偏微分方程的弱解形式
泊松方程边值问题的弱形式
泊松方程边值问题的弱形式泊松方程是一种常见的偏微分方程，用于描述在无外力作用下，保持平衡的物理系统。
该方程在众多科学和工程领域中具有重要的应用，如电场分布、热传导和流体流动等。
泊松方程的基本形式如下：∇^2 Φ = f其中，Φ是待求函数，表示系统中某一物理量的势能或众多物理量之一，f是已知函数，表示泊松方程右侧的源项。
而边值问题是在给出了方程的某些边界条件条件下，求解泊松方程的解。
泊松方程的弱形式是一种通过假设解Φ与一个测试函数v之间的内积为零来定义的方程形式。
这可以通过将原方程乘以一个测试函数v，并对整个域Ω进行积分得到。
这样的话，泊松方程的弱形式可以表达为：∫∇^2 Φ v dV = ∫f v dV根据格林第一公式，上述弱形式可以写作：-∫∇Φ ∇v dV + ∫f v dV = 0通过将第一项应用于分部积分并丢弃边界积分项，我们可以将弱形式进一步简化为：∫∇Φ ∇v dV = ∫f v dV这样，泊松方程的弱形式就变成了一个求解一个变分问题的形式，其中Φ和v都是函数空间中的元素。
此时，我们可以使用适当的数学方法来求解这个边值问题。
对于给定的边界条件，我们可以选择合适的测试函数v，并将其施加在泊松方程的弱形式中。
然后，我们使用数学工具和算法对其进行离散化，转化为线性或非线性代数方程组，并求解出Φ的近似解。
泊松方程边值问题的弱形式在数学和工程领域中具有广泛的应用。
例如，在电场的模拟和建模中，可选择Φ为电势，f为电荷密度，以求解电场分布。
在热传导中，可将Φ视为温度场，f为热源密度，以求解温度分布。
此外，该方法还可应用于流体流动中的速度场、压力场等问题的求解。
总之，泊松方程边值问题的弱形式为求解复杂的偏微分方程提供了一种更便捷和高效的途径。
通过合适的方法和算法，我们可以将边值问题转化为数值方程，并求解出所需物理量的近似解，从而更好地理解和应用泊松方程。
1 ch1 数理方程
数理方程的基本概念一. 偏微分方程的基本概念12(,,,)n x x x x ="自变量12()(,,,)n u x u x x x ="未知函数偏微分方程：凡含有多元未知函数及未知函数关于自变量的偏导数的等式。
12111212(,,,,,,,,)0n mn m m m n nnu u u F x x u x x x x x m m m m ∂∂∂=∂∂∂∂∂=+++"""""，偏微分方程的一般形式:二.偏微分方程的介绍偏微分方程反映了变量u 和多个自变量x 之间的相约关系,物理学、力学、工程技术等自然科学，经济学、人口学等社会科学中很多重要变量关于时间、空间及其他因素的变化规律常常通过偏微分方程来描述。
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
三.偏微分方程的起源年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔贝努利也研究了数方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
偏微分方程的弱形式
A:弱形式一般是指对强形式方程（即微分方程）的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。
弱形式和'完全L'，'更新L'和'任意L'是不同的概念，弱形式和强形式对应，是对于微分（积分）方程即纯数学理论而言的，'完全L'，'更新L'和'任意L'是指拉格朗日描述的有限元方程的三种格式，全称是'完全拉格朗日格式'，'更新拉格朗日格式'和'任意欧拉－拉格朗日格式'，这是有限元方法的三种求解技术
一定也是弱形式方程的解，这个是保证强弱转换合理性的根本。其实在物理意义上，有限元的这个做法还存在一些争议，但是强形式到弱形式的转换是能够实施有限元这种计算方法的核心理论。
关于弱形式大概有'完全L'，'更新L'和'任意L'三种,不过我不做有限元理论的东西，具体的我不是很熟，这些楼主想了解的话借一些有限元书籍应该可以找到。
在固体力学的变分原理出现之前，以方程的弱形式求解问题确实不保证结果的收敛性、与物理实际的合理性
近几十年来陆续推导出固体力学变分原理，而由于固体力学方程（绝大多数情况）是拉格朗日描述的，其微分方程的算子是线性自伴随的，通过变换就与变分原理等效，因此固体力学变分原理是有限元方法（求解固体力学问题）的理论基础。也就是说对于固体力学问题，如果以前这样“强形式转弱形式”是有限元方法的核心理论的话，那么现在有限元方法的核心理论是固体力学的变分原理。至于争议，则是由于目前对于“变分”理论上的一些问题尚未完全解决
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究【标题】椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究【引言】椭圆型偏微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
解决这些方程的数值方法是研究和解决实际问题的重要手段之一。
其中，弱有限元方法作为一种数值解法，在椭圆型偏微分方程的研究中具有重要意义。
本文将从深度和广度的角度，探讨椭圆型偏微分方程的弱有限元方法的研究。
【主体部分】1. 弱有限元方法简介1.1 弱有限元方法的基本思想和原理弱有限元方法是有限元方法的一种变体，它通过构造一个合适的测试函数空间，将原偏微分方程通过乘以测试函数，并在局部区域上进行积分的方式，转化为求解线性代数方程组的问题。
弱有限元方法的基本思想是弱化原方程对解函数在各项导数的要求，从而得到更广泛适用的数值解法。
1.2 弱有限元方法的优势和限制弱有限元方法相对于传统有限元方法，在某些椭圆型偏微分方程的求解中具有一些优势，如处理不规则网格或复杂几何域时更加灵活，适用于非光滑解等。
然而，弱有限元方法也存在一些局限性，如对边界条件的处理较为复杂，不适用于某些高阶偏微分方程等。
2. 椭圆型偏微分方程的数值解法2.1 有限元方法与弱有限元方法的区别有限元方法是一种将连续问题转化为离散问题的数值方法，其关键是构造合适的试验函数空间。
与有限元方法相比，弱有限元方法在选择测试函数空间时更加宽松，从而得到了更广泛适用的数值解法。
2.2 弱有限元方法的数值离散化弱有限元方法在数值离散化过程中，需要选择适当的多项式空间，并基于测试函数的特性，构造离散的代数方程。
这一过程涉及到网格划分、积分计算和求解线性方程组等步骤，通过这些步骤可以得到椭圆型偏微分方程的数值解。
3. 弱有限元方法的应用3.1 泊松方程的弱有限元方法泊松方程是椭圆型偏微分方程的一个典型例子。
弱有限元方法在解决泊松方程时具有很好的适用性，并且可以灵活地处理各种边界条件和几何域。
3.2 椭圆方程组的弱有限元方法椭圆方程组是由多个椭圆型偏微分方程组成的方程组。
双曲方程弱解
双曲方程是一类偏微分方程，具有两个空间变量和一个时间变量。
其一般形式为：
∂²u/∂t² - c²(∂²u/∂x²) = 0
其中，u是未知函数，x是空间变量，t是时间变量，c是常数。
对于双曲方程，我们通常关注其弱解的概念。
弱解是在较弱的条件下满足方程的解。
具体而言，对于双曲方程，弱解需要满足以下性质：
能够满足双曲方程的积分形式：对于给定的测试函数φ(x, t)（在定义域上具有光滑的紧支集），弱解需满足以下积分形式的方程：
∫[∫(∂²u/∂t² - c²(∂²u/∂x²))φ(x, t)dx]dt = 0
满足适当的初值条件：弱解需要满足适当的初值条件，即在t = 0时的初始条件。
需要注意的是，双曲方程的弱解是一种比较宽泛的解概念，与经典解（如光滑解）不同。
弱解更加灵活，允许在较弱的条件下存在不连续性和间断性。
解双曲方程的具体方法和技巧因方程的形式、边界条件以及问题的特点而异。
通常采用变量分离、特征线方法、能量方法等技巧来解决双曲方程的弱解。
对于特定的双曲方程问题，可以使用特定的数值方法或解析方法来求得弱解。
总之，双曲方程的弱解满足方程的积分形式，并在适当的初值条件下成立。
弱解的求解需要根据具体问题和方程形式采用相应的方法和技巧。
偏微分方程的古典解与弱解
偏微分方程的古典解与弱解偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
对于一个给定的PDE，我们希望找到它的解来描述现实世界中的各种现象。
解是指满足该方程的函数或函数族。
一般来说，PDE的解可以分为两类：古典解（Classical Solution）和弱解（Weak Solution）。
古典解是指满足PDE及其边界条件以及初始条件的光滑函数。
它在解析性质和可微性方面具有良好的性质，能够无限次地求导。
弱解是指满足PDE的广义函数，它不需要具备太多的光滑性，只需要满足一定的积分条件。
接下来我们将详细介绍古典解和弱解的定义和性质。
一、古典解对于一个PDE，我们希望找到满足下面条件的函数u(x,t)作为它的古典解：1. 方程条件：PDE的左右两边都要存在且相等，即使对于高阶导数也是如此。
2. 边界条件：在指定的边界上，u要满足给定的条件。
3. 初始条件：在给定的初始时间t_0上，u(x,t_0)要满足给定的初始条件。
古典解具有很强的光滑性，可以无限次地求导。
它在解析和可微性方面具有优势，因此在提供了重要的解析工具和方法，可以用来解决各种物理、工程、经济学等领域中的问题。
二、弱解与古典解相比，弱解的定义更加宽泛，不依赖于函数的光滑性。
一个函数u(x,t)是一个PDE的弱解，需要满足以下条件：1. 对于一个给定的测试函数φ(x,t)，将PDE两边与φ(x,t)进行积分后，积分方程得到一个等式，即积分方程成立。
2. 对于所有满足上述条件的测试函数φ(x,t)，积分方程都成立。
弱解具有比古典解更广泛的适用性，可以适应更复杂的情况和边界条件。
弱解的定义基于积分方程和广义函数，它的求解方法通常是利用分布方程、变分原理及泛函分析等数学工具。
三、性质比较古典解和弱解在性质上有所区别：1. 光滑性：古典解具有光滑性，可以无限次求导；弱解则不一定拥有光滑性，只需满足积分方程的条件。
偏微分方程的基本理论与解法
偏微分方程的基本理论与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中非常重要的一个分支。
它描述了自然界中各种物理现象和工程问题中的变化和传播过程。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和一些常见的解法。
一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
它的一般形式可以表示为F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0，其中u是未知函数，而∂u/∂xi表示对变量xi的偏导数。
根据方程中涉及的未知函数的个数以及偏导数的阶数，偏微分方程可以分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：方程中包含一阶偏导数。
2. 二阶偏微分方程：方程中包含二阶偏导数。
3. 高阶偏微分方程：方程中包含高于二阶的偏导数。
4. 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
5. 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
二、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性：对于一些特定类型的偏微分方程，可以证明在一定的条件下，方程存在唯一的解。
这对于物理和工程问题的建模和求解非常重要。
2. 奇性理论：奇性现象是指当某些参数取特定值时，偏微分方程的解会发生突变。
奇性理论研究了这些特殊情况下方程解的行为。
3. 变分原理：变分原理是一种通过极小化能量泛函来求解偏微分方程的方法。
它是最优控制、计算物理等领域中的重要工具。
三、常见的偏微分方程解法1. 分离变量法：这是一种常见的求解线性偏微分方程的方法。
通过假设解可分离变量的形式，将方程转化为一系列常微分方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入一组参数，将方程转化为关于参数的常微分方程组。
3. 变换法：变换法通过引入适当的变换，将原方程转化为简单形式的偏微分方程，进而求解。
总结：本文简单介绍了偏微分方程的基本理论与解法。
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》范文
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》篇一一、引言分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equations，FPDEs）在物理、工程、生物医学等多个领域有着广泛的应用。
由于分数阶导数能够更好地描述复杂系统的非局部特性，因此研究分数阶偏微分方程的数值解法具有重要的理论和实践意义。
有限元方法作为一种有效的数值计算工具，在处理分数阶偏微分方程问题上表现出了突出的优势。
本文旨在综述分数阶偏微分方程的几类有限元方法的研究进展，探讨各自的优缺点和适用场景。
二、Caputo-Fabrizio 分数阶导数与偏微分方程的引入首先介绍Caputo-Fabrizio 分数阶导数的定义及其性质，这是研究分数阶偏微分方程的基础。
接着介绍不同领域中常见的偏微分方程，以及当其与分数阶导数结合时所形成的FPDEs。
这类方程在描述复杂系统的扩散、传播等过程时具有更高的精度和适应性。
三、有限元方法在分数阶偏微分方程中的应用（一）传统有限元方法传统有限元方法在处理FPDEs时，通过将连续的求解域划分为有限个离散单元，将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
对于FPDEs中的空间分数阶导数和/或时间分数阶导数，可以借助数值积分或差分法进行离散化处理。
本节将详细介绍传统有限元方法在FPDEs中的应用及其优缺点。
（二）局部弱解有限元方法局部弱解有限元方法是一种针对FPDEs的特殊有限元方法，其核心思想是利用弱解形式将FPDEs转化为等价的变分问题。
该方法能够有效地降低求解问题的复杂性，并提高求解精度。
本节将详细介绍局部弱解有限元方法的原理和实现过程，以及其在FPDEs中的应用实例。
（三）混合型有限元方法混合型有限元方法是一种结合了传统有限元方法和其他数值方法的混合型数值方法。
针对FPDEs中的不同类型导数（如空间导数和时间导数），可以灵活地选择不同的数值处理方法，以达到更好的求解效果。
本节将详细介绍混合型有限元方法的原理和实现过程，以及其在FPDEs中的实际应用。
二阶椭圆型偏微分方程
课程名称：二阶椭圆型偏微分方程
课程代码：011.559
英文名称：Elliptic Partial Differential Equations of Second Order
课程类型：√讲授课程□实践（实验、实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试
教学方式：讲授
适用专业：基础数学,应用数学,计算数学
专家组长
专家2007年12月25日
§1.3Fredholm二择一定理
§1.4弱解的极值原理
§1.5弱解的正则性
第二章Schauder理论
§2.1 Hölder空间，磨光核
§2.2位势方程解的 估计
§2.3Schauder内估计
§2.4Schauder全局估计
§2.5古典解的极值原理
§2.6Dirichlet问题的可解性
第三章 理论
§3.1 Marcinkiewicz内插定理
学习和掌握二阶椭圆型正则性的基本理论和基本技巧。熟悉二阶椭圆型方程的基本解、位势理论、极值原理和二阶椭圆型算子的特征理论。掌握边值问题古典解和弱解的可解性和弱解的正则性。为继续学习应用数学和基础数学的其他课程创造条件。
教学大纲：（章节目录）
第一章 理论
§1.1 Lax-Milgram定理
§1.2椭圆型方程的弱解
适用层次：硕士√博士□
开课学期：秋
总学时/讲授学时：48/48
学分：3
先修课程要求：实变函数，泛函分析，常微分方程，偏微分方程
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
韩淑霞
讲师
应用数学
35
偏微分方程
杨茵
教授
应用数学
有限元的弱形式
PDE弱形式介绍GJ:看到一个介绍COMSOL解决物理问题弱形式的文档，感觉很牛啊，通过COMSOL Multiphysics 的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题，这绝对是物理研究的利器啊！而且貌似COMSOL是唯一可以直接使用弱形式来求解问题的软件。
为什么要理解PDE 方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。
有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。
但是，有时候可能经典PDE 模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。
另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。
还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。
最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL中的一些求解器的高级设置就懂得更多。
一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。
物理问题的三种描述方式1. 偏微分方程2. 能量最小化形式3. 弱形式PDE问题常常具有最小能量问题的等效形式，这让人有一种直觉，那就是PDE方程都可以有相应的弱形式。
实际上这些PDE 方程和能量最小值问题只是同一个物理方程的两种不同表达形式罢了，同样，弱形式（几乎）是同一个物理方程的第三个等效形式。
我们必须记住，这三种形式只是求解同一个问题的三种不同形式――用数学方法求解真实世界的物理现象。
根据不同的需求，这三种方式又有各自不同的优点。
三种不同形式的求解PDE形式在各种书籍中比较常见，而且一般都提供了PDE方程的解法。
能量法一般见于结构分析的文献中，采用弹性势能最小化形式求解问题是相当自然的一件事。
偏微分方程中经典解与弱解
偏微分方程中经典解与弱解
偏微分方程是研究自变量是多个变量的函数的微分方程，其中涉及到的函数通常是多元函数。
对于某些偏微分方程，存在多种类型的解，其中比较常见的有经典解和弱解。
经典解：对于偏微分方程，如果它的解在定义域内连续可微，那么这个解被称为经典解。
经典解具有较好的性质，例如它们可以直接用于数值计算，并且能够满足偏微分方程中的初值或边界条件。
弱解：偏微分方程的弱解是指一个不一定连续可微的函数，它满足偏微分方程的积分形式或者偏微分方程的广义定义。
在很多情况下，偏微分方程不存在经典解，但是可以找到一个弱解。
弱解通常需要进行额外的限制和约束，以保证解的合理性和唯一性。
总的来说，经典解和弱解是偏微分方程中两种常见的解法，它们的应用范围和性质各不相同。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择适合的解法来求解偏微分方程，以得到最为合理和准确的结果。
1/ 1。
有限元方法(有FORTRAN程序)飞箭系列
§3.3
有限元输入数据的显示和查询………………………………58
§3.4 FEPG 系统的 PRE 文件……………………………………………58
3.4.1 线性的、 与时间无关的问题……………………………………………58 3.4.2 非线性、 依赖时间问题…………………………………………………62
§3.5 多场问题的有限元输入数据……………………………………68
FEPG 中级教程
第一章
偏微分方程的“弱”形式 ——虚位移原理
§1.1 偏微分方程的弱解形式
1.1.1 问题的提出
工程或物理学中的许多问题， 通常是以未知场函数应满足的偏微分方程和边 界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数 u 应满足偏微分方程组
A1 (u ) A(u ) = A2 (u ) = 0 M
（在Ω内） ,
(1.1.1)
Ω 域可以是体积域、面积域等，如图 1.1.1 所示。同时未知函数 u 还应满足边界 条件
B1 (u ) B(u ) = B2 (u ) = 0 M Γ 是 Ω 域的边界。 y
B (u ) = 0
（在Γ上）
(1.1.2)
Ω 域
A(u ) = 0
∫
Ω
C T (v) D(u )dΩ + ∫ E T (v) F (u )dΓ = 0
1.2.1 分部积分公式…………………………………………………………3 1.2.2 二维稳态热传导问题的“弱”形式……………………………………4 1.2.3 三维线弹性小变形静态问题的“弱”形式……………………………6 1.2.4 三维稳态渗流问题的“弱”形式……………………………………11 1.2.5 二维粘性不可压缩流体稳态 Navier_Stokes 方程的“弱”形式…14 1.2.6 三维静电场问题的“弱”形式………………………………………16 1.2.7 三维柱坐标静电场问题的“弱”2 元件程序的结构………………………………………………………81
COMSOL_Multiphysics介绍
COMSOL Multiphysics 允许用户通过参数控制的方式灵活的调整模型的几何尺寸。这在进 行设计的优化分析时尤其有用，能够帮助用户节省大量的时间，只需要调整相应参数的值并 重新计算就可以完成一个新的模型的仿真分析。
¾ 开放性 对用户透明，可任意修改现有模型 支持建立自己的模型/方程
¾ 灵活性 与 MATLAB 无缝连接，提供强大的二次开发功能 JAVA 编程：基于 JAVA 标准的 API，构建自己的有限元软件
产品线示意图
中仿科技公司 CnTech Co., Ltd
全国统一客户服务热线：400 888 5100 网址: 邮箱:info@ -5-
中仿科技公司 CnTech Co., Ltd
系数型 PDE 应用模式的一般方程形式： ∇ ⋅ (− c∇u − αu + γ ) + au + β ⋅ ∇u = f
采用填空的形式输入方程：c = 1，f = 1，其余系数均设为 0，如下图：
B. 使用预置应用模式建模 除了强大而开放的 PDE 数值计算功能，COMSOL Multiphysics 还根据常见的应用领域，
跨学科研究和多物理分析为科研创新带来了新契机，而构建于简化与单物理分析的思维 基础上的基于观察与实验的研究方 法却面临越来越大的挑战。今天，人 们已经知道超级计算机也是衡量一 个国家核心竞争力的重要指标。不论 是科学研究还是产品开发，实验研究 与仿真技术的结合已经是大势所趋， 而且数值仿真正在发挥越来越重要 的作用。
中仿科技公司 CnTech Co., Ltd
COMSOL Multiphysics
一类抛物型偏微分方程的W2^1.1弱解存在性
（ ３ ）
（ ４ ）
［ Ｉ ｂ ｍ （ ） Ｌ Ｉ
Ｍ１ ， Ｍ２＞０使 ０ ＜Ｍ１ ≤ ≤ Ｍ２ ． （ ５ ） 当 （ ）＝ｕ 时 ，若 （ ａ ｊ ／ ） 为正定矩阵 ，式 （ １ ）就是普通的退化抛物方程 ； 若 ａ ）只是半正定 ，式
［ 收稿 日期 ］２ ０ １ ２—１ ２—１ １ ［ 修 回 日期 】２ ０ １ ３— ０ １ —１ ９ ［ 基金项 目］福建省 自然科学基金资 助项 目 （ ２ ０ １ ２ Ｊ ０ １ ０ １ １ ） ［ 作者简介 ］汤林冰 （ １ ９ ８ ９ 一） ，男 ，硕士生 ，从事 偏微分方 向研究．通讯 作者 ：詹 华税 （ １ ９ ６ ６ 一） ，男 ，教授 ， 硕导 ，从 事偏微分方程方 向研究 ，Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ：ｈ ｓ ｚ ｈ ａ ｎ ＠ｊ ｍｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ．
证明 先证 （ ， ） 兰０ 的情况．对 Ｖ 叼 （ ， ｆ ）∈
数，则 ∈ ’ （ Ｑ ） 且 Ｅ （ Ｑ ） ．记 ：
’
（ Ｑ ）， 令 ＝Ｊ 叼 （ ， ） ｅ ０ ｒ 打， ０ 为待定正
（ Ｑ ， ） ， ｕ Ｉ ＝ ０ ｝， （ Ｑ ）＝｛ ｌ ｕ∈
ｔ ｉ ｏ ｎ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｐ ｒａ ａ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｗｅ ｅ ｋ ｅ ｘ ｔ ｒ ｅ ｍｕ ｍ ｐ ｉ ｒ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ； 。 。 一 ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ
如果 在某点 ％ ∈Ｑ ｒ 达到非负最大值 ， 则： （ Ｍ ） Ｊ 。 ≥０ ， Ｍ Ｉ 知≤Ｏ ， Ｉ ＝０ ， ｃ Ｊ 如≤０．由此可知
“
偏微分方程常见解法
偏微分方程常见解法
偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）一直是高等教育中非
常重要的学科，由于它延伸到数学、物理、工程和计算机科学领域，理解和解决这些偏微分方程都是非常具有挑战性的。
当偏微分方程变得复杂和数量庞大时，就需要借助一系列的数学方法来进行解决，常见的解法可分为三类：分析解法，数值解法和解析解法。
分析解法是利用分析学概念（譬如拉格朗日乘子法）来解决偏微分方程，其假
设结果是以某种解析式形式出现，其最大的优点就是解出来的答案是可以直观观察，但是最明显的缺点就是没有办法用于求解复杂情况。
数值解法是基于数值技术，如有限差分法和蒙特卡洛法，来解决偏微分方程，
它的最大优点在于可以用于解决复杂的情况，但是缺点在于容易有误差，而且在很多情况下，不能找到全局最优解。
解析解法是混合应用分析学和数值学技术，如有限元法和粒子法，来解决偏微
分方程，它具有数值解法解决复杂情况和分析解法易于理解结果的共同优点，但是也会有误差。
总而言之，偏微分方程的解法是充满挑战的，因此在高等教育中，教师应重视
与之相关课题的加强，致力于提高学生的基础数学水平和数值分析能力，从而更好的应对不断增加的偏微分方程的解决问题。
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界和物理现象中的变化过程的重要数学工具。
它涉及多个自变量和导数，可以用来描述涉及多个变量及其变化率的复杂问题。
在数学、物理学、工程学等领域中，偏微分方程广泛应用于研究和解决实际问题。
本文将介绍偏微分方程的分类与求解方法。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程类型以及系数的性质等多个因素来进行分类。
下面将介绍几种常见的偏微分方程分类。
1. 齐次与非齐次偏微分方程当方程中未知函数及其各阶偏导数的总次数都为整数时，称为齐次偏微分方程。
齐次偏微分方程的解是一类特殊的函数族。
与之相反，非齐次偏微分方程中的未知函数及其各阶偏导数总次数之和不等于整数。
求解非齐次偏微分方程需要特殊的方法。
2. 线性与非线性偏微分方程根据方程中未知函数的线性性质，可以将偏微分方程分为线性和非线性两类。
当方程中未知函数及其各阶偏导数的系数与未知函数之间都是线性关系时，称为线性偏微分方程。
线性偏微分方程的求解较为简单。
与之相对，非线性偏微分方程的系数与未知函数之间存在非线性关系，求解较为困难。
3. 一阶、二阶和高阶偏微分方程根据未知函数的导数阶数，可以将偏微分方程分为一阶、二阶以及高阶偏微分方程。
一阶偏微分方程中涉及到未知函数的一阶导数，例如常见的一阶线性偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y} = 0$。
二阶偏微分方程中涉及到未知函数的二阶导数，例如常见的二阶线性齐次偏微分方程：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$。
高阶偏微分方程则涉及到更高次的导数。
二、偏微分方程的求解方法对于不同类型的偏微分方程，可以采用不同的求解方法。
偏微分方程的弱形式
偏微分方程的弱形式
弱形式的偏微分方程（PDEs）是指那些不可以在一个直接求解的方式下解决的偏微分方程。
有几种方式可以用来描述弱形式的PDEs。
其中最常用的方式是采用弱形式，即将其转化为一组不等式形式。
首先，要对偏微分方程的弱形式做一个非常基本的定义：它是指在满足一些要求的情况下，一个函数的一些特性会在几何和数学上与原来的偏微分方程相同。
它可以用来解决涉及有限元和分型差分的问题。
另外，它也是强形式的一种拓展，可以引入多种条件来让非线性偏微分方程变得更加复杂。
其次，要解释如何从强形式推出弱形式，即将积分表示转换为不等式表示。
这里，假设有一个偏微分方程：
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u}}{\partial {y}}=f(x,y,u)$
其中f(x,y,u)是一个函数，u是变量。
设定一些连续可微函数
$\phi_1,\phi_2,\phi_3,...,\phi_n$，称为测试函数（或拉格朗日乘子），他们满足在U上等于零的条件，即：
$\phi_1(x,y,u)=\phi_2(x,y,u)=\phi_3(x,y,u)=...=\phi_n(x,y,u) =0$
它要求下面的等式：。
第一章偏微分方程的“弱”形式
第一章偏微分方程的“弱”形式
偏微分方程（PDE）是一类复杂的数学方程，表示物理现象或过程的基本规律，它将分析、预测复杂物理系统的行为，为许多应用领域，如工程、经济学、生物学等提供理论和技术支持。
在这其中，经典的偏微分方程可以分为“强”形式和“弱”形式。
PDE的”强“形式是指，它具有完整的结构性，可以用普通的微分方程来解决，并能够得到一个具有特征的解。
它不关心方程的空间结构，只要方程具有完整性就可以使用微分方法将其求解。
但是，在多维偏微分方程中，其复杂性会大大增加，使得其”强“形式变得不可行。
因此，对于强形式不可行的偏微分方程，人们引入了”弱“形式，将方程分解成一系列微分不完全的次方程，其中的参数是由空间结构和方程结构给定的，这样可以降低复杂性，更容易求解，也更容易获得解的特征。
”弱“形式的偏微分方程可以被称为现实生活中的”弱“性现象，这是因为它们的解并不一定拥有一个特定的解，而是一系列介于稳定态和不稳定态之间的解。
例如，水在运动中，液体是在动态变化的，但它也不会突然发生变化，而是在不同的空间分量中具有各种表现形式，总体看来是一种”弱“现象。
另外，”弱“形式的偏微分方程也有其独特的优势，尤其是当解决某些问题时，比如，在非线性边界值问题上，”弱“形式的偏微分方程具有良好的鲁棒性，更容易处理复杂的边界条件，得到更可靠的
解。
从以上可以看出，“弱”形式的偏微分方程在多种应用领域中具有极大的价值，尤其在非线性边界值问题上，其鲁棒性不同于”强“形式的偏微分方程，可以更容易获得解的特征，也能够处理复杂的边界条件。
因此，未来，”弱“形式的偏微分方程将受到越来越多的关注，它将成为解决复杂的物理问题的坚实基础，为许多应用领域提供理论和技术支持。
偏微分方程的强弱形式
偏微分方程的强弱形式偏微分方程的强形式和弱形式之间有什么本质的区别?所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。
也就是需要满足的条件太复杂。
比如不连续点的跳跃等等。
将微分方程转化为弱形式就是弱化对方程解的要求。
不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为一段有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在。
一个满足强形式微分方程的解，一定也是弱形式方程的解，这个是保证强弱转换合理性的根本其实在物理意义上，有限元的这个做法还存在一些争议，但是强形式到弱形式的转换是能够实施有限元这种计算方法的核心理论。
弱形式一般是指对强形式方程（即微分方程）的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。
弱形式和完全更新和任意是不同的概念，弱形式和强形式对应，是对于微分（积分）方程即纯数学理论而言的，完全更新和'任意是指拉格朗日描述的有限元方程的三种格式，全称是'完全拉格朗日格式'，'更新拉格朗日格式'和'任意欧拉－拉格朗日格式'，这是有限元方法的三种求解技术7G,在固体力学的变分原理出现之前，以方程的弱形式求解问题确实不保证结果的收敛性、与物理实际的合理性近几十年来陆续推导出固体力学变分原理，而由于固体力学方程（绝大多数情况）是拉格朗日描述的，其微分方程的算子是线性自伴随的，通过变换就与变分原理等效，因此固体力学变分原理是有限元方法（求解固体力学问题）的理论基础。
也就是说对于固体力学问题，如果以前这样“强形式转弱形式”是有限元方法的核心理论的话，那么现在有限元方法的核心理论是固体力学的变分原理。
至于争议，则是由于目前对于“变分”理论上的一些问题尚未完全解决但对于如流体力学等领域的微分方程，其算子往往不是线性的，很难找到一个与之等效的变分原理，因此有限元方法在求解这些领域的方程时存在收敛性问题。
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插值函数与单元类型
关于单元插值函数的形式，有限元方法采用不同阶次幂函数所构成的多项式，因为它们便于运算并且
容易满足收敛性。下面结合有限元方法经常使用的Lagrange插值函数讨论一维单元插值函数的具体构造。
一维Lagrange单元：
A1 (u ) A(u ) A2 (u ) 0
（在内） ,
(1)
其中Ω域 可以是体积域、面积域等，如图所示。同时未知函数u还应满足边界条件：
B1 (u ) B (u ) B2 (u ) 0
（在(1) 结构或求解域的离散化。 (2) 选择适当的插值模式 (3) 单元分析 (4) 总体合成。 (5) 引入约束条件 (6) 方程求解 (7) 计算其它参数。
有限单元法的基本原理
虚位移原理 工程或物理中许多问题，通常是以偏微分方程和对应的边界条件的形式提出来的，可以一般 地表示为未知函数u满足偏微分方程组：
特别指出对于强制边界条件（即第一类边界条件），这时未知函数在此类边界上的值已确定，可以选 取虚位移函数在此类边界上的值为0，则“弱”形式可略去沿此类边界上的边界积分项（ q0 d )。
q
对于一般问题推导其微分方程弱形式的步骤如下： •先将偏微分方程化为其积分形式；
•利用分部积分公式将其积分形式化为“弱”形式；
有限元分析目的和概念
有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部 的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息（位移、应变、应力）。从而在准确进行力学 分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度、刚度等方面的评判，以便对不合理的设计 参数进行修改，以得到较优化的设计方案，然后再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后 的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。 有限元方法：是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近 似”代替非常复杂的原函数 ，这样就使有限元方法可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分 析，并能够得到准确的结果。
有限元基本理论
第一讲
元计算技术部
本讲给出有限元方法的思想，求解问题的流程，以及采用有限元方法时用到的方程 弱形式、形函数等内容，目的在于介绍有限元的基本理论。
有限元分析目的和概念 有限单元法的基本思想 有限元分析的基本流程 有限单元法的基本原理 偏微分方程的弱解形式
插值函数与单元类型
u u0 0 B(u ) u k n q0 0 （在u 上） （在q 上）
这里u表示温度，k表示热传导系数，u0和q0是边界上温度和热流的给定值 ，Q是热
源密度乘以材料密度 。
对方程两边乘一标量函数v，并对方程两边进行积分得到：
u u k Q k y d 0 x x y
假如A(u)是一光滑函数，可以断言，若积分方程(3)对于任意的V都能成立，则原偏微分方程
必然在域内任一点都得到满足。
假如A(u)在域内某些点或—部分子域中不满足，即出现A(u) ≠0,马上可以找到适当的函数V使 (3)的积分形式亦不等于零,可见当A(u)是一光滑函数时，式(3)和(1)是等价的 。
由于偏微分方程组(1)在域Ω中每一点为零，因此就有：
V
T
A(u )d (v1 A1 (u ) v2 A2 (u )
)d 0
(3)
其中V是向量函数，称为试探函数或虚位移函数，它是一组和偏微分方程个数相等的任意函数。
v1 V v2
偏微分方程的弱解形式
本小节通过一个热传导的稳态问题，来说明将偏微分方程化为其弱解积分形式的一般过程。 对于二维直角坐标系，稳态热传导方程如下：
A(u) u u k k Q 0 x x y y （在内）
边界条件如下：
对上式进行分部积分得到：
u u u k k d Q d k d y y n x x
利用方程的边界条件，上式可变为：
u u u k k d Q d q d k d 0 q u x x y y n
在很多情况下可以对(3)式进行分部积分得到另一种形式
C T (v) D(u )d E T (v) F (u )d 0
其中C、D、E、F是微分算子，它们中所包含的未知函数导数的阶数较(3)式的微分算子A底，这 样对函数u只需要求较低阶的连续性就可以了，这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中， 尤其是在有限元方法中十分重要 。 式(3)是偏微分方程组(1)的弱解积分形式或“弱”形式，或称之为虚位移原理。
有限单元法的基本思想
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、按一定方式相互联结在一起的单元
的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，而且单元本身又可以有不同形状，因此可以模 型化几何形状复杂的求解域 。 有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分 片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各 个节点的数值和其插值函数来表示。这样以来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数 在各个节点上的数值就成为新的未知量（也即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成 场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。