实际问题与二次函数课件
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实际问题与二次函数2名师课件
则得到：AE 3 x ，腰长 AB CD 2 3 x
3
3
两腰与下底的和为4得到：下底为 BC 4 4 3 x
3
所以上底为 AD 4 2 3 x
3
设横断面的面积为S，则 S 1 (AD BC)BE 3x2 4x
2
3 0，对称轴为x 2 3 3
∴当
x
23 3
时，横断面面积最大为
22
2
a 1 0, 且 x 8 2
∴ 当x=8时，S取最大值为64.
探究一：最大面积
重点知识★
活动3 变式应用
例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米墙可 以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出 面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错 点，最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．
【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形． 解答抛物线形实际问题的一般思路： 1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题； 2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标； 3.求抛物线的解析式.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰 与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大， 最大面积是____________．
解：（1）横向甬道的面积为： 1 (120 180)x 150x(cm2 )
（2）依题意：2
80x
2 150x
2x2
1
(120
180)
80
1
2
8
整理得：x2 155x 750 0
二次函数与实际问题课件ppt
∴x=2.5时，y极大值=6125．
怎样确 定x的取 值范围？
你能回答了吧！
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定
价能使利润最大了吗？
归纳探究，总结方法
1．由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高）
点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际
意义，确定自变量的取值范围．
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大
值或最小值．
3.某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间的房价为每 天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价增加 到10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对旅客居住的每 个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每 天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加X元 （X为10的整数倍）．
4a
时，
长为 (60 l)m，场地的
2
面积：S=l(30-l)即
S=-l2+30l自变量的取
当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．值范围(0<l<30)．
探究点一 构建二次函数模型，解决几何最值类应用题
结论
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）
点，所以当
x b 2a
时，二次函数y=ax2+bx+c有
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？ 哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
怎样确 定x的取 值范围？
你能回答了吧！
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定
价能使利润最大了吗？
归纳探究，总结方法
1．由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高）
点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际
意义，确定自变量的取值范围．
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大
值或最小值．
3.某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间的房价为每 天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价增加 到10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对旅客居住的每 个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每 天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加X元 （X为10的整数倍）．
4a
时，
长为 (60 l)m，场地的
2
面积：S=l(30-l)即
S=-l2+30l自变量的取
当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．值范围(0<l<30)．
探究点一 构建二次函数模型，解决几何最值类应用题
结论
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）
点，所以当
x b 2a
时，二次函数y=ax2+bx+c有
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？ 哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
22.3实际问题与二次函数 课件人教版数学九年级上册
【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时 ，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范 围 内 ，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时 ，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时 ，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时 ，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。
实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册
例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面 在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面 宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系 式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m． 一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起 一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据 这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立 平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建 立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线 对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经 过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高 度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章 二次函数
人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件(共20页)
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护 栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这 条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时， 如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护 栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这 条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时， 如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
九年级数学上册2实际问题与二次函数(利润问题)课件
x
b 2a
5时，y最大值
10 52
100
5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐标
的横坐标时，这个函数
有最大值。由公式可以
30
x \ 元 求出顶点的横坐标.
期少卖10x件，实际卖出(300-10x)件,每件利润为 (60+x-40) 元，
因此，所得利润为 （60+x-40）(300-10x)
元
怎样确定 x的取值
范围
y=(60+x-40)(300-10x)
即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)
∴当x=5时，y最大值=6250
也可以这样求极值
某商品现在的售价为每件60元，每 星期可卖出300件，市场调查反应： 每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出20件， 已知商品的进价为每件40元，如何 定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y
也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1） 的过程得出答案。
解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，实 际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，因 此，得利润
b=(300+20a)(60-40-a)
实际问题与二次函数优秀课件
实际问题与二次函数
知识回顾 二次函数
的顶点公式是什么？
定价问题 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调 查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件； 每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？
这个问题要分几种情况讨论？ 两种：涨价的情况和降价的情况
这是一个二次函数， 在顶点处取到最值．
6250 即定价为65元时，利润最大，为6250元．
降价
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调 查反映：如调整价格，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 分析：设降价 x 元，则每件衣服的利润是（__2_0_-_x__）___元．
利用二次函数求最值 如何定价才能使得利润最大？
练习
某商品进货单价为10元，按30元一件出售时，能售出100件． 如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件．设每件产品涨 x元，所获利润为y元，可得函数关系式为___________________．
练习
某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 180 元时，房间会全部住满 . 当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲 . 如果游客居住房间，宾馆需对每 个房间每天支出 20 元的各种费用 . 房价定为多少时，宾馆利润 最答大案？：房价定为 350 元，宾馆利润最大， 最大利润为 10890 元．
练习
某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段 时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每 上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销 售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为40__________元．
知识回顾 二次函数
的顶点公式是什么？
定价问题 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调 查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件； 每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？
这个问题要分几种情况讨论？ 两种：涨价的情况和降价的情况
这是一个二次函数， 在顶点处取到最值．
6250 即定价为65元时，利润最大，为6250元．
降价
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调 查反映：如调整价格，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 分析：设降价 x 元，则每件衣服的利润是（__2_0_-_x__）___元．
利用二次函数求最值 如何定价才能使得利润最大？
练习
某商品进货单价为10元，按30元一件出售时，能售出100件． 如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件．设每件产品涨 x元，所获利润为y元，可得函数关系式为___________________．
练习
某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 180 元时，房间会全部住满 . 当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲 . 如果游客居住房间，宾馆需对每 个房间每天支出 20 元的各种费用 . 房价定为多少时，宾馆利润 最答大案？：房价定为 350 元，宾馆利润最大， 最大利润为 10890 元．
练习
某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段 时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每 上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销 售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为40__________元．
22.3实际问题与二次函数PPT课件
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x)
怎样确定x 的取值范围
=-20x2+100x+6000
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小值，是 1 。
题型1：最大高度问题
题型2：最大面积问题
解：设
场地的面积
l
答：
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
题型4：二次函数建模问题 解：y ax2
由抛物线经过点（2，-2），可得
y
探究3：
a1 2
所以，这条抛物线的二次函数为：
C
D
y 1 x2
x 当水面下降1m时，水2面的纵坐标为
A
(2,-2)
0
●B
l
y 3 当 y 3时，x 6
如图是抛物线形拱桥，当拱 所以，水面下降1m，水面的宽
y1(x2)2 2
当水面下降1m2时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
拱顶离水面2m，水面宽度4m，
y 1
水面下降1m，水面宽度为多少？当 y 1 时， x 62
水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的
实际问题与二次函数_课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
活动2 提升型例题
例2.某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月 可卖出100件；如果每件商品售价每上涨1元，则每个月少卖2 件。设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利 润为y元。 （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大 月利润是多少元？ （3）当售价的范围是多少时，使得每件商品的利润率不超过 80%且每个月的利润不低于2250元？
探究一： 销售问题中的利润最大问题
重点、难点知识★▲
活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式。
销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的 数量关系是什么？
成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；
利润=每件利润×销售量 每件利润=每件售价﹣每件进价。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究一： 销售问题中的利润最大问题 活动2 整合旧知，探究利润最大问题。
重点、难点知识★▲
例1.小红的爸爸出售一批衬衣，这批衬衣现在的售价是 60元每件，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何 定价才能使利润最大？
思考 1.问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获
（2）若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为
__6_0_-_x_ 元 ， 每 件 利 润 为 __6_0_-_x-_4_0___ 元 ， 每 星 期 多 卖 __2_0_x__ 件 ， 实 际 卖 出 __3_0_0_+_2_0_x____ 件 。 所 以 利 润 _y___60___x__4_0__30_0__2_0_x______________；
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图 22-3-3
解：(1)设抛物线解析式为 y＝ax2，由已知可知：OC＝0.6， AC＝0.6，则点 A 的坐标为(0.6,0.6)，代入到 y＝ax2 中，
得 a＝53，则抛物线的解析式为 y＝53x2. (2)点 D1，D2 的横坐标分别为 0.2,0.4，代入到 y＝53x2 中， 可得点 D1，D2 的纵坐标分别为 y1＝53×0.22＝115，y2＝53×0.42＝145. 所以立柱 C1D1＝0.6－0.07＝0.53， C2D2＝0.6－0.27＝0.33. 由于抛物线关于 y 轴对称，栅栏所需立柱的总长度为
2．实际问题中的二次函数 (1)先根据题意列函数解析式，再确定自__变__量__的取值范围， 要使实际问题有意义，最后根据题意求解． (2)某些问题只有通过建立直角坐标系才能求函数解析式， 因此需先建立直角坐标系，一般是以抛物线顶点为原点，对称 轴为 y 轴作为建立直角坐标系的原则.
知识点 1 根据实际问题列二次函数 【例 1】 用一定长度的不锈钢材料设计成外观为矩形的框 架[如图 26-3-1 中(1)(2)(3)中的一种]．
解：(1)设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c， ∵当 x＝0 时，y＝1；当 x＝1 时，y＝1.5；当 x＝2 时，y＝1.8.
1＝c， ∴1.5＝a＋b＋c，
1.8＝4a＋2b＋c.
a＝－0.1， 解得b＝0.6，
c＝1.
∴所求的二次函数的关系式为 y＝－0.1x2＋0.6x＋1. (2)由题意，得 s＝10y(3－2)－x ＝10(－0.1x2＋0.6x＋1)－x ＝－x2＋5x＋10.
【练习】
1．矩形的一边长为 x，周长为 8，则当矩形面积最大时，
x的值为( B )
A．4
B．2
C．6
D．5
2．某公司生产 A 种产品，它的成本 2 元，售价为 3 元，年 销售量为 100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定 的资金做广告，根据经验，当每年投入的广告费是 x(单位：10 万元)时，产品的年销售量是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次 函数，它们的关系如下表所示.
设抛物线为 y＝ax2＋k，
由 B，D 两点在抛物线上，有1265aa＋ ＋kk＝ ＝20， .
解这个方程组，得 a＝－29，k＝－590. 所以，抛物线解析式为 y＝－29x2－590， 其顶点坐标为0，－590. 则 OE＝590.故590÷0.1＝5090(h)． 所以，若洪水到来，水位以每小时 0.1 m 速度上升，经过5090 小时会达到拱顶．
(3)∵s＝－x2＋5x＋10＝－x－522＋745. 由于 1≤x≤3，∴当 1≤x≤2.5 时，s 随 x 的增大而增大． ∴广告费在 10 万元～25 万元，公司获得的年利润随广告 费的增大而增大．
知识点 2 建立恰当的坐标系解实际问题(难点) 【例 2】 如图 22-3-2，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处 在目前的水位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将 达到警戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每 小时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？
x/10 万元 y
0
1
2
…
1
1.5
1.8
…
(1)写出 y 与 x 的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写 出年利润 s(单位：10 万元)与广告费 x(单位：10 万元)的函数关 系式；
(3)如果投入的年广告费为 10 万元～30 万元，问广告费在 什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．
图 22-3-2
点拨：根据题意，建立合适的平面直角坐标系，根据 已知确定抛物线上有关点的坐标，求解析式，并运用解析式解 答题目的问题．
解：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 中点为原点，建立平面 直角坐标系，则抛物线的顶点 E 在 y 轴上，且 B，D 两点的坐 标分别为(5,0)，(4,2)．
(3)在图 22-3-1(3)中，如果不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档，那么当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？ 最大面积是多少？
解：(1)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 3 条竖档时， BC＝12－3 3x＝4－x，
∴x(4－x)＝3.解得 x＝1 或 x＝3. (2)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 4 条竖档时，BC＝ 12－3 4x，矩形框架 ABCD 的面积 S＝x·12－3 4x＝－43x2＋4x. 当 x＝－2×4－43＝32时，S 最大值＝3. ∴当 x＝32时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积为 3 平方米．
【跟踪训练】 3．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如 图 22-3-3 所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，按相同的间距 0.2 米，用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米． (1)以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式； (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)．
2(C1D1＋C2D2)＋OC＝20.53＋115＋145＋0.6≈2.3(米)．
图22-3-1
设竖档 AB＝x 米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的 不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和 竖档分别与 AD，AB 平行)．
(1)在图 22-3-1(1)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米？
(2)在图 22-3-1(2)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？
(3)当不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档时，BC＝ a－3nxn3x2＋a3x.
a 当 x＝－2×3－n3＝2an时，S 最大值＝1a22n.
∴当 x＝2an时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积 为1a22n平方米．
实际问题与二次函数
课前预习： 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值 (1)当 a>0 时，二次函数的图象(抛物线)有最___低___点，当 x＝_－__2_ba__时，函数有最__小__值为_4_a_c4_－a__b_2．
(2)当 a<0 时，二次函数的图象(抛物线)有最___高___点，当 x＝_－__2_ba__时，函数有最__大__值为_4_a_c4_－a__b_2 ．
解：(1)设抛物线解析式为 y＝ax2，由已知可知：OC＝0.6， AC＝0.6，则点 A 的坐标为(0.6,0.6)，代入到 y＝ax2 中，
得 a＝53，则抛物线的解析式为 y＝53x2. (2)点 D1，D2 的横坐标分别为 0.2,0.4，代入到 y＝53x2 中， 可得点 D1，D2 的纵坐标分别为 y1＝53×0.22＝115，y2＝53×0.42＝145. 所以立柱 C1D1＝0.6－0.07＝0.53， C2D2＝0.6－0.27＝0.33. 由于抛物线关于 y 轴对称，栅栏所需立柱的总长度为
2．实际问题中的二次函数 (1)先根据题意列函数解析式，再确定自__变__量__的取值范围， 要使实际问题有意义，最后根据题意求解． (2)某些问题只有通过建立直角坐标系才能求函数解析式， 因此需先建立直角坐标系，一般是以抛物线顶点为原点，对称 轴为 y 轴作为建立直角坐标系的原则.
知识点 1 根据实际问题列二次函数 【例 1】 用一定长度的不锈钢材料设计成外观为矩形的框 架[如图 26-3-1 中(1)(2)(3)中的一种]．
解：(1)设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c， ∵当 x＝0 时，y＝1；当 x＝1 时，y＝1.5；当 x＝2 时，y＝1.8.
1＝c， ∴1.5＝a＋b＋c，
1.8＝4a＋2b＋c.
a＝－0.1， 解得b＝0.6，
c＝1.
∴所求的二次函数的关系式为 y＝－0.1x2＋0.6x＋1. (2)由题意，得 s＝10y(3－2)－x ＝10(－0.1x2＋0.6x＋1)－x ＝－x2＋5x＋10.
【练习】
1．矩形的一边长为 x，周长为 8，则当矩形面积最大时，
x的值为( B )
A．4
B．2
C．6
D．5
2．某公司生产 A 种产品，它的成本 2 元，售价为 3 元，年 销售量为 100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定 的资金做广告，根据经验，当每年投入的广告费是 x(单位：10 万元)时，产品的年销售量是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次 函数，它们的关系如下表所示.
设抛物线为 y＝ax2＋k，
由 B，D 两点在抛物线上，有1265aa＋ ＋kk＝ ＝20， .
解这个方程组，得 a＝－29，k＝－590. 所以，抛物线解析式为 y＝－29x2－590， 其顶点坐标为0，－590. 则 OE＝590.故590÷0.1＝5090(h)． 所以，若洪水到来，水位以每小时 0.1 m 速度上升，经过5090 小时会达到拱顶．
(3)∵s＝－x2＋5x＋10＝－x－522＋745. 由于 1≤x≤3，∴当 1≤x≤2.5 时，s 随 x 的增大而增大． ∴广告费在 10 万元～25 万元，公司获得的年利润随广告 费的增大而增大．
知识点 2 建立恰当的坐标系解实际问题(难点) 【例 2】 如图 22-3-2，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处 在目前的水位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将 达到警戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每 小时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？
x/10 万元 y
0
1
2
…
1
1.5
1.8
…
(1)写出 y 与 x 的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写 出年利润 s(单位：10 万元)与广告费 x(单位：10 万元)的函数关 系式；
(3)如果投入的年广告费为 10 万元～30 万元，问广告费在 什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．
图 22-3-2
点拨：根据题意，建立合适的平面直角坐标系，根据 已知确定抛物线上有关点的坐标，求解析式，并运用解析式解 答题目的问题．
解：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 中点为原点，建立平面 直角坐标系，则抛物线的顶点 E 在 y 轴上，且 B，D 两点的坐 标分别为(5,0)，(4,2)．
(3)在图 22-3-1(3)中，如果不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档，那么当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？ 最大面积是多少？
解：(1)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 3 条竖档时， BC＝12－3 3x＝4－x，
∴x(4－x)＝3.解得 x＝1 或 x＝3. (2)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 4 条竖档时，BC＝ 12－3 4x，矩形框架 ABCD 的面积 S＝x·12－3 4x＝－43x2＋4x. 当 x＝－2×4－43＝32时，S 最大值＝3. ∴当 x＝32时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积为 3 平方米．
【跟踪训练】 3．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如 图 22-3-3 所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，按相同的间距 0.2 米，用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米． (1)以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式； (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)．
2(C1D1＋C2D2)＋OC＝20.53＋115＋145＋0.6≈2.3(米)．
图22-3-1
设竖档 AB＝x 米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的 不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和 竖档分别与 AD，AB 平行)．
(1)在图 22-3-1(1)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米？
(2)在图 22-3-1(2)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？
(3)当不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档时，BC＝ a－3nxn3x2＋a3x.
a 当 x＝－2×3－n3＝2an时，S 最大值＝1a22n.
∴当 x＝2an时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积 为1a22n平方米．
实际问题与二次函数
课前预习： 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值 (1)当 a>0 时，二次函数的图象(抛物线)有最___低___点，当 x＝_－__2_ba__时，函数有最__小__值为_4_a_c4_－a__b_2．
(2)当 a<0 时，二次函数的图象(抛物线)有最___高___点，当 x＝_－__2_ba__时，函数有最__大__值为_4_a_c4_－a__b_2 ．