论高中数学中的三角函数变换.

论高中数学中的三角函数变换

由于三角函数的变换具有种类多而且方法灵活多变的特点,所以很难让学生真正的掌握。但是三角变换中的基本规律和思想却是不变的, 我们可以把这些规律概括为公式间的联系和运用这两种。

一、三角函数变换中常见的几种类型

1.“ 角” 度的变换。在进行三角变换解题的过程中,三角函数中角度变换,主要体现在差角、和角、半角、倍角、余角、凑角、补角等之间相互的转换,角度的变换起到了纽带的作用。随着三角函数角度的变换,函数的运算符号、名称以及次数等都会有一些相应的变化。在对三角问题进行求解的过程当中,由于表达式时常会出现许多相异角,因此,我们就要根据三角角度间和、差、倍、半、补、余、凑等关系, 用“ 已知角” 来表示“ 未知角” ,然后再进行相关的运算,使三角变换的问题可以顺利的求解。

2. 函数名称的变换。在函数名称变换中,最为常见的就是切割化弦,这时,我们一般都会从化函数或是化形式方面着手。在三角函数当中, 正弦和余弦是六个三角函数中的基础,它们的应用也是最为广泛的,其次是正切。通常来讲,在进行三角问题求解的过程当中,时常会出现一些不同的三角函数名称,这时就需要我们把这些不同的三角函数名称转换成同名的三角函数,我们最常见的转化方式就是“ 切割化弦” 与“ 齐次弦代切” 。

3.“ 形” 变换。在我们对三角函数进行化简、求值或是证明等运算的过程中,有时会根据相关的需要将一些常数如 1、、 2+ 等转化成相关的三角函数,然后再利用相关的三角函数公式进行运算。在这些常数当中,利用常数 1来进行三角函数变换运算最为普通和广泛。在进行三角变换时,我们运算时一定要遵循由繁到简、由简而易的的规律,只有这样我们才能在众多的三角函数公式中找出相关的解题思路,才能明确解题的目标,从而顺利的解题。

如:2009年辽宁高考文科试题中,已知tanθ=2,则sin 2θ+sinθcosθ-2cos2θ=(

A :-

B : C:- D:

分析:利用已知条件,我们很容易想到这道题需要进行“ 弦化切” ,因此,我们利用已知整式中分母为 1的条件,将“1” 转化为sin 2α+cos2α, 从而进行解答。

二、三角函数变换的几种常用解题方法

1.“ 弦函数” 与“ 切函数” 间的相互转换。“ 弦函数” 与“ 切函数” 之间互相的转换是我们平常对三角函数问题进行解答时,常用的两种函数转化的基本手法。若是在三角函数式当中存在着正切函数,我们就能让学生在解题的时候,利用三角函数之间最基本的关系或是让“ 弦函数” 转化成为“ 切函数” 等方式来进行对题目的求解或证明。

2. 角的等量代换。在我们解决三角函数的问题过程中,要重点的注意已知角同所求角间的相互关系,适当的使用拆角和拼角的解题技巧。就像α=(α+β-β=β-(β-α = + 或是2α=(α+β +(α-β或是2β=(α+β -(α-β等。

例如:已知3sinβ=sin(2α+β,求证tan(α+β= 2tanα

证明:因为β=α+β-α, 2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin(2α+β

由此推出3sin (α+β-α = sin(α+β+α,所以3sin (α+β cosα-3cos (α+β sinα=sin(α+β cosα-cos (α+β sinα,因此推出2sin (α+β cosα=4cos(α+β sinα,所以得出tan (α+β =

2tanα。

3. 公式的逆用和变用。我们在对三角函数的问题进行解题时,时常会遇到需要对三角公式进行变用或逆用的情况,尤其是公式的变用,常常会因学生的不够熟练出现错误。因此我们要让学生能够熟练的运用 2sin 2x=1-cos2x以及 2cos 2x=1+cos2x 这些三角函数的公式。

4. 引入辅助角公式。辅助角公式的引入,是在三角函数变换过程中,两角和同两角差之间正弦或是余弦公式形式的变换,它是求三角函数的单调区间、周期等时最为重要的解题手段之一,就像我们将三角函数式asina+bcosα转变为sin(α+φ的形式,在这个三角函数式里φ被称为辅助角,而这个辅助角的大小则是由tanφ所决定的,它的象限就是由 a 、 b 两个符号所确定的。

例如在 2009 年重庆高考文科卷 2试题中,设函数f (x =(sinωx+cosωx

2+2cos2ωx(ω>0的最小正周期为

(1求ω 的值;

(2若是 y=f(x 的图像往右平移了个单位长度得到了函数 y=g(x 的图像,则求函数 y=g(x 的单调增区间。

解:(1 f (x =sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2= sin(2ωx+ +2,则 T= = ,则解得ω=

解(2得 g (x = sin [3(x- + ]+2= sin(3x- +2

由于2kπ- ≤3x - ≤2kπ+ ,(k ∈ Z ,所以kπ+ ≤x≤ kπ+ ,(k ∈ Z ,所以 y=g(x 的单调增区间就是[ kπ+ , kπ+ ]

综上所述,无论对三角函数进行求值、化简还是证明,其解题的过程都会是从已知向未知进行转化的过程,所以,我们要从中找到它们之间的差异,才能顺其自然的对三角函数进行转变。