2014年全国高中数学青年教师展评课：杨辉三角中的一些秘密课件(浙江宁波正始中学陈碧文)
高中数学_杨辉三角中的一些秘密教学课件设计
Cnm CCnm1011C11Cnm1
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C44
C50
C51
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C55
C60 61
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C66
(a+b)0 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
(a+b)6
……
Cnm Cnm1111Cnm1
1 21 1 3 31 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
((aa++bb))C10 0n
C1n
C
2 n
1
11
C
n n
2n1
2
(a+b)2
1 21
4
(a+b)3
1 3 31 8
(a+b)4
1 4 6 4 1 16
1 6 15 20 15 6 1
例1:在(a+b)n展开式中，
(a
b)n
C
0 n
a
n
Cn1a n1b Cn2a n2b2
Cnk a nk bk Cnnbn
（1）若第3项与第13项的二项式系数相等,求n；
（2）若只有第10项二项式系数最大,求n； （3）若第10项二项式系数最大,求n。
高中数学《杨辉三角》课件
杨辉三角
例1.证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的 二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.
解： 令a=1,b=-1 即
赋值法
例2.已知(x2 -1)n的展开式的各项二项式系数和 是1024,求展开式中含x6的项. 解：
例3.求(1- x)8的展开式中二项式系数的最大项. 解：
目标检测
杨辉三角
杨辉三角
杨辉三角
南宋数学家、数学教育家
数学著作有《日用算法》、《杨辉算法》、 《详解九章算法》等
在欧洲，杨辉三角被认为是法国数学家、 物理学家帕斯卡首先发现的,称帕斯卡三角 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右
课后作业
课本P30，第1、2、4题 查阅资料，尝试探究：
杨辉三角虽然也叫帕斯卡三角，但是两 者有区别吗？给出自己的观点 .
高中数学探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密课件
原型——路径问题
甲
不同路径 相同步数 殊途同归
C150 252 C63 20
乙
【数学的灵动美】——做中思玩中学
路径问题
甲 1 1 1 111
1 2 3 456
1 3 6 10 15 21
14 15
10 20 35 56 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252乙
理论
实践
【数学的灵动美】——做中思玩中学
............
C C C 0
1
2
n1 n-1 n-1
...
Cr 1 n-1
Cr n-1
...
Cn2 n-1
C0 n1
Cn0 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn1 n
C n0
杨辉三角中,第n行第r+1个数为
an,r1 Cnr
【数学的规律美】——回顾旧知
对称
Cnr
C nr n
正难则反
斜
121 13 31
C11 1C21 2 C331 C4415C516C7612C871 C82
向 求 和
146 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
高二数学人教A版选择性必修第三册第六章数学探究 杨辉三角的性质与应用 课件(共20张PPT)
ห้องสมุดไป่ตู้
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角 形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响 面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用 帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三 角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
数学探究 杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
1
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中， 记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪 中 叶 ( 约 公 元 1050 年 ) 贾 宪 的 《 释 锁 算 术 》 ， 并 绘 画 了 “ 古 法 七 乘 方 图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘 方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发 现一元三次方程解的塔塔利亚．
3
贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 杨辉 中国南宋1261 《详解九章算法》 记载之功 朱世杰 中国元代 1299 《四元玉鉴》 级数求和公式 阿尔·卡西 阿拉伯 1427 《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔 德国 1544 《综合算术》 二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654 《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古 代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
(展示)杨辉三角ppt_高三数学
C = C +C …… …… 2 r n−2 r −1 1 … Cn−1 Cn−1 … Cn−1 第n-1行 1 Cn−1 Cn−1 行 r n−1 2 1 … … Cn Cn 第n行 1 Cn Cn 行 …… … …
r n−1
一.简介:杨辉三角的基本性质 简介: 表中每个数都是组合数， 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n ! r r+1个数是 r+1个数是 C =
3.杨辉三角与“纵横路线图” 3.杨辉三角与“纵横路线图” 杨辉三角与 “纵横路线图”是数学中的一类有趣 纵横路线图” 纵横路线图 的问题：如图是某城市的部分街道图， 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到 处走到B处 纵横各有五条路，如果从 处走到 处 (只能由北到南，由西向东 ，那么有多 只能由北到南， 只能由北到南 由西向东)， 少种不同的走法？ 少种不同的走法？
（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？ 斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？
列斜线上的前Q个数之和等于第 列斜线上的第Q个数 第P列斜线上的前 个数之和等于第 列斜线上的前 个数之和等于第(P+1)列斜线上的第 个数。 列斜线上的第 个数。
（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
= (C a + C a b +⋯+ C a b +⋯+ C )(a + b) 0 k+1 1 k r +1 k−r b+1 k k = Ck a + Cka b +⋯+ Ck a b +⋯+ Ck ab +
0 k k 1 k −1 1 k r k k −r r k k
杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
Cnr 1-1Cnr1- Cnr 杨辉恒等式 8
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
0 n
藏 ( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b . C .n r a . n r b r . C .n n 1 . a n 1 C b n n b n
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
Cr1 n1
7
1
11
121
13 31
146 41
1 5 10 10 5 1
方衺 作乃
1
1C860 728C261156C35672.0..3.C5..5..663..21.C.28647
C1
8
5
61
C
6 6
法 本 源 图
,
隅
算C
中
n1 0C1 n0Cn 1 1C n1 Cn 11 n 2 n1CC -C -1C nn 22 C1-n2..-.1...............n .r. .C1 .1 .-...n r .Cn.r.-.1n .1rnC .r1 C-C .nr.-..1.. ...C ...n n C 1 n n 2 - n1 n-C11 2C 1 nC nC1 n0C1
“杨` 辉三角”
中的一些秘密
宁波市正始中学 陈碧文
1
《
《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)
3 数学文化，拓展视野 谢 尔 宾 斯 基
谢 尔 宾 斯 基 三 角 形
埃 菲 尔 铁 塔
分形几何 奇异、美丽、 超乎想象！
4 课堂小结，升华“点睛”
斜看 三角形数 四面体数 高阶等差数列 斐波那契数列
贾宪
本
课
小
C
m n
C nm n
组合数对称性
结
杨横看 辉
2的幂、11的幂
杨辉三角
朱世杰
Cnm
成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。 十
十 天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数 分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
对称性：Cnm
C nm n
递推性： Cnm
C m1 n 1
Cm n 1
1
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C52 C53
C
4 5
C
5 5
C 60
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
2 善于观察，发现“秘密”
杨辉三角中的一些秘密——数学课本“探索与发现”的进一步探索
周刊
杨辉三角中的一些秘密
数学课本 探索与发现 的进一步探索 杨海跃
杨辉三角出发 , 探索它的精妙绝伦的性质 . 用研究与总结来揭开它神秘的面纱 . 关键词 : 三角的秘密 ; 杨辉三角 ; 数学探索 摘㊀要: 作为中国数学史上重要的发现 , 杨辉三角带我们领略数字的奥秘 , 为我 们 打 开 二 项 式 系 数 的 大 门 . 现 在 , 让我们从
１ n－ １ n－ １ n－ １ n － 则 Cn ＋Cn＋１ ＋ ������ ＋Cn＋m－２ ＝ Cn＋m－１ n－ １ ＋C n
所以 k ＝ m ＋１ 时成立 . ＋Cn＋m－１ ＝ Cn＋m ＝ Cn＋mห้องสมุดไป่ตู้１＋１ ,
n－ １ n n
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������
) 边的一列就是它的一阶差数 列 . 并 且 从 右 向 左 第 n( n ȡ０
Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn＋１ ＋ ������ k－ ２ ＝C n＋ k－ ２ ＝C n＋ １＋
１
０ １ ０ ㊁n ㊁ ������Ck , 列, 可表示为Cn １ C n－ １ k 所以它们的前k 项和C n－ １＋ － ＋
全国高中数学 青年教师展评课 杨辉三角中的秘密(课堂
1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密一：引经据典，步入新课师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。
“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。
由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。
可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。
当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。
所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。
而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。
二：复习回顾，总结已知师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。
那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。
学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。
贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。
用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。
从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ：这对我们今天的研究非常重要。
师：还有吗？学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。
师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。
还有吗？学生1：没了。
师：那我请你的同桌来补充一下。
2014年全国高中数学 青年教师展评课 杨辉三角
“杨辉三角”中的一些秘密阅读材料：杨辉三角的历史《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。
”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。
大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。
河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。
数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。
杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术中》引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。
元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。
世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起中》将其称为“杨辉三角”，于是才有了“杨辉三角”的说法。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。
,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？一:回顾杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第8行_________________________________________……………………………..我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？____________________________________________________________________________________________________________________________三:初探杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 第14行______________________________________________________________________……………………………..第n+1行_______________________________________________________________________012100121111211101665646362616065545352515054434241404332313032212021101............1nn n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----结论1：_______________________________________________________________________ 结论2：_______________________________________________________________________ 结论3：_______________________________________________________________________ 结论4：_______________________________________________________________________ 结论5：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 四:再探杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 841 5 15 35 70 1261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________五:三探杨辉三角提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________七:课后探索1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
杨辉三角及其空间拓展PPT教学课件
P|(w,x,y,z) = × × Cw wxyz
Cz x yz
Cy x y
对应为 (a+b+c+d)n的展开项axbyczdw的系数
• N维杨辉三角中位于P(a1,a2,a3…an-1,an)点的杨辉三角数
P |(a ,a ,a …a ,a )= ×……× × n 1 2 3
n-1 n
Can a1a2an
杨辉三角及其空间拓展
小组成员：刘雅儒 郭良美 指导老师：
2020/12/10
1
• 杨辉（约十三世纪）字 谦光，钱塘（今浙江杭 州）人，是我国南宋时 的数学家，杨辉的数学 著作有《讲解九章算法》 十二卷，流传至今的只 是其中的一部分，其中 “开方作法本源”载有 二项式系数三角形，后 人称为杨辉三角形，此 外，他还著有《日用算 法》二卷，《乘除通变 算宝》三卷，《田亩比 类乘除捷法》二卷、 《续古摘奇算法》二卷 等。
即所有的偶数依次排出 以 （ 2 n-1）（nN*） 的 长 度为边长的倒立的等边 三角形。
2020/12/10
3
直角坐标系中的杨辉三角
• 为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三
角放了进去。在平面直角坐标系中（这里只考虑
整点），点与坐标就有一一对应的关系，这其中
就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三
7
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
8
Ca3 a1a2a3
Ca2 a1a2
对应为(d1+d2+d3+…+dn-1+dn)n的展开项的系数
2020/12/10
6
杨辉三角数与数之间的关系式：
全国高中数学青教师展评课：杨辉三角中的一些秘密课件(浙江宁波正始中学陈碧文)
1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
…….
111111111 1 … 123456789… 1 3 6 10 15 21 28 36 … 1 4 10 20 35 56 84 … 1 5 15 35 70 126 … 1 6 21 56 126 … 1 7 28 84 … 1 8 36 … 19… 1… …
1 1C860 728C2611563C5672.0.3..5C.5.636.2..1..2.C8647 8C1651 C66
法 本 源 图
,
隅算中Cn10C1nC0Cn11n1CCnC1-1n2n1-CC1 nn22-C1 .rnCr.-.1Cn1.rn-r.1..C.....nr.-1.....C.nnC-1nnC2n1n-112C1nn1Cn01Cn0
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnr anrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 一系写杨个数成数，组辉都都合三是可数角二都中项可的
《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)
2 善于观察，发现“秘密”
斜线上各行数字之和的规律？
斐
第0行
1
波
第1行
11
那 契
第2行
12 1
数
第3行
13 3 1
列
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
3 数学文化，拓展视野
斐波那契数列与“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的《算术之法》中提出：假定一对刚出生的 兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以 后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死 亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
斐
2 善于观察，发现“秘密”
第0行
1
1=110
第1行
11
1×10+1=11=111
第2行 第3行 第4行 第5行
1 2 1 1×102+2×10+1=121=112
13
3
1 1×103+3×102+3×10+1 =1331=113
14641
15
101×11040+4×1053+6×1102+4×10+1=114
波
1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．
那
契
3 数学文化，拓展视野
斐波那契螺旋线
3 数学文化，拓展视野
1
2
一
《竹》 张南史 一
一
人教版高中数学选修2-31.3.2杨辉三角中的一些秘密(共24张PPT)
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 系写一杨数成个，组数辉都合三都可数角是都中二可的项
——
开右
1C506 C1551 2C052 15C53 6 C154 C55
方衺 作乃
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
....................
1
Cn1-1 Cn2-1
...
Cr 1 n-1
Cnr-1 ...
1 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn2 n-1
1
Cnn1 1
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
C r1 n-1
Cr n-1
Cnr
杨辉恒等式
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
再见
宁波市正始中学 陈碧文
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnranrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
关于全国优秀课评比“杨辉三角中的一些秘密”一课的点评
关于全国优秀课评比“杨辉三角中的一些秘密”一课的点评张金良
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【摘要】通过观摩全国优秀课评比“杨辉三角中的一些秘密”展示课，指出本节课教学目标定位准确，设计合理，教学过程清晰流畅，关注数学学习本质，渗透数学思想及文化，以学生为主体，着眼于提高学生的自主学习和再学习能力。
【总页数】2页(P53-53,57)
【作者】张金良
【作者单位】浙江省教育厅教研室
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关于全国优秀课评比“直线与平面垂直”一课的点评
2.关于全国优秀课评比“基本不等式”一课的点评
3.关于全国优秀课评比“函数的单调性”一课的点评
4.关于全国优秀课评比“平面向量基本定理”一课的点评
5.理越辩越明课越论越优——全国优秀课“杨辉三角中的一些秘密”展示现场的辩论与点评
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《 开 方 作 法 本 源 图 》 贾 宪
左 衺 乃 积 数 右 衺 乃 隅 n 1 Cn-1n1 n-1 n-... 1 n1 n-1 C n-1 n 1 1 C C C ... 1 n1 n1 n1 r 0 算C 0 C 1 1 2 C2 r C n 1 Cn 1 .. . ... C 1 Cn n Cn n .. . C Cn 1 n n... n n n 中 n 0 n 1 n 1 r nr r n 1 n 1 n n ( a b ) C a C a b ... C a b ... C ab C n n n n nb 藏 者 r 1 杨辉三角中,第n行第r个数为 an,r Cn1 皆 廉
第 1行 1 第 2行 1 1 贾宪 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
——
, ,
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 .........C ... C C ... C 1 1 n-1 n-1 n-1 n-1 1 2 r n 1 1 Cn Cn .. . C ... C 1 n n
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
1
C
r 1 n-1
C
r n-1
C
r n
杨辉恒等式
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1 ……
1 3 6 10 15 21 28 36 …
1 1 1 1 1 1 1 4 5 6 7 8 9 … 10 15 21 28 36 … 20 35 56 84 … 35 70 126 … 56 126 … 84 … …
…
奇偶:第1,2,4,8,16…这些行即2k（k是自然数）行的各个数 字均为奇数， 第2k+1行除两端的1之外都是偶数。
奇异、美丽的图案-----超出想象！
是工艺美术大师的创作吗？
这是数学 的杰作！
斐 波 那 契
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
再 见
宁波市正始中学 陈碧文
1 1 0 1 杨辉三角中的 1C1 C 1 1 0 1 1 1 C2 每一个数都是二项 C2 2 C 2 2 10 3 3 1 1 2 3 C C C C 3 3 式系数，都可都可 贾宪 10 3 4 16 3 4 1 2 3 4 C C C C C 以写成组合数 1 45 10 4 10 4 5 1 4 4 0 1 2 3 4 5 C C C C C C 1 5 6 15 5 20 5 15 5 6 1 5 5 0 7 21 1 35 3 21 4 5 6 1 16 C6 C6 C62 35 C6 C67 C C6 1 8 28 56 70 56 .. 28 8 1 .......... 1 2 r 1 r n2 .......... .......... 1 2C r 1 C r C 2 C0 C ... ... nC C0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 6 10 15 21 28 36
1 4 1 10 5 1 20 15 6 1 35 35 21 7 1 56 70 56 28 8 1 84 126126 84 36 9 …….
1
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 … …
“杨辉三角”
中的一些秘密
`
宁波市正始中学 陈碧文
圣 人 则 之
河 出 系 图 辞 洛 上 出 》 书
·
《 易
图 形 ，将 就数 是字 数按 阵一 定 顺 序 排 列 成 一 个
数 阵
开方作法本源图
手算高次方根 贾宪 研究高阶等差级数（垛积术）
艾 萨 克 牛 顿 朱世杰
研究微积分
·
差分方程、无穷级数