实际问题与二次函数课件

2．实际问题中的二次函数 (1)先根据题意列函数解析式，再确定自__变__量__的取值范围， 要使实际问题有意义，最后根据题意求解． (2)某些问题只有通过建立直角坐标系才能求函数解析式， 因此需先建立直角坐标系，一般是以抛物线顶点为原点，对称 轴为 y 轴作为建立直角坐标系的原则.
知识点 1 根据实际问题列二次函数 【例 1】 用一定长度的不锈钢材料设计成外观为矩形的框 架[如图 26-3-1 中(1)(2)(3)中的一种]．
解：(1)设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c， ∵当 x＝0 时，y＝1；当 x＝1 时，y＝1.5；当 x＝2 时，y＝1.8.
1＝c， ∴1.5＝a＋b＋c，
1.8＝4a＋2b＋c.
a＝－0.1， 解得b＝0.6，
c＝1.
∴所求的二次函数的关系式为 y＝－0.1x2＋0.6x＋1. (2)由题意，得 s＝10y(3－2)－x ＝10(－0.1x2＋0.6x＋1)－x ＝－x2＋5x＋10.
【练习】
1．矩形的一边长为 x，周长为 8，则当矩形面积最大时，
x的值为( B )
A．4
B．2
C．6
D．5
2．某公司生产 A 种产品，它的成本 2 元，售价为 3 元，年 销售量为 100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定 的资金做广告，根据经验，当每年投入的广告费是 x(单位：10 万元)时，产品的年销售量是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次 函数，它们的关系如下表所示.
x/10 万元 y
0
1
2
…
1
1.5
1.8
…
(1)写出 y 与 x 的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写 出年利润 s(单位：10 万元)与广告费 x(单位：10 万元)的函数关 系式；
(3)如果投入的年广告费为 10 万元～30 万元，问广告费在 什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．
2(C1D1＋C2D2)＋OC＝20.53＋115＋145＋0.6≈2.3(米)．
图 22-3-2
点拨：根据题意，建立合适的平面直角坐标系，根据 已知确定抛物线上有关点的坐标，求解析式，并运用解析式解 答题目的问题．
解：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 中点为原点，建立平面 直角坐标系，则抛物线的顶点 E 在 y 轴上，且 B，D 两点的坐 标分别为(5,0)，(4,2)．
(3)在图 22-3-1(3)中，如果不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档，那么当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？ 最大面积是多少？
解：(1)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 3 条竖档时， BC＝12－3 3x＝4－x，
∴x(4－x)＝3.解得 x＝1 或 x＝3. (2)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 4 条竖档时，BC＝ 12－3 4x，矩形框架 ABCD 的面积 S＝x·12－3 4x＝－43x2＋4x. 当 x＝－2×4－43＝32时，S 最大值＝3. ∴当 x＝32时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积为 3 平方米．
(3)当不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档时，BC＝ a－3nx，
矩形框架 ABCD 的面积 S＝x·a－3nx＝－n3x2＋a3x.
a 当 x＝－2×3－n3＝2an时，S 最大值＝1a22n.
∴当 x＝2an时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积 为1a22n平方米．
实际问题与二次函数
课前预习： 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值 (1)当 a>0 时，二次函数的图象(抛物线)有最___低___点，当 x＝_－__2_ba__时，函数有最__小__值为_4_a_c4_－a__b_2．
(2)当 a<0 时，二次函数的图象(抛物线)有最___高___点，当 x＝_－__2_ba__时，函数有最__大__值为_4_a_c4_－a__b_2 ．
图 22-3-3
解：(1)设抛物线解析式为 y＝ax2，由已知可知：OC＝0.6， AC＝0.6，则点 A 的坐标为(0.6,0.6)，代入到 y＝ax2 中，
得 a＝53，则抛物线的解析式为 y＝53x2. (2)点 D1，D2 的横坐标分别为 0.2,0.4，代入到 y＝53x2 中， 可百度文库点 D1，D2 的纵坐标分别为 y1＝53×0.22＝115，y2＝53×0.42＝145. 所以立柱 C1D1＝0.6－0.07＝0.53， C2D2＝0.6－0.27＝0.33. 由于抛物线关于 y 轴对称，栅栏所需立柱的总长度为
设抛物线为 y＝ax2＋k，
由 B，D 两点在抛物线上，有1265aa＋ ＋kk＝ ＝20， .
解这个方程组，得 a＝－29，k＝－590. 所以，抛物线解析式为 y＝－29x2－590， 其顶点坐标为0，－590. 则 OE＝590.故590÷0.1＝5090(h)． 所以，若洪水到来，水位以每小时 0.1 m 速度上升，经过5090 小时会达到拱顶．
【跟踪训练】 3．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如 图 22-3-3 所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，按相同的间距 0.2 米，用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米． (1)以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式； (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)．
图22-3-1
设竖档 AB＝x 米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的 不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和 竖档分别与 AD，AB 平行)．
(1)在图 22-3-1(1)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米？
(2)在图 22-3-1(2)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？
(3)∵s＝－x2＋5x＋10＝－x－522＋745. 由于 1≤x≤3，∴当 1≤x≤2.5 时，s 随 x 的增大而增大． ∴广告费在 10 万元～25 万元，公司获得的年利润随广告 费的增大而增大．
知识点 2 建立恰当的坐标系解实际问题(难点) 【例 2】 如图 22-3-2，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处 在目前的水位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将 达到警戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每 小时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？