工科数学分析教程上册最新版习题解答9.3
高等数学分析教材答案
高等数学分析教材答案混用格式的高等数学分析教材答案第一章微分学1.1 函数与极限1.1.1 极限的定义设函数$f(x)$在$x_0$的某个领域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，就有$|f(x) - A| < \varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。
【例题1】求极限$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。
解：由题意，当$x \neq 2$时，可以将分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$化简为$x + 2$。
因此，$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$。
1.1.2 极限的性质与运算法则性质1：唯一性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在，那么极限必定唯一。
性质2：有界性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且有界，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处连续。
性质3：保号性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且大于（或小于）零，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处大于（或小于）零。
运算法则1：四则运算法则如果$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = B$，那么：（1）$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = A + B$；（2）$\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = A - B$；（3）$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$；（4）$\lim_{x \to x_0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] =\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）。
工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-8.4-8.5 旋转曲面面积 物理应用
授课内容
前节知识回顾 旋转曲面面积的计算 定积分在物理上的应用 应用推广猜测 本节小结
本节小结
§8.5 定积分在物理上的应用 重心、质心、形心
§8.5 定积分在物理上的应用 重心、质心、形心
§8.5 定积分在物理上的应用 综合例题讲解
§8.5 定积分在物理上的应用 综合例题讲解
授课内容
前节知识回顾 旋转曲面面积的计算 定积分在物理上的应用 应用推广猜测 本节小结
高维空间中应用猜测 综合例题讲解
工科数学分析教程（上）
§8.4 旋转曲面面积的计算 §8.5 定积分在物理上的应用
授课内容
前节知识回顾 旋转曲面面积的计算 定积分在物理上的应用 应用推广猜测 本节小结
上节课内容回顾
授课内容
前节知识回顾 旋转曲面面积的计算 定积分在物理上的应用 应用推广猜测 本节小结
§8.4 旋转曲面面积的计算 绕x轴旋转
§8.4 旋转曲面面积的计算 例题讲解
§8.4 旋转曲面面积的计算 例题讲解
§8.5 定积分在物理上的应用 广义平均值
授课内容
前节知识回顾 旋转曲面面积的计算 定积分在物理上的应用 应用推广猜测 本节小结
§8.5 定积分在物理上的应用 变力做功
§8.5 定积分在物理上的应用 合力的计算
§8.5 定积分在物理上的应用 转动惯量
dA 2 y ds dA 2 y 1 y2(x)dx
§8.4 旋转曲面面积的计算 绕x轴旋转
dA 2 y ds
工科数学分析基础题集
工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义，正确的是（）A. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案：A解析：函数极限的精确定义为：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。
2. 关于无穷小量的描述，正确的是（）A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案：A解析：以零为极限的变量称为无穷小量。
3. 下列关于无穷大量的说法，错误的是（）A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案：D解析：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量一定是无界变量。
4. 对于函数极限的性质，下列说法不正确的是（）A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性，即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在，则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案：D解析：函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。
工科数学分析习题
（B）若，则。由，故对，存在，当时有，即， 从而存在，当时有，即严格递减的， 故由可得，即
（C）若，令,利用（B）可证明。 （2）严格增，且，若，则 证明：（A）若，则， 令，即，故对，则存在使得当时 由得得（使用迭代）
即 两边除以，再同时减去得 故当时 又，则存在使得当时 对，取使得当时 故 （B）若，则。由，故对，存在，当时有，即 故严格增的，再由得，从而时，，从而由（A）得，故 （C）若，令,利用（B）可证明。 2设证明 （1） 证明 利用O.Stolz公式（2）只需令，，则 故。 或利用定义直接证明。 （2）利用O.Stolz公式可得，或均成立。但，不成立，例，故时 O.Stolz公式也不成立。 （3）见附录参考答案及提示。
16 设，且，则 证明：对，由知使得当时， 故对，取，当时，故 17．求极限 （1） （2） (3) (4)
习题1.1（B）
1 O.Stolz公式 （1）设，且严格减。若，则 证明：（A）若，对，则存在使得当时，即 从而当时 ······ 把上式不等式相加的 其对成立 又，故当时由得当时有 故对，取，当时有
，，欲使，只需，即。 故对，取当时有 故 （注意：若用夹逼法：） 2．证明：的充分必要条件是对，只有的有限多项不在 中。 证明：（必要性）若，则，， 时有，故至多有项在不在中。 （充分性）对，只有的有限多项不在中，不妨设不在 中项为，取（即取不在 中项脚标的最大者，故当时有，即。 4.证明若，则。反之不一定，举例说明。但若，则有
单调性：显然，设，则 求极限：设，由取极限得，解出
（3）见学习辅导“例25” （4）， 解 有界性：
单调性：
，若，则，否则 求极限：设，由得，故。 15 试判断数列的敛散性： （1），其中； 解 欲使，只需
数学分析上册课后习题答案(叶淼林)
数学分析上册课后答案(叶淼林版)材料提供人：13级信息二班全体同学答案仅供参考，最终解释权归信息二班所有，侵权必究。
目录-----------------------------------------------------------------第一章.....................3第七章 (106)1.1......................37.1. (106)1.2......................47.2. (114)1.3......................67.3. (124)1.4......................10第八章 (128)1.5......................148.1. (128)1.6......................168.2. (131)第二章.....................19第九章.. (133)2.1......................199.1 (133)2.2......................229.2 (135)2.3......................32第十章.. (138)2.4 (35)2.5 (39)2.6 (43)第三章 (49)3.1 (49)3.2 (52)3.3 (57)3.4 (61)第四章 (65)4.1 (65)4.2 (69)4.3 (71)4.4 (73)4.5 (78)4.6 (81)第五章 (84)5.1 (84)5.2 (86)5.3 (93)第六章 (98)6.2 (98)6.3 (100)6.4 (101)6.5 (103)第一章§1.11、（1）实数和数轴是一一对应的关系。
（2）是无限不循环小数，是无理数。
（3）两个无理数之和还是无理数，一个有理数与一个无理数之和是无理数，当有理数不为零时，一个有理数与一个无理数的乘积是无理数。
工科数学分析教程上册最新版习题解答4.6
4.6 练习答案1、 证明：因为p(x)[0.1]上连续，在（0.1）内可导，且p(0)=p(1)=0 从而1(0.1)ξ∃∈使1()0p ξ'=。
即1ξ是()p x '的根 同理23(1.2),(2.3)ξξ∃∈∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1,)n n n ξ∈-使2n ξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是()p x '子根。
又因为()p x '是n 次的多项式，至多有n 个根。
所以()p x '有n 个实根且分布在()p x 的根所界的个区测内。
2、证明：令F则在[a.b]上连续(a.b)内可导且从而(.)a b θ∃∈ 使即 2()()0xf x f x x xθ'-== 从而。
3,4,略5、证明：令 则在[a.b]上连续（a,b ）内可导，且从而(.)a b ξ∃∈使即 ()()(()())0g x g x f x e f x e x ξ'+==即()()()0f g f ξξξ''+=即ξ是()()()0f x g x f x ''+=的根。
6、证明：令11()1n n o a a q x x x anx n n+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，则()q x 在[0.1]上连续，（0，1）内可导且(0)0(1)q q ==， 从而(0,1)ξ∃∈使()0q ξ'=，即()0p ξ=。
从而ξ是()p x 子根。
7.证明：因为()f x 不是线性函数，所以曲线F 上必有在弦AB 上方的点。
或有在AB 下方的点。
不妨设()()()()()f b f a f x f a c a b a->+--. 用K 表示斜率设弦AB 方程为()y g x = ()()()()()()ac f c f a g c g a f b f a k c a c a b a---=>=--- ()()()()()()bc f b f c g b g c f b f a k b c b c b a---=<=--- 从[a.c],[c.b]上由拉氏定理知2(,)a c θ∃∈， 使2()f kac θ'=1(,)q c b ∃∈， 使2()f kbc θ'= 所以12()()()()f b f a f f b aθθ-''<<-. 8、证明：因0(0.1)x ∈。
工科数学分析习题答案(下)
习题6.11．（1）（a ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+>+⎰⎰⎰⎰ （b ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+<+⎰⎰⎰⎰（2）(a)2()()e d e d xyxy σσσσ<⎰⎰⎰⎰， （d ）2()()e d e d xy xy σσσσ>⎰⎰⎰⎰2．（1）02I ≤≤； （2）0I ≤≤ （3）e I ππ≤≤ （4）3075I ππ≤≤习题6.21．（1）221； （2）3221； （3）4(3115-； （4）62e 9e 4--；（5）54ln 22-； （6）425-； （7）21)15； （8）3cos1sin1sin 42+-2．（1）2 44 04d (,)d d (,)d yy xI x f x y y y f x y x ==⎰⎰⎰⎰；（2） sin 1 arcsin 0 0 0 arcsin d (,)d d (,)d ;xyyI x f x y y y f x y x ππ-==⎰⎰⎰⎰（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==21212121211d ,d d ,d d ,d yyxxx y x f y x y x f y y y x f x I（4）21 01 01 21d (,)d d (,)d I x f x y y y f x y x ---==⎰⎰⎰⎰.3．（1）2 10 d (,)d xx x f x y y ⎰⎰； （2） 1 0d (,)d y f x y x ⎰⎰； （3） 1eed (,)d y y f x y x ⎰⎰；（4）1220 0 1d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰； （5） 132 0d (,)d yy f x y x -⎰；（6）22 2 2 00 22d (,)d d (,)d d (,)d aa aa aay y a aaay f x y x y f x y x x f x y x +++⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（7）214d (,)d yy f x y x -⎰⎰； （8） 12 01d (,)d yy f x y x -⎰⎰。
工科数学分析习题课
（接着证单调性）
当 n 1 时， n 1 xn x xn ( 3 xn ) xn
( xn ( 3 xn ) xn )( xn ( 3 xn ) xn ) xn ( 3 xn ) xn
xn ( 3 2 xn ) . 0， { xn }单调（增） xn ( 3 xn ) xn
n 取 N max ( 2 N 1 1, 2 N 2 ) ，则当 N 时，
有 x n a ，故 lim x n a 。
n
综上可知， lim xn a lim x2n1 lim x2n a 。
n n n
8．证明： lim
n
n a n
0 (a 1) 。
n 1
| x2 x1 |
| xn p xn p1 | | xn p1 xn p 2 | | xn1 xn |
k n p 2 | x2 x1 | k n p 3 | x2 x1 | k n1 | x2 x1 |
{ xn }的极限存在 .
（接着求极限）
记 lim xn a , 由xn 1
n
xn ( 3 xn ) ,
2 2 有xn 1 xn ( 3 xn ), 令 n , 得 a a ( 3 a ),
3 解得a ，a 0 （舍去） n 1 时， xn 且单调增） . （ 0 . 2 3 lim xn . n 2
则存在唯一一点满足 I n
n 1
即
lim an lim bn
n n
[ [ [ ... [ ... ] ... ] ] ]
a1 a2 a3 an bn b3 b2 b1
工科数学分析教程上册最新版习题解答第3章
第3章 习 题31、 证明 （1）若)2()(x a f x f -=，则函数)(x f 的图形对称于直线a x =； （2）若)(x f 的图形同时对称于直线a x =和b x =，)(b a ≠，则)(x f 为周期函数。
证明:（1）平移坐标轴：以a x =为y 轴，那么a x x +'=，这样函数)(x f y =变换为)(a x f y +'=，要证明)(x f y =图形关于直线a x =对称，只要证明)(a x f y +'=关于y轴对称，即要证明)(a x f y +'=为偶函数。
)2()()()(x a f a x a f a x f x y -=+-=+'-='-,)()()(x f a x f x y =+'='. 由条件可知)()(x y x y '='-故命题成立。
（2）由（1）可得)2()(x a f x f -=及)2()(x b f x f -=,)()2())2(2()22(x f x a f x a b f a b x f =-=--=-+,∴函数)(x f 以a b 22-为周期。
2、设221)1(xx x x f +=+, 求)(x f ，)1(x x f -.解: 2)1(212)1(222-+=-++=+x x x x x x f ,∴2)(2-=x x f ,∴4121(1(222-+=--=-xx x x x x f .3、设|)|(21)(x x x f +=，⎩⎨⎧≥<=0)(2x xx x x g 求))((x g f ，))((x f g . 解: ⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=000)(21)(x x x x x f ⎩⎨⎧<≥=000x x x , ∴2()()00(())0()00g x g x x x f g x g x x ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩, 22()()00(())[()]()00f x f x xg f x f x f x xx <<⎧⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩, ∴))(())((x f g x g f =.4、设)(x f 定义域在),(+∞-∞上，且R x x ∈∀21,，满足)()()(y yf x xf xy f +=.证明0)(≡x f .证明: 0)0(0)0(0)00()0(=+=⋅=f f f f∴ 当0≠x ,)()0(0)0(x xf f x f +=⋅ ,0)(=x xf , 0)(=x f .故0)(≡x f .5、已知xx f +=11)(求)]([x f f 定义域. 解: 1(())111f f x x=++ ∴)]([x f f 的定义域为1-≠x ，2-≠x .6、试证方程b x a x +=sin 0>a ，0>b ，至少有一个正根并且它不超过b a +.证明: 设b x a x x f --=sin )(，显然它在],0[b a +上连续,)(b a f +0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+=b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，b a +即为方程满足条件的根。