专训1 巧用线段中点的有关计算
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专训1 巧用线段中点的有关计算
名师点金:利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算,由相等的线段去判断中点时,点必须在线段上才能成立.
线段中点问题
类型1 与线段中点有关的计算
1.如图,点C 在线段AB 上,AC =8 cm ,CB =6 cm ,点M ,N 分别是AC ,BC 的中点.
(1)求线段MN 的长.
(2)若C 为线段AB 上任一点,满足AC +CB =a cm ,其他条件不变,你能猜想MN 的长度吗?并说明理由.
(第1题)
类型2 与线段中点有关的说明题
2.画线段MN =2 cm ,在线段MN 上取一点Q ,使MQ =NQ ;延长线段MN 到点A ,
使AN =12
MN ;延长线段NM 到点B ,使BN =3BM. (1)求线段BM 的长;
(2)求线段AN 的长;
(3)试说明点Q 是哪些线段的中点.
线段分点问题
类型1与线段分点有关的计算(设参法)
3.如图,B,C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分,M是AD的中点,CD=6 cm,求线段MC的长.
(第3题)
类型2线段分点与方程的结合
4.A,B两点在数轴上的位置如图所示,O为原点,现A,B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动.【导学号:11972070】
(1)几秒后,原点恰好在A,B两点正中间?
(2)几秒后,恰好有OA∶OB=1∶2?
(第4题)
答案
1.解:(1)因为点M ,N 分别是AC ,BC 的中点,
所以CM =12AC =12×8=4(cm ),CN =12BC =12
×6=3(cm ), 所以MN =CM +CN =4+3=7(cm );
(2)MN =12
a cm .理由如下: 同(1)可得CM =12AC ,CN =12
BC , 所以MN =CM +CN =12AC +12BC =12(AC +BC)=12
a cm . 点拨:(1)根据“点M ,N 分别是AC ,BC 的中点”,先求出MC 、CN 的长度,再利用MN =CM +CN 即可求出MN 的长度;(2)与(1)同理,先用AC 、BC 表示出MC 、CN ,MN 的长度就等于AC 与BC 长度和的一半.
2.解:如图:
(第2题)
(1)因为BN =3BM ,所以BM =12
MN. 因为MN =2 cm ,所以BM =12
×2=1(cm ). (2)因为AN =12
MN ,MN =2 cm ,所以AN =1 cm . (3)因为MN =2 cm ,MQ =NQ ,所以MQ =NQ =1 cm .
所以BQ =BM +MQ =1+1=2(cm ),
AQ =AN +NQ =2 cm .所以BQ =QA.
所以Q 是MN 的中点,也是AB 的中点.
3.解:设AB =2k cm ,则BC =4k cm ,CD =3k cm ,AD =2k +4k +3k =9k(cm ).因为
CD =6 cm ,即3k =6,所以k =2,则AD =18 cm .又因为M 是AD 的中点,所以MD =12
AD =12
×18=9(cm ).所以MC =MD -CD =9-6=3(cm ). 4.解:(1)设x 秒后,原点恰好在A ,B 两点正中间.依题意得x +3=12-4x ,解得x =1.8.
答:1.8秒后,原点恰好在A ,B 两点正中间.
(2)设t 秒后,恰好有OA ∶OB =1∶2.
①B 与A 相遇前:12-4t =2(t +3),即t =1;
②B 与A 相遇后:4t -12=2(t +3),即t =9.
答:1秒或9秒后,恰好有OA ∶OB =1∶2.