2018年高考试题：正余弦定理解三角形
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题4 三角函数、解三角形 第28绬 Word版含解析
1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析 由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析 在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析 设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析 因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析 由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析 设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。
2018年高考试题：正余弦定理解三角形
2018年高考试题训练一：2018年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：在平面四边形ABCD 中，090=∠ADC ，045=∠A ，2=AB ，5=BD 。
（Ⅰ）求ADB ∠cos ；（Ⅱ）若22=DC ，求BC 。
本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。
如下图所示：根据正弦定理得到：A AB ADB BD ADBAB A BD sin sin sin sin ⋅=∠⋅⇒∠=525222sin sin =⨯=⋅=∠⇒BD A AB ADB 。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：ADBADB ∠-=∠22sin 1cos 25232521=-=。
根据大边对大角得到：ADBADB A ADB BC AB ∠⇒<∠⇒<∠⇒<045为锐角523cos 0cos =∠⇒>∠⇒ADB ADB 。
（Ⅱ）本题目是标准的余弦定理已知两边和两边夹角的经典题型。
在BCD Rt ∆中：5=BD ，22=CD ，ADBBDC ∠-=∠090)90cos(cos 0ADB BDC ∠-=∠⇒。
诱导公式：090终边在y 轴正半轴ADB ∠-⇒090是第一象限角cos ⇒在第一象限为正，090是090的奇数倍cos ⇒名称改为sin 名称。
52sin )90cos(cos 0=∠=∠-=∠ADB ADB BDC 。
根据余弦定理得到：BDCBD DC BD DC BC ∠⋅⋅⋅-+=cos 2222525833525222258=⇒=-=⋅⋅⋅-+=BC 。
训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ∆的面积为。
本题解析：本题目是边角转化与余弦定理综合题型。
边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把方程每一项的边全部转化为对角正弦，保持次数不变。
2018高考数学真题 文科 4.6考点1 利用正、余弦定理解三角形
第四章 三角函数与解三角形第六节 正弦定理和余弦定理考点1 利用正、余弦定理解三角形（2018·浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝√7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.【解析】如图，由正弦定理asin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝√7×√32＝√217. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1（舍去）． 【答案】√217 3（2018·天津卷（文））在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知b sin A ＝a cos (B −π6).（1）求角B 的大小；（2）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A －B ）的值．【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sinB ．又由b sin A ＝a cos (B −π6)，得a sin B ＝a cos (B −π6)，即sin B ＝cos (B −π6)，可得tan B ＝√3. 又因为B ∈（0，π），所以B ＝π3.（2）在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝√7.由b sin A ＝a cos (B −π6)，可得sin A ＝√217 .因为a ＜c ，所以cos A ＝2√77.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝4√37， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17. 所以sin （2A －B ）＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝4√37×12－17×√32＝3√314.【答案】见解析（2018·全国卷Ⅲ（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C等于（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 【解析】∵S ＝12ab sin C ＝a 2+b 2−c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.∵C ∈（0，π），∴C ＝π4.【答案】C（2018·全国Ⅱ卷（文））在△ABC 中，cos C 2＝√55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于（ ） A ．4√2B ．√30C ．√29D ．2√5 【解析】∵cos C 2＝√55， ∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×(√55)2－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×(−35)＝32，∴AB ＝√32＝4√2.【答案】A（2018·全国Ⅱ卷（文））如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2√2，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】（1）证明 因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2√3.如图，连接OB ．因为AB ＝BC ＝√22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB ．因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ，作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由（1）可得OP ⊥CH ，因为OM ∩OP ＝P ，OM ，OP ⊂平面POM ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题意可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝4√23，∠ACB ＝45°，所以在△OMC 中，由余弦定理可得，OM ＝2√53， CH ＝OC·MC sin ∠ACB OM ＝4√55.所以点C 到平面POM 的距离为4√55.【答案】见解析（2018·全国Ⅰ卷（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．【解析】∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sinC ．又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2+c 2−a 22bc ＝82bc ＝4bc ＞0， ∴cos A ＝√32，bc ＝4cos A ＝8√33， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8√33×12＝2√33. 【答案】2√33 （2018·北京卷（文））若△ABC 的面积为√34（a 2＋c 2－b 2），且∠C 为钝角，则∠B ＝________；c a 的取值范围是________．【解析】由余弦定理得cos B ＝a 2+c 2−b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cosB ．又∵S ＝√34（a 2＋c 2－b 2），∴12ac sin B ＝√34×2ac cos B ，∴tan B ＝√3，又∠B ∈（0，π），∴∠B ＝π3. 又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A ＞π2， ∴0＜∠A ＜π6. 由正弦定理得c a ＝sin(2π3−∠A)sin A＝√32cos A+12sin A sin A ＝12＋√32·1tan A .∵0＜tan A ＜√33，∴1tan A ＞√3， ∴c a ＞12＋√32×√3＝2， 即c a ＞2.∴c a 的取值范围是（2，＋∞）．【答案】π3 （2，＋∞）。
解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)
解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，当n≥2时，S n=2a n﹣1+1，②，﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。
2018年高中数学—解三角形
2018年高中数学—解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．知识点总结1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.【例题2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.【例题3】（14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0. （1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cb Ca--︒)30sin(的值.【变式】1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= .6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为 .7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3π.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型二判断三角形形状【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．课堂训练1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三角形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为 .3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= .4.在△ABC 中，BC=2，B=3，若△ABC 的面积为23，则tanC 为 .5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.11. 在△ABC 中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长.12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ； （2）求a ，b 的值.13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27.(1)求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m15．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180° 16．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )．A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案例题答案题型一 正弦、余弦定理 【例题1】 解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒=23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°,c=226-. 【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=acb c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-c a b+2得:ac b c a 2222-+·2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac2- =-21 ∵B 为三角形的内角，∴B=32π.（2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 【例题3】解（1）∵cosA=bca cb 2222-+=bc bc2-=-21,又∵A ∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,又∵b 2+c 2≥2bc （当且仅当c=b 时取等号），∴3-bc ≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）. 即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1. （3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R,∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒=CB C A sin sin )30sin(sin --︒ =C C C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒-C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43--==21【变式】1.22. 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 1034. 解 依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab, 由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C=2.从而tanC=2tan 12tan22C C -=-34. 5.336. 3π或32π7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于3， 所以21absinC=3，所以ab=4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=2π，B=6π，a=334，b=332. 当cosA ≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S=21absinC=332. 题型二 判断三角形形状【例题】 解方法一 已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］ ∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为： sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得 a 2bbc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0 ∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.【变式】 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0, ∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21. ∵0＜B ＜π,∴B=3π.∵a ，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴cosB=acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0， ∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）. ∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π,∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A+6π=2π,∴A=3π, ∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形.题型三 测量距离问题【例题】解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式】解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型四 测量高度问题【例题】解 如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式】解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6课堂训练1. 等腰；2.53；3. 45°；4. 33；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④10.（1）证明 因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cosB=ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解 因为a=3b,所以ba=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b, cosB=ac b c a 2222-+=22223443b b b b -+=23,所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形.11. 解 (1)由cosB=-135,得sinB=1312, 由cosC=54,得sinC=53.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB×AC×sinA=233. 由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CB AB sin sin ⨯=1320AB, 故1320AB 2=65,AB=213. 所以BC=C A AB sin sin ⨯=211.12. 解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，则x 1+x 2=a b c 222-，x 1·x 2=-ab.∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab.又cosC=abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C ∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=21absinC=103，∴ab =40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC, 即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×⎪⎭⎫⎝⎛+211.∴a+b=13.又∵a ＞b ……②∴由①②，得a=8,b=5.13. 解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin 22B A +-cos2C=27, 得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC, 即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233. 14.解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A15.解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B 16.解析 如图．答案 B17.解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 答案 C18.解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75° .解得BC ＝56(海里)．答案 5 619.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)。
高考数学黄金100题系列第35题应用正弦定理和余弦定理解三角形理(2021学年)
2018年高考数学黄金1００题系列第３５题应用正弦定理和余弦定理解三角形理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（20１8年高考数学黄金100题系列第3５题应用正弦定理和余弦定理解三角形理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第 35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形I.题源探究·黄金母题【例1】在△A ＢC 中,cm c cm b cm a 15,10,9===,解三角形.【解析】由余弦定理得:bc a c b C 2cos 222-+==109215109222⨯⨯-+=—4511＝—0．２4４4，∴C ≈104°,∴B A ,都是锐角,由正弦定理得AB sin 9sin 10104sin 15==︒，∴15104sin 10sin ︒=B ＝0．6468，∴B =４０°，∴C B A --︒=180=36°． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修５第10页A 组第4题（1）．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解三角形. 【思路方法】已知三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角． I Ｉ.考场精彩·真题回放【例2】【２０17山东，理９】在C ∆AB 中,角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ．若C ∆AB 为锐角三角形,且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ,则下列等式成立的是Ａ.2a b = B.2b a = C.2A =B Ｄ.2B =A 【答案】Ａ 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=,选A.【例３】【20１７浙江，14】已知△ABC ，AB ＝A Ｃ=【命题意图】本类题问题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查考生运算求解能力.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等偏易,考查基础知识的识记与理解.【难点中心】解答此类问题的关键是正余弦定理,注意确定一解还是两解．４,B Ｃ=2． 点D 为AB 延长线上一点，B Ｄ＝2,连结CD ，则△ＢDC 的面积是____＿_,cos ∠BDC =_______．【答案】24【解析】取B Ｃ中点E ,DC 中点F ,由题意:,AE BC BF CD⊥⊥,△A ＢＥ中，1cos 4BE ABC AB ∠==,1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠=,BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△ 又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=,综上可得,△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【例４】【201７课标1，理17】△A ＢC 的内角Ａ,B ,C的对边分别为a ，b ,ｃ，已知△AB Ｃ的面积为23sin a A．（1)求sin B sin C ;(2）若６ｃo ｓＢcos C =1，ａ=３,求△ＡBC 的周长． 【解析】试题分析:(1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角,从而得出sin sin B C 的值;（２)由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-,从而求出角A ,根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为3试题解析：(1）由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin ac B A=． 由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.(2)由题设1cos cos 6B C =及(1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-.所以2π3B C +=,故π3A =．由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得b c +=ABC △的周长为3【例5】【20１７课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ,已知()2sin 8sin 2B AC +=, (1)求cos B ;（２)若6a c +=，ABC ∆的面积为2,求b . 【答案】（1）15cos 17B =; （2）2b =． 【解析】试题分析:利用三角形内角和定理可知A C B π+=-,再利用诱导公式化简sin()A C +,利用降幂公式化简21cos sin 22B B -=，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ;利用（１）中结论090B =,利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、,从而求出b .试题解析：（１)由题设及A B C π++=,2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =(舍去），15cos 17B =. （2)由15cos 17B =得8sin 17B =，故ABC 14=sin 217S ac B ac =△.又ABC =2S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()22222cos 21cos 171536214217b a c ac B a c ac B =+-=+-+⎛⎫=-⨯⨯+= ⎪⎝⎭所以b=2.III.理论基础·解题原理 考点一 正弦定理及其变形1．正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等2sin sin sin a b cR A B C===.(R 为外接圆半径) 2.变形:①2sin a R A =,2sin b R B =，2sin c R C =;②sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===; ③::sin :sin :sin a b c A B C =;④2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++.考点二 余弦定理1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.２．推论:222cos 2b c a A bc +-=;222cos 2a c b B ac+-=;222cos 2a b c C ab +-=.３．变形:2222cos bc A b c a =+-；2222cos ac B a c b =+-;2222cos ab C a b c =+-.IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现,一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力． 【技能方法】1.解三角形中正余弦定理选择(１)已知三角形中的两角和一角的对边,利用正弦定理解三角形．（2）已知三角形两边和一边的对角可以利用正弦定理解三角形也可以用余弦定理解三角形,注意判定三角(３)若已知三边或已知两边和夹角,用余弦定理解三角形． 2．形解得情况,如在△AB Ｃ中，已知a 、b 和A 时,解的情况如下:3．注意利用三角形内角和定理：π=++C B A 沟通三个内角的关系．4．常用结论：sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-;tan()tan A B C +=-sin cos 22A B C +=;2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； 【易错指导】在利用正弦定理解三角形时,注意判定三角形解得个数，常用大边对大角,判定一解还是两解，A 为锐角Ａ为钝角或直角图形关系 式 a ＜b si ｎ A ａ=b sin Ab sin Ａ＜a <ba ≥b a ＞bａ≤b解的 个数无解 一解 两解一解 一解 无解要熟记上边表格中解得个数的判定方法.Ｖ.举一反三·触类旁通 考向1 正弦定理应用【例6】【２01７课表1,文11】△AＢC 的内角Ａ、B 、C 的对边分别为a 、ｂ、ｃ.已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a=2,c=2,则C=A.π12ﻩﻩﻩ Ｂ．π6C ．π4ﻩﻩﻩ D.π3【答案】B 【解析】【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.【例7】【201７课标3，文１5】△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b ，c.已知Ｃ=60°,ｂ6c=３，则A=_＿＿____＿＿.【答案】75°【解析】由题意:sin sin b c B C= ，即36sin 22sin 32b C Bc === ,结合b c < 可得45B = ,则18075A B C =--=.【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是:第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果．【例8】【20１7北京,理１５】在△A ＢC 中,A ∠ ＝６０°，ｃ=37a ． （Ⅰ）求s ｉn C 的值;（Ⅱ)若ａ=7，求△AB Ｃ的面积. 【答案】(Ⅰ）3314;(Ⅱ)934.试题解析:解:(Ⅰ)在△ABC 中,因为60A ∠=︒,37c a =, 所以由正弦定理得sin 3333sin 7c A C a ===．（Ⅱ)因为7a =,所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯, 解得8b =或5b =-（舍)．所以△ABC 的面积113sin 83322S bc A ==⨯⨯= 【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积;3．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”,即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【跟踪训练】1.【20１7届广东珠海市高三9月摸底考试数学】在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．已知 45,3,2===A b a ，则角B 大小为（ ）A ． 60 Ｂ． 120 Ｃ． 60或 120 D ． 15或 75 【答案】Ｃ【解析】由正弦定理可得：B sin 345sin 20=,由此可得23sin =B ,因a b >,故=B 60或 120,所以应选C ．2．【2018辽宁模拟】在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若cos cos 23sin 3sin B C Ab c C+=, cos 3sin 2B B +=,则a c +的取值范围( ) A ．3,32⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ B.3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B13cos 3sin 2cos sin 2sin 2226B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 62B ππ∴+=,3B π=,1sin bB= 23A B π∴+=2032C A ππ<<-<,02A π<<62A ππ∴<<233sin sin sin sin sin cos 3sin 3226a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62A ππ<<,33sin 326A π⎛⎫∴-<+≤ ⎪⎝⎭ 故答案选B点睛：在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式,结合角的范围求得最后结果.在边角互化中,注意化简和诱导公式的运用.3.【2018江西级阶段性检测(二）】黑板上有一道有解的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到:在中，角的对边分别为,已知,解得，根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( )A. B ． C.Ｄ.【答案】Ｄ点睛:根据条件选用正弦定理与余弦定理,一般已知两角一边利用正弦定理，而已知一角两边求第三边或已知三边求一角往往利用余弦定理,利用正弦定理时注意根据边的大小关系确定解的个数，而利用余弦定理时，有时需结合基本不等式求最值,有时需整体转化求范围考向２ 余弦定理应用【例9】【20１7天津，理１5】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >,5,6a c ==,3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值; （Ⅱ)求πsin(2)4A +的值．【答案】 （1) 13b =.(2)7226【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =,再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ,由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ,进而求出cos B ,从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析:(Ⅰ)在ABC △中,因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以13b =.由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 313sin 13a B Ab ==． 所以，b 的值为13,sin A 的值为31313．考点:正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.【跟踪练习】1.【20１8河南模拟】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin sin sin ,65b B c C a A ac b -==，则( ）ＢＣ【答案】D【解析】正弦定理角化边可得: 2222222,2b c a a c b -=∴+=，且结合余弦定理有则利用两角和差正余弦公式可得Ｄ． 2．在斜ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2223sin2ab C a b c =+-，则()sin Cπ+=( ）C 【答案】B【解析】由题意可得：,ABC 为斜三角形，则cos 0C ≠，据此有: : 本题选择B 选项.3ABC ∆,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且12,3,cosC 3a b===，则sin A =_＿＿＿. 【答案】9【解析】2222cos 1349,3c a b ab C c =+-=-==，2994742cos ,sin 1sin 1899A A A +-===-=． 【方法总结】对已知三角形的两边和夹角求其中一边的对角正弦问题,先用余弦定理求出已知角的对角,再用正弦定理求出所求角的正弦值.考向3 正弦定理与余弦定理的综合应用【例１0】【２01７天津,文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.(Ｉ)求cos A 的值;(I Ｉ）求sin(2)B A -的值. 【答案】(Ⅰ）55-；（Ⅱ)255- .试题解析:(Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =,及sin sin a bA B=，得2a b =． 由2225()ac a b c =--,及余弦定理,得222555cos 25b c aA bcac +-===-.(Ⅱ）解：由（Ⅰ),可得25sin A =sin 4sin a A b B =，得sin 5sin 4a A B b == 由（Ⅰ)知,A 为钝角,所以225cos 1sin 5B B =-=.于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=,故4532525sin(2)sin 2cos cos 2sin ()55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-． 【考点】1．正余弦定理；２．三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式【例11】已知AD 为ABC ∆的角平分线，︒=∠==60.3,2A AB AC ，则=AD ． 【答案】536【方法点睛】先由余弦定理求出边BC 的长，利用角平分线性质求出CD,利用正弦定理求出C 角,再在△ACD 中运用正弦定理求出ＡD.【跟踪练习】1.在ＡB Ｃ中,Ｂ＝120o ，A Ｂ2A 的角平分线AD =3则A Ｃ=_______． 6【解析】由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠，即23sin ADB =∠，解得2sin ADB ∠=,45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠,所以1801203030C =︒-︒-︒=︒,2cos306AC AB =︒=2.【21０8辽宁庄河市高级中学、沈阳市第二十中学第一次联考】已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,四边形OACB中， ,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边,且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB CA Aω--+=.(１)证明: 2b c a +=;(２)若b c =,设AOB θ∠=， (0)θπ<<, 22OA OB ==,求四边形OACB 面积的最大值． 【答案】（1）见解析;(2）5324+.试题解析:（1)由题意知: 243ππω=，解得: 32ω=, ∵sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=，∴sin cos sin cos B A C A += 2sin cos sin cos sin A B A C A --, ∴sinBcosA cosBsinA sinCcosA ++ cos sin 2sin C A A +=, ∴()()2sin A B sin A C sinA +++=． ∴sin sin 2sin 2C B A b c a +=⇒∴+=.(２)因为2b c a +=, b c =,所以a b c ==,所以ABC ∆为等边三角形， OACB OAB ABC S S S ∆∆=+=213•24OA OBsin AB θ+ 3sin 4θ=+()222?OA OB OA OBcos θ+- 5334sin cos θθ=-+532sin 34πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,∵()0,θπ∈,∴2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时取最大值， OACB S 的最大值为5324+． 考向4 正余弦定理与向量交汇【例12】【２017山东，文17】(本小题满分1２分）在△ABC 中，角Ａ，B,Ｃ的对边分别为ａ，b ，c,已知b=3,6AB AC ⋅=-，Ｓ△ABC =3,求A 和a.【答案】3=π,=29.4A a 【解析】【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有：化角法,化边法，面积法,运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.【例13】在ABC ∆中,内角,,C A B 对边分别为,,a b c ,且c a <,已知2CB BA =-,tan 22,b 3B ==.（１)求a 和c 的值； （2)求()sin B C -的值．（2）在ABC ∆中,22122sin 1cos 13B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,sin 22242sin 339c B C b ===,a b c =>,C 为锐角. 22427cos 1sin 199C C ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭, ()227142102sin sin cos cos sin 393927B C B C B C -=-=-=【名师点睛】涉及到平面向量的三角形问题，利用平面向量的相关知识,将条件转化为三角形的边角条件，再利用正余弦定理求解．【跟踪练习】1.三角形ABC 中，21,7,53cos -=⋅==BC AB a B ,则角C =________＿【答案】4【解析】由题21AB BC ⋅=-，则可得;3cos()7()21,55AB BC c a B c c π⋅=⨯⨯-=⨯-=-= 利用余弦定理可得;23492527532,425b b =+-⨯⨯⨯==, 再由余弦定理可得；2cos 42742C C π===⨯⨯ 2．【２0１７甘肃模拟】已知向量()cos ,1m x =-, 13sin ,2n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设函数()()•f x m n m =+．(1)求函数()f x 的最小正周期;（2）已知,,a b c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长， A 为锐角， 1a =, 3c =,且()f A 恰是函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求,A b 和三角形ABC 的面积．【答案】（１）π;(2）6A π=，或， 34S =或32S =．试题解析：(1)４分因为,所以最小正周期.6分（2)由(1)知,当时，．由正弦函数图象可知,当时, ()f x 取得最大值，又A 为锐角所以.8分由余弦定理得,所以或经检验均符合题意． 10分从而当时，△的面积; 1１分当时，.12分考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积.考向5 与三角函数交汇【例14】【2017河北沧州一中第一次月考】在ABC ∆中,已知2,3,60AB AC A ===. （1）求BC 的长; (2)求sin 2C 的值．【方法总结】对涉及到三角形角三角函数式求值问题,常利用三角形内角和定理化为某个角的三角函数问题,利用三角函数公式求值.【跟踪练习】1.设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边分别为a 、b 、c ,且1,2a B A ==，则b 的取值范围( ）A.(2,3 B ．(3 Ｃ．)2,2 Ｄ.()0,2【答案】Ａ【解析】2B A =,由正弦定理得sin sin 22sin cos ,2cos 2cos B A A A b a A A ====,因为02,024A B A ππ<=<<<，又因为,3,2263A B A A ππππππ<+<<<<<,故64A ππ<<,2cos 2,3A ∈．2．【201８河南中原名校一摸】已知函数22()cos sin 23cos sin (0),()f x x x x x f x ωωωω=-+>的图象的两条相邻对称轴间的距离等于2π,在∆A ＢC 中，角A ， Ｂ，C 所对的边依次为ａ，ｂ，ｃ,若3a =, b+ｃ＝３，()1f A =，求∆ABC 的面积．【答案】32试题解析:22π()cos sin 23cos sin cos 23sin 22sin(2),6f x x x x x x x x ωωωωωωω=-+=+=+ 3分0,ω>∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==， 由题意得：π=22T ，即π=π,T ω=解得:=1ω 5分 π()2sin(2)6f x x ∴=+,()1f A =，π1sin(2)62A ∴+=,ππ13π2(,),666A +∈5266A ππ∴+=，即=3A π 7分3,a =∴由余弦定理得:2222cos ,a b c bc A =+-即223b c bc +-= ①, 9分2223,()29b c b c b c bc +=∴+=++= ②,联立①②，解得：2bc =，则13sin .22ABC S bc A ==△ 12分考点:１、二倍角公式和辅助角公式；2、余弦定理；3、三角形面积公式.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
高考数学浙江版5.3 正弦、余弦定理及解三角形
答案 A 本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C), 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0, 所以cos C=0或2sin B=sin A, 即C=90°或2b=a, 又△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.故选A. 解法二:由正弦定理和余弦定理得
(1)求 sin 2sAin2cAos2 A 的值; (2)若B= ,a=3,求△ABC的面积.
4
解析
(1)由tan 4
A
=2,得tan
A= 13 ,
所以 sin 2A
sin 2A cos
2
A
= 2 tan A
2 tan A
1
= 2 .
5
(2)由tan A= 1 ,A∈(0,π),得
答案 A 在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-2×3b×
12
,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.
评析 本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.
5.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=
5
5
又因为sin
B=sin(A+C)=sin 4
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：17-解三角形(含答案)
2
2
即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. π (2)由题设可得∠CAD= , 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= . 故△ABD 面积与△ACD
1 2 π 6
2π -4ccos , 3
2π 3
1 π ������������ · ������������ · sin 6 面积的比值为2 1 =1. ������������ 2������������·
又△ABC 的面积为 × 4× 2sin∠BAC=2 3, 所以△ABD 的面积为 3.
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
【答案】 1
1 2 π 6
1 2
π 6
.
5π 6 5π B= , 6 ������ π,解得 sin6
【解析】 由 sin B= 解得 B= 或 B= . 根据三角形内角和定理,舍去 所以 B= ,A= .
������ 根据正弦定理 sin������ π 6 2π 3
=
������ 3 ,得 2 π sin������ sin
sin������ sin������
2 2 1 1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD,S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 2
=
������������ ������������
= .
1 2
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正弦、余弦定理
定理 正弦定理
(全国通用)2018年高考数学 考点一遍过 专题16 正_余弦定理及解三角形(含解析)文
考点16正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah=(h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=.典例1ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，1a =，则b =. 【答案】2113典例2 在ABC △中，已知2AB =，3,60.AC A == （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值.【解析】（1）由余弦定理知，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC =（2）由正弦定理，知,sin sin AB BCC A =所以21sin sin 7AB C A BC =⋅==因为AB BC <，所以C 为锐角，则cos 7C ===因此sin 22sin cos 2C C C =⋅==1．已知A 、B 、C 为ABC △的内角，tan A 、tan B 是关于x 的方程210()x p p +-+=∈R 的两个实根.（1）求C 的大小；（2）若3AB =p 的值.考向二 三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .（1）求角A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断ABC △的形状．（2）由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12. 因为090B ︒<<︒，0°<C <90°，故B ＝C . 所以ABC △是等腰钝角三角形．2．若ABC △的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则ABC △ A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． （2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A =，a ,b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =. 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =. （2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅. 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5已知a ，b ，c 分别是ABC △的三个内角A ，B ，C 的三条对边，且c 2=a 2+b 2﹣ab .（1）求角C 的大小； （2）求cos A +cos B 的最大值.（2）∵A +B +C =π，C =π3,∴B =2π3A -，且A ∈(0，2π3). 则2ππcos cos cos cos()()sin 36A B A A A +=+-=+，∵A ∈(0，2π3)，∴ππ5π666A <+<，故当ππ62A +=时，cos A +cosB 取得最大值，为1.3．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是a ，b ，c ，已知2c =（1）若ABC △，求a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6ABC △中，D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （1）求sin sin BC∠∠；（2）若60BAC ∠=,求B ∠.4．如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+.（1）求角B 的大小；（2）D 为ABC △外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值. 考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）求D 救援中心与着陆点A 间的距离．（2cos ACD ∠=，又30CAD ∠=，所以sin(30ACD +∠在ADC △中，由正弦定理，得sin sin AC ADADC ACD=∠∠，故D 救援中心与着陆点A 间的距离为913+万米.5．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝__________ m.考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u ruu u rABC △的面积．【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-，所以π06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3B D B C =u r u r ，得||3B C x =u r ，由（1）知πA C ==，所以||3BA x =uu r在ABD △1x =，所以3AB BC ==，典例9ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.6．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知ABC △的面积为2=-c b ，1cos 4A =-.（1）求a 和sin C 的值；（2）求πcos(2)6A +的值.1．若ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于A ．2 B D2．在△ABC 中，若tan A ·tan B ＜1，则该三角形一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上都有可能3．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =A ．3π4B ．π3 C ．π4D ．π64．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于A B ．34 C D ．35．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =A D C △的面积的最大值为.6．在平面四边形ABCD 中，75,2,A B C BC ===︒=∠∠∠则AB 的取值范围是． 7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.8．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为，求a c +的值．9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ()cos 2cos A b C =． （1）求角C ；（2）若π,6A ABC =△D 为AB 的中点，求sin BCD ∠．10．如图所示，在ABC △中, 点D 为BC 边上一点，且1BD =,E 为AC 的中点（1）求AD 的长； （2）求ADE △的面积.11．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．12．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B 处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，123 cos,cos135A C==.（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？1．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin sin(sin cos)0B AC C+-=，a=2，c，则C=A．π12B．π6C．π4D．π32．（2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b，c=3，则A=_________.3．（2016上海文科）已知ABC△的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.4．（2016新课标全国Ⅱ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 5．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．6．（2017山东文科）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,3ABC S =△,求A 和a .7．（2017天津文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知s i n 4s i n a A b B =，222)ac a b c =--． （1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．1．【解析】（1）由已知，方程210x p +-+=的判别式为22)4(1)3440p p p ∆=--+=-≥+，所以2p ≤-tan tan 1A B p =-， 于是1tan tan 1(1)0A B p p -=--=≠，60C =.31tan 45tan 303tan()1tan 45tan 307545+301++===--2．【答案】C3．【解析】（1）因为2c =，1cos 2C =，所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab +-=，又ABC △sin C =1sin 2ab C =4ab =， 由2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩解得22a b =⎧⎨=⎩．（2）利用正弦定理，把sin 2sin B A =化为2b a =，由2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩解得3a =3b =，又sin 2C =，则ABC △的面积1sin 23S ab C ==．4．【解析】（1）在ABC △中，由(sin cos )a b C C =+，得sin sin (sin cos )A B C C =+，即sin()sin (sin cos )B C B C C +=+，cos sin sin sin B C B C ∴=，又sin 0C >，∴cos sin B B =，即tan 1B =，∵(0,π)B ∈，∴（2）在BCD △中，2BD =，1DC =，22212212cos 54cos BC D D ∴=+-⨯⨯⨯=-.，∴ABC △为等腰直角三角形，又，ABCD 的面积有最大值，最大值为54+5．【答案】150在Rt MNA △中，∠MAN ＝60°，于是MN ＝MA ·sin∠MAN ＝()150m =， 即山高MN ＝150 m.【名师点睛】本题考查了正弦定理的实际运用，考查分析能力，转化能力，空间想象能力，属于中等题. 注意本题所给图形是空间图形. 6．【解析】（1）在ABC △中，由41cos -=A ，得415sin =A ，由1sin 2△ABC S bc A ==得24=bc ，又2=-c b ， 所以6=b ，4=c .由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，可得8=a ，由正弦定理得CcA a sin sin =， 所以81584154sin sin =⨯==aAc C . （2）πππcos(2)cos 2cossin 2sin 666A A A +=-A A A cos sin )1cos 2(232--=211[2()1]()244416=⨯----=.1．【答案】C【解析】由题意知2sin 23sin b A a B =，结合正弦定理得4sin sin cos 3sin sin B A A A B =，即3cos 4A =，又2c b =，结合余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得ab=选C. 2．【答案】B【解析】由已知条件，得sin sin cos()cos 1,0,0,cos cos cos cos cos cos A B A B CA B A B A B+⋅<><即即 说明cos A ，cos B ，cos C 中有且只有一个为负．因此△ABC 一定是钝角三角形． 3．【答案】C【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等. 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =，所以21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h =.故选A.5．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 2S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为6．【答案】sin 2sin(105)2sin(75)2(sin 75cos cos 75sin )sin sin sin sin BC αββββAB ββββ︒-︒+︒+︒====，又sin 7575︒=︒=22tan AB β=+．由753075,10575βββ<︒⎧︒<<︒⎨︒-<︒⎩可得则tan 23β<<+AB <7．【答案】6100【解析】依题意， 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为 30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.（2122ac =⨯，解得4ac =， 由余弦定理2222c o s b a c a c B=+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c a c =+-2()12a c =+-， 故4a c +=．9．【解析】（1()cos 2cos A b C =，得)2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理可得)()2sin cos sin cos sin cos B C C A A C A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =． （2）因为π6A =，所以ABC △为等腰三角形，且顶角2π3B =，故21sin 2ABCS a B ===△，所以2a =，在DBC △中，由余弦定理得2222cos 7CD DB BC DB BC B =+-⋅=，所以CD =，在DBC △中，由正弦定理可得sin sin CD DBB BCD=∠，即1sin BCD =∠，所以sin BCD ∠=10．【解析】（1）在ABD △中，2cos B =sin ∴∠由正弦定理sin sin AD BDB BAD=∠,（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==.在ACD △中，由余弦定理得222AC AD DC =+-2cos AD DC ADC ⋅∠,即2π9422cos 3DC DC =+-⨯⨯,即2250DC DC --=,解得1DC =+.（2）因为π3B =，所以2π3A C +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-131cos 2cos 2212cos 222A A A A A=--=-π1)3A =+-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤， 所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-⎝．所以索道AB 的长为1040 m.（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客的距离为d ，此时，甲行走了(100+50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得222212(10050)(130)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，所以当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短. 即乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短. （3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 500(m)63sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内．1．【答案】B【解析】由题意sin()sin(sin cos)0A C A C C++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos0A C A C A C A C++-=，即πsin(sin cos)sin()04C A A C A+=+=，所以3π4A=．由正弦定理sin sina cA C=得23πsinsin4C=，即1sin2C=，因为c<a，所以C<A，所以π6C=，故选B．【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．【答案】75°【解析】由正弦定理sin sinb cB C=，得sin2sin32b CBc===，结合b c<可得45B=，则18075A B C=--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.3【解析】由已知可设3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C ，∴2sin c R C ==. 【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等. 4．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=， 又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.5∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD 的面积为2，cos 4BDC ∠=．6．【解析】因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-，又0πA <<，所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．。
专题16 应用正弦定理、余弦定理解三角形-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)
母题十五 应用正弦定理、余弦定理解三角形【母题原题1】【2018天津，文16】在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,．已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（I ）求角B 的大小；（II ）设23a c ==,，求b 和sin(2)A B -的值．【考点分析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．【答案】（I ）3π；（II ）()sin 214b A B =-=．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．a c <，故cos A =因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．()11sin 2sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B ∴-=--【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 【母题原题2】【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--． （I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值．【答案】（I ）；（II ）．试题解析：（Ⅰ）由B b A a sin 4sin =及BbA a sin sin =得b a 2=， 由)(5222c b a ac --=及余弦定理得55552cos 222-=-=-+=ac acbcac b A ．【考点】1．正余弦定理；2．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式． 【母题原题3】【2016天津，文15】在ABC ∆中，内角A B C ,,所对应的边分别为a b c ,,，已知sin 2sin a B A =．（I ）求B ； （II ）若1cos A 3=，求sinC 的值．【答案】（Ⅰ）6π=B ；（Ⅱ）16．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sin sin cos A B B A =，再根据三角形内角范围化简得23cos =B ，6π=B ；（Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为π，将考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证．【母题原题4】【2015天津，文16】△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值； （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（I ）a =8，sin 8C =（II ．（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭，=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力．【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换，因此在解三角形问题的处理中，正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用，分析近几年的高考试卷，有关的三角题，大部分以三角形为载体考查三角变换．【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想． 【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有考到，难度中低中档题均有．以求边长、求角（三角函数值）或研究三角形的面积为目标，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换，利用和差倍半的三角函数公式，对等式进行恒等变形，有时会结合角的范围，研究三角函数式的取值范围等． 【答题模板】(1)通过正弦定理实施边角转换； （II ）通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解． 【方法总结】1．三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换；（II ）通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．2．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数． 3． 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性． 4． 在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．1．【2018天津部分区二模】已知的内角所对的边分别为，且．（I ）求和的值；（II ）求的值．【答案】（I ），（II ）【解析】分析：（I ）根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c 和sinA 的值； （II ）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可． 详解：（I ）由余弦定理，得，又，所以，解得【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．2．【2018天津河东区二模】在中，角A、B、C所对的边分别为，已知，，，角A为锐角．（I）求与的值；（II）求的值及三角形面积．【答案】（I）；（II）．【解析】分析：第一问首先利用题中的条件，，利用倍角公式，结合A为锐角的条件，求得的值，之后可以借助于同角三角函数关系式求得的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积．详解：（I）由正弦定理，代入，，，解得，．∵角A为锐角，．（II），代入为，解为，．【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式，在做题的过程中，在求的时候，也可以应用倍角公式求解．3．【2018天津河北区二模】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2C，2b=3c．（I）求cosC的值；（II）求sin(2C+)的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，∴，．∴．【名师点睛】解三角形的问题和三角变换常常综合在一起考查，解题时要根据所给出的条件利用正弦定理、余弦定理将边角之间进行合理的转化，然后再根据题意进行求解，进行变换时要注意对所用公式的选择．4．【2018天津市十二校二模】在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值．【答案】（I）；（II）．【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，进而可得结果；（２）利用（I），由已知及正弦定理可得，结合的面积为，可得，由余弦定理可得结果由余弦定理，得．【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．5．【2018四川南充三模】在中，内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）若，，求边；（Ⅱ）若，求角．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】分析：（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理代入可得边；（Ⅱ）由正弦定理得，将代入，结合可得的方程，解方程即可得解．因为，所以．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．6．【2018天津滨海新区七校模拟】锐角ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边， 4sin a B =，（I ）若6,8,a b c =+=求ABC ∆的面积；（II ）求2sin 23A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（I ；（II【解析】试题分析：（I ）由正弦定理化角，可得sin 4A =，再由角A 的余弦定理，可求得8bc =，进一步求得三角形面积；（II ）由正弦和角公式和倍角公式可求值．试题解析：（I ）4sin a B =，4sin sin A B B ∴= ．0B π<<， sin A ∴=， A 是锐角，3cos 4A ∴=== ．【名师点睛】（1）一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． （3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．7．【2018天津十二校重点模拟一】已知函数()2sin 22cos 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． （I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1c f C =-，若2sin A sin B =，求ABC ∆的面积．【答案】（I ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（II【解析】试题分析：（I ）利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调增区间即可确定()f x 的单调递增区间；（II ）根据()21f C =-，求出C ，利用正弦定理及余弦定理，结合题设条件即可求出a ， b ，从而可求出ABC ∆的面积． 试题解析：（I ）()sin2coscos2sin66f x x x ππ=-1cos22sin 216x x π⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭ 由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得(),36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴由①②解得1,2a b ==，1sin 22ABC S ab C ∆∴==． 8．【2018天津十二校重点模拟二】在中，角的对边分别为，，，的面积为． （I ）求及的值；（II ）求的值．【答案】（I ）；（II ）．【解析】试题分析：（I ）由，，的面积为可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（II ）利用（I ）的结论，由同角三角函数之间的关系可求得，再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可得的值． 试题解析：（I ）由已知，，，且， ，在中，， ．（II ），又，，，．9．【2018天津上学期期末考】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin sin sin sin A C A Bb a c--=+． （I ）求C ；（II ）若1cos 7A =，求()cos 2A C -的值． 【答案】（I ）3π；（II ）2398-．整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，所以3C π=．（II ）由1cos 7A =知A 为锐角，又22sin cos 1A A +=，所以sin 7A === ，故247cos22cos 149A A =-=-， 1sin22sin cos 27749A A A ==⨯=，所以()cos 2cos 2cos2cos sin2sin 333A C A A A πππ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭4712349298=-⨯+=-． 10．【2018天津红桥区学期期末考】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin 3sin b A c B =，3a =， 2cos 3B =． （I ）求b 的值；（II ）求sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（I ）b =（II ．【解析】试题分析：（I ）由正弦定理可得a=3c ，再由余弦定理可得b ；（II ）由已知得cosB 和sinB ，利用二倍角公式求得cos2B ， sin2B ，将sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭展开代入求解即可．11．【2018天津静海一中模拟】已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且满足．（I ）若，求的值； （II ）若的面积为3，求证为等腰三角形．【答案】（I ）；（II ）见解析．那么，由此得，所以为等腰三角形．【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，判断三角形形状问题，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（II ）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形．12．【2018天津河西模拟】在ABC 中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，若23b c =， 120C =︒．（I ）求cos A 的值．（II ）若6c =，求ABC 的面积．【答案】（I ；（II ）42- 【解析】试题分析：（I ）由正弦定理求得sin B ，进而得cos B ，再由诱导公式和两角和的正弦公式可求得cos A ；（II ）由已知计算出b ，再由（I ）计算出sin A ，最后由三角形面积公式可得面积．试题解析：（I ）∵23b c =，∴2sin sin 33B C ==，∵0πB <<，∴cos B =()cos cos πA B C ⎡⎤=-+⎣⎦()cos B C =-+cos cos sin sin B C B C =-+12⎛⎫=- ⎪⎝⎭=（II ）∵23b c =， 6c =，∴4b =，∵0πA <<， 3cos 6A +=，∴7sin 2A -=，∴1sin 422S bc A ==- 13．【2018天津一中月考五】的内角、、的对边分别为、、，已知．（I ）求；（II ）如图，为外一点，若在平面四边形中，，且，，，求的长．【答案】(1)；（II ）．【解析】分析：（I ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cosB 的值． （II ）利用（I ）的结论，进一步利用余弦定理求出结果．（II）∵，∴，又在中，，，∴由余弦定理可得，∴，在中，，，，∴由余弦定理可得，即，化简得，解得．故的长为．【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．对公式灵活运用与结合是解题关键．14．【2018天津耀华中学模拟】设函数，其中向量，，．（I）求的最小正周期及单调减区间；（II）若，求函数的值域；（III）在中，，，，求与的值．【答案】（I），；（II），．【解析】试题分析：（I），，令即所以单调减区间为：．（II）当时．由（I）易知在上单调递增，上单调递减．∴．，，则．∴在上值域为．（III）．∴．又∵，则，．．由余弦定理，得．即．∴，．∴，得或（舍）．∴，．。
2018年高考数学 黄金100题系列 第35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形 理
第 35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形I ．题源探究·黄金母题【例1】在△ABC 中，b cm a 10,9==解三角形．【解析】由余弦定理得：C cos =109215109222⨯⨯-+=-4511=-0．2444，∴∴B A ,都是锐角，由正AB sin 9sin 10104sin 15==︒， ∴15104sin 10sin ︒=B =0．6468，∴B ∴C B A --︒=180=36°． 第10II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017山东，理9】在C ∆AB C 的对边分别为a ，b ，c ．若∆AB 形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos B +=A +下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．D ．2B =A【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin A C B C A ++=所以2sin cos sin cos 2sin B C A C B =⇒，选A ．【例3】【2017浙江，14】已知△BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，值，从而求出ABC △的周长为3试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=． 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =．故2sin sin 3B C =．（2）由题设1cos cos 6B C =及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-．所以2π3B C +=，故π3A =．由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为3+【例5】【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ． 【答案】(1)15cos 17B =； (2)2b =． 【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知2sin sin sin a b cR A B C===．（R 为外接圆半径） 2.变形：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；②sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===； ③::sin :sin :sin a b c A B C =；④2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++．考点二 余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 2．推论：222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac+-=；222cos 2a b c C ab +-=．3．变形：2222cos bc A b c a =+-；2222cos ac B a c b =+-；2222cos ab C a b c =+-．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力． 【技能方法】1.解三角形中正余弦定理选择（1）已知三角形中的两角和一角的对边，利用正弦定理解三角形．（2）已知三角形两边和一边的对角可以利用正弦定理解三角形也可以用余弦定理解三角形，注意判定三角（3）若已知三边或已知两边和夹角，用余弦定理解三角形． 2．形解得情况，如在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：3．注意利用三角形内角和定理：π=++C B A 沟通三个内角的关系．4．常用结论：sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin cos 22A B C +=；2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；【易错指导】在利用正弦定理解三角形时，注意判定三角形解得个数，常用大边对大角，判定一解还是两解，要熟记上边表格中解得个数的判定方法． V ．举一反三·触类旁通 考向1 正弦定理应用【例6】【2017课表1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，C=A ．π12B ．π6D ．π3【答案】B 【解析】【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【例7】【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C=60°，c=3，则A=_________．【答案】75°【解析】由题意：sin sin b c B C=，即sin 2sin 32b C Bc === ，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=．【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．【例8】【2017北京，理15】在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a ． （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积． 【答案】（Ⅰ）14；试题解析：解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===． （Ⅱ）因为7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=【考点】1．正余弦定理；2．三角形面积；3．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【跟踪训练】1．【2017届广东珠海市高三9月摸底考试数学】在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．已知 45,3,2===A b a ，则角B 大小为（ ）A ．60 B ．120 C ．60或120 D ．15或75 【答案】C【解析】由正弦定理可得a b >，故=B60或120，所以应选C ．2．【2018辽宁模拟别为,,a b c ，若）6Aπ<<332∴-<故答案选B点睛：在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果．在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用．3．【2018江西级阶段性检测（二）】黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在中，角的对边分别为，已知，解得，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件（）A． B．C． D．【答案】D点睛：根据条件选用正弦定理与余弦定理，一般已知两角一边利用正弦定理，而已知一角两边求第三边或已知三边求一角往往利用余弦定理，利用正弦定理时注意根据边的大小关系确定解的个数，而利用余弦定理时，有时需结合基本不等式求最值，有时需整体转化求范围考向2 余弦定理应用【例9】【2017天津，理15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值．【答案】 (1) b = 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果．试题解析：（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知13B =，所以b =．sin 13a B A b ==．13．考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．【跟踪练习】1．【2018河南模拟】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22s i n s i n s i n ,6b B c C a A a c b -==，则（ ） A【答案】D【解析】正弦定理角化边可得： 2222222,2b c a a c b -=∴+=，且利用两角和差正余弦公式可得：2i n 510⎫-=-⎪⎭D ． 2．在斜ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2223sin2ab C a b c =+-，则()sin C π+=（ ）A【答案】B【解析】由题意可得：，ABC 为斜三角形，则cos 0C ≠，本题选择B 选项．3．【2017届河南郑州一中网校高三入学测试数学】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,3,cosC 3a b===，则sin A =____． 【答案】9【解析】2222c o s 134c a b a b C=+-=-=，9947cos,sin189A A+-====【方法总结】对已知三角形的两边和夹角求其中一边的对角正弦问题，先用余弦定理求出已知角的对角，再用正弦定理求出所求角的正弦值．考向3 正弦定理与余弦定理的综合应用【例10】【2017天津，文15】在ABC△中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c．已知sin4sina Ab B=，222)ac a b c=--．（I）求cos A的值；（II）求sin(2)B A-的值．【答案】(Ⅰ)5-；(Ⅱ)5-．4sinb B，及sin sina bA B=，得2a b=．2225cos2b c aAbc ac+-===得sin5A=，代入s i n4s i na Ab B=，得由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos B==．于是4s i n22s i n c o s5B B B==，23cos212sin5B B=-=，故43sin(2)sin2cos cos2sin(55555B A B A B A-=-=⨯--⨯=-．【考点】1．正余弦定理；2．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【例11】已知AD 为ABC ∆的角平分线，︒=∠==60.3,2A AB AC ，则=AD ．【答案】536【方法点睛】先由余弦定理求出边BC 的长，利用角平分线性质求出CD ，利用正弦定理求出C 角，再在△ACD 中运用正弦定理求出AD ．【跟踪练习】1．在ABC 中，B =120o，AB A 的角平分线AD ，则AC =_______．【解析】由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，即=，解得sin 2ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=2．【2108辽宁庄河市高级中学、沈阳市第二十中学第一次联考】已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间边形O A C B 中， ,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，且满足（1）证明： 2b c a +=；（2）若b c =，设AOB θ∠=， (0)θπ<<， 22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2（2）因为2b c a +=， b c =，所以a b c ==，所以ABC ∆为等边三角形，OACB OAB ABC S S S ∆∆=+= ()222?OA OB OA OBcos θ+-∵()0,θπ∈，∴OACB S 的最大值为考向4 正余弦定理与向量交汇【例12】【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b=3，6AB AC ⋅=-，S △ABC =3，求A 和a ．【答案】3=π,4A a 【解析】【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．【例13】在ABC ∆中，内角,,C A B 对边分别为,,a b c ，且c a <，已知2CB BA =-，tan b 3B ==．（1）求a 和c 的值； （2）求()sin B C -的值．（2）在ABC ∆中，sin 3B ===，sin 2224sin 339c B C b ===，a b c =>，C 为锐角．7cos 9C ===，()714210sin sin cos cos sin 393927B C B C B C -=-=-= 【名师点睛】涉及到平面向量的三角形问题，将条件转化为三角形的边角条件，再利用正余弦定理求解．【跟踪练习】1．三角形ABC 中，21,7,3cos -=⋅==BC AB a B ，则角C =_________ 21BC ⋅=-，则可得；5AB BC c a c ⋅=⨯=3532,5b ⨯==，,24C π== 2．【2017甘肃模拟】已知向量()cos ,1m x =-，3sin n x ⎛= 设函数()()•f x m n m =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知,,a b c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长， A 为锐角， 1a =，，且()f A 恰是函数()f x 在上的最大值，求,A b 和三角形ABC 的面积．【答案】（1）π；（2或，试题解析：（1）4分因为，所以最小正周期．6分（2）由（1）知，当时，．由正弦函数图象可知，当时， ()f x 取得最大值，又A 为锐角所以．8分由余弦定理得，所以或经检验均符合题意． 10分从而当时，△的面积； 11分当时，．12分考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积．考向5 与三角函数交汇【例14】【2017河北沧州一中第一次月考】在ABC ∆中，已知2,3,60AB AC A ===． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．常利用三角形内角和定理化为某、C 所对边的边分别为a 、b 、c ，且1,2a B A ==，．)2 D ．()0,2A，由正弦定理得sin sin 22sin cos ,2cos 2cos B A A A b a A A ====，因为02,024A B A ππ<=<<<，又因为,3,2263A B A A ππππππ<+<<<<<，故64A ππ<<，2cos A ∈．2．【2018河南中原名校一摸】已知函数在∆ABC 中，角A ， B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ， b+c=3，()1f A =，求∆ABC 的面积．试题解析：3分0,ω>∴函数由题意得：分()1f A =π26A +∈，即3π． 73,a =∴由余弦定理得：2222c o s ,a b c b c A =+-即223b c bc +-= ①， 9分2223,()29b c b c b c bc +=∴+=++= ②，联立①②，解得：2bc =，分 考点：1、二倍角公式和辅助角公式；2、余弦定理；3、三角形面积公式．。
高考数学一轮复习正弦定理和余弦定理(第2课时)系统题型——解三角形及应用举例讲义(含解析)
第2课时 系统题型——解三角形及应用举例1．(2018·天津期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin C ＝sin 2B ，且b ＝2，c ＝3，则a 等于( )A.12 B.3 C ．2D ．2 3解析：选C 由sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B 及正、余弦定理得c ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，代入数据得(2a ＋1)(a －2)＝0，解得a ＝2，或a ＝－12(舍去)，故选C.2．(2018·天津实验中学期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B ∵3sin A ＝5sin B ，∴由正弦定理可得3a ＝5b ，即a ＝53b .∵b ＋c ＝2a ，∴c ＝73b ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝259b 2＋b 2－499b22×53b 2＝－159103＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.故选B.3．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.[方法技巧]用正、余弦定理求解三角形基本量的方法1．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b cos C c cos B＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos Cc cos B ，∴cos C cos B ＝b c 或cos Ccos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝b c .由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，∴cos C cos B ＝sin Bsin C，即sin C cos C ＝sin B cosB ，即sin 2C ＝sin 2B ，∵B ，C 均为△ABC 的内角，∴2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，∴B ＝C或B ＋C ＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形。
2018年高考数学理热点题型和提分秘籍 专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形 含解析
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形例1、 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。
若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。
【答案】 （1）A （2）45所以sin C ＝c ·sin Bb ＝42×225＝45。
【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 【答案】A【解析】∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理， 得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°。
热点题型二 判断三角形的形状例2、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 。
(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状。
【解析】(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，【提分秘籍】 判断三角形形状的方法技巧解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。
2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解
I 2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6II A ． B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，III 则sin B=___________，c=___________． 三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小； （II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值. 4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．IV 6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值． 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721； 三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴sinB==12-V 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7=，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-VI （2）因为为锐角，所以． 又因为，因此． 因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则si nθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+VII 设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ， 当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。
2018版高考数学复习三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理试题理北师大版
第四章三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理试题理北师大版1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × )(5)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A. 2．(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6答案 C解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c22，∴c ＝1063.3．(2016·江西吉安一中质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b <cos A ，由正弦定理得sin Csin B<cos A ，因为B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ，又C ＝π－(A ＋B )，可得sin(A ＋B )<sin B cos A ， 即sin A cos B <0，则cos B <0，所以B ∈(π2，π)，即△ABC 为钝角三角形，故选A.4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝ .答案2π3解析 因为3sin A ＝5sin B ， 所以由正弦定理可得3a ＝5b . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得49＝25＋9－2×3×5cos C ， 解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5．(2016·济南模拟)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为 ．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin2π3＝b12，解得b ＝1.(2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 所以sin A sin B ＝sin C .②解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba等于( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3D. 2(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cosA sin C ，则b 等于( )A ．6B ．4C ．2D ．1答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.故选D.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A cos C ＝3cos A sin C ， 由正弦、余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，整理得2(a 2－c 2)＝b 2，① 又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2，故选C. 题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定答案 (1)A (2)B解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B<cos A ，所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．(2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ．答案 (1)D (2)(6－2，6＋2) 解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE.在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c的长或长度问题-a c →已有利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→求sin A ，cos A ―――――→第问已求出cos A 根据同角关系求sin A规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C及sin B ＝6sin C ， 可得b ＝6c ，[2分]又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分] sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°答案 C 解析 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°， 所以sin A ＝22，又由题知，BC <AB ，∴A ＝45°. 2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3答案 D解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23， 解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D. 3．(2016·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0，∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知△ABC 为等腰直角三角形．4．(2016·陕西西安一中模拟)在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33 D.233 答案 D 解析 ∵BC ＝10，CD ＝2，△CBD 的面积为1，∴S △CBD ＝12×2×10sin ∠DCB ＝1， ∴sin ∠DCB ＝55，cos ∠DCB ＝255. 由余弦定理，得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CD ·CB cos ∠DCB ＝4，解得BD ＝2.在△CBD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝－22， ∴∠BDC ＝135°，∠ADC ＝45°，在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin 45°＝2sin 60°， ∴AC ＝233，故选D. 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，则B 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4答案 C 解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 故B ＝π3，故选C. 6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为 ．答案 2 3解析 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－32×23＝2 3.7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .答案 2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ．答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ， 结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c＝2，cos A ＝－14，则a 的值为 ． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8. 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为 ．答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A .又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3. 由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c 2)2， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11．(2016·陕西千阳中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小．(2)求3sin A －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 解 (1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C ，因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C ，又cos C ≠0，所以tan C ＝1，即C ＝π4. (2)由(1)知，B ＝3π4－A ， 于是3sin A －cos(B ＋π4) ＝3sin A ＋cos A＝2sin(A ＋π6)．因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12. 从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时， 2sin(A ＋π6)取得最大值2. 综上，3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为2， 此时A ＝π3，B ＝5π12. 12．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 方法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332. 13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sinB ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2 C 2， 得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
【真题】2018年浙江省高考数学试题含答案解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A，B互斥，则若事件A，B相互独立，则若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2. 双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2018届高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形(word版,有答案,全)AlAwPM
三角函数与解三角形热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解 因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)解 因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t . 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B . (1)证明 在△ABC 中，根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0).则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)知，sin A sinB ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝1＋4－x2 2×2×1，在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝9＋4－x2 2×2×3，∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.联立上式，解得x＝7，cos C＝1 2.由于C∈(0，π).∴C＝π3，BD＝7.(2)∵A＋C＝π，C＝π3，∴sin A＝sin C＝32.又四边形ABCD的面积S ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·AD sin A＋12CB·CD sin C＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cosC )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0.即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间.解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。
2018年全国各地高考试题文科数学试题分类汇编考点17 正弦定理和余弦定理
考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2018·全国卷II高考理科·T6)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=() A.4B.C.D.2【命题意图】本题考查余弦定理,二倍角公式.【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,所以AB2=1+25-2×1×5×=32,所以AB=4.2.(2018·全国卷II高考文科·T7)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=() A.4B.C.D.2【命题意图】本题考查余弦定理,二倍角公式.【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,所以AB2=1+25-2×1×5×=32,所以AB=4.3.(2018·全国Ⅲ高考理科·T9)同(2018·全国Ⅲ高考文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C= () A.B.C.D.【命题意图】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选C.由题意S△ABC=ab sin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.二、填空题4.(2018·全国卷I高考文科·T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b sin C+c sin B=4a sin B sin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为. 【解析】根据正弦定理有:sin B sin C+sin C sin B=4sin A sin B sin C,所以2sin B sin C=4sin A sin B sin C,因为B,C∈(0,π),所以sin B≠0,sin C≠0,所以sin A=.因为b2+c2-a2=8,所以cos A===,所以bc=,所以S=bc sin A=.答案:5.(2018·北京高考文科·T14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,求取值范围,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2ac cos B,△ABC的面积S=(a2+c2-b2)=·2ac cos B,又S=ac sin B,所以cos B=sin B,因为角C为钝角,所以cos B≠0,所以tan B==,又0<B<π,所以B=.由正弦定理,=,又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A=sin A+cos A,所以=+=+,因为B=,A+B+C=π,所以A+C=,A=-C,又0<A<π,C是钝角,即<C<π,所以0<A<,0<tan A<,＞,=+＞2,即的取值范围是(2,+∞).答案:(2,+∞)6.(2018·浙江高考T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=,c=.【命题意图】考查正、余弦定理的简单应用.【解析】由正弦定理=得=,得sin B=,由余弦定理得cos A===,解得c=3.答案: 3三、解答题7.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求∠A.(2)求AC边上的高.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cos B===-,解得c=-5(舍),或c=3,所以cos A===,又因为0<A<π,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则sin A=,所以h=c sin A=3×sin=,即AC边上的高为.方法二:(1)因为cos B=-<0得角B为钝角,由三角形内角和定理,角A为锐角,又sin2B+cos2B=1,所以sin B＞0,sin B=,由正弦定理,=,即sin A=sin B=×=,又因为0<A<,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则h=a sin C,由(1)及已知,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A=×(-)+×=,所以h=a sin C=7×=,即AC边上的高为.8.(本小题满分13分)(2018·天津高考理科·T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理=,可得b sin A=a sin B,又由b sin A=a cos,得a sin B=a cos,即sin B=cos,所以sin B=cos B+sin B,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.由b sin A=a cos,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2A cos B-cos2A sin B=×-×=.9.(本小题满分13分)(2018·天津高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos. (Ⅰ)求角B的大小.(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理=,可得b sin A=a sin B,又由b sin A=a cos,得a sin B=a cos,即sin B=cos,所以sin B=cos B+sin B,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.由b sin A=a cos,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A -B )=sin2A cos B -cos2A sin B =×-×=.。
正弦定理余弦定理(解析版)
考点31 正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾】1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．a 2＝b 2＋c2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】：A 【解析】：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1. 2、 已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B.5 C ．25或 5 D ．均不正确【答案】：C 【解析】：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3、 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B.3 C ．2 3 D ．2 【答案】：B 【解析】：因为S ＝12AB ·AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝3.所以BC ＝ 3. 4、 在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．25【答案】：A 【解析】：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2.故选A.5、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】：B 【解析】：由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．6、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】：B 【解析】：∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ， ∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．7、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC的面积为 ． 【答案】：233 【解析】：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， 所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12×833×12＝233.8、 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 的值为__________． 【答案】：3 【解析】：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B ， 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin Csin A ＝3．考向一 运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）ABC ．D ．【答案】DABC3AC =2BC =3cos 4C =tan A =33【解析】由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出. 【解析】由余弦定理得：， 所以，因为，所以，所以， 故选：D ．变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈(0，π)，∴tanC ==答案为变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 【答案】4 【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+=， ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=， ∴111tan tan A B+=， 又22265b c a bc +-=，∴由余弦定理得62cos 5A =，∴3cos 5A =，∵A 为ABC ∆的内角，∴4sin 5A =，∴4tan 3A =，∴tan 4B =， 故答案为：4．2AB =AB BC =A C =tan A 2222232cos 3223244AB AC BC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=2AB =AB BC =A C =3cos cos 4A C ==tan 3A =变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=． （1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭， 因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin B =由正弦定理得5sin sin 7214c C B b ==⨯=方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状例2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( )A ．若tan A ＋tanB ＋tanC >0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是等边三角形 【答案】：ACD 【解析】：∵tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C >0， ∴A ，B ，C 均为锐角，∴选项A 正确；由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴选项B 错； 由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理， 可知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ， ∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B ，∴选项C 正确；由已知和正弦定理，易知tan A ＝tan B ＝tan C ， ∴选项D 正确．变式1、△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∵A ＝120°，∴34＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，与sin B ＋sin C＝1联立方程组解得：sin B ＝sin C ＝12，∵0°＜B ＜60°，0°＜C ＜60°，故B ＝C ＝30°，∴△ABC 是等腰钝角三角形．变式2、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【答案】 (1)B (2)C 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3， 所以△ABC 是等边三角形．方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ． (1) 求角A 的大小；(2) 若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) (解法1)在△ABC 中，由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ， 即sin A ＝2sin A cos A ．因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0， 所以cos A ＝12，所以A ＝π3．(解法2)在△ABC 中，由余弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得b a 2＋b 2－c 22ab ＋c a 2＋c 2－b 22ac ＝2a b 2＋c 2－a 22bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12． 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3．(2) 由AB →·AC →＝cb cos A ＝3，得bc ＝23，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×23×sin60°＝32变式1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cosA －3sinB cos B ． (1) 求角C 的大小；(2) 若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) 由题意得 1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6．由a ≠b ，得A ≠B ．又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3． (2) 由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85． 由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310， 所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 【答案】4【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______．【解析】3b =，222sin sin 3sin A B C -=，∴由正弦定理可得2222339a c b c =+=+，又1cos 3A =-，∴由余弦定理可得22222cos 92a b c bc A c c =+-=++，223992c c c ∴+=++，解得1c =，又sin A ==，11sin 3122ABC S bc A ∆∴==⨯⨯．方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向三 结构不良题型例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积. 【解析】 若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-， 所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【解析】（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623c c =++⨯，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B==sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==变式2、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.【解析】cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B = 又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-， 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯= 在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈， 所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以11sin 4222ABCSac B ==⨯⨯=在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=1、【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =， 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =. 故选：A ．2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.3、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==，11sin 222ABC S ac B ==⨯=△ 5、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.6、【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B ==由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积. 【解析】 （Ⅱ）()2cos cos 0a c B b A ++=,()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ()sin sin A B C +=.1cos 2B ∴=-,20,3B B ππ<<∴=.(Ⅱ)由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭， ()2229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，33,a b c b a c ++=+=∴+= 3ac ∴=，11sin 322ABCSac B ∴==⨯=. 8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值． 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭， 因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得3a =，所以7b =.（2）由1cos 2B =-，得sin 2B =由正弦定理得5sin sin 7c C B b ===9、【2020年新高考全国Ⅱ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．。
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2018年高考试题训练一：2018年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：在平面四边形ABCD 中，090=∠ADC ，045=∠A ，2=AB ，5=BD 。
（Ⅰ）求ADB ∠cos ； （Ⅱ）若22=DC ，求BC 。
本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。
如下图所示：根据正弦定理得到：A AB ADB BD ADBABA BD sin sin sin sin ⋅=∠⋅⇒∠= 525222sin sin =⨯=⋅=∠⇒BDAAB ADB 。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：ADB ADB ∠-=∠22sin 1cos 25232521=-=。
根据大边对大角得到：ADB ADB A ADB BC AB ∠⇒<∠⇒<∠⇒<045 为锐角523cos 0cos =∠⇒>∠⇒ADB ADB 。
（Ⅱ）本题目是标准的余弦定理已知两边和两边夹角的经典题型。
在BCD Rt ∆中：5=BD ，22=CD ，ADB BDC ∠-=∠090)90cos(cos 0ADB BDC ∠-=∠⇒。
诱导公式：090终边在y 轴正半轴ADB ∠-⇒090是第一象限角 cos ⇒在第一象限为正，090是090的奇数倍cos ⇒名称改为sin 名称。
52sin )90cos(cos 0=∠=∠-=∠ADB ADB BDC 。
根据余弦定理得到：BDC BD DC BD DC BC ∠⋅⋅⋅-+=cos 2222525833525222258=⇒=-=⋅⋅⋅-+=BC 。
训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ∆的面积为。
本题解析：本题目是边角转化与余弦定理综合题型。
边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把方程每一项的 边全部转化为对角正弦，保持次数不变。
C B A B C C B C B a B c C b sin sin sin 4sin sin sin sin sin sin 4sin sin =+⇒=+ 621sin sin 21sin sin sin 4sin sin 2π=⇒=⇒=⇒=⇒A A A C B A C B 或65π=A 根据余弦定理得到：A bc bc bc a c b A ⇒>==-+=04282cos 222是锐角6π=⇒A ， 3382346cos 446cos 4cos ===⇒=⇒=ππbc bc bc A 。
3322133821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC 。
训练三：2018年高考数学新课标Ⅱ卷理科第6题文科第7题：在ABC ∆中，552cos =C ，1=BC ， 5=AC ，则=AB （ ）A 、24B 、30C 、29D 、52 本题解析：本题目是二倍角公式和余弦定理已知两边和夹角的综合经典题型。
根据三角函数二倍角公式得到：53151212cos 2)22cos(cos 2-=-⨯=-=⋅=C C C 。
根据余弦定理得到：)53(512251cos 2222-⨯⨯⨯-+=⋅⋅⋅-+=C AC BC AC BC AB2432626=⇒=+=AB 。
训练四：2018年高考数学新课标Ⅲ卷理科第9题文科第11题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为4222c b a -+，则=C （ ）A 、2π B 、3π C 、4π D 、6π 本题解析：本题目是余弦定理四项式的经典题型。
C ab c b a c b a C ab S ABCsin 24sin 21222222=-+⇒-+==∆。
根据余弦定理得到：C C abCab C ab c b a C sin cos 2sin 2cos 2cos 222=⇒=⇒-+=41tan 1cos sin π=⇒=⇒=⇒C C C C 。
训练五：2018年高考理科数学北京卷第15题：在ABC ∆中，7=a ，8=b ，71cos -=B 。
（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高。
本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：49484911cos 1sin 22=-=-=B B ， 734sin 0sin =⇒>B B 。
根据正弦定理得到：bBa A B a Ab B b A a sin sin sin sin sin sin =⇒=⇒= 32383487347π=⇒==⨯=A 或32π=A 。
根据大边对大角得到：A B A b a ⇒<⇒<是锐角3π=⇒A 。
（Ⅱ）本题目是标准的新旧面积公式计算结果相等的经典题型。
21734)71(23cos sin cos sin )sin(sin ⨯+-⨯=+=+=A B B A B A C1433143431434143=+-=+-=。
根据新三角形面积公式得到：3614338721sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 。
根据旧三角形面积公式得到：h h h AC S ABC 482121=⨯⨯=⋅⋅=∆。
面积相等得到：233436364==⇒=h h 。
训练六：2018年高考文科数学北京卷第14题：若ABC ∆的面积为)(43222b c a -+，且C ∠为钝角，则=∠B ；ac的取值范围是 。
本题解析：本题目是标准的余弦定理四项式的经典题型。
B ac b c a b c a B ac S ABC sin 332)(43sin 21222222=-+⇒-+==∆。
根据余弦定理得到：acBac B ac bc a B 2sin 332cos 2cos 222=⇒-+=33tan 3cos sin sin 33cos π=⇒=⇒=⇒=⇒B B B B B B 。
本题目是已知一角求另外两角三角函数计算式的取值范围的经典题型。
根据正弦定理得到：ACa c C c A a sin sin sin sin =⇒=。
A A A B B A B A C cos 23sin 21cos sin cos sin )sin(sin +=+=+=。
AA A A A A A AA A C a c tan 2321tan 23tan sin 2cos 3sin sin cos 23sin 21sin sin +=+=+=+==。
根据三角形内角和得到：A C C A B -=⇒=+⇒=32323πππ，)32,0(π∈A 。
C 为钝角)6,3(),2(32πππππ-∈⇒∈-=⇒A A C ，)6,0()32,0(ππ∈⇒∈A A 。
当)6,0(π∈A 时：A y tan =单调递增)332,0(tan 2)33,0(tan ∈⇒∈⇒A A ),2(tan 2321),23(tan 23+∞∈+⇒+∞∈⇒AA 。
训练七：2018年高考数学天津卷理科第15题文科第16题：在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
已知)6cos(sin π-=B a A b 。
（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2=a ，3=c ，求b 和)2sin(B A -的值。
本题解析：（Ⅰ）本题目是边角转化的经典题型。
边角转化：方程中每一项都有边，每一项中边次数相加相等，可以把每一项中的 边全部转化为对角的正弦，保持次数不变。
)6cos(sin )6cos(sin sin sin )6cos(sin πππ-=⇒-=⇒-=B B B A A B B a A bB B B B B B sin 21cos 23sin 6sinsin 6coscos sin +=⇒+=⇒ππ3tan 3cos sin cos 3sin cos 23sin 21=⇒=⇒=⇒=⇒B BBB B B B 3π=⇒B 。
（Ⅱ）本题目是余弦定理已知两边和其夹角的经典题型。
根据余弦定理得到：2132294cos 2222⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b 77613=⇒=-=b 。
根据余弦定理得到：77276123724972cos 222==⨯⨯-+=-+=bc a c b A 。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：492149281cos 1sin 22=-=-=A A ， 721sin 0sin =⇒>A A 。
根据三角函数二倍角公式得到：7727212cos sin 22sin ⨯⨯==A A A 73449374497214=⨯⨯=⨯⨯=。
7149749214928sin cos 2cos 22==-=-=A A A 。
7123217342cos sin cos 2sin )2sin(⨯-⨯=-=-A B B A B A 14331431434=-=。
训练八：2018年高考数学浙江卷第13题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7=a ，2=b ，060=A ，则=B sin ，=c 。
本题解析：本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。
根据正弦定理得到：aAb B A b B a B b A a sin sin sin sin sin sin =⇒=⇒= 721737232==⨯=。
根据三角函数同角之间的基本关系得到：492849211sin 1cos 22=-=-=B B 。
B A B a b ⇒<⇒<是锐角772cos 0cos =⇒>⇒B B 。
2172177223cos sin cos sin )sin(sin ⨯+⨯=+=+=A B B A B A C 142131421212=+=。
根据正限定理得到：ACa c C a A c C c A a sin sin sin sin sin sin =⇒=⇒= 3321432123142137=⨯=⨯=。