高中数学2、2-2-1第1课时综合法与分析法同步检测新人教版选修

选修2-2 2.2 第1 综合法与分析法一、选择题

1．证明命题“f(x)＝e x＋1

e x

在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：

∵f(x)＝e x＋1

e x ，∴f′(x)＝e x－

1

e x

.

∵x>0，∴e x>1,0<1

e x

<1

∴e x－1

e x

>0，即f′(x)>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是()

A．综合法B．分析法

C．反证法D．以上都不是

[答案]A

[解析]该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.

2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a索的因应是()

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

[答案]C

[解析]要证b2－ac<3a

只需证b2－ac<3a2

只需证b2－a(－b－a)<3a2

只需证2a2－ab－b2>0.

只需证(2a＋b)(a－b)>0，

只需证(a－c)(a－b)>0.

故索的因应为C.

3．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·b

m

＋

d

n

(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的

大小为()

A．p≥q B．p≤q

C．p>q D．不确定

[答案]B

[解析]q ＝

ab ＋mad n ＋nbc

m

＋cd

≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .

4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋

，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为()

A ．A ≤

B ≤

C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A

[答案]A [解析]

a ＋b

2

≥ab ≥

2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2ab a ＋b .

5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是() A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C ．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D ．cos(α＋β)

[解析]∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π， ∴cos α＞cos(α＋β)

又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．

6．设a 、b 、c ∈R ＋

，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、

R 同时大于零”的()

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案]C

[解析]首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．

其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，

∴b <0与b ∈R ＋

矛盾，故P 、Q 、R 都大于0. 7．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么()

A ．x

2

2

x ＋y 2

<2xy

D ．x <2xy <

x ＋y

2

[答案]D

[解析]∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <

x ＋y

2

8．下面的四个不等式：

①a 2＋b 2＋c 2

≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；

③b a ＋a b

≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2

. 其中恒成立的有() A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

[答案]C

[解析]∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12

[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2

]≥0

a (1－a )－14＝－a 2＋a －14

＝－⎝

⎛⎭

⎪⎫

a －12

2≤0，

(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2

≥a 2c 2

＋2abcd ＋b 2d 2

＝(ac ＋bd )2

.∴应选C.

9．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是() A ．2 2 B. 2 C ．2

D ．1

[答案]B

[解析]原不等式可化为

a ≥x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2

x ＋y ＝

1＋2xy

x ＋y

要使不等式恒成立，只需a 不小于

1＋2xy x ＋y

的最大值即可．

∵

1＋2xy x ＋y

≤2，当x ＝y 时取等号，∴a ≥2，

∴a 的最小值为 2.故应选B.