函数的间断点及其分类
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第一章第八节
函数的连续性
定义1.10.)()(00内有定义的某邻域在点设x U x x f 1.函数在一点连续的定义
存在；)(lim )1(0
x f x x →若)()(lim )2(00
x f x f x x =→则称函数.
)(0处连续在点x x f 注1°函数在一点连续的等价定义之一设有函数y = f (x ). 当自变量x 从增量概念:0x 变到
,0x x ∆+x ∆则称为自变量的增量(或改变量).若相应地函数y 从)(0x f ),(0x x f ∆+变到则称
)
()(00x f x x f y −∆+=∆为函数的增量(或改变量).
定义1.9（函数在一点连续的增量定义）
,
00→∆→x x x 就是.
0)()(0→∆→y x f x f 就是.0lim 0
=→y x ∆∆.)()(00内有定义的某邻域在点设x U x x f ⇔处连续在点0)(x x f
定理处连续
点在函数0)(x x f 处既左连续又右连续
点在0)(x x f ⇔).
()()(000x f x f x f ==⇔+−
例2解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<−=<≤=.21,2,1,2,10,)(2x x x x x x f 讨论函数
在点x = 1处的连续性.由于=−→)(lim 1x f x 21
lim x x −→,1==+→)(lim 1x f x )2(lim 1x x −+→,
1=1)(lim 1=→x f x ,
2)1(=f 所以f (x ) 在点x = 1 处不连续.
≠
在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上连续的函数, 或者说函数在该区间上连续.
,),(内连续如果函数在开区间b a 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
3. 函数在区间上的连续性
.
],[)(b a C x f ∈记作
, 处右连续端点并且在左a x =,处左连续在右端点b x =.],[)(上连续在闭区间则称函数b a x f
如果上述三个条件中有一个不满足，则称f (x )在二、函数的间断点及其分类
:
)(00条件连续必须满足以下三个处在点函数的去心邻域内有定义的在点x x f x ;)()1(0有定义在点x x f ;
)(lim )2(0
存在x f x x →).
()(lim )3(00
x f x f x x =→内有定义，的某去心邻域在点设)()(00x U x x f o
1. 定义(或间断点).
点x 0 处不连续(或间断)，并称点x 0为f (x )的不连续点
lim lim 1=+∞=>−∞
→+∞
→x
x x
x a a a 时，当
lim lim 1=+∞=>−∞
→+∞
→x
x x
x a a a 时，
当
，x x cot ,tan x csc ,sec 结论：三角函数在其定义域内连续.
利用极限的四则运算
法则可以证明：
推论(连续函数的线性运算法则)
)( )(x g x f 和α和β是常数,)
()(x g x f βα+若函数此运算法则对有限个函数成立.
在点0x 连续,则函数)( )(x g x f 和的线性组合
在点0 x 连续.
结论：反三角函数在其定义域内连续.
结论：指数函数，对数函数在其定义域内皆连续.
1. 函数记号f 与极限记号可以交换次序;意义:
变量代换x
=
.2的理论依据
uϕ
(
.
))
(
特别地，若
定理1.17是定理1.16 的特殊情形
例9.),0()(内连续在为常数证明：+∞=µµx
y 证x
x y ln e µµ==内连续，在),0(ln )(+∞==x x u µϕQ 内连续在而),(e )(+∞−∞==u
u f y .),0()(内连续在为常数+∞=∴µµx y 可以证明：µx y =对于μ取任何实数,
均在其定义域内连续.
结论：幂函数在其定义域内连续.
结论：一切初等函数在其定义区间内连续.
是指包含在定义域内的区间.）
端点为单侧连续
=])([x f ϕ1
,2≤x x 1
,2>−−x x
.
0,
0,
2,0,
2)(连续性处的
在讨论函数=⎩⎨
⎧<−≥+=x x x x x x f 解
)2(lim )(lim 0
+=+
+→→x x f x x 2=)2(lim )(lim 0
−=−
−→→x x f x x 2−=.
0)(处不连续在点故函数=x x f 备用题
例2-1)
0()0(+
−≠f f =+
)0(f =−
)0(f ∵
∴不存在)(lim 0
x f x
→
例2-3解⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=,
0,,
0,)(x x a x e x f x 设函数应当怎样选择a,
使得f (x ) 在x =0 处连续.
=−
)0(f x
x e
−
→0
lim ,1==+
)0(f )(lim 0
x a x ++→,
a =,
)0(a f =由连续的充要条件)0()0()0(f f f ==+
−
得a =1.所以当a =1时，f (x )在x =0处连续.