欧拉函数积性公式证明

欧拉函数（总结）

欧拉函数（总结）定义欧拉函数ϕ(n)是不超过n且和n互质的正整数的个数。

欧拉函数φ(n)的作⽤就是转化，从⽽简化运算（⼩性质：n的所有质因⼦之和=eular(n)*n/2);下⾯直观地看看欧拉函数：n123456789101112131415φ(n)11224264641041268定理定理1 算术函数f如果满⾜对于任意两个互质的正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称f为积性函数（或乘性函数）。

如果对于任意两个正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称为完全积性函数。

定理2 若m、n互质，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，所以欧拉函数是积性函数。

因为mn互质，和m互质的数乘上和n互质的数就会和mn互质。

定理3欧拉函数的两种求法#include<iostream>using namespace std;int phi[100011];int eular(int n){//求⼀个数的欧拉值int res=n;if(n==1)return 1;for(int i=2;i<=n;i++){if(n%i==0){res=res/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}}return n>1?res/n*(n-1):res;}void eularplus(int n){//求多个数的欧拉值for(int i=1;i<=n;i++)phi[i]=i;for(int i=2;i<=n;i++){if(phi[i]==i){for(int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}}}int main(){int n;scanf("%d",&n);printf("%d\n",eular(n));eularplus(n);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",phi[i]); printf("\n");return 0;}// 15// 8// 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8。

欧拉公式的证明及应用举例

高中数学120·同步辅导·选修2-2高中数学·北师大版2016年11月1欧拉公式的证明与应用【欧拉公式】公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 之间有关系：2=-+E F V 。

【欧拉公式的证明】方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析E F V -+先以简单的四面体ABCD 为例：（分析法）去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形后都没有变。

因此，要研究2=-+E F V ，只需去掉一个面变为平面图形，证11=-+E F V ；（1）去掉一条棱，就减少一个面，E F V -+1不变。

依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，E F V -+1不变，直至只剩下一条棱。

以上过程E F V -+1不变，则11=-+E F V ，所以加上去掉的一个面，2=-+E F V 。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V ，面数F ，棱数E 。

剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和α∑；一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F 个面，各面的边数为1n ,2n ，…，F n ，各面内角总和为：]180)2(180)2(180)2[(21︒⋅-++︒⋅-+︒⋅-=∑F n n n α︒⋅-+++=180)2(21F n n n F ︒⋅-=︒⋅-=360)(180)22(F E F E （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n 边形，其内角和为︒⋅-180)2(n ，则所有V 个顶点中，有n 个顶点在边上，n V -个顶点在中间。

中间n V -个顶点处内角和为︒⋅-360)(n V ，边上的n 个顶点处的内角和︒⋅-180)2(n 。

则多面体各面的内角总和：︒⋅-=︒⋅-+︒⋅-+︒⋅-=∑360)2(180)2(180)2(360)(V n n n V α（2）由(1)(2)得：︒⋅-=︒⋅-360)2(360)(V F E ，所以2=-+E F V .【欧拉公式的意义】（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

欧拉函数证明过程

欧拉函数证明过程
欧拉函数,也称为phi函数或欧拉指标函数,是一个重要的数论函数,它用于统计小于或等于一个给定的正整数n,并且与n互素的正整数的个数。

欧拉函数的定义如下:
φ(n) = |{k ∈ Z+|1 ≤ k ≤ n, gcd(k, n) = 1}|
其中,|A|表示集合A的基数,Z+表示正整数集合,gcd(k, n)表示k和n 的最大公约数。

下面我们来证明欧拉函数的一个重要性质:
对于任意两个互质的正整数m和n,有φ(mn) = φ(m)φ(n)。

证明过程如下:
1. 先证明对于任意正整数n,有φ(n) = n∏p|n(1 - 1/p),其中p为n的不同素因子。

证明:对于n = ∏p_i^k_i,其中p_i为不同的素数,k_i为对应的指数。

每个p_i^k_i有p_i^(k_i-1)(p_i-1)个与它互质的正整数(详见"互质数的计数方法"),因此φ(n) = ∏(p_i^k_i - p_i^(k_i-1)) = n∏(1 - 1/p_i)。

2. 对于两个互质的正整数m和n,可以分解为m = ∏p_i^k_i,n = ∏q_j^l_j,其中p_i和q_j为不同的素数。

那么:
φ(mn) = mn∏p_i,q_j(1 - 1/(p_i*q_j)) = mn∏p_i(1 - 1/p_i)∏q_j(1 - 1/q_j) = mφ(m)nφ(n)/(mn)
= φ(m)φ(n)
这就证明了φ(mn) = φ(m)φ(n)。

欧拉函数及其证明

欧拉函数及其证明欧拉函数定义：phi(n) = 1到n中与n互质的数的个数有公式：　phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi ) 其中p为n的所有质因⼦,每个质因⼦只算⼀次下⾯是证明：1. 当n为质数，显然phi(n) = n-12. 当n=p^k ，其中p为素数与n不互质的数必定有p因⼦，把p提出来于是不互质的数有{ p*1, p*2, p*3, ......, p*p^(k-1) } 于是互质的数即phi(n) = p^k - p^(k-1) = p^k * ( 1 - 1/p )3. 当n= (x^a)*(y^a), 其中x和y为不相同的素数有phi(n*m)=phi(m)*phi(n) , 当m和n互质证明这个之前先证明 ( {1, 2, 3, 4, ....n } , {1, 2, 3, 4, ...... m }) 与 {1, 2, 3, 4, ...... m*n } ⼀⼀对应 (m,n互质) ①从m*n到（m,n）的唯⼀性 m*n中的x， x%m和x%n有唯⼀值 ②从(m,n)到 m*n的唯⼀性设从m中取x，x%m=r 则x对应m*n中的f可能值为 {r, m+r, 2m+r, 3m+r, .... (n-1)*m+r } 这n个数组成了n的完全剩余系因为这n个数两两之间的差值可表⽰为 k* m (k<n) 则（k*m）%n=0不成⽴（ k<n , ⽽gcd(m,n)=1 即 m不提供n的因⼦）即每个数对n取模两两不同，则组成n的完全剩余系因此假设再从n中取y，（x，y）可唯⼀确定⼀个m*n中的值（似乎适⽤于中国剩余定理）可拓展到多维，即多个互质量再看，（当m和n互质）只要x与m互质且x与n互质则x与m*n互质任何与m互质的数x除以m的余数即（x%m）也必然与m互质，反之也如此所以从（1...n）和（1...m）分别取x与n互质，y与m互质，则会唯⼀对应⼀个m*n中的值f 与m*n互质⽽每个与（1...m*n）互质的值 f 都会唯⼀对应⼀个（1...n）中与n互质的x和⼀个（1...m）中与m互质的y 所以phi(m*n) = phi(m) * phi(n) ， (m，n互质) 证明完毕那么这样，对于要求欧拉值的n，将他因数分解成 pi^ai, ⽽ phi(pi^ai )= pi^ai ( 1 - 1/pi )再将pi相乘得到n，就可以得出公式 phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi )代码：long long eular(long long n) {long long ans = n;for(int i = 2; i*i <= n; i++) {if(n % i == 0) {ans −= ans/i;while(n % i == 0)n /= i;}}if(n > 1)ans −= ans/n;return ans;}从证明可以看出，欧拉函数是⾮完全积性函数所以可以⽤线性筛来O(n) 预处理值bool check[maxn];int phi[maxn];int prime[maxn];int tot;//素数的个数void phi_and_prime_table(int n) {memset(check,false,sizeof(check));phi[1] = 1;tot = 0;for(int i = 2; i <= n; i++) {if( !check[i] ) {prime[tot++] = i;phi[i] = i-1;}for(int j = 0; j < tot; j++) {if(i * prime[j] > n)break;check[i * prime[j]] = true;if( i % prime[j] == 0) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;} else {phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}}}性质：考虑gcd，假设i与n的gcd为g，那么有g|n , gcd(n/g,i/g)=1。

欧拉积分及余元公式

欧拉公式的运用及余元公式的证明1.欧拉公式的定义)0,0()1(),()0()(111010>>-⎰=B >⎰=Γ----+∞q p dx x xq p dxe x q p x ααα欧拉公式的几个基本变形：函数Γ)1(令2y x =, 就有)0(2)(212010>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞ααααdy e y dx e x y x令py x =, 则有)0,0()(1010>>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞p dy e y p dx e x py x ααααα特别地当21=α时，有π=Γ)21(且有)()1(αααΓ=+Γ 函数B )2(令ϕ2cos =x 就有ϕϕϕπd q p p q 121220cos sin 2),(--⎰=B令yyx +=1，则有 dy y y q p qp p +-∞++⎰=B )1(),(1欧拉积分间的联系：)()()(),(q p q p q p +ΓΓΓ=B )0,0(>>q p2.余元公式的证明余元公式：)sin()1,(ππa a a =-B对dt t ta a B a a a a a110)1()1,()1()(,10---⎰=-=-ΓΓ<<令xt +=11，则 x x dx x x x x dt t t a a a a a+⎰=+++⎰-=-⎰-∞--∞--1)1(1)1()11()1(10210110 dx xx dx x x a a +⎰++⎰=-∞-111111当10<<x 时，由幂级数理论可得()10111-+∞=-∑-=+k a kk a x x x 此级数在[]t ,ε其中10<<<t ε上一致收敛，故可在[]t ,ε上逐项积分，从而dx x dx xk a k k tk a k kt101)1()1(-+∞=-+∞=∑∑-⎰=-⎰εε=()()k a k a kk t ka ++∞=-+-∑ε110 ()()k a kk k a k k k a t k a +∞=+∞=+--+-=∑∑ε111100 （1）因级数()ka kk t ka +∞=+-∑110的收敛半径为1，且1,0=t 时级数均收敛，由阿贝尔定理知： ()ka kk t ka +∞=+-∑110在[]1,0上一致收敛，故有 ()()ka kk kk t +-=-∑∑∞=∞=→111lim 001同理有()011lim 0=+-+∞=→∑+k a kk ka εε 在（1）式中，令+→→0,1εt 便有:=+⎰-dx xx a 1110()ka kk +-∑∞=110对得令tx dx xx a 1,111=+⎰-∞+dx x x a +⎰-∞+111==+⎰--dt tta 11)1(10()ak kk -+-∑∞=1110综上可得：=-ΓΓ)1()(a a dx x x a +⎰-∞+110=dx xxdx x x a a +⎰++⎰-∞+-1111110 ()k a kk +-=∑∞=110+()a k kk -+-∑∞=1110=+a1)11()1(0ka k a k k --+-∑∞= （2）再由)cos(ax 在],[ππ-的Fourier 级数展式有)cos(ax =+aax 1[sin π())11(11ka k a kk -++-∑∞=)]cos(kx , ],[ππ-∈x 令0=x 可得+=aa 1)sin(ππ())11(11ka k a kk -++-∑∞= 从而由（2），（3）知余元公式成立。

欧拉函数——精选推荐

欧拉函数欧拉函数直接计算公式欧拉函数的定义: E（N）= ( 区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数). 对于积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y）任意整数可因式分解为如下形式：其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　所以因为欧拉函数 E（X）为积性函数，所以对于，我们知道因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质对于区间[ 1, ] ，共有个数，因为只有⼀个质因⼦，所以与约数⼤于1 的必定包含质因⼦，其数量为　所以⼜ E（N）为积性函数，所以可得：⼜因为其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢在程序中利⽤欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因⼦ ) 若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P; 若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1);直接计算欧拉函数值代码：View Code#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>typedef long long LL;LL Eular( LL x ){if( x == 0 ) return0;LL res = 1, t = x;for(LL i = 2; i <= (LL)sqrt(1.*x); i++){if( t%i == 0 ){res *= (i-1);t /= i;while( t%i ==0 ){res *= i;t /= i;}}if( t == 1 ) break;}if( t > 1 ) { res *= (t-1); }return res;}int main(){LL x;while( scanf("%lld", &x) != EOF)printf("%lld\n", Eular(x) );return0;}关于欧拉函数其他的证明⽅式：证明过程如下： 1. 容易想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。

【数论】欧拉定理与扩展欧拉定理证明

【数论】欧拉定理与扩展欧拉定理证明欧拉定理与扩展欧拉定理证明之前⼀直想填这个坑来着。

欧拉定理证明欧拉定理：若 (a,m)=1，aϕ(m)≡1(mod m).证明引理：设 r1,…,rϕ(m)为模 m的缩系，那么 ar1,…,aϕ(m) 也是模 m的缩系。

证明：⾸先，∀k∈[1,ϕ(m)]，ar k≡1(mod m)下只需证明∀i,j∈[1,ϕ(m)],i≠j，有ar i≢：因为ar_i-ar_j = a(r_i-r_j)⽽我们有(m \nmid a) 且m\nmid(r_i-r_j)，得证。

因此 \prod r_i \equiv \prod ar_i \pmod m，⽽ (r_i, m) = 1，故 a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m。

扩展欧拉定理证明扩展欧拉定理：若 b\geq \phi(m)，那么 a^b \equiv a^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m。

证明由唯⼀分解定理，a = \prod p_i^{\alpha_i}，我们只需要证明对于 a的任意⼀个质因数 p，都有：若 b\geq \phi(m)，那么 p^b \equiv p^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m。

⽽对于质数的幂次⽅可以⽤下⾯的⽅法类似证明，因此下⾯考虑证明：对于任意质数 p，上述结论成⽴。

记 m = sp^k，其中 (s, p) = 1。

由欧拉定理，p^{\phi(s)}\equiv 1 \pmod s。

因为欧拉函数为积性函数，故 \phi(s) \mid \phi(m)，进⽽有 p^{\phi(m)}\equiv 1 \pmod s。

上式两边同乘 p^k，有 p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \pmod m。

进⽽ p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \equiv p^{k\%\phi(m) + \phi(m)} \pmod m。

欧拉定理的证明

一、引言在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。

在数论中，欧拉定理（Euler Theorem ，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一，欧拉定理实际上是费马小定理的推广.二、内容在数论中，欧拉定理,（也称费马--欧拉定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理表明，若n,a 为正整数，且n,a 互质，则： () 1( )n amod n ϕ≡. 1.知识准备：（1）欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括1）的个数，记作 φ(n) .（2）完全余数集合：定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。

显然 |Zn| ＝φ(n) 。

其中，“ |A |”表示这个集合中元素的个数，比如A=｛a,b} 则|A|=2.（3）有关性质：①对于素数 p ，φ(p) = p -1 。

②对于两个不同素数 p ， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1). 因为Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ，则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) .2.证明方法：证明：( 1 ) 首先证明下面这个命题：对于集合Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} ，其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n 互素的数，即n 的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，则Zn = S .1) 由于a,n 互质，xi 也与n 互质，则a*xi 也一定于n 互质，因此任意xi ，a*xi(mod n) 必然是Zn 的一个元素2) 对于Zn 中两个元素xi 和xj ，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a 、n 互质和消去律可以得出。

欧拉函数（Euler_Function）

欧拉函数（Euler_Function）⼀、基本概述在数论，对正整数n，欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数⽬。

此函数以其⾸名研究者欧拉命名，它⼜称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。

⼆、计算公式三、基本性质欧拉函数⽤希腊字母φ表⽰,φ(N)表⽰N的欧拉函数.对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为⼩于N且与N互质的数的个数(包含1).欧拉函数的⼀些性质:1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.证明：函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互质”可知m,n⽆公因数,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1') (1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),其中p1,p2,p3...pn为m的质因数,p1',p2',p3'...pn'为n的质因数,⽽m,n⽆公因数,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'均为mn的质因数且为mn质因数的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1') (1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成⽴.2.对于⼀个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).3.除了N=2,φ(N)都是偶数.4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).四、求欧拉函数1、埃拉托斯特尼筛求欧拉函数观察欧拉函数的公式，。

欧拉公式的证明

欧拉公式的证明
1欧拉公式
欧拉公式是18世纪数学家著名的欧拉提出的一条著名公式，公式如下：
$$\scr{V}-\scr{E}+\scr{F}=2$$
这公式定义的是`多边形的顶点数`减去`边数`加上`面数`等于2的公式。

它的意义是，如果一个平面图形的顶点数-边数+面数=2，那么这个图形将是一个封闭的封闭多边形图形。

2欧拉公式的证明
对于欧拉公式的证明，就是要证明一个封闭多边形图形，即一个环状图形，它的顶点数减去边数加上面数等于2。

给定一个封闭多边形图形，假设它包含v顶点，e边，f面，则按照绘图准则，有:
v-e+f=2
为了证明这个公式，先来看一下一个特殊情况，如果我们有一个三角形，则它有3个顶点，3条边和1个面，这时候，注意这个三角形是封闭的一个环，那么令v=3，e=3，f=1，原式如下:
V-E+F=3-3+1=2
根据上述特殊情况，说明了如果我们有一个封闭多边形，那么它的顶点数减去边数加上面数，等于2。

而当多边形更大一些时，比如四边形，有4个顶点，4条边，1个面，类似的，令v=4，e=4，f=1，原式如下：
V-E+F=4-4+1=2
所以，按照上述演示，当任何一个封闭多边形的顶点数减去边数加上面数，都等于2，就证明了欧拉公式有效。

结论
从上述演示来看，欧拉公式在封闭多边形的情况下是有效的，即多边形的顶点数减去边数加上面数等于2。

欧拉乘积公式推导过程

欧拉乘积公式推导过程欧拉乘积公式又称欧拉倒数公式，是欧拉在1740年提出的一种级数公式。

该公式可以用来求出任何正整数的乘积，具有非常重要的应用价值。

本文将介绍欧拉乘积公式的推导过程，以及它的应用前景。

一、欧拉乘积公式及其推导过程从简单的形式定义欧拉乘积公式来看，它表示为∏(n) = n! = n (n-1) (n-2) ... 2 1其中，n!表示n的阶乘，即n个正整数的乘积，定义为：n ! = 1 2 3 (n-1) n让我们来看看欧拉乘积公式的推导过程：对n＞1，用数学归纳法可以得出：1.(n+1)! = (n+1)×n! = (n+1)×n×(n-1)!2.(n+1)! = (n+1)×n×(n-1)×…×2×13.(n+2)! = (n+2)×(n+1)! = (n+2)×(n+1)×n×(n-1)!4.(n+2)! = (n+2)×(n+1)×n×(n-1)×…×2×1在上面的两个等式中，得出：(n+2)!=(n+2)×(n+1)×n×(n-1)!=(n+2)×(n+1)×n×(n-1)×…×2×1左边的乘积是(n+2)!，右边的乘积是(n+2)×(n+1)×n×(n-1)×…×2×1，将两边同时除以n!：(n+2)!/(n!)=(n+2)×(n+1)×n×(n-1)×…×2×1/n!由此可得(n+2)!/((n+1)!)=(n+1)×n!，又由1得出：(n+2)! /((n+1)!)= (n+1)!由上式可得：∏(n+2)=(n+1)∏(n)易知：∏(2)=(2)!∏(3)=(2)∏(2)=(2)×(2)!∏(4)=(3)∏(3)=(3)×(2)∏(2)=(3)×(2)×(2)!∏(5)=(4)∏(4)=(4)×(3)∏(3)=(4)×(3)×(2)∏(2)=(4)×(3)×(2)×(2)!以此类推，∏(n)=(n-1)∏(n-1)=(n-1)×(n-2)∏(n-2)=(n-1)×(n-2)×…2∏(2)=(n-1)×(n-2)×…2×(2)!综上所述，欧拉乘积公式可表示为：∏(n)=n!=n×(n-1)×(n-2)×…2×1二、欧拉乘积公式的应用欧拉乘积公式对研究质数有重要作用。

欧拉函数公式及其证明

欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n ，小于n 且和n 互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

完全余数集合：定义小于n 且和n 互质的数构成的集合为Zn ，称呼这个集合为n 的完全余数集合。

显然|Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：对于素数p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数p，q ，它们的乘积n = p * q 满足φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ，则φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理：对于互质的正整数a 和n ，有aφ(n)≡ 1 mod n。

证明：( 1 ) 令Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ，S= {a * x1mod n, a * x2mod n, ... , a * xφ(n)mod n} ，则Zn = S 。

①因为a 与n 互质，x i (1 ≤ i ≤φ(n)) 与n 互质，所以a * x i与n 互质，所以a * x i mod n ∈ Zn 。

②若i ≠ j ，那么x i≠x j，且由a, n互质可得a * x i mod n ≠a * x j mod n （消去律）。

( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n)mod n≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n≡ (a * x1mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n)mod n) mod n≡x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n对比等式的左右两端，因为x i(1 ≤ i ≤φ(n)) 与n 互质，所以aφ(n)≡ 1 mod n （消去律）。

欧拉公式的证明和应用

欧拉公式的证明和应用work Information Technology Company.2020YEAR数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一 .序言------------------------------------------------------------------------2二.欧拉公式的证明--------------------------------------31.1 极限法 --------------------------------------31.2 指数函数定义法-------------------------------41.3 分离变量积分法-------------------------------41.4 复数幂级数展开法-----------------------------41.5 变上限积分法---------------------------------51.6 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用2.1 求高阶导数-----------------------------------72.2 积分计算------------------------------------8 2.3 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 2.4 求函数级数展开式----------------------------9 2.5 三角级数求和函数----------------------------10 2.6 傅里叶级数的复数形式-------------------------10四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11一．序言欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。

欧拉函数和欧拉公式

欧拉函数和欧拉公式欧拉函数本文介绍的是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

关于形式为的函数当n为1至1000的整数时的值在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。

例如，因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群(即环的所有单位元组成的乘法群)的阶。

这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

欧拉函数的值(小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)。

若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质，。

证明:设A, B, C是跟m, n, mn 互质的数的集，据中国剩余定理，和可建立双射(一一对应)的关系。

因此的值使用算术基本定理便知，若则。

其中是使得整除的最大整数(这里)。

例如性质n的欧拉函数也是循环群 C 的生成元的个数(也是n阶分圆多项式的次n 数)。

C 中每个元素都能生成 C 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。

而nn且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。

此外， C 的所有子群都具有 nC 的形式，其中d整除n(记作d | n)。

因此只要考察n的所有因数d，将 C dd的生成元个数相加，就将得到 C 的元素总个数:n。

也就是说: n其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于的公式:其中μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

对任何两个互质的正整数a, m(即 gcd(a,m) = 1)，，有即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与互质的都属于环 ma的单位元组成的乘法群当m是质数p时，此式则为:即费马小定理。

生成函数以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质:。

由(n)生成的狄利克雷级数是:其中ζ(s)是黎曼ζ函数。

推导过程如下:使用开始时的等式，就得到:于是欧拉函数生成的朗贝级数如下:其对于满足 |q|<1 的q收敛。

欧拉函数公式及其证明

欧拉函数公式及其证明 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。

完全余数集合：定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。

显然|Zn|＝φ(n)。

有关性质：对于素数p，φ(p)=p-1。

对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。

这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。

证明：(1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}，则Zn=S。

①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。

②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i modn≠a*x j modn（消去律）。

(2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)modn≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn≡x1*x2*...*xφ(n)modn对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。

注：消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodpa≡bmodp。

费马定理：若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1modp。

证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。

欧拉函数积性公式证明

欧拉函数积性公式证明定义：两个整数相除N/m一定可以表示为N=m·u+r，在初等数论中称m为模，r为剩余，如果r为非负整数那么r∈{0,1,2,...，m-1}中一个。

表示式可简化为N≡r modm；模m 对应的剩余集记rmodm。

欧拉发现剩余集中的元素其中与模m互质的个数非常有意义，并从“若m与N互质，则r与m也互质”启发，找到了计算方法。

为了纪念他以他的名字称谓欧拉函数φ(m)。

如8的剩余集为{0,1,2，...，7}八个元素，但与8互质的为{1,3,5,7}只有4个，即φ(8)=4。

定理1：若q与p互质，则φ(q·p)= φ(q)·φ(p)。

证明：设a,b分别是模q和p互质的剩余集（记Z q和Z p）的元素，根据中国剩余定理，即联立不定方程N≡a modq，N≡b modp 的解→N≡r modq·p，r是唯一的，r≡(ap·p-1+bq·q-1) modq·p，p-1是p的逆，p·p-1≡1modq。

且对于不同的a或b，集合{(ap·p-1+bq·q-1) modq·p}的元素两两不相交，否则△a·p p-1≡△b·qq-1 modq·p，由于△a＜q、△b＜p，故等式不成立。

于是根据乘法原理对于不同的a或b 集合Z q×Z p与Z qp一一对应，故φ(q·p)=φ(q)·φ(p)。

定理2：p j(j=1,2,...)均为不同的素数，欧拉函数可以表示为φ(m)=m·∏(1-1/p j) (j 为 m 的素因子的个数)。

证：根据算数基本定理任何整数可以表示为m= ∏p j k j ,以及φ(p k)=p k- p k-1(与p k有公约数的剩余个数)=(p-1)p k-1，两式结合就得到上述著名的欧拉函数公式。

欧拉乘积公式推导过程

欧拉乘积公式推导过程在数学中，欧拉乘积公式是一个著名的公式，它也被称为Euler Product Formula或乘积公式，由欧拉在18世纪末发明。

它的推导及其应用已经被用于数学、物理学和工程学的许多领域中。

其中，最常见的应用是用于数论学中的素数研究。

欧拉乘积公式通常写作：$$prod_{n=1}^{infty}(1-q^n)=frac{1}{1-q}$$其中q为一个实数。

换句话说，欧拉乘积公式表明，从n=1开始累乘所有(1-q^n)的乘积将等于$frac{1}{1-q}$。

欧拉乘积公式的推导很简单，关键在于以下计算：$$prod_{n=1}^{infty}(1-q^n)=frac{1}{1-q}$$首先，对于等比数列$q,q^2,q^3,q^4…$，可以将它写成：$$prod_{n=1}^{infty}(1-q^n)= 1-q times frac{1-q^2}{1-q} times frac{1-q^3}{1-q^2} times frac{1-q^4}{1-q^3} times cdots$$为了简化计算，可以将累乘的除式转换成加式：$$prod_{n=1}^{infty}(1-q^n)= 1-q + q^2 - q^3 + q^4 - q^5 + q^6 - q^7 + q^8 - q^9 + cdots$$这里$q^n$代表$q$的$n$次方。

因此，累乘的结果可以写成：$$prod_{n=1}^{infty}(1-q^n)= 1-q + q-q^2 + q^2 - q^3 + q^3 - q^4 + q^4 - q^5 + q^5 - cdots$$利用恒等式$a-b=a+(-b)$，可以把上面的公式写成：$$prod_{n=1}^{infty}(1-q^n)=(1-q) + (q-q^2) + (q^2-q^3) + (q^3-q^4) + (q^4-q^5) + cdots$$同时，可以把上式展开为：$$(1-q) + (q-q^2) + (q^2-q^3) + (q^3-q^4) + (q^4-q^5) + cdots =1 - q + q - q^2 + q^2 - q^3 + q^3 - q^4 + q^4 - q^5 + cdots $$两边同时取累加结果，可得：$$prod_{n=1}^{infty}(1-q^n)=frac{1}{1-q}$$可以看出，在推导中，我们把原来的累乘项转换成了累加项，从而达到了简化计算的目的。

欧拉无穷乘积公式

欧拉无穷乘积公式欧拉无穷乘积公式是数学中一个非常重要的公式，它可以用来表示任意一个复数的正弦函数。

这个公式被称为欧拉无穷乘积公式，是因为它是由瑞士数学家欧拉于18世纪提出的。

欧拉无穷乘积公式的形式如下：sin(x) = x * (1 - x^2/π²) * (1 - x^2/4π²) * (1 - x^2/9π²) * ...其中的每一项都是一个乘积，而乘积的每一项中都有一个分数，其分母是一个平方数乘以π²。

这个公式的意义在于，它将正弦函数的无穷乘积形式化表示出来，使得我们可以更好地理解和研究正弦函数的性质。

在这个公式中，x表示一个实数，可以是任意实数。

当x取0时，整个乘积为0，而当x取正整数倍的π时，整个乘积为正无穷大。

对于其他的实数x，通过不断地乘上这个无穷乘积的每一项，我们可以逼近sin(x)的值。

欧拉无穷乘积公式的证明是比较复杂的，涉及到数学分析中的级数和复数理论。

在这里，我们不做详细的证明，只是简单地介绍一下这个公式的应用。

欧拉无穷乘积公式可以用来计算正弦函数的值。

通过不断地乘上乘积的每一项，我们可以逐渐逼近正弦函数在给定实数x处的值。

这在数值计算和图像绘制中非常有用，可以帮助我们更加精确地计算和表示正弦函数的值。

欧拉无穷乘积公式还可以用来研究正弦函数的性质。

通过对乘积的每一项进行分析，我们可以得到正弦函数在不同实数x处的性质，比如函数的周期性、奇偶性等。

这对于深入理解正弦函数的特点和应用具有重要意义。

欧拉无穷乘积公式还可以推广到其他函数的表示上。

通过类似的方法，我们可以得到其他函数的无穷乘积表示，从而更好地理解和研究这些函数的性质。

需要注意的是，欧拉无穷乘积公式是一个近似表示，它只能逼近正弦函数的值，并不是一个严格的等式。

在实际应用中，我们需要根据需要选择适当的精度和范围，来使用这个公式进行计算和分析。

总结起来，欧拉无穷乘积公式是数学中一个重要而有用的工具，它可以用来表示正弦函数的无穷乘积形式，并通过逐项相乘的方式来计算和研究正弦函数的性质。