2020届高三数学上学期周练试题四文

合集下载

江西省(吉安一中、新余一中)等八所重点高中2020届高三5月联考数学(文)试题(扫描版)

2020 届江西省高三八校联考文科试卷
一、选择题
命题人：吉安一中新余一中
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
D
D
A
B
C
A
C
C
A
C
B
C
二、填空题
13 . (1,0) 或 (−1, −4)
14. 2
15. m ≤ 3
16. 4 3 3
【详解】10.C 解析：f (x) =
2sin2 x =
向右平移 π 个单位
当 a > 0 时, x ∈ R , f (x)min =f (ln a) =a − a(ln a + 1) =−a ⋅ ln a < 0 ,即 ln a > 0 ,解得 a > 1,
此时有
f
(−1)
=1 e
>
0,
f
(0)
=1− a
<
0 ,∴存在
x1
∈ (−1, 0) ,使得
f
( x1 )
=
0,
∵ y = ex − x − ln x − 1(x > 1) ,∴ y′ = ex − 1 − 1 在 (1, +∞) 上单调递增, x
2
2
4
又12 = x2 + y2 − 2xy cos1200 = x2 + y2 + xy ≥ 3xy ∴ xy ≤ 4,∴h ≤ 1
Vmax
=
1× 3
1 2
×2
3 × 4×1 = 4 3 3
17.【解析】（1）证明：取 PD 中点 G ，连接 GF,GC ．

2020届四川省泸州市泸县一中高三上学期开学考试数学(文)试卷及答案

2020届泸州市泸县一中高三上学期开学考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
第I卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数满足，是虚数单位则||=
A. 1
B.
C.
D. 2
3.已知等比数列满足，，则其前6项的和为
A. B. C. D.
4.依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.
以下关于该国2018年家庭收入的判断，一定正确的是
A. 至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入
B. 收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的
C. 收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
D. 收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
5.双曲线的焦距是
A. B. C. D.
6.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A. B. C.
D.
7.若向量,,则
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
A. B. C. D.
9.箱子里有大小相同且编号为1，2，3，4，5的五个球，现随机取出两个球，则这两个球编号之差的绝对值为3的概率是
A. B. C. D.
10.函数的图像大致是
A. B.
C. D.。

2020届湖北省荆州中学高三上学期第四次半月(双周)考数学(文)试题 PDF版

荆州中学2017级高三年级第四次考试数学（文）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B =（）A. {|12}x x <≤B. {|13}x x <<C. {|23}x x ≤<D. {|12}x x << 2.已知:(1)(2)0p x x --≤，2:log (1)1q x +≥，则p 是q 的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<4.已知()1in 32s πθπθ⎛-<=⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A.9B.3 C. 9D.95.设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（） A. 2B. 2-C. 2±D. 06.设函数()()3222f x x a x x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(1,3)处的切线方程为（）A. 25-=x yB. 2+=x yC. 58y x =-+D. 4+-=x y7将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A.43πB.3 C. D.6π 8.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增，则满足()()211f x f -<的x 取值范围是（） A. (1,0)- B. (0,1)C. (1,2)D. (1,1)-9.已知()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是（）A.B.C.D.10.下列四个结论：①命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<”的否定是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥”；②若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0α<时，幂函数y x α=在区间()0,+∞上单调递减. 其中正确的是（） A.①④B. ②③C. ①③D. ②④11.设P ，Q 分别为圆22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的动点，则P ，Q 两点间的最大距离是（）A. 246+ C. 27+ D. 2612.已知奇函数()()f x x R ∈的导函数是()f x '，当0x >时，()()03xf x f x '+>，且(2)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A. (,2)(0,2)-∞-B. (,2)(2,2)-∞--C.(2,0)(2,)-+∞ D. (0,2)(2,)+∞二．填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若[)0,x π∈，则满足sin 2x <的x 的取值范围为______________. 14.若2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f 等于．15已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________. 16设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是.三．解答题：共70分。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=，由回归方程过点(),x y ，故36.5y =，即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==，所以42,a =公差7493743a a d -===-，又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==，解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r，所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体，容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a，由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+，又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =，由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥；（Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ；（Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ．推出OD '⊥平面ABCO ．然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥．因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ．因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥．（Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ；因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点，所以//PM AB ，12PM AB =．因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ，所以122a OC CD ==．所以OC //AB ，12OC AB =．所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形，所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==，所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===，又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥，得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减；若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增；综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--，即：()1ln g a a a a a=--．要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减；当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=，设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>，由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅，可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅，即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。

上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题 (2)

一、单选题1. 已知集合，且，则集合可以是A．B．C．D．2. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（）A．B．C．D．3. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T .R .Malthus ，1766—1834)提出的模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港､澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（）(，)A ．14.30亿B ．15.20亿C ．14.62亿D ．15.72亿4. 用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为（）A ．10B ．20C ．30D ．405. “实数”是“方程”表示圆的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D ．7. 某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元；在机器使用期间，如上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题 (2)上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题 (2)二、多选题三、填空题四、解答题果备件不足再购买，则每个元.某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率A．B．C．D．8.已知集合，，则（）.A．B．C．D．9. 已知椭圆的离心率为，G为其上的一个动点，和为其左、右焦点；双曲线的两条渐近线与椭圆C 有四个交点，按逆时针方向顺次连接这四个交点得到的四边形的面积为16，则下列结论正确的为（）A ．椭圆C的方程为：B ．面积的最大值为C．的最大值为D ．若，则的最大值为10. 若实数a ，b 满足，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．11.已知向量满足，且，则（）A．B．C．D．12. 双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（）A ．外心的轨迹是一条直线B ．当变化时，外心的轨迹方程为C ．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上D ．若分别是中点，则的外接圆过定点13. 从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________．14. 函数在上的最小值是________.15.已知圆，直线与圆C 相交于M ，N两点，则______．16. 在中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若．（1）求内角B 的大小；（2）若，求面积的最大值．17. 设集合，、是的两个非空子集，且满足集合中的最大数不大于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.（1）求的值；（2）求的表达式.18. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．19. 已知函数.（1）当时，求的单调性；（2）若，且方程有两个不相等的实数根，求证：.20. 已知正项数列满足:,且.(1)证明数列是等差数列;(2)若,求数列的前项和.21. 某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．(1)每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？(2)现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．。

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<，集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论：（1）焦距长约为300公里；（2）长轴长约为3988公里；（3）两焦点坐标约为()150,0±；（4）离心率约为75994．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=，所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误．故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=，所以()3sin 2sin sin C A C A -+=，而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得1cos 2C =-．故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值，因为2z x y =+的最大值大于17，所以2217m m ++>，解得5m >．故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=，则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p．故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立，即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==，因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-，所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π．故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π．其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解：如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++，则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小，如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=．故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________．答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________．答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =．故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ，易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =，所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________．答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=，记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=，当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →．因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，所以方程ln 4xa x=有两个不同的解，即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点，故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=．（2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立，又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--，因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=，由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”，设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”，则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值；（2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=，所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-．点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥．答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅．所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

黑龙江省哈三中2020届高三第四次模拟数学(文)试题

1 的解集为
x
1
x
1
.
3
(1) 若存在 x , 使 f (x) 3x 1 a 成立, 求实数 a 的取值范围;
(2) 如果对于 x, y 满足 2x y 1 4 , 7 y 1 , 求证: f (x) 9 . 3
数学试卷（文史类）第 8页共 8 页
4 sin ,若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点.
(1) 若 P( 3,0) ，求 PA PB ;
(2) 若点 M 是曲线 C 上不同于 A, B 的动点，求 MAB 面积的最大值.
23. （本小题满分 10 分）[4-5 不等式选讲]
已知函数 f (x) 3x k ,
f
(x)
已知在递增等差数列 an 中, a1 1 , a3 是 a1 和 a9 的等比中项.
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2)
若 bn
2an
1 an an1
，求数列
bn
的前 n 项和 Sn .
18. （本小题满分 12 分）
如图 , 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 , 平面 PAD 平面 ABCD , PA PD 2 , 且 PA PD , 点 N 为 BC 中点. (1) 证明：平面 PAB 平面 PCD ; (2) 若直线 PB 和平面 PAD 所成的角为 45 ，求直线 PN 与平面 PCD 所成角的正弦
2020 年高三学年第四次高考模拟考试
数学试卷（文史类）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签

2020届江苏南京市、盐城市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数学理试题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝．答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝．答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是命题（填“真”或“假”）．答案：真考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为．答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是．答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为．答案：考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，±)，所以OP＝8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为．答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝．答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为．答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2，∴sin ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC 的值为．考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222 cos BAC3b c bbc c-∠==，得3b c=，从而3cos BAC∠=．12．若无穷数列{}cos()nω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为．答案：10考点：等差数列解析：若等差数列公差为d，则cos()cos(1)n d nωω=+-，若d＞0，则当1cos1ndω->+时，cos()1nω>，若d＜0，则当1cos1ndω-->+时，cos()1nω<-，∴d＝0，可得cos2cosωω=，解得cos1ω=或1cos2ω=-（舍去），∴其前10项的和为10．13．已知集合P＝{}()16x y x x y y+=，，集合Q＝{}12()x y kx b y kx b+≤≤+，，若P⊆Q，则1221b bk-+的最小值为．答案：4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x=-，所以k＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以1b=，2y kx b=+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．14．若对任意实数x∈(-∞，1]，都有2121xex ax≤-+成立，则实数a的值为．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e -+≥成立，令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e -≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾．当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e ++=+=1≥．接下来令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ．解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019mn b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．解：20．（本题满分16分）若函数()x xf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值．解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值．解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)n i n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立．解：。

2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学(文)试题(解析版)

2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|213A x x =-+≤，{}|ln 1B x x =≤，则A B =I （） A ．(]1,e - B ．(]1,1-C ．()1,0-D ．(]0,e【答案】D【解析】先分别求出集合,A B ，由此能求出A B I . 【详解】{}{}2131A x x x x =-+<=>-，{}{}ln 10B x x x x e =≤=<≤，则{}0A B x x e ⋂=<≤，故选：D. 【点睛】本题考查交集的求法，考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识，属于基础题.2．已知复数z 满足(2+i) z=3-i ，其中i 为虚数单位，则|z|=（）A ．1 BC ．32D ．23【答案】B【解析】用复数除法的运算法则化简复数z 的表示，再根据复数模的定义求出模的大小. 【详解】因为3(3)(2)12(2)(2)i i i z i i i i --⋅-===-++⋅-，所以z ==故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的定义，考查了数学运算能力. 3．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占1 2C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差【答案】C【解析】通过图象的变换可以判断出选项A的正确性，通过所给的表可以统计出中度污染及以上的天数，这样可以判断选项B的正确性，根据表中所提供的数据可以判断出中位数的大小，这样可以判断出选项C的正确性，通过表中所提供的数据可以判断出选项D的正确性.【详解】由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B错误，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，D错误.根据表中所提供的数据可以判断出中位数略高于100，所以C正确.故选：C【点睛】本题考查了识图和识表的能力，考查了中位数的概念，考查了数据分析能力.4．若,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，42sin 29θ=，则cos θ=（） A ．13B ．23C ．223D ．89【答案】A【解析】由同角三角函数的基本关系直接可得结论. 【详解】由,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭得2,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，27cos 21sin 29θθ=-=-，所以1cos 21cos 23θθ+== 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.5．若实数x ，y 满足10220220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则32z x y =+的最大值为（）A ．-3B ．-2C ．2D ．6【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【详解】画出可行域，将目标函数化为322z y x =-+，由图可知，目标函数经过点()2,0A 时取得最大值，所以32z x y =+的最大值为6z =.故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 6．函数()22sin cos 23sin cos x x x x x f =-+的最小值为（）A ．-2B ．3-C ．2-D ．-1【答案】A【解析】由二倍角公式以及两角差的正弦公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可得到结论. 【详解】因为()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为2-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()y f x =的图象如下图所示，则函数()1y f x =--的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象与函数()1y f x =--关于原点对称，再平移即可得到结论. 【详解】因为()1y f x =--的图象可以由()y f x =的图象先关于原点对称，再向上平移一个单位得到. 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象得对称变换，属于基础题. 8．执行如下所示的程序框图，则输出的a =（）A ．2B ．1C ．-1D ．12【答案】D【解析】由初始条件进入循环体，求出每一次a 的值，可以发现规律，最后求出答案. 【详解】11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =. 故选：D 【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力. 9．已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5.若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为（） A ．92π B ．9π C ．323πD ．12π【答案】A【解析】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积. 【详解】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r =⋅=++⋅V ，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为92π. 故选：A 【点睛】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，E 为棱CD 的中点，则（）A ．11A E DD ⊥B ．1A E DB ⊥C ．111A ED C ⊥ D ．11AE DB ⊥【答案】B【解析】由已知可得ABD ∆与DAE ∆相似，进而可得BD ⊥平面1A AE ，从而可得1A E DB ⊥.【详解】连结AE ，BD ，因为AB =，所以AB ADAD DE==，所以ABD ∆与DAE ∆相似，所以DAE ABD ∠=∠，所以90EAB ABD ∠+∠=︒，即：AE BD ⊥，所以BD ⊥平面1A AE ，所以1A E DB ⊥.故选：B. 【点睛】本题考查简单几何体，线面垂直得线线垂直，属于基础题.11．设1a ≥，则双曲线22214x y a a -=+离心率的取值范围为（）A ．[)5,+∞B ．[)6,+∞C．)+∞ D．)+∞【答案】C【解析】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，从而可得离心率的取值范围. 【详解】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，又1a ≥411415a a ∴++≥=+=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为)+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.12．设函数2()2,0()4,0x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,2]- B ．[1,0]-C ．[1,2]D ．[0,2]【答案】D【解析】利用基本不等式可以求出当0x >时，函数的最小值，再用分类讨论方法求出0x ≤时，函数的最小值，最后根据题意得到不等式，解这个不等式即可.【详解】当0x >时，44x a a a x ++≥=+(当且仅当4x x =时取等号，即2x =时取等号)；当0x ≤时，若0a ≥，函数的最小值为2(0)2f a =+；若0a <，函数的最小值为()2f a =，由题意可知：(0)f 是函数()f x 的最小值，所以有2(0)2412002f a a a a a =+≤+⇒-≤≤≥∴≤≤Q .选D. 【点睛】本题考查了已知分段函数的最小值求参数取值范围，考查了分类讨论思想，考查了数学运算思想.二、填空题13．已知()1,3a =-r ，()2,1b =r ，若向量a b +r r 与a mb +r r垂直，则m =______.【答案】94-【解析】根据两向量垂直，数量积为0，列方程解得即可. 【详解】因为()3,2a b +=-r r ，()12,3a mb m m +=+-+r r，由已知可得：()()312230m m +--+=，解得：94m =-.故答案为：94-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，属于基础题．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =，1b =，60A =︒，则c =______. 【答案】4【解析】由已知利用余弦定理即可得到c 的值. 【详解】因为a =，1b =，60A =︒，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2120c c --=，所以4c =．故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.15．已知点()3,4A 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若以12F F 为直径的圆经过点A ，则双曲线C 的离心率为______.【解析】由已知可直接得到5c =，a =.【详解】由已知得12AF AF ⊥，所以12210F F AO ==，所以5c =，2a=，所以a =所以双曲线C 的离心率e =【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.16．已知函数1()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则实数a 的取值范围为______. 【答案】514a <<【解析】要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a=-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），利用方程的思想最后求出实数a 的取值范围. 【详解】解析：要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），当直线14y x a =-+与1y x =相切时，即11+4x a x =-，所以211+4x ax =-,所以=0∆，所以1a =，（1-舍去），当直线14y x a =-+过点1,1（）时，54a =，所以514a <<.【点睛】本题考查了方程有实根求参数的取值范围，考查了推理认证能力，考查了数学运算能力.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T .【答案】（1）43n a n =-（2）4037【解析】（1）由已知可直接求得14d a =，又41133a a d ==+，进而可得11a =，4d =，即可得到结论；（2）由（1）得()()1143n n b n +=--，利用分组求和法即可得到结论.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，7a 成等比数列，所以2217a a a =，可得()()21116a d a a d +=+，0d ≠，得14d a =，又41133a a d ==+，可得11a =，4d =，所以43n a n =-. （2）()()()111143n n n n b a n ++=-=--，2019122019T b b b =++⋅⋅⋅+()()()15913806580698073=-+-+⋅⋅⋅+-+()4100980734037=-⨯+=.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，以及数列前n 项和的求法，属于基础题.18．【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在[]20,60内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如表：（1）为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该商场预计有12000人购物，试根据上述数据估计，该商场当天应准备多少个环保购物袋？（2）某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式抽取7人作跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率. 【答案】(1)7000个；(2) 17. 【解析】试题分析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为712，据此估计该商场要准备环保购物袋712000700012⨯= 个；（2）按年龄分层抽样时，抽样比例为15:1，所以应从[)20,30内抽取3人，从[)30,40内抽取2人，从[)40,50内抽取1人，从[)50,60内抽取1人.列出所有可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率为17. 试题解析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为105718012=，若当天该商场有12000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋712000700012⨯= 个；（2）按年龄分层抽样时，抽样比例为4530151515:17+++=，所以应从[)20,30内抽取3人，从[)30,40内抽取2人，从[)40,50内抽取1人，从[)50,60内抽取1人. 记选出年龄在[)20,30的3人为,,A B C ，其他4人为,,,a b c d ，7个人中选取2 人赠送额外礼品，有以下情况：,,,,,AB AC Aa Ab Ac Ad ， ,,,,BC Ba Bb Bc Bd ， ,,,Ca Cb Cc Cd ， ,,ab ac ad ，,bc bd ，cd .共有21种不同的情况，其中获得额外礼品的2人都在[)20,30的情况有3种，所以，获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率为31=217. 19．如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求直线CQ 与平面APBQ 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析（22【解析】（1）易证BC ⊥平面APBQ ，进而可得⊥AP BC ，由BG ⊥平面APC ，得AP BG ⊥，从此即可得证；（2）由等体积法分析得当PA PB ⋅最大时，三棱锥P ABC -体积最大，此时2BQ PA ==【详解】（1）因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ I 平面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以⊥AP BC ，因为BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面PAC ，所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，,BC BG ⊂平面PBC ，所以AP ⊥平面PBC ，因为AP ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBC ．（2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值．令PA m =，PB n =，由（1）知，PA PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n == 即2PA PB ==()a 2m x21123323P ABC n V mn m -+=≤⋅=，因为四边形APBQ 为平行四边形，所以2BQ PA ==因为BC ⊥平面APBQ ，所以直线CQ 与平面APBQ 所成角的正切值为tan 2CQB ∠=【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，等体积法的转化，线面角的求法，属于中档题. 20．过点(0,2）的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)在y 轴上是否存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠？并说明理由. 【答案】(1)22x y =；(2)存在,理由见解析【解析】(1)设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合OA OB ⊥可以求出抛物线的方程；(2)假设存在，根据二个角相等可以转化为两条直线的斜率互为相反数，根据斜率的公式，结合根与系数的关系可以求出在y 轴上存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠. 【详解】解：(1)设直线l ：2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则联立222y kx x py=+⎧⎨=⎩得2240x pkx p --=，则1212=2=4x x pk x x p+⎧⎨-⎩，所以()()()212121212=22+244y y kx kx k x x k x x ++=++=，所以1212440OA OB OA OB x x y y p ⊥⇔⋅=+=-+=u u u r u u u r，1p =，所以抛物线C 的方程为22x y =．(2)假设存在满足条件的点()0,M t ,设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由（1）知1212=2=4x x kx x +⎧⎨-⎩，若OMA OMB ∠=∠，则0MA MB k k +=，()()()()122112211212121222y t x y t x kx t x kx t x y t y t x x x x x x -+-+-++---+== ()()()()121212228222042kx x t x x k t kt kx x +-+-+-+====-，所以存在()0,2M -满足条件．【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程，考查了利用直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的应用，考查了抛物线中定点问题，考查了数学运算能力. 21．已知函数()ln f x x x =-. （1）求()f x 的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【答案】（1）()f x 的最小值为1（2）证明见解析【解析】（1）利用()f x 的导函数即可得到结论.（2）利用（1）的结论，推出ln 1x x ≤-，进而利用放缩法对2211ln 111k k⎛⎫+≤+- ⎪⎝⎭放缩，得2111ln 11k k k⎛⎫+≤- ⎪-⎝⎭，即可得到结论. 【详解】解：（1）()111x f x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()'0f x <，故()f x 在()0,1单调递减；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在()1,+∞单调递增；故()()11f x f ≥=，故()f x 的最小值为1.（2）由（1）可得，()ln 1f x x x =-≥即ln 1x x ≤-，所以()2211111ln 111k k k k k k⎛⎫+≤<=- ⎪--⎝⎭，*k N ∈且2k ≥，则222111111111ln 1ln 1ln 12312231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，即2221111ln 1111123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，即22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查函数的导数以及最大值的求法，放缩法证明不等式的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，0απ<<)，抛物线C 的普通方程为22y x =.(1)求抛物线C 的准线的极坐标方程；(2)设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的最小值及此时α的值. 【答案】(1)1cos 2ρθ=-； (2)当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2【解析】(1)利用极坐标与直角坐标转化公式求出抛物线C 的准线的极坐标方程； (2) 将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程中，利用参数的意义结合一元二次方程根与系数的关系求出||AB 的最小值及此时α的值. 【详解】解:(1)依题意可得，抛物线C 的准线的普通方程为12x =-，化为极坐标方程即是1cos 2ρθ=-. (2)将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程22y x =，化简整理得，22sin 2cos 10t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ,则有1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-，所以1222sin AB t t α=-==，因为0απ<<，所以，20sin 1α<≤，222sin α≥，即2AB ≥，当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2.【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了利用参数的意义求弦长问题，考查了数学运算能力.23．已知()|4||8|f x ax ax =--+. (1)当2a =时，解不等式()2f x <； (2)求()f x 的最大值【答案】(1)32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；(2)12【解析】(1)利用零点法化简函数的解析式，然后分类求解即可； (2)利用绝对值的性质可以直接求解出函数的最大值. 【详解】解(1)当2a =时,12(4)()44(42)12(2)x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩当4x <-时，不等式不成立；当42x -≤≤时，解得322x -<≤；当2x >时，不等式恒成立.综上，不等式()2f x <的解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.(2)因为()48f x ax ax =--+(4)(8)12ax ax ≤--+=,当且仅当80ax +≤时取到等号，所以()f x 的最大值为12. 【点睛】本题考查了利用零点法解绝对值不等式，考查了利用绝对值的性质求函数的最大值问题，考查了数学运算能力.。

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。

2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。

13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。

1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。

16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。

证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。

17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。

1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。

若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。

18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。

现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。

江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题含附加题(解析版)

江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且AB ＝{m }，则实数m 的值为．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为．3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为天．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为．第4题第5题6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为．7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝324AC ，则tanB 的值为．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q＝2(, )x x y y⎧+⎪≥⎨⎪⎩，则PQ 表示的曲线的长度为．12．若函数2e , 0()e 1, 0xm x f x x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是．13．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点，若AB AD ⋅＝90，则AB AE ⋅的值是．14．若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝l ，则7x 2﹣4xy ＋4y 2的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)．（1）求()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PC ⊥BC ，点E 是PC 的中点，且平面 PBC ⊥平面ABCD ．求证：（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O 的道路l 1，l 2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C 到l 1，l 2的距离相等，点C 到点O 的距离约为 10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC 上取一点P ，新建一条道路OP ，并过点P 新建两条与圆C 相切的道路PM ，PN （M ，N 为切点），同时过点P 新建一条与OP 垂直的道路AB （A ，B 分别在l 1，l 2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列．（1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ；（2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-．（1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ；（2）求k T ．江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，则实数m 的值为．答案：﹣1考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，∴实数m 的值为﹣1．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为．考点：复数解析：1010(3)33(3)(3)i z i z i i i -===-⇒=++- 3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为．答案：34考点：随机事件的概率解析：34P =． 4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为天．答案：12考点：频率分布直方图解析：(0.0030.005)503012+⨯⨯=．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为．答案：4考点：程序框图解析：第一次：S ＝3，k ＝2；第二次：S ＝9，k ＝3；第三次：S ＝18，k ＝4；∵18＞16，故输出的k 的值为4．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为．考点：双曲线的简单性质解析：根据渐近线可判断2ba=，从而224b a =，由22225c b a a =+=，即25e =，e =7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为．答案：8考点：棱柱棱锥的体积解析：11111111111111113P BCC B A BCC B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C V V V V V V ------==-=-1112212833ABC A B C V -==⨯=． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．答案：充分不必要考点：充要性解析：当ω＝2，526126x πππωπ+=⨯+=，故此时()f x 的图象关于点(512π，0)对称，而当()f x 的图象关于点(512π，0)对称，则5126k ππωπ⨯+=，1225k ω-=，k ∈Z ，故“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的充分不必要条件． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝32AC ，则tanB 的值为．答案：2考点：正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式解析：由AB ＝32AC ，得3232sin sin sin()sin 4C B B B π=⇒+=，2232cos sin sin 224B B B +=，化简得2cos sin B B =，所以tanB 的值为2．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为．答案：299考点：数列的求和方法解析：9910022(2199)a =⨯+，10011001242[(13)(57)(197199)]S -=+++++-++-+++-+10021100=-+∴10010010010022398(21100)299a S -=+--+=．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q ＝2(, )15x x y y ⎧⎫+⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩，则P Q 表示的曲线的长度为．答案：23π考点：直线与圆解析：222240(2)4x y x x y +-=⇒-+=，222xxyyx≥-+≥≤=⎪<-⎪⎩，作出两曲线图像如下：此时P Q表示的曲线长度为图中半圆去掉劣弧AB部分，20x--=与圆心的距离1d==，且r＝2，∴∠ACB＝120°，∴曲线长度为：1202243603πππ︒-⨯=︒．12．若函数2e,0()e1,0xm xf xx x⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是．答案：2e1+考点：函数与方程解析：题目可转化为函数2e1y x=+与e xy m=+图像在第一象限内有两个交点，22e1e e1ex xx m m x+=+⇒=+-，令2222 ()e1e()e e()(2)e1e1x xg x x g x g x g m'=+-⇒=-⇒≤=+⇒≤+∴实数m的最大值是2e1+．13．在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若AB AD⋅＝90，则AB AE⋅的值是．答案：1752考点：平面向量的数量积解析：由角平分线定理可知323255AC CDAD AC ABAB BD==⇒=+2233290()755555AB AD AB AC AB AB AC AB AC AB⋅=⇒⋅+=+⋅⇒⋅=2111175()2222AB AE AB AB AC AB AB AC⋅=⋅+=+⋅=．14．若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝l，则7x2﹣4xy＋4y2的最小值是．答案：38考点：不等式解析：222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++，当x ＝0，原式的值为47，当x ≠0，令222744(74)(44)470447y t t t m m t m t m x t t-+=⇒=⇒-+++-=++ 2438(44)4(74)(47)0783m m m m m ≠⇒∆=+---≥⇒≤≤．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)．（1）求()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值．解：（1）因为()f x 的最小值是﹣2，所以M ＝2．因为()f x 的最小正周期是2π，所以ω＝1，又由()f x 的图象经过点(3π，1)，可得()13f π=，1sin()32πϕ+=，所以236k ππϕπ+=+或526k ππ+，k ∈Z ，又0＜ϕ＜π，所以2πϕ=，故()2sin()2f x x π=+，即()2cos f x x =．（2）由（1）知()2cos f x x =，又8(A)5f =，10(B)13f =，故82cos 5A =，102cos 13B =，即4cos 5A =，5cos 13B =，又因为△ABC 中，A ，B ∈(0，π)，所以3sin 5A ===，12sin 13B ===，所以cosC ＝cos[π﹣(A ＋B)]＝﹣cos(A ＋B)＝﹣(cosAcosB ﹣sin AsinB)＝4531216 () 51351365 -⨯-⨯=．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．求证：（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．证明：（1）设AC BD＝O，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以AP//OE，又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP//平面BDE．（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，平面PBC平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥平面ABCD又BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，AC PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．17．（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）解：连接CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ， OP ＝OC ﹣PC ＝10﹣1cos θ，AB ＝2OP ＝20﹣2cos θ，设新建的道路长度之和为()f θ，则3()2tan 30cos f PM PN AB OP θθθ=+++=-+ 由1＜PC ≤10得110≤θ＜1，设01cos 10θ=，0θ∈(0，2π)，则θ∈(0，0θ]，0sin 10θ=，0223cos ()cos f θθθ-'=，令0()0f θ'=得2sin 3θ= 设12sin θ=，1θ∈(0，0θ]，θ，0()f θ'，()f θ的情况如下表：由表可知1θθ=时()f θ有最大值，此时2sin 3θ=，cos 3θ=，tan θ=，()30f θ=答：新建道路长度之和的最大值为30- 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形，由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =，由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=，设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=----，化简可得122228715k k k k +==+，解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=，当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k --++==++++4225≥=-，当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号．综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-． 19．（本小题满分16分）如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列．（1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ；（2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由．解：（1）由数列{}n a 是P(1)数列得6231a a a ==，12263a a a ==，可得313a =；（2）由{}n b 是P(2)数列知2mn m n b b b =恒成立，取m ＝1得12n n b b b =恒成立，当10b =，0n b =时满足题意，此时0n b =，当10b ≠时，由2112b b =可得112b =，取m ＝n ＝2得2422b b =，设公差为d ，则21132()22d d +=+解得0d =或者12d =，综上，0n b =或12n b =或2n nb =，经检验均合题意．（3）假设存在满足条件的P(k )数列{}n c ，不妨设该等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q ，则有2020202020202020202020202020202020202020c kc c c qkc c ⋅-⋅=⇒⋅=⋅，可得2020202020202020qkc ⋅-=①2020202120202020202120202021202020202020c kc c c q kc c q ⋅-⋅=⇒⋅=⋅⋅，可得2020202120212020qkc ⋅-=②综上①②可得q ＝1，故202020202020c c ⋅=，代入2020202020202020c kc c ⋅=得20201c k=，则当n ≥2020时1n c k=，又20201202011c kc c c k=⋅⇒=，当1＜n ＜2020时，不妨设2020in ≥，i N *∈且i 为奇数，由，而1i n c k =，所以11()i i n k c k -=，1()()ii n c k =，1n c k=，综上，满足条件的P(k )数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-．（1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．解：（1）当a ＝0时，3()3ln f x x x =-+，所以31()3()x f x x-'= 由()0f x '=得x ＝1，当x ∈(0，1)时，()f x '＜0；当x ∈(1，+∞)时，()f x '＞0，所以函数()f x 的单调增区间为(1，+∞)．（2）由题意得23(1)2()[(1)1]3x af x x x x -'=+++，令22()(1)13a g x x x =+++(x ＞0)，则3(1)()()x f x g x x-'=，当213a +≥0即32a ≥-时，()g x ＞0恒成立，得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点；当22(1)403a ∆=+-<即9322a -<<时，此时()g x ＞0恒成立，()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点；当22(1)403a ∆=+-=即92a =-或32a =时，易得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点；当22(1)403a ∆=+->时，解得92a <-或32a >（舍），当92a <-时，设()g x 的两个零点为1x ，2x ，所以1x 2x ＝1，不妨设0＜1x ＜2x ，又2(1)303a g =+<，所以0＜1x ＜1＜2x ，故123()()(1)()f x x x x x x x'=---，当x ∈(0，1x )时，()f x '＜0；当x ∈(1x ，1)时，()f x '＞0；当x ∈(1，2x )时，()f x '＜0；当x ∈(2x ，+∞)时，()f x '＞0；∴()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；所以x ＝1是函数()f x 极大值点，综上所述92a <-．（3）①由（2）知当92a ≥-时，函数()f x 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数()f x 至多有两个零点，欲使()f x 有两个零点，需(1)10f a =-<，得1a >，此时32()3ln 23ln 2f x x x ax ax x ax =-++->--，1()3ln 2f a a>-，当a ＞e 时，1()0f a>，此时函数()f x 在(0，1)上恰有1个零点；又当x ＞2时，33()3ln (2)3ln f x x x ax x x x =-++->-+，由（1）知3()3ln x x x ϕ=-+在(1，+∞)上单调递增，所以3()30f e e >-+>，故此时函数()f x 在(1，+∞)恰有1个零点；由此可知当a ＞e 时，函数()f x 有两个零点． ②当92a <-时，由（2）知()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；而0＜1x ＜1，所以311111()3ln (2)0f x x x ax x =-++->，此时函数()f x 也至多有两个零点综上①②所述，函数()f x 的零点个数m 的最大值为2．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．解：由题意知 2113 111a A b α⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2313a b +=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以矩阵A 的特征多项式21 2()(1)42 1f λλλλ--==----，由()0f λ=，解得3λ=或1λ=-，当1λ=-时，220220x y x y --=⎧⎨--=⎩，令x ＝1，则y ＝﹣1，所以矩阵A 的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y - m = 0 ，又曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=，所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2⋅ 2-m ＝0，解得m ＝5． C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．解：由柯西不等式有2222222(112)()(2)1x y z x y z ++++≥++=，所以22216x y z ++≥(当且仅当112x y z ==即16x y ==，13z =时取等号)，所以222x y z ++的最小值是16．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．解：（1）当直线l 与x 轴垂直时AB的长为P(2，0)，取A(2，)，所以222p =⋅，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．（2）由题意知1122APF A A S FP y y ==△，12BPO B B S OP y y ==△，因APF BPO S S =△△，所以2A B y y =当0AB k =时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以0AB k ≠，故设直线AB 的方程为2x my =+，代入抛物线方程得2480y my --=，所以4A B y y m +=，8A B y y =-，当0A y >，0B y <时，2A B y y =-，228By -=-，所以2B y =-，214B B y x ==，所以2PB k =，直线AB 的方程为240x y --=，当0A y <，0B y >时，同理可得直线AB 的方程为240x y --=，综上所述，直线AB 的方程为240x y --=．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ；（2）求k T ．解：（1）当2k =时，1r =，由212(12)111a a -==-+，得21a =-，20S =，当3k =时，1r =或2，由212(13)211a a -==-+，得22a =-，由322(23)2213a a -==-+，得343a =，313S =．（2）因12()1r r a r k a r +-=+，由累乘法得321122(1)2(2)2()231r r a a a k k r k a a a r +---⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+，所以1(1)(2)()!(2)(2)231(1)!(1)!rr r k k k r k a r k r k r +---=-⋅⋅⋅=-++--，所以1111(2)2r r r k a C k+++=--，当0r =时，11a =也适合1111(2)2r r r k a C k+++=--，所以11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k =-+-++--，即0011221[(2)(2)(2)(2)1]2k k k k k k k S C C C C k =-+-+-++---，所以11[(12)1][1(1)]22k k k S k k=--=---．。

2020届百师联盟高三练习题四(全国Ⅰ卷)数学(文)试题(解析版)

2020届百师联盟高三练习题四（全国Ⅰ卷）数学（文）试题一、单选题 1．已知复数53iz i=+，则z =（） A ．1322i -+ B ．1322i -- C ．1322i + D ．1322i - 【答案】D【解析】根据复数运算法则求出1322z i =+，即可得到其共轭复数. 【详解】因为55(3)133(3)(3)22i i i z i i i i -===+++-，所以1322z i =-. 故选：D 【点睛】此题考查复数的基本运算和复数概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则准确计算.2．保险公司新推出A ，B ，C 三款不同的储蓄型保险，已知购买这三款保险的人数分别为600、400、300，公司为增加投保人数，现采用分层抽样的方法抽取26人进行红包奖励，则从购买C 款保险的人中抽取的人数为（） A ．6 B ．8C ．10D ．12【答案】A【解析】根据分层抽样方式计算抽样比即可得到从购买C 款保险的人中抽取的人数. 【详解】由分层抽样得购买C 款保险的人中抽取的人数为300266600400300⨯=++.故选：A 【点睛】此题考查分层抽样，关键在于根据题意准确识别抽样比，计算样本中抽出的样本个数. 3．若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}【答案】B【解析】解方程组得3x y =⎧⎨=⎩，即可得到集合.【详解】由263x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩所以{(3,0)}A =.故选：B 【点睛】此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式.4．新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A 级，则该校学生物理成绩达到A 级的人数是（）A ．600B ．300C ．60D ．30【答案】B【解析】根据频率分布直方图计算出获得A 级的频率，根据总人数即可得到获得A 级的人数. 【详解】根据频率分布直方图得，该校学生获得A 级的频率是0.015(10090)0.15⨯-=，所以该校学生物理成绩达到A 级的人数是20000.15300⨯=. 故选：B 【点睛】此题考查频率分布直方图，根据直方图求解指定组的频率，结合总人数计算频数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法. 5．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为3π的扇形，则该圆锥的侧面积为（）A ．πB ．2πC ．6πD ．12π【答案】D【解析】根据圆锥侧面展开图求得底面圆半径和母线长，根据侧面积公式即可求得侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则圆锥的侧面展开图的弧长为2r π，则由23l r ππ⋅=，所以6l r =，圆锥的表面积是14π，即2614r r r πππ+⋅=，解得22r =，所以侧面积2612S r ππ==. 故选：D 【点睛】此题考查圆锥表面积相关计算，根据表面积求解底面圆半径和圆锥母线长，关键在于熟练掌握扇形相关计算.6．已知凸四边形ABCD 的面积为S ，点P 是四边形内部任意一点，若点P 到四条边AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，且满足1234AB BC CD DA k ====，利用分割法可得12342234Sd d d d k+++=；类比以上性质，体积为V 的三棱锥P ABC -，点Q 是三棱锥内部任意一点，Q 到平面PAB ，PBC ，PAC ，ABC 的距离分别为1D ，2D ，3D ，4D ，若1234PAB PBC PAC ABCS S S S K ====△△△△，则1234234D D D D +++=（） A ．VKB ．2V KC ．3V KD ．4V K【答案】C【解析】对三棱锥进行切割，根据三棱锥的体积公式，利用等体积法即可得解. 【详解】根据三棱锥的体积公式13V sh =，得123411113333PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△，即12343PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△，所以12343234V D D D D K+++=. 故选：C 【点睛】此题考查类比推理，根据平面四边形面积关系类比空间几何体体积关系，关键在于熟练掌握体积公式，准确推导.7．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，C 的上顶点A 在圆22(2)(1)4x y -+-=上，若1223F AF π∠=，则椭圆C 的标准方程为（） A ．2212x y +=B ．22143x y +=C ．2214x y +=D ．2213x y +=【答案】C【解析】求出A 点坐标，结合1223F AF π∠=求解椭圆的基本量即可得到标准方程. 【详解】圆的方程中令0x =得1y =，所以1b =，所以1223F AF π∠=，13F AO π∠=，在直角1AFO △中解得2a =，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 故选：C 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据题意准确进行基本量的运算，关键在于熟练掌握椭圆的几何特征.8．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A ．612π+B ．1036π+C ．536π+D ．618π+【答案】B【解析】根据三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用柱体表面积公式求解.【详解】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，353334461036S πππ=⨯+⨯+⨯++=+.故选：B 【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图的特征，还原几何体，利用表面积公式求解.9．执行如图所示的程序框图，则输出的a =（）A ．32-B ．13-C ．2D ．2-【答案】A【解析】根据循环程序框图，一次循环后，可知本题循环程序是求一个以3为周期的数列：2，13-，32-，2，13-，32-…，所以当2019i =时，输出结果，根据周期性，即可得出结果. 【详解】解：根据程序框图，执行程序得：2,1a i ==，否，11,2213a i =-=-=+，否， 13,31213a i =-=-=-+，否， 12,4312a i =-==-+，否， 11,5213a i =-=-=+，否，13,61213a i =-=-=-+，否， L可知本题循环程序是一个以3为周期的数列：2，13-，32-，2，13-，32-…，当2019i =时，输出结果，则20193673÷=，即循环673个周期，所以输出结果为32-．故选：A. 【点睛】本题考查由循环程序框图计算输出结果，理解循环结构框图是关键. 10．已知函数2*3()sincos3sin ,[1,],666xxxf x x a a πππ=-+∈-∈N ，若函数()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，则a 的最小值为（）A ．7B ．9C ．11D ．12【答案】A【解析】化简函数()sin 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数性质，结合图象求解.【详解】函数2313()sincos3sin sin cos sin 6632232333xxxx x f x x πππππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为263T ππ==，又()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，即函数()f x 在[1,]a -上至少存在两个最大值，如图(1)7.54Ta T --+=…， 6.5a …，所以正整数a 的最小值为7.故选：A 【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解.11．函数2()(1)2(0,0)f x a x bx a b =++->>在点(1,(1))P f 处的切线斜率为4，则8a bab+的最小值为（） A ．10 B ．9C ．8D ．32【答案】B【解析】根据切线斜率为4，利用导函数求得22a b +=，利用基本不等式即可求解最值. 【详解】()2(1)f x a x b '=++，(1)224f a b '=++=，所以22a b +=.则881181116116(2)102109222a b a b a ba b ab b a b a b a b a ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++=++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….当且仅当13a =，43b =时，等号成立.故选：B 【点睛】此题考查基本不等式求最值，根据导数的几何意义结合切线斜率为4得到22a b +=，关键在于熟练掌握基本不等式求最值的基本方法，需要注意考虑等号成立的条件. 12．已知数列{}n a 满足1*43,N n n a n -=⨯∈，现将该数列按如图规律排成一个数阵（如图所示第i 行有i 个数），设n S 为该数阵的前n 项和，则满足2020n S >时，n 的最小值为（）A ．20B ．21C ．26D ．27【答案】B【解析】根据等比数列求和公式可得第n 行的和232nn T =⨯-，分析前六行所有项之和及第六行第6个数即可得解. 【详解】由题可知第n 行的和4(13)23213nn n T -==⨯--，前5行共1234515++++=个数，前5行所有项的和为()()2515(232)232232S =⨯-+⨯-++⨯-L ()252333102020=⨯+++-<L ，不满足题意，前6行共12345621+++++=个数，前6行所有项的和为()()2621(232)232232S =⨯-+⨯-++⨯-L ()2623331221722020=⨯+++-=>L ，满足题意，而第6行第6个数为543972⨯=，21729722020-<，所以满足2020n S >时，n 的最小值为21. 故选：B 【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于熟练掌握等比数列求和公式的应用，根据题意分析临界情况求解.二、填空题13．已知向量(3,2)a m =-r ，(1,1)b =-r ，若//a b r r，则|2|a b -=r r _________.【答案】32【解析】根据向量平行求得1m =，求出2(3,3)a b -=-r r，即可得到模长.【详解】由向量//a b r r可得32m -=-，所以1m =，则22(2,2)(1,1)(3,3)a b -=⨯---=-r r ，即|2|32a b -=r r故答案为：32【点睛】此题考查向量平行的坐标表示，根据向量平行求参数的取值，根据向量的坐标表示求解模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算.14．哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出了著名的哥德巴赫猜想，其内容是“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和”，如1037=+.在大于10且小于30的所有质数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率为__________. 【答案】215【解析】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29，列举出所有满足题意的情况，根据古典概型求解. 【详解】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29，通过列举可知任选两个数{}{}{}{}{}{}{}11,13,11,17,11,19,11,23,11,29,13,17,13,19,{}{}{}{}{}{}{}{}13,23,13,29,17,19,17,23,17,29,19,23,19,29,23,29有15种选法，其中112940+=，172340+=，所以和等于40的概率为215. 故答案为：215【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确找出大于10小于30的所有质数，利用列举法得出基本事件总数，利用古典概型求解.15．已知点P 是双曲线222:1(1)x C y a a-=>上的动点，点M 为圆22:1O x y +=上的动点，且0OM PM ⋅=u u u u r u u u u r，若||PM 3C 的离心率为________. 5 【解析】根据垂直关系可得222||||||OM PM OP +=，结合双曲线的几何意义可得||OP 取最小值a ，根据几何关系求解离心率. 【详解】由题，222||||||OM PM OP +=，且||1OM =，若||PM 取最小值，则||OP 取最小值，由双曲线的性质可知，当点P 为双曲线实轴的端点时，||OP 取最小值a ，此时22213)a +=，得2a =，可得5c =所以双曲线C 5. 5【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质，利用垂直关系转化求解.16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()2x f x x =⋅.则方程()|lg |0f x x -=的根的个数为_________.【答案】100【解析】根据已知条件判断函数的周期，结合函数解析式作出函数图象，数形结合求解. 【详解】因为()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为()f x 是偶函数，所以()()(2)f x f x f x =-=-，即函数()f x 的周期为2，方程()|lg |0f x x -=的根的个数即为函数()y f x =和|lg |y x =图象交点的个数，如图所示为函数()y f x =和|lg |y x =图象，令lg 2x =，得100x =，两函数图象在每个区间[1,]n n -上都有一个交点，1,2,,100n =L .所以方程()|lg |0f x x -=共有100个根.故答案为：100 【点睛】此题考查求解方程的根的个数，关键在于准确识别函数的周期，结合基本初等函数的基本性质作出函数图象，涉及数形结合思想.三、解答题17．在四边形ABCD 中，3BC =，1CD =，2C A =，3cos A =.（1）求BCD V 的面积；（2）若1cos 3ABD ∠=，求AB 的长. 【答案】（12（2）23AB =【解析】（1）根据2C A =，求得22sin sin 23C A ==（2）结合（1）利用余弦定理求得23BD =计算6sin sin()ADB ABD A ∠=∠+∠=可得：ADB A ∠=∠即可得解. 【详解】（1）因为3cos A =，所以6sin A = 所以22sin sin 22sin cos 3C A A A ===，所以1122sin 312223BCD S BC CD C =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=△（2）21cos cos22cos 13C A A ==-=-，由余弦定理2222cos 12BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅=，所以23BD =因为1cos 3ABD ∠=，所以2sin 3ABD ∠=，所以6sin sin()sin cos cos sin ADB ABD A ABD A ABD A ∠=∠+∠=∠⋅+∠⋅= 则可知ADB A ∠=∠，所以23AB BD ==【点睛】此题考查利用余弦定理求解三角形，根据面积公式求解面积，关键在于熟练掌握相关定理公式，根据图形关系求解.18．如图在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2ADC π∠=，4PA AD CD ===，2AB =，E 为侧棱PD 中点.（1）设F 为棱CD 上的动点，试确定点F 的位置，使得平面//AEF 平面PBC ，并写出证明过程；（2）求点B 到平面PCD 的距离.【答案】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ；证明见解析（2）22 【解析】（1）当F 为CD 中点时，通过证明//AF CB ，//EF CP 得证平面//AEF 平面PBC ；（2）由等体积法可得P BCD B PCD V V --=，即可求得点到平面距离. 【详解】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ，证明如下：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，122CF CD ==，2AB =，所以CF AB =，//CF AB ，即四边形ABCF 为平行四边形，所以//AF CB ，即//AF 平面PCB ，在DCP V 中，因为E 、F 分别为PD 、CD 中点，所以//EF CP ，即//EF 平面PCB . 又因为EF AF F =I ，EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为2ADC π∠=，所以CD AD ⊥因为AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，AD PA A ⋂=. 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥ 所以PCD V 为直角三角形.因为PA AD ⊥，所以42PD =，1822PCD S CD PD =⨯⨯=△在梯形ABCD 中，14482BCD S =⨯⨯=△. 由等体积法可得P BCD B PCD V V --=，所以1133BCD PCD S PA S d ⨯⨯=⨯⨯△△，解得22d =所以点B 到平面PCD 的距离为22【点睛】此题考查面面平行的证明和计算点到平面距离，关键在于熟练掌握面面平行的证明方法和利用等体积法求点到平面距离的基本方法. 19．已知函数()ln 1()f x a x x a =-+∈R （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，对任意的()1212,(0,1],x x x x ∈<，都有()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a …时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）[3,0)-【解析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论即可得函数的单调区间；（2）将问题转化为()()121244f x f x x x -<-，令4()()g x f x x=-，函数()g x 在(0,1]上单调递增，求参数的取值范围. 【详解】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x'-=-=，当0a …时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<，即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.综上所述，当0a …时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即()()121244f x f x x x -<-，令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增，所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+…在(0,1]上恒成立，即4a x x-…在(0,1]上恒成立，只需max 4a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增，所以max4143a x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭…，综上所述，实数a 的取值范围为[3,0)-. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，根据函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论以及转化与化归思想.20．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y （单位：千本）和利润x （单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据. 序号 12 345678910x2.43.14.65.36.47.1 7.88.89.5 10y18.1 14.1 9.1 7.1 4.8 3.8 3.2 2.3 2.1 1.4根据上述数据画出如图所示的散点图：（1）根据图中所示的散点图判断y ax b =+和ln y c x d =+哪个更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y 关于x 的回归方程；（3）根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量. 参考公式及参考数据：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii n i i u u v v u u u νβαβ==--==--∑∑. ②参考数据：xyu()1021ii xx =-∑()1021ii uu =-∑ ()()101iii x x yy =--∑ ()()101iii u u yy =--∑6.50 6.601.7582.50 2.70143.25- 27.54-表中1011ln ,10i i i i u x u u ===∑.另：ln10.5 2.35≈.计算时，所有的小数都精确到0.01. 【答案】（1）ln y c x d =+更适宜（2）ˆ24.4510.20ln yx =-（3）0.48千本【解析】（1）根据散点图可得）ln y c x d =+更适宜；（2）令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，根据参考数据计算ˆd，ˆc ，即可得到y 关于x 的回归方程；（3）由（2）将10.5x =代入回归方程即可得解.【详解】（1）ln y c x d =+更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型；（2）令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.54ˆ10.202.70iii ii u u yy du u ==---===--∑∑， ˆˆ 6.610.20 1.7524.45cy d u =-⋅=+⨯=，所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ24.4510.20yu =-，即y 关于x 的回归方程为ˆ24.4510.20ln yx =-. （3）由（2）将10.5x =代入回归方程得ˆ24.4510.20ln10.524.4510.20 2.350.48y=-=-⨯≈. 所以根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量为0.48千本. 【点睛】此题考查求非线性回归方程，将模型进行转化通过线性回归模型求解，根据回归方程进行预测，关键在于熟练掌握基本计算方法.21．在平面直角坐标系xOy 中，不恒在坐标轴上的点(,)(0)P x y x …到y 轴的距离比它到点(1,0)F 的距离小1，直线l 与曲线C 相切于点M ，与直线1x =-交于点N . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）证明：以MN 为直径的圆恒过定点. 【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】（1）抛物线定义可知，点P 的轨迹为以点F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，联立直线与抛物线方程，根据位置关系，表示出点的坐标，利用圆上点Q 满足0QM QN ⋅=u u u u r u u u r建立等量关系即可得证.【详解】（1）由题可知，点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1x =-的距离，由抛物线定义可知，点P 的轨迹为以点F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，即轨迹C 的方程为24y x =.（2）当直线l 斜率不存在时，若直线l 与曲线C 相切，则:0l x =，与直线1x =-无交点，舍去；当直线l 斜率存在时，设:(0)l y kx b k =+≠，联立24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=，因为直线l 与抛物线相切，所以16160kb ∆=-=，得1b k=，所以直线l 的方程为1y kx k=+，令1x =-，得1y k k =-+，即11,N k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.设切点()00,M x y ，则200440ky y k -+=，解得212,M k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)Q m n 为MN 为直径的圆上异于M 、N 的任一点，则有0QM QN ⋅=u u u u r u u u r.即2121(1)QM QN m m n k n k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=---+--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r()()32221320m n k k m m n k-+-=++-+=，若当2220,10,0m m n m n ⎧++-=⎪-=⎨⎪=⎩时，即1m =，0n =，圆恒过点(1,0)Q .综上所述，以MN 为直径的圆恒过定点(1,0)Q . 【点睛】此题考查求曲线轨迹方程和证明轨迹过定点，涉及直线与抛物线的位置关系，利用圆上的点的几何特征建立等量关系解决问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线13sin 3,:133,x C y θθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为32sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）(3,0)M ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值.【答案】（1）30x y +-=；2216x y +=（2）467【解析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系即可得到直线的直角坐标方程，将曲线C 两式平方相加得到C 的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将参数方程代入圆的方程利用12121212121111||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+==，结合韦达定理求解. 【详解】（1）将曲线C 两式平方22222213sin 3cos 239cos ,13cos 3sin 239cos ,x y θθθθθθθθ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 相加得22:16C x y +=，:cos sin 30l ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.（2）由题可知点M 在直线l 上，则直线l 的参数坐标方程为232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线的参数方程带入22:16C x y +=得23270t t --=，1232t t +=127t t =-，()212121212121212124111146||||t t t t t t t t MA MB t t t t t t t t +-+-+=+====【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用直线的参数方程的几何意义解决与线段有关的问题. 23．已知函数()|21||25|f x x x =++-. （1）求不等式()10f x …的解集；（2）a ，b 均为正实数，若41a b+为函数()f x 的最小值，求实数2+a b 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）221⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）根据绝对值三角不等式求出()f x 的最小值为6，即416a b+=，结合基本不等式求解最值得到取值范围. 【详解】（1）()|21||25|f x x x =++-1,24410x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩......或15,22610x ⎧-<<⎪⎨⎪⎩ (5)24410x x ⎧⎪⎨⎪-⎩…… 解得3722x -≤≤.所以解集为37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()|21||25||21(25)|6f x x x x x =++-+--=….所以416a b+=，141181222(2)6(628)16663b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… 当且仅当22a b =时等号成立.所以2+a b 的范围为2213⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最小值，利用基本不等式求取值范围，需要注意考虑最值等号成立的条件.。

江西省南昌市第二中学2020届高三第四次月考数学(文)试题Word版含答案

1 1 0 1 2南昌二中 2020 届高三第四次考试文科数学试卷一、单选题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）1．已知集合 A = {0 ，2}， B = {-2 ，- 1，0 ，，2}，则 A B =A ． {0 ，2}2． 1 + 2i=1 - 2iB ． { ，2}C ． { }D ． {-2 ，- 1，0 ，，2}4 3A ． - - i5 54 3B ． - + i5 53 4C ． - - i5 53 4D ． - + i5 53．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 354．若 sin α = 1 3，则 cos2α =A ． 8 9B ．7 9 C ． - 7 9 D ． - 895．已知平面向量 a , b 的夹角为135 ，且 a = 1， 2a + b = 2 ，则 b =A ． 2B ． 2C ． 3 - 1D ． 36．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为A ． 3 2 fB ． 3 22 fC ． 12 25 fD ． 12 27 f7．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x ∈ [-2，]，则输出的 y 值的取值范围是A.y≤-或y≥0B.-2≤y≤C.y≤-2或0≤y≤D.y≤-2或y≥⎪x+1,x≤0⎪log()b c3B．3C．162π224C．[2D．[,1)522223338.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a12+b12=A．322B．521C．123D．199⎧19.已知f(x)=⎨2，若存在三个不同实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c)，则⎩2019x,x>0abc的取值范围是A．(0,1]B．[-2,0)C．(-2,0]D．(0,1)10.设a，，分别是ABC的内角A,B,C的对边，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC)，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则AB⋅DA+DB等于A．2B．4C．-4D．-211.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//B C，AB=DC=AD=2，BC=P A=4，P A⊥面ABCD，则球O的体积为A．642π162πD．16π12.已知椭圆E:x2y2+a b2=1(a>b>0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点．若AF+BF=4，点M到直线的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是4 5，A．(0,33 ]B．(0,]二、填空题（每小题5分，共20分）14.已知α , β 为第二象限的角，cos(α - ) = - ,sin(β + ) =π s13.过点 (-2,4 )且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.4543 π 513，则 in （α + β）的值为_____.15.设函数 f (x )是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意的实数 x ，恒 f (x )- f (-x ) = 0 ，当 x ∈ [-1,0]时， f (x ) = x 2．若 g (x ) = f (x )- log x 在 x ∈ (0, +∞) 上有且仅有三个零a点，则 a 的取值范围为_____.16. 已知实数 x ， y 满足 x 2 + y 2 ≤ 1，则 2 x + y - 4 + 6 - x - 3 y 的最大值是．三、解答题（共 5 小题，共 60 分）17.（12 分）2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。

甘肃省定西市2020届高三上学期联考(四)数学(理)试卷(PDF版)

的一条切线的斜率是３２，则切点的横坐标为
Ａ．ｌｎ２
Ｂ．－ｌｎ２
Ｃ．ｌｎ２２
Ｄ．－ｌｎ２２
１２．对于任意两个正整数ｍ，ｎ，定义某种运算 “※” 如下：当ｍ，ｎ都为正偶数或正奇数
时，ｍ※ｎ＝ｍ＋ｎ；当ｍ，ｎ中一个为正偶数，另一个为正奇数时，ｍ※ｎ＝ｍｎ．则在此定义下，集合Ｍ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ※ｂ＝１２，ａ∈Ｎ，ｂ∈Ｎ｝中的元素个数是
∴ g '(x0 ) 0 ．
_
21.解：(1) x 0.002 50 205 0.004 50 255 0.009 50 305
0.040 50 355 0.001 50 405 300(千米）
（2）P(250 X 400） 0.9545 - 0.9545 - 0.6827 0.8186. 2
所以求直线 AB 与平面 PQR 所成角的正弦值是 3 ， 3
19、 (1) 由题意, b 3 , c 1 , 又 a2 c2 b2 , c 1, a 2 ， a2
所以所求的椭圆方程为: x2 y2 1 43
（2）设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,
（3）把 y 1 x m 代入椭圆方程化简得: x2 + mx + m2 - 3 = 0 2
Ａ．
１３
Ｂ．
１２
Ｃ．槡３３
Ｄ．槡２２
１０．若０＜α＜π２，－π２＜β＜０，ｃｏｓ（π４＋α）＝１３，ｃｏｓ（π４－２β＝槡３３，则＝ｃｏｓ（α＋２β）＝
Ａ．槡３３
Ｂ．－槡３３
Ｃ．５槡９３
Ｄ．－槡９６
１１．设ａ∈Ｒ，函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ａ·ｅ－ｘ的导函数是ｆ′（ｘ），且ｆ′（ｘ）是奇函数．若曲线ｙ＝ｆ（ｘ）