第七章 质点与刚体的运动微分方程
相对于质心平移系的质点系动量矩定理刚体平面运
0
0
J O d fFN Rdt
0
t
F fFN
J O 0 t f FN R
四、刚体转动惯量的计算
J z mi ri
2
——刚体对转轴的转动惯量
转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。
转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，
而且与质量的分布情况有关。 在国际单位制中为：kg · m2 对于质量为连续分布的刚体，则上式成为定积分
d (e) (i ) M ( m v ) M ( F ) M ( F 质点1： O 1 1 O 1 O 1 ) dt d M O (mi vi ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi (i ) ) 质点i ： dt
d M O (mn v n ) M O ( Fn( e ) ) M O ( Fn(i ) ) 质点n ： dt
一、质点和质点系的动量矩 二、动量矩定理 三、刚体绕定轴转动的微分方程 四、刚体转动惯量的计算 五、相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理
六、刚体平面运动微分方程
一、 质点和质点系的动量矩
质点的动量矩——质点的动量对点之矩 z [1、力对点之矩] 空间的力对O 点之矩：
M O (F ) r F
d M x ( mv ) M x ( F ) dt d M y ( mv ) M y ( F ) dt d M z ( mv ) M z ( F ) dt
2、质点系的动量矩定理
设质点系有n个质点
每个质点的质量分别为： m1、m2、 mi mn
对轴的动量矩
z
Lz M z (mi vi )
LO Lxi Ly j Lz k
动力学基本公式
质点系的质盘1 中心位■匚2 动jftp3 力的冲量/动力学基本公式摘要：3动力学基本公式（见茨1.4-9-农1.414）茨1.49帘用动力学物理放的计班公式均质物体的转动惯狱常用旋转体的转 动惯的近似计算式3动力学基本公式（见表1.4-9-表1.4-14）表1.4-9常用动力学物理量的讣算公式» 1.4-9娥用动力学犒理金的计算公式矢径r^~坐标公乂（又奇质心运动方程）工叫y ；M质点动#p M m» m (f,i + v^/4-v,*} 质点茶勒：#P •工=Mt c>« “J"』*"几,暫，暫分别为臬质点的矢径和坐标 人•升•人，无分别为质心的矢径和坐标 叭•M 分别为幕质点质■和质点系总倉量 兔、专、％为质点速度”沿■、* Z 袖的分■■八为质心連度沿黑、八的分人、，八人分S1为力F 在三貰角堂标小 Y 、，轴上的投形（续〉序号物理量名称 计算公式图示与说明•质点动摄对B1定点0的动ft 矩 7心矢Eg b N M O (mr ) «r xmp铁形式〈即为慶点动虽对坐标轴的矩）、济7【■ 5・〉«y （叫）-x （叫）『严叫(FH • ) ■ Z 〈皿 J P ( JTW J/l g = Af ( m > )» x () - y ( nw.)心垂良于卩和mo 所在平面.指向按右手I#羡规则确定4动量矩”和炭点系对慕83定点0的动it 矩矢:ft 式厶)n £<o; ® X r. x Z投形式点系对忑点为0的三坐标抽的动录矩）^a £<» = X (人".-5炸)(1 1S =三J ・工3严叫-“凡）5皿2人■工m]转钢：用体绕定轴z 的动;t 矩\ JL.式中3 -------角逢度；WJ.—刚休对z 紬转动ffla.人・工叫£序号物理量名称什算公戏 图示与说明dtk（续）序号名称什算公式图示写说期弹性力的功—尹（入;T）<\式中4—弹黄劲度«»;)入八嘉——弹賛在始末位■的变形量6功V[z作用于烫定轴转功就体上力的功J EIP » | r( F r co3cc)d^(^\广=[见（町如s F M. （F）——力F对轴的力矩〈或力儁矩八F—力F沿轴垂直平而上的分力f页眉内容7动能丁质点的动能E. ~r^z质点系的动K £b = S-ym^平动期体的动能比二*血：烧定輸7转动的刚体的动佩斗72 平35运动刚体的动館％二*♦+人/式中m,叫-------- 质点的叭叫一质点的：M—附体总戍量；v.—质心C的逋度；J.—IW体録：轴和虎心轴的转动为訓3—阳体的转动角連度8势能E,盘力弊能％二％弾性力隽駅心牛18引力势能-/邑严式中1—鹼心甥选定#势面的离度；A——弹寶变形■ （AJMIJK长为# 势冏）$u—抵物质录丨M lt M2—l x 2 ««J体贞/一引力#»；----- K 2阳物体质心距応9功率P 通述力计算P=F・ u = Fvcg通过力矩或力假矩计算P^W CJ式中a—力F与速度•的央角；M——力对转釉的矩或力«!£;3——角迪度均质物体的转动惯量« 1.4 10均质恂体的转动惯■序号图形fl fi4 =p>-12=^72 j -D d /航％北"12 J 12, i3 sin2 aA =P| —5— = M —-—L v2arA ■/>i (2a - oixi2a)T-韵Jy B Pi (2a4sio2a[) 询诗)丿0 =P|P2a 二Mr1「bb. 加M A2人菁*乔. W3M b2丿厂几乔*应:bh(4"+36[)144人“，=P A于]=M£J Q=P A于严=M牛A ■ -nabA f于ab' = M £-J严P A于2"才A>・P A于桃(«2★沪〉转动iRJR矩形3・・P A瞥唸"边正多边形正圆柱WAJ,=p~5 = *4J严寺（3八沪〉如J r "〔3，（1 ♦cos:^）+八血、）•M吉3 （»丹〉■♦> /i2«iii2^）正!K柱偲面4 ■ 2-nrhJ, =p A2wr l A = Wr?J宀冲（6八巧皿為（6/+X）（续）序号11V^abc正六面体rabc f 2[2、>r * t3X * 厉（J+卩）正立方体（a = 6 = c）人*卷U） =M 丿吊（g） *徽正■链图形转动惯量V弓（卅♦血“）_卅（疋・/）7 10 （R-r）13词）截正圆锥侧面・人（尺仃）空心正因柱c-2~V=ir -『）h~ </r -r4） =M x正柄阀柱_訂（卅-F）h—4=3fV =打砂人16（宀'）空心球球面A皿斗（a2冷）*警（36"} 17= ~-*n （M ・Q）酱理“）请（拜）K-0.4 K“・7 D ：K = 0・6 D} »D :zziaEmq, ^gK-0.45 D ："♦ V/S Q |K=0.5 D\=0；+D ； K“・33 D ："注：人一面fb y —体积8人，J 八J"儿厶，匚几一对気y 9 1. 2» .卩轴的转功MJh Jo. Jc-对6 G 点的 转劝惯Pu / •®«*.体««； M —总炭AL常用旋转体的转动惯的近似计算式衰1.4J1常用叙转体的转动惯■的近似计算式式中 M ——旋转体质量（kg ）；K —系数，见本衷；D.——就转体的飞轮计算直径（《□）正四梭锥半3E 截商环形体人¥常（4心山）V 普 丿宀瞅八牛）正BttM 面fA »ir« trr V r ： *正圓懐r （宀 P ）（4C ）・K = 4 Di -?^=0.3 D>D 2转动價最及式〈1)中〈C")——飞轮矩(N . m a ). (】)8—逐力加速度(2)式(2)中(G02)—飞轮矩(kg ・n?)转功惯・的 換算移劝物体转 动惯■的换算—般務动物倍八：亍，％ 逢杆传动丿二拐 齿轮齿条传初M —移涕物体的质■.(灯)& %——检体的穆动邃度(皿/・){ %——电动机角速皮(mdAA % 电动机转I ---- 丝杆■笙(m)id —与齿条帽唱合的齿轮UQE 1［轻 («)i i —电动机与後杆戒骨条间的传总比；人——韌体楼篥給转动角速度労®时的转动 1R 量(kg • m X ); A .—检体統钩体财茱一 轴践AA (¥ 行00〉WH 动憤*机械传动中转动惯量的换算衷L 412机械俊动中转动惯■的换算转动惯处/七飞轮矩3)的关系J= (CD 2) /4f /■ (CD 2) Z4式中；—转动惯量(红・才)$ m —魅体的质1t (立卄 •—惯性半径(xn)换算到地衲机愉上的转动惯*"晋"皓)仏僚)3佶) 換算剁移幼物体上的当盘质量w = ~ = J, «汕)2/丿♦扇/八人"J —換算到电功机釉上的总转功 «*(k«-m a )；人、人、A ——箱】、皱2、軸3上回转体 的转动tR*(b ・m 巧；m ——用在钢縄上移动俞弹的质豎(kg>;—•卷败的半念(»)|约、“、®—轴I 、納2、轴3的A MX(nd/9)>J i 2—轴1与轴2、轴2与转3间 的传动比1<—移动物体速st («/•>J —换算S)电动机轴上的转动愤■(輛J —制体对M 轴的橫动惯盘(kg ・《?)j J.― 体时通£1 •心00额线的转动慣量 (kg • m a );a ——"轴与AX*间的审・(«)动力学普遍定理:(彻\、■叫％V —r4*j系統总功能♦厶砧々♦為屍/2+m 2叭)，/2*14-13功力単普51定理序号定豪名称* 丈更示与说明H角坐掠投形式(0H-)1恒度■段点矢■式m -7- 三尸肩a迄1dlA的动童定理 d v p 口HI■ zy ■乙「开a)m -j^ =mi =工F.«x八f—质成•时坐标九、p八Ar 的投够——第/个力在三圭标轴上(续｝”定理名琢关及戎09示与说明自的授峑式(瓯b〉m寻=总辽几，1■m” 牛=讥的动量定理0 =T.■、D分別尢沿紈逛切向.主法Ml方茨点就dt守恒情况* 向#DJhtt«*向的策位矢■若=0. )1! m* s倉矢fit心、尸枉分助为KJ仇nKb方向的exr M=o t W«v. =««flii个力旺的三个分・玄角曼悸投形式矢只式变质最质点«<bn"・2F-* IT"2的场■足理dv . - dmF・工心♦乎r,・•为it岀戒进人的*1对速atm-=IF<4-d75•• ■ . dmV R应用坐标投形式矢量式传=鲁.比32竹为作用黄点蘇各外力的矢ft%.定JS w 3工F*、工几分别为各外力庄三生dp d£ni,"【盂二r-注心标轴上的授形代敗和匿点系说it守個悄况】若£刀=0・BJp =£叫•• ■常矢*若》人・0・9.P.3 Zm；r.;质点及刚体的运动微分方程表1.4-14«L 444质点及剧体的运动微分方程。
刚体绕定轴转动微分方程
mg N cos F sin
J C Fr
求解
ae ar
m sin 2 3 M m 2 m sin
2
圆柱的牵连运动为平动 a r r 整体动量水平方向守恒
m ( a r cos a e ) M a e 0
g
2 ( M m ) sin 3 M m 2 m sin
J O ( OA ) 1 3
2
O
A
ml
2
C
J O (C ) J C (C ) m (l R )
JO 4 3
1 2
ml
mR
2
2
m (l R )
mR
2
2
3 2
2 mlR
§6-3 刚体平面运动微分方程
一、运动微分方程
由质心运动定理得
D
m C r
F
i
C
rC
(e) m z ( F iz )
i ri ri
m
i
r
2 i
令Jz
m
i
r
2 i
——刚体对z轴的转动惯量,它是转动刚体惯性的度量 即
J z
(e) m z (F i )
——刚体定轴转动微分方程 定轴转动刚体转动惯量与转动角加速度的乘积等于 作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。
2 C 2 C i i 2 i 2 i
m i x i 故 m i y i
m m
i
x C 0 y C 0
i
y'
m d 2 m i r i2 即 Jz md2 JC 显然 J z min J C
第七章不可压缩流体动力学基础
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
刚体定轴转动微分方程
miri2 = Fiτi ri Fiτeri
对刚体内每一个质点都可列出这样的式子，将它们相加，得
miri2 = Fiτi ri Fiτeri
由于刚体内各质点间的相互作用力即内力都是成对出现的，且 它们大小相等，方向相反，作用于同一直线上，所以这些内力对z轴 之矩的代数和恒为零，即
理论力学
质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
刚体定轴转动微分方程
设刚体在外力作用下以角速度、角加速度
绕固定轴z转动，如图所示。考虑刚体内任意一
点M i，由运动学知其绕z轴作圆周运动。若该质
点的质量为mi ,它到转动轴z的距离为ri ，则它的
切向加速度为
ai=ri·
根据弧左边形式的运动微分方程，列出质点
于是上式变为
Fiτi ri = 0
miri2 = M z
目录
质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
式中：Mz——作用于刚体上所有外力对z轴之矩的代数和； miri2 ——刚体内各质点的质量与该点到转轴的距离平方的 乘积之和，对某一刚体来说，转轴一经确定，刚
体内各点到转轴的距离为一定量，因而 miri2 为一 常量，它称为刚体对转轴z的转动惯量，用Jz表 示，即
J z = miri2
将上式以及
=
d
dt
=
d 2
dt 2
代入式
miri2 = M z
，得
J z
=
Jz
d
dt
=
Jz
d 2
dt 2
=
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
第7章 质点运动定律
7.1.3 牛顿第三运动定律
• 力的本质是什么? • 牛顿在《自然哲学的数学原理》中又提出了牛顿第三定律 ： • “每个作用总有一个大小相等而方向相反的反作用，或者 说，两个物体的相互作用总是大小相等而方向相反。” • 这里的“作用”和“反作用”指的是两个物体间相互作用 的力，即一个物体对另一个物体施加作用力，受力物体也 必然对施力物体施加反作用力。 • 因此第三定律又称为作用力和反作用力定律。
7.2 质点和质点系的动量定理
• 7-2-1 质点的动量和动量定理 • 1 动量 • 2 动量定理 • 7-2-2 质点系的动量定理 • 1 质点系 • 2 内力和外力 • 3 质点系的动量定理
7.2.1
•
• •
质点的动量和动量定理
1、动量
定义：质点的质量和它的速度的乘积称为该质点的动量。 动量是矢量，它的方向与质点速度的方向相同。
• • • • • • 牛顿运动定律；质点和质点系的动量定理； 动量守恒定律；功、动能定理； 保守力与非保守力、势能； 功能原理、机械能守恒定律； 弹性碰撞与非弹性碰撞； 相对论动量和能量。
教学基本要求
• • • • • 教学重点：牛顿运动定律；动量守恒定律； 机械能守恒定律 教学难点：相对论动量和能量 教学目的： 1. 重点掌握牛顿运动定律、动量守恒定律和 机械能守恒定律； • 2. 掌握质点和质点系的动量定理、动能定理 、功能原理、势能和功的计算； • 3. 理解相对论动量和能量。
d (mv ) F k dt
国际单位制下，k=1 mv——动量
m——质量；单位：千克，符号：kg v——速度；单位：米/秒，符号：m/s
7.1.2 牛顿第二运动定律
• 如果物体的质量 m 不随时间改变，牛顿第二运动定律可 写作 a为物体的加速度， F ma • 单位：米/秒2 • 即物体的加速度与作用于该物体上的力成正比，与物体的 质量成反比，力与加速度的方向相同。 • 加速度概念是伽利略提出的。 • 伽利略把它同作用力联系起来，但是未能进一步弄清楚力 和加速度的关系。 • 牛顿继承和发展了伽利略的工作，定量地揭示了力是如何 克服物体的惯性的，如何改变物体的运动状态的，也揭示 了力的独立性和力的迭加原理。
理论力学08_4刚体平面运动微分方程
6 刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标描述。
作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。
设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。
平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。
刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。
由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。
于是，由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。
由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。
而ϕ&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。
动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。
9.4 刚体平面运动微分方程
(讲解完毕)
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5
例9.4-3 图示匀质圆轮半径为r, 质量为m1 .三角块质量为m2, 倾角为θ, 放 在光滑水平面上. 圆轮沿斜面向下自由纯滚动(两者之间有摩擦), 推动三 角块向左运动.求: 1) 圆轮角加速度ε和三角块加速度ae ; 2)地面对三角块 的支持力、圆轮与三角块之间的相互作用力(支持力与摩擦力)
设系统从静止开始运动, 能否对圆轮与三角块接触点处应 用速度瞬心动量矩定理？
例9.4-4 图示系统中物块1质量为m. 定滑轮2和动滑轮3半径都为r, 质 量也都为m, 对各自质心轴的回转半径都为ρ. 动滑轮3在重力作用下 向下运动, 通过缠绕的细绳(不打滑)带动系统运动. 求轮2、轮3各自 的角加速度ε2、ε3及细绳拉力.
4
例9.4-2 图示匀质圆环半径r=1m, 其上焊接的匀质细杆OA长度也为r, 圆环1和细杆2质量相等, m1=m2=m=1kg. 用手扶住圆环, 使其在OA杆处 于水平位置时静止, 然后放手,圆环作纯滚动, 求放手后瞬间圆环的角 加速度ε、地面对圆环的摩擦力FS及法向支持力FN .
JP
JC
(m1
1 L cos
2
aCy
1 L cos
2
1 L 2 sin
2
14
8
图2
9
→ JC
aC
[m1r 2
aO
→
1
ma1Ot(C4
r)2a]OnC[11211m2r
2
m2
(
1 4
vO r
r)2 ] aO
29 24
rε
mr2
10 12
rε 0.25 r 0
ch质点动力学基本方程
2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；
(导学)10质点运动微分方程
g e
。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
20
8 战斗机重力为P1=29.4kN,引擎的推进力为F1=14.7kN，其 起飞速度为v=36.1m/s。空气阻力与速度的平方成正比，为 FR=kv2，单位为N，阻力方向与速度方向相反，其中，k=1.96。 为使战斗机能在舰船上起飞，采用弹射器以减少飞机的滑行路 程，假定弹射器的附加推力等于F2＝4.9kN,试问战斗机起飞跑 道的长度可缩短多少？
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
4
2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
（自然法）
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
答案
Fmax=102kN，F=99kN。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
17
5 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速度转动， OA=AB=l，石料与筛盘间的摩擦因数为fs，为使碎石料在筛盘 中来回运动。试求曲柄OA的角速度至少应多大？
答案
gf s 2l
。
工程力学导学 动力学
切线方向：
mq r mg sin q
q g sin q / r
积分（注意分离变量）：
dq dq dq dq q q dt d q d t dq
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
转动惯量及其计算
W 目录
质点与刚体的运动微分方程\转动惯量及其计算
【解】 分别取圆轮和重物为研究对象，受力如图所示。 对圆轮应用定轴转动微分方程，有
1 2
mR2
FT R
(a)
对重物应用质点运动微分方程，有
W g
a
W
FT
(b)
加速度a与角加速度的关系为 a =R (c)
Jz
m V
r 2dV
V
m
R2h
R o
r
2
2rhdr
2hm R2h
R r3dr 1 mR2
0
2
许多简单形状均质刚体的转动惯量都可用同样的方法计算得到，
其结果可在有关工程手册中查到。现将几种常见的简单形状均质刚 体对通过其质心的转轴（简称为质心轴）的转动惯量列于表7.1中， 以备查用。
目录
质点与刚体的运动微分方程\转动惯量及其计算 表7.1 简单形状均质物体的转动惯量
J z J z md 2 式中：Jz——刚体对质心轴z的转动惯量；
Jz‘ ——刚体对与质心轴平行的轴z'的转动惯量； d——轴z与z'间的距离； m——刚体的质量。 由刚体转动惯量的平行移轴定理可知，在一组平行轴中，刚体 对通过其质心的轴之转动惯量为最小。
目录
质点与刚体的运动微分方程\转动惯量及其计算 【例7.7】已知长为l，质量为m的均质等截面细直杆（如图），
工程中常将转动惯量表示为刚体的质量m与某一长度的平方的乘
积，即
Jz
m
2 z
z 称为刚体对z 轴的回转半径或惯性半径。它的意义是，设想将刚
体的质量集中在与z轴相距为z 的某一点上，则这个质点对z轴的转
质点运动微分方程
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
02-23.3 平面运动刚体的运动微分方程(课件)
3、平面运动刚体的运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程y x C ''：过质心平移参考系平面运动随质心平移 绕质心转动()()e e ()C C C ma FJ M F α⎫=∑⎪⎬=∑⎪⎭()()2e 22e 2d d d ()d C C C r m F tJ M F t ϕ⎫=∑⎪⎪⎬⎪=∑⎪⎭投影式： ()()()e e e ()Cx xCy y C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭()()()e te ne ()Ct C n C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭以上各组均称为刚体平面运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程已知：半径为r ，质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M .求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，问力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动?C 例 1M平面运动刚体的运动微分方程解： N 2Cx Cy C ma Fma F mg m M Fr ρα⎫=⎪=-⎬⎪=-⎭()()2222N ,,,CC C C F r Mra M r m r F ma F mgρρ+==+==纯滚动的条件： s NF f F ≤即22s Cr M f mgρ+≤C a 0C a r α=分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
由平面运动刚体运动微分方程：平面运动刚体的运动微分方程例2已知：均质圆轮半径为r 质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.求:质心C 的运动规律.平面运动刚体的运动微分方程t Ca rα=解: t sin Cma F mg θ=-C J Frα=-θcos 2mg F r R v m N C -=-()θr R s -=0d d 2322=-+s rR gt s )sin(00βω+=t s s ()r R g -=3220ω0,0v s== s 初始条件 ()gr R v s 23,000-==β运动方程为()⎪⎫ ⎛⋅-=t gr R v s 2sin 30分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
第七章动量定理
p = ∑mvi i
质点系动量的计算：
p = ∑mvi = MvC i
( ∑mi ri =MrC 求导)
质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：
& & & px = MvCx = MxC , py = MvCy = MyC , pz = MvCz = MzC
3.刚体的动量 3.刚体的动量
p 2 x − p 1x = p 2 y − p 1y = p 2 z − p 1z =
(e) Iix (e ) = ∑ ∫ Fix dt ∑
t2
∑ Iiy
(e)
= ∑ ∫ Fiy ( e ) dt
t1 t2
t1 t2
(e) Iiz( e ) = ∑ ∫ Fiz dt ∑ t1
定理说明： 定理说明： 只有外力才能改变质力不能改变整个质点系 的动量。 的动量。
例1： 图示坦克的履带质量为m1，两个车轮的质 ： 量为m2。车轮被看成均质圆盘，半径为R。设坦 克前进速度为v，计算此质点系的动量。
C
vC
例2 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀ω 转 动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都 是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也 为m。求当ϕ = 45º时系统的动量。 求 解: 曲柄OA：m , vC1 = 1 lω 滑块B： m , v C 3 = 2 l ω 连杆AB：m, vC 2 = 5 lω AB = 5 lω（ P为速度瞬心， 2 = 5 l ; ω AB = ω ） PC
Fi (i ) =0; ∑mO (Fi (i ) )=0 或 ∑mx (Fi (i ) )=0。 ∑
质点系的动量定理
(e) dp = ∑ Fi dt
即：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所 有外力的矢量和。 有外力的矢量和。
工程力学—刚体定轴转动微分方程
6.2 刚体对轴的转动惯量
由前知，刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体 上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平
方乘积的算术和。即 Iz miri2
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式
动惯量, 于是得
r
IZ MZ (Fi )
或
d
r
Iz dt Mz (F)
d2
r
Iz dt2 Mz (F)
刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用 于刚体上的外力对该轴之矩的代数和。以上各式均称为刚 体绕定轴转动的微分方程。应用刚体定轴转动的微分方程 可以解决动力学两类问题。
6.2.3 平行移轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的 质量与两轴间距离平方的乘积，即
I z I zC md 2
z
Iz
l d x m x2 1 ml2
0l
3
O
Iz1
l
2 l
2
m l
d
x
x2
1 12
(2)
z1 z
z2
ab
C
(1)－(2)得
I2 I1 m(b2 a2 )
例2 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对 轴O的转动惯量。
O
解： I O IOA I AB
l
2l
A
B
2l
1 ml2 1 (2m)(2l)2 (2m)( 2l)2 3 12
5ml2
0
刚体的定轴转动和平面运动微分方程
（c）
（d）
（e）
二、刚体的平面运动微分方程
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，可建立起刚体平面运
动微分方程，研究刚体平面运动的动力学问题。
设刚体具有质量对称平面，在该平面内受到平面力系
F1(e) ，F2(e) ，F3(e) ， ，Fn(e) 的作用，刚体将在该平面内运动。
根据运动学，平面运动可分解为随基点的平动
（e）
（4）根据刚体平面运动微分方程，可得
maCx FB
（f）
maCx FA mg
（g）
J C FAl cos FB l sin
（h）
将式（d）、式（e）分别代入式（f）、式（g）得
FB m( 2l cos l sin )
（i）
FA mg m( 2l sin l cos )
由于轴承 A ，B 处的约束力的对于 z 轴的力矩
等于零，根据刚体对 z 轴的动量矩定理，有
dLz
M z ( F (e) )
dt
d
J z M z ( F (e) )
dt
图10-18
或
J z M z ( F (e) )
（10-24）
d2
J z 2 M z ( F (e) )
n
MaC F (e)
d
(e)
( J C ) M C (F )
dt
图10-21
式中，M为刚体的质量；J 为刚体对质心C的转动惯量。
将上面第一式写成投影的形式，并注意到
C
d 2 xC
d 2 yC
d
aCx 2 ，aC y 2 ，
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 （1） 直角坐标形式的质点运动微分方程 dv d 2r 将公式 ma m m 2 F 向直角坐标轴上投影，得 dt dt dvx d2 x m ax m m 2 X dt dt dv y d2 x m ay m m 2 Y dt dt dvz d2 z m az m m 2 Z dt dt 式中：x、y、z——质点M的坐标； X、Y、Z——各力在x、y、z轴上投影的代数和。
显然，当 =0时绳的拉力最大，最大拉力为
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
7.1.3 刚体平移的微分方程
刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状相同，且同一瞬时各点 的速度v 相同，加速度a也相同。因此，可以取刚体内一个点的运动 来代替整个刚体的运动。 刚体的质心C 是一个特殊点，现用它的运动来代替刚体的平移。 设质心C的速度和加速分别为vC 、aC ，矢径为rC，根据质点运动微 分方程和质心的定义，可以证明： dvC d 2 rC maC m 2 Fe dt dt 式中：m——刚体的质量； ∑F e ——作用于刚体的所有外力的合力。 该式称为矢量形式的刚体平动的微分方程，通常称为质心运动 定理。 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其 加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
m r M
2 i i
z
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程 式中：Mz——作用于刚体上所有外力对z轴之矩的代数和； mi ri 2 ——刚体内各质点的质量与该点到转轴的距离平方的 乘积之和，对某一刚体来说，转轴一经确定，刚 2 体内各点到转轴的距离为一定量，因而 mi ri 为一 常量，它称为刚体对转轴z的转动惯量，用Jz表 示，即 J z mi ri2
mi ri2 Fiτ ri
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
式中： Firi——作用于该质点所有力的合力Fi对z轴之矩。
将作用于任一质点上的力Fi分成两部分：一部分是刚体内其他 质点对该质点的作用力，称为内力，用 Fi i 表示；另一部分是刚体以 外的物体对该质点的作用力，称为外力，用 Fi e 表示。于是上式可改 写为 i mi ri2 Fiτ ri Fiτe ri 对刚体内每一个质点都可列出这样的式子，将它们相加，得 i mi ri2 Fiτ ri Fiτe ri 由于刚体内各质点间的相互作用力即内力都是成对出现的，且 它们大小相等，方向相反，作用于同一直线上，所以这些内力对z轴 之矩的代数和恒为零，即 i Fiτ ri 0 于是上式变为
式中：s——质点的弧坐标； v——质点的速度； ρ——曲率半径； F、Fn ——各力在轨迹的切 向、法向上投影的代数和。 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 【7.1】 质量为m的质点M在坐标平面oxy内运动（如图），其 运动方程为x=acos t，y=bsin t，其中：a、b、都是常量。 求作 用于质点上的力F。
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 （2）弧坐标形式的质点运动微分方程
dv d 2r 当质点M作平面曲线运动时，将公式 ma m m 2 F dt dt 向质点运动轨迹的切向和法向投影 ，得
d2s m aτ m 2 Fτ dt v2 m an m Fn
2
d2 y Y m 2 mb 2 sint m 2 y dt
因此力F为 或
F =Xi+Yj =－m2 (xi+yj)
F =－m2r
式中：r——质点M的矢径。 可见力F的大小与矢径r的大小成正比，其方向则与之相反，即 力F的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压 缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力F正比于活塞的速度v，即F =μv，其中μ为比例系数。求活塞相对于液压缸的运动规律，并确定 液压缸的长度值。
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
7.1.2 质点运动微分方程
设质量为m的质点M，在合力F的作用下沿某一曲线运动，质点 M的位置用对于坐标原点O的矢径r表示（如图），由运动学知该质 z 点的加速度a与矢径r的关系为 a dv d 2 r a dt dt 2 v 式中：v——质点的速度。 M r 将上式代入牛顿第二定律公式得 O y 2 dv dr ma m m 2 F x dt dt 这就是矢量形式的质点运动微分方程。 在具体计算中，都采用上式的投影形式，根据坐标系的不同有 以下两种： 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 将上式写为 再次积分
dx v0 e kt dt
kt d x v e 0 dt 0 0 x t
v0 kt x ( 1 e ) 解得 k 即为活塞的运动规律。 当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为 v0 m v0 xmax k
第三篇 动力学
第三篇 动力学
在静力学中，我们研究了物体在力系作用下的平衡问题。在运 动学中，我们仅从几何的角度研究物体的运动规律，而未涉及物体 运动变化的原因。在动力学中，我们将研究物体运动的变化与其质 量、作用于其上的力之间的关系。可见动力学是理论力学的主体,静 力学只是动力学的特殊情况,运动学是为动力学作必要的准备。 动力学是在生产实践过程中形成和发展的，随着现代工业和科 学技术的发展，在机械、水利、建筑、采矿、化工、航空航天等工 程实际中，都需要应用动力学的基本理论。在土木工程中要解决动 力基础的隔振与减振，桥梁和水坝在动荷载作用下的振动及抗震， 高层建筑中出现的新问题等更离不开动力学的理论。我们在动力学 部分着重介绍质点及刚体的运动微分方程、动能定理、达朗贝尔原 理等三部分内容，为专业课的学习和今后的工作打好必要的理论基 础。
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 将刚体平动微分方程投影到固定的直角坐标轴上，得质心运动 定理的投影形式。
dvCx d 2 xC m aCx m m 2 X dt dt dvCy d 2 yC m aCy m m 2 Y dt dt dvCz d 2 zC m aCz m m 2 Z dt dt 式中：xC、 yC、 zC ——质心的直角坐标； vCx、 vCy、 vCz ， aCx、aCy、aCz ——质心的速度和加速度在直 角坐标轴上的投影； ΣX、ΣY、ΣZ ——作用于刚体上的外力在直角坐标轴上投影的 代数和。
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 FA = FB
FA FB sin W W a
g
故
a W (1 ) g FA FB 2 sin
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
7.2 刚体定轴转动微分方程
设刚体在外力作用下以角速度、角加速度 绕固定轴z转动，如图所示。考虑刚体内任意一 点M i，由运动学知其绕z轴作圆周运动。若该质 点的质量为mi ,它到转动轴z的距离为ri ，则它的 切向加速度为 airi· 根据弧左边形式的运动微分方程，列出质点 Mi在运动轨迹切向的微分方程 mi aiτ mi ri Fiτ 式中：—— Fi作用于该质点所有力的合力Fi在轨迹切向上的投影。 将上式两边同乘以ri，得
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第七章 质点与刚体的运动微分方程
第七章 质点与刚体的运动微分方程
本章在介绍动力学基本方程的基础上，给出质点及刚体平动、 定轴转动、平面运动的运动微分方程，并应用它们求解质点和刚体 动力学的两类基本问题。
7.1 质点运动微分方程
7.2 刚体定轴转动微分方程
7.3 转动惯量及其计算
7.4 刚体平面运动微分方程
两边积分 得
vdv
0
v
0
gl sin d
v2=2gl(cos -cos 0) 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 代入式（b）得 故 2mg(cos －cos 0)=F－mgcos F =3mgcos －2mgcos 0 Fmax=mg(3－2cos 0)
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
【例7.3】如图所示，单摆由长l的细绳和质量为m的小球悬挂于 O点构成。当细绳与铅垂线之间的夹角为θ0时，单摆由静止释放， 若不计空气阻力，求绳所受的最大拉力。
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
【解】 取小球为研究对象。小球受重力W 和绳的拉力F的作用。沿小球的轨迹（以O为 圆心、l为半径的圆弧）建立弧坐标，原点在铅 垂位置，正方向为由左向右。列出小球的运动 微分方程 dv ma τ m mg sin (a) dt v2 m an m F m g cos (b) l dv ds m mg sin 由式(a)得 ds dt vdv=－gsin ds=－glsin d 或
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
【例7.4】 如图所示，将重为W 的构件沿铅垂方向吊起，在开 始阶段的加速度为a，绳索与水平方向的夹角为，求绳索的张力。
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 【解】 构件可看作刚体，起吊 时沿铅垂方向向上作直线平移，可应 用质心运动定理求解。 取构件为研究对象，作用于构件 上的力有重力W，绳索在A，B 处的 拉力FA、FB，受力如图所示。 建立相对于地面静止的直角坐标系 Oxy,由质心运动定理可得 W aCx FA cos FB cos g W aCy FA sin FB sin W g 构件以加速度a沿y 轴正向作平移，可知aCx=0、aCy=a ，代入上 两式，得 目录