，那就表示小概率事件发生了，则应拒绝原 假设 H 0 ，当 H 0 遭到拒绝，相当于接受了另一个假设， 称为备选假设，记为 H 1 。
V T PV
设
T
02
2 ˆ0 rV T PV r 2 2 r 0 0
2 (r )
2 2 ˆ0 / I F 2I 0 2 ˆ 0 II / 0 II
2 ˆ0 (V T PV ) I I (r 1)
则
ˆ (V PV ) II
2 0 II
(r2 )
F (r1 , r2 )
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第二章 平差模型的假设检验
第三节 平差模型常用的统计检验方法
一、 u 检验法 若
X
u
N ( , 2 )
N (0,1)

已知，对 进行假设检验
u
X

" x 0.04 例：统计421个三角形闭合差，得闭合差平均值
" 0.62 已知闭合差中误差 ，闭合差的数学期望是否为零。
2
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第二章 平差模型的假设检验
三、 检验法
2
2
V T PV
02
2 ˆ0 V T PVr r 2 2 r 0 0
2 (r )
2 对参数 0 进行假设检验（母体方差是否等于某值）
2 H0 : 0 2
2 H1 : 0 2
P( 12
xn 称为样本值
注意：X 、 X1, X 2 , X n 具有相同的分布 F 概率论：分布已知，求事件发生的概率 数理统计：分布未知，通过样本求或样本的函数 （统计量）求分布 统计量的分布：抽样分布
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第二章 平差模型的假设检验
第一节 统计假设检验中的几个理论问题
假设检验的目的： 推断母体的某些特性（提出假设），包括 分布的形式；分布函数的参数 假设检验的基本思路：综合提出的假设、构造的统计 量及其抽样分布，考察与统计量观察值相关 的一个随机事件发生的概率。发生的概率较 大 ，接受假设，发生的概率小，拒绝假设。 假设检验的决策依据：统计量的观察值与抽样分布 假设检验的具体方法取决于：假设、样本、统计量、 抽样分布
t (r )
P(t t t ) 1
2 2
给定 查表得 t
2
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第二章 平差模型的假设检验
例： 为了比较两种激光测距仪，对同一条边进行了测距，A测距仪 施测了4测回，长度为X1，X2，X3，X4，其平均值 x 1287.689m ， ˆ x 7mm；B测距仪施测了6测回，长度为 算得一测回标准差估值 Y1，Y2，Y3，Y4， Y5，Y6，其平均值 y 1287.676m ，算得一 ˆ y 11mm ，问这两类测距仪施测的边长是否有显 测回标准差估值 著的差异（显著水平为0.05）。
高等测量平差
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第二章 平差模型的假设检验
母体
研究某对象的某一项数量指标，对这一数量指标进行 试验或观察。称试验的全部可能的观察值为母体、每 一个可能观察值为个体、母体中所包含的个体的个数 为母体的容量。（有限容量、无限容量）
母体的每一个值是随机试验的一个观察值
随机变量的一个值 母体对应一个随机变量 X ，母体 X
H0 : E( x ) E( y ) 0
(x y) 0 t ˆxy t (8)
H1 : E( x ) E( y ) 0
2 x
ˆ2 xy
4

2 y
6
32.42
ˆ x y 5.7
13 t 2.28 5.7
t 0.05 2.23
2
t 0.01 3.17
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第二章 平差模型的假设检验
2 二、 分布统计量
X X X ，X i 独立，且 X i
2 2 1 2 2 2 n
N (0,1) ，则
2
2 (n)
2 非中心化的 分布（二次型的分布）：
源自文库
设X
M 为幂等阵，则 N ( , ) ，M 为对称阵，
X MX
T

2 ( R ( M ), T M )