数学解题之一题多解与多题一解
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践随着中国教育制度的不断改革，无论是教育目的还是方式方法，都是为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。
其中高中数学的教育目标，也不再单是让学生学会如何运用数学公式进行计算，除了针对学生对数学的学习兴趣以外，在实际解题方面，要求培养学生拥有更多更灵活的解题思路和方式，以改变统一性的教学模式。
就高中数学解题中“一题多解”与“多题一解”的解题方式加以分析研究。
高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。
学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。
因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。
因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。
一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践（一）价值与实践在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。
因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。
因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。
“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。
同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。
所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。
如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。
七年级上册数学一题多解
七年级上册数学一题多解在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。
七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。
以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。
培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。
提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。
示例：解一元一次方程以解一元一次方程为例，除了常规的移项、合并同类项等方法外，还可以采用以下方法：方法一：直接计算法对于简单的一元一次方程，如 2x=4，可以直接通过除法得到x=2。
方法二：移项法对于形如 3x+2=5x−3 的方程，可以通过移项将未知数集中在方程的一边，然后解出 x 的值。
方法三：合并同类项对于含有多个未知数项的方程，如 2x+3x=5，可以先合并同类项得到 5x=5，然后再解出 x。
方法四：乘除法对于系数不为1的一元一次方程，如 0.5x=2，可以通过乘法将系数化为1，从而解出 x。
实际应用在实际解题过程中，学生可以根据题目的特点和自己的掌握情况，选择最合适的解法。
通过一题多解的训练，学生可以逐渐提高解题的灵活性和准确性，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总之，一题多解是数学学习中非常有价值的方法，值得学生在日常学习中多加实践和应用。
在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。
七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。
以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。
培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。
提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值与实践探析
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值与实践
探析
吕小花
【期刊名称】《读天下》
【年(卷),期】2017(0)4X
【摘要】拓展学生的数学思维是高中数学主要的教学目标,能够促使学生正确掌握数学本质,培养学生从多角度分析和思考问题,运用不同的解题思路,进行解题,强化数学教学效果,提高数学成绩.本文对'一题多解'与'多题一解'在高中数学教学中的价值与实践进行分析.
【总页数】1页(P14-14)
【作者】吕小花
【作者单位】甘肃省临夏中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1."一题多解"与"多题一解"在高中数学教学中的价值研究与实践 [J], 阚志超
2.高中数学＂一题多解＂与＂多题一解＂的价值探析 [J], 熊淑娟;
3.浅谈“一题多解”与“多题一解”在研究与实践高中数学教学中的价值 [J], 谢聪奎;
4.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值 [J], 韩云凤
5.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践 [J], 周正旭因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践作者：钱万毅来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第02期摘要：经新课标的多次改革，高中数学教学由从前的教师为主导，逐渐演变为教师的作用为指导、引导，而学生为主体的自主多样性课堂，这样的课堂可以帮助学生更加主动地学习，锻炼学生思考、组织、分析、归纳等的能力。
其中“一题多解”和“多题一解”在高中数学教学中有良好的价值，值得实践与推广。
关键词：高中数学；解题方式；思维模式中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2017）02-057-01学生在进入高中学习后，不仅仅面临着学习内容的改变，学习的难度上了一个更高的台阶，还面临着思想的成熟和思维方式的养成。
在这一阶段，学生要学会用发散思维和提纲挈领的方法处理问题，而数学的学习，对培养学生这些能力都非常有益，其中“一题多解”与“多题一解”正是培养这些能力的关键教学实践方法。
在此阶段，注重数学教学的方式方法，传递给学生正确的思考方式，锻炼学生正确的思考能力，对于学生今后学习能力以及生活能力的提高都尤为重要。
一、“一题多解”在数学教学中的价值研究与实践（一）价值在传统的数学教学模式中，通常是老师在讲台上教授数学公式、概念等内容，学生在下面记笔记。
学生和老师都认为掌握了大量的定理、定义，以及数学公式，就能做好题，做对题，就能够在考试中取得好成绩。
在此背景和环境下，培养学生的发散性思维是很必要的。
老师不应该对数学题目只做生硬的讲解，只讲一种“标准答案”，这样只会禁锢学生的思维。
长久下去，学生只会变成“书呆子”。
教师应该多注重教学的有效性，应在课堂上观察学生的状态，倾听学生的需求，倾听学生的提问与回答，倾听学生的讨论。
这样才能使课堂互动起来。
数学的学习，本来就应该是丰富多彩的。
这样一个锻炼逻辑思维的学科，教师在教授的过程中应当充分发挥学科特点，让学生学习了数学，真正能有所用。
例谈“一题多解”与“多题一解”之争
： ， ＝ 一 ， ＝ 一 ，０ ＝ １ ２ 贝有 ： ＋ ＝ ， ＋ ６
Ｃ× ； ３ Ａ Ａ 一８ ； ‘
方法三 对 同 色 球 不 加 区 别 ， 认 为 ３ 只 红 球 都 是 相 即 同的 ， ５只 白球 也 都 是 一 样 的 ， 所 有 的 球 一 一 摸 出 排 成 一 把 排， 每种 排 法 作 为 一 个 基 本 事 件 ， 基 本 事 件 总 数 为 ｎ＝ 则
把 所 有 的 球 都 一 一 摸 出 依 次 排 成 一 排 ， 一 种 排 法 作 为 一 每
个 基本事件 ， 么基本事 件 的总数 为 ｎ＝ ：其 中第 ４个球 那 Ａ，
Ｃ ＸＡ：
内 的球 数 ， 根 据 题 意 得 ： 则
是红球的排法数为 ｍ ｃ × ； ＝ Ａ， 所以Ｐ —＿ ÷． ＝ ｎ ＝ －
＾
以上四道题 目， 内容各有不 同 ， 在 解答 时都采 用 了 虽 但 同 一种 放 法 —— 插 空 法 ．
；×Ａ５
＾７
詈÷ ・
方 法 四 只 考 虑 第 ４次 摸 出 的 球 的 每 一 种 可 能 作 为 基 本 事 件 ， 么 基 本 事 件 总数 为 ｎ： 那 ３十５＝８ 而 摸 出 红 球 的基 ，
●
解 题 技 巧 与 方 法
谁
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．Ｉ ＿ ．， ．
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一
题 臆
◎ 马俊 杰 （ 武威 二 中 ７３０ ） ３０ ０
２８ ８ ０种 排 法 ．
一
插法 ， 右端 插入 ， 有 Ａ 从 也 种 插 法 ， 以 共 有 ２×Ａ 所 ×Ａ ＝
【 要 】 高 中数 学 教 学 中 贯 彻 “ 题 多 解 ” “ 题 一 摘 在 一 与 多
浅议小学数学一题多解的作用
浅议小学数学一题多解的作用小学数学中的一题多解是指同一个问题可以有多种正确的答案，其作用极为重要。
首先，一题多解能够帮助学生培养解题的能力。
一题多解通过提出不同的解法，让学生发现问题的开放性，学会选择最佳解法，从而培养学生的思维能力，增强学生在面对复杂问题时的独立判断能力，激发学生的学习兴趣。
其次，一题多解能够实现教育的多元化。
数学是一门抽象性很强的学科，通过让学生探索出不同的解题方法，可以加深学生对知识的理解，激发学习热情，让学生知道学习的意义，形成良好的学习习惯，从而为学生的发展打下坚实的基础。
此外，一题多解可以拓展学习范畴。
小学数学涉及的知识范围并不多，但只要有了很多的解法，就会增加学生的数学思维，引导学生探索新的思路，拓展学习的视野，获取更多的知识点，从而有效拓宽学生的学习领域，为高中和大学的学习打下良好的基础。
总之，一题多解的作用十分重要。
它可以让学生在多角度思考问题，提高学习效率，激发学生的学习兴趣，增强学生的独立判断能力，实现教育多元化，拓展学生的学习范围，为其以后的学习打下坚实的基础。
因此，小学数学中的一题多解在教育中具有独特的作用。
小学数学课程中应大力开展“一题多解”活动，可以让学生从不同角度思考问题，提升自我学习能力和逻辑思维能力，全面提升学生的数学水平。
另外，在一题多解活动中，学校要注意创新教学方式，让教师能够更好的引导学生探索不同解法，并运用多种形式进行系统讲授，为学生提供一个真实、限制条件强的、自由探索的舞台，促进学生自身发展。
最后，学校要培养学生的自主学习能力，把学生的学习中心置于学生本身。
在学习一题多解的同时，学校要给学生足够的学习自由，让学生可以自己寻找解题思路，让学生能够在不断解决实际问题的过程中，有效更新知识，提高能力，不断完善自我，从而提高学习成绩。
因此，学校要创新教学方式，让学生有机会接触到多种类型的数学题目，以激发学习兴趣。
小学数学课程要注重帮助学生思考，积极引导学生去研究更多的数学问题，不断创造属于自己的解题思路，使学生在解决一题多解题中，有更大的自主和创新，从而实现学习的有效性。
谈小学数学教学中的一题多解教学
谈小学数学教学中的一题多解教学一题多解教学是近年来数学教育领域中热议的话题之一。
在小学数学教学中，一题多解教学的实施可以拓展学生的思维，以及启发学生对于问题的思考和解决方式，同时也有助于提高学生的数学能力和解决问题的能力。
本文将着重探讨小学数学教学中一题多解教学的实施方式和效果。
一题多解教学是指，在教学过程中，给学生提供一道题目，鼓励学生通过不同的思路和方法，得到多个正确的解答。
而不是只让学生死记硬背某种标准答案。
这种教学方式能够激发学生的兴趣，提高学生的学习热情，同时也有助于增强学生的计算思维和解决问题的能力。
在小学数学教学中，实施一题多解教学的方式有很多种。
以下是几种常见的实施方式：1.交流对比法：教师分组让学生分别采用不同的方式解题，随后在班级上进行交流和对比，从中寻找共性和差异。
2.探究差异法：教师提出多个正确的解答，然后向学生让他们发现和分析这些答案的异同点，激发思考多种解题方式的动力。
3.引导发掘法：教师可以在讲授新知识时加入多种解题思路，鼓励学生自主发掘不同解题思路的可行性和适用性。
一题多解教学的实施可以带来很多好处。
首先，此方式可以拓展学生的思维，促进学生发现数学问题的不同解决方式。
其次，这种教学方法可以激发学生的学习兴趣，使学生对数学问题更加感兴趣。
同样的，学生也可以更好地理解问题，和学习和掌握新知识。
此外，学生通过这种方法更容易记住重要的思路和方法，以便他们在以后解决新的数学问题时更加熟练。
举例来说，比如今天的一道小学数学题是：34-23=？采用一题多解教学的方式：1.学生A：34-23=115.学生E：(30+4)-((20+2)-2)=11通过以上学生不同的解答，不仅提高了学生的计算能力，也让他们学会了多种不同的解题方式。
总之，一题多解教学是一种多方面创新的教育方法，可以极大地拓展学生的思维和想象力，增强学生解决问题的能力，提高学生的数学能力和独立思考能力。
希望今后教育工作者可以在教学实践中尝试商榷和实施这一方法，以培养更多具有全面发展目标的学生，为未来做出更多的准备。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１０８数学学习与研究㊀２０１９ ２４一题多解多题一解在高中数学教学中的价值一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值Һ韩云凤㊀(云南省昌宁县第一中学ꎬ云南㊀保山㊀６７８１００)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解 与 多题一解 是锻炼学生思维能力的重要途径.高中数学具有一定的抽象性ꎬ对学生的思维能力提出了更高的要求.所以ꎬ高中数学教师应当巧用以上两种方式ꎬ帮助学生灵活运用数学概念㊁数学公式以及数学性质ꎬ不断锤炼学生的思维能力和提升学生的思维水平ꎬ为了达到重建学生思维体系的目的ꎬ从而提高学生的数学学习效率.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ解题能力ꎻ价值意义数学教学的本质是不断锻炼学生的思维ꎬ不断帮助学生解决问题. 一题多解 与 多题一解 这两种解决问题的方法对提高学生的思维品质有重要影响.因此ꎬ在日常数学教学中ꎬ高中数学教师能结合实际教学内容ꎬ有针对性㊁计划性地利用这两种方式锤炼学生的思维水平ꎬ扩大学生解题视野和解决思路ꎬ不断提高学生解决问题的能力.一㊁ 一题多解 的含义概述一题多解的含义是指:在原有问题的基础上ꎬ引导学生从不同的角度和层次思考原题ꎬ拓展学生的问题解决视野.实现思维扩散式发展ꎬ以帮助学生寻找到多种解题途径.允许学生使用不同的方法和方法来分析数学问题ꎬ可以帮助学生加深对数学知识ꎬ定理和自然的理解ꎬ并灵活地应用它们.在一定程度上ꎬ它还提高了学生的思维能力和创新能力.在高中数学课堂上ꎬ应用 一问与多解 的求解方法要求学生从原问题的实际情况出发.对题意进行深入分析ꎬ尝试从多个角度入手解决问题ꎬ通过对比ꎬ最终筛选出最佳解题方案.学生解决 一问与多解 问题的习惯和能力ꎬ可以有效激活学生的思维能力.学生的思维活起来ꎬ也就避免了 钻牛角尖 思维定式 等问题的出现.例如ꎬ在教授 不平等 相关知识点时ꎬ可以使用 一问与多解 教学模式.首先ꎬ要求学生用比较法㊁分析法来解析ꎻ接着ꎬ要求学生从不同角度再次解决问题.此外ꎬ为了提升学生对数学知识的掌握熟练度ꎬ还可以指导学生利用换元法㊁向量法等方式来进行解题.如果问题得到解决ꎬ学生将接受 一个问题和多个解决方案 的培训ꎬ学生将从解决方法演变为各种解决问题的方法.学生也实现了对此类问题的融会贯通ꎬ学生的思维能力㊁解题能力也得到了有效地提升.又如ꎬ在解析 概率 相关例题时ꎬ可以有意识地引导学生从不同角度进行排列计算ꎬ从而让学生掌握多样化求概率的方法.不难看出ꎬ 一个问题和多个解决方案 问题的解决方案并不仅仅意味着数量从 一个 变为 多个 .其本质意义在于锻炼学生的思维能力ꎬ培养学生的创新思维ꎬ帮助学生实现思想的质变.二㊁ 多题一解 的含义概述多题一解 的含义是指:利用一种解题思路去解析不同的题目ꎬ虽然利用到的数学性质㊁数学公式可能不同ꎬ但是ꎬ解题过程和解题思维是相同的. 多题一解 要求学生能够拥有较为完整的知识体系ꎬ能够在日常解题过程中ꎬ不断归纳和总结相应的解题方式ꎬ从而提高学生自己的解题水平.在高中数学问题解决中运用 多问题ꎬ一解 教学模式ꎬ引导学生运用一种方法探索数学的内在规律和本质标志.通过掌握问题解决方法之间的联系ꎬ可以发现数学问题的共同特征ꎬ并总结和总结解决相同类型问题的常用方法.从而提高学生的解题效率.多题一解 教学模式能够使学生的思维更加缜密ꎬ强化了学生对相关概念㊁性质㊁定理的理解以及运用ꎬ这也在一定程度上打破了 题海战术 的弊端ꎬ起到了 做题精炼 的效果.例如ꎬ在教授 寻找功能价值 等数学时ꎬ可以引导学生通过 数字组合 来解决问题.以函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２的值为例ꎬ首先提醒学生绘制函数图像ꎬ让学生使用图像识别函数的形式.然后让学生把它变成找到斜率的问题(假设移动点Ｐ(ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ)和固定点Ａ(２ꎬ０)ꎬ迅速计算出ＰＡ的斜率值ꎬ即[－ꎬ０])ꎻ又如ꎬ在教学三角函数求值相关问题时ꎬ也可以采用数形结合的方法进行解析.总之ꎬ数学教师应该经常向学生提出一些类似的问题ꎬ引导学生掌握 多问题ꎬ一个解决 的常见问题解决思路.这样学生可以继续反思和总结ꎬ学会推理ꎬ触摸类比ꎬ然后提高学生解决数学问题的能力.三ꎬ 多题一解 和 一题多解 的数学价值(一)帮助学生构建系统的知识体系无论是 一问多解 ꎬ还是 多问题一解 ꎬ其教学价值在于培养学生的思维能力ꎬ提高学生的思维品质.两者解题方式的顺利实施ꎬ离不开学生的主动思考.学生在利用两种方式解题的时候ꎬ也是学生温习旧知的重要途径ꎬ通过对旧概念㊁旧定义和旧公式的复习ꎬ学生可以更清楚地了解知识的相关性ꎬ并帮助学生建立系统的知识体系.自然也就提高了学生的学习效率.(二)帮助学生提高解题能力利用 一题多解 和 多题一解 两种方法解决问题ꎬ可以有效地消除 题海战术 引起的枯燥无聊的感觉.真正实现了量变向质变的有效过渡.学生解决问题的思维更加灵活多变ꎬ有效地避免了学生 深陷 的困境ꎻ学生解决问题的思路更加广泛ꎬ各种问题都清晰可见ꎬ有效地提高了学生解决问题的效率.(三)提升学生的创新思维通过这两种解题方式不断锤炼学生的思维品质ꎬ带领学生积极思考㊁温故知新ꎬ最大化地激发了学生的思维潜能.学生不仅能在有限时间内找到快速解题的方式ꎬ也在一定程度最大化激发了学生的潜能ꎬ提升了学生的创新能力ꎬ发展了学生的创新思维能力.以上只是作者的粗略见解ꎬ旨在抛出砖块吸引玉石ꎬ希望广大数学教育家批评和纠正.ʌ参考文献ɔ[１]朱如昌.例析一题多解㊀一题多变㊀多题一解[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２００５(１):４７－４９.[２]申祝平.一题多解㊁多题一解㊁一解多写与多解一写[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９５(５):１３－１５.。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值分析
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值分析摘要：高中数学对于逻辑思维能力的要求较高，在进行数学习题解题教学的时候，可以重视培养学生的逻辑思维的能力。
“一题多解”和“多题一解”的解题方式，在高中数学中较为常见，通过这样的解题训练，可以提升学生解题能力和学习分析能力，对知识进行全面的了解，培养学生数学思维，巩固知识，加深知识的理解，提升学习效率。
本文主要针对“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值分析。
关键词：“一题多解”“多题一解”高中数学教学价值高中数学的学习，对于学生解题能力要求较高，要求学生在规定时间内提升解题效率，“一题多解”和“多题一解”的教学方法，可以培养学生的解题思维，遇到问题可以联想到更多的解题方法，对知识进行联系，建立整体的数学体系，提升高中数学学习的效率。
一、“一题多解”与“多题一解”概述“一题多解”主要是指通过不同的方法求解数学题目，在逻辑符合定理的情况下得到完全相同的答案。
这种解题方式在高中时期数学解题中经常出现，例如空间几何中，可以通过建立坐标系的方式进行解题，也可以通过建立辅助线的形式进行解题，但是得到的结果是一样的，在考试中取得的分数也相同。
“多题一解”是指进行数学题目的解答时，某一类题目可以使用一种方法得出正确的结果，使用的方法上存在一致性。
例如，在进行曲线与直线相交求焦点数值这类问题的处理时，基本上使用的都是数形结合的思想，通过图形对数据进行分析，更加清晰地掌握已知条件，对题目进行更加深入的分析，提升解题速度与准确性。
二、“一题多解”和“多题一解”在教学中的应用1.“一题多解”在教学中的应用。
在课堂中进行“一题多解”和“多题一解”教学，需要重视学生的掌握情况，首先在学习新知识过程中对学生进行引导，当学生有意识地对数学知识进行归纳总结，进行课堂题目讲解的时候，可以让学生进行课堂讨论，提出不同的解题方案。
例题1：设x，y∈R，且x2+4y2=6x，求x2+y2的取值范围。
初中数学一题多变一题多解(二)
一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。
这方面的例子很多，尤其是几何证明题。
已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。
练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。
一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”在当今教育模式下，通常我们数学的教育模式都是以“标准题目”和“标准答案”来解决问题，这导致学生的思维受到禁锢并沿着定向发展，导致千人一面，这种单一、刻板的思维严重地束缚着小学生创新思维的发展。
因此，教师必须打破禁锢。
想要锻炼思维，可以通过一系列的变式训练，以多侧面、多角度地去探索问题中的本质，这样有利于弄清知识脉络和知识间的联系，可以培养学生的思维转换能力。
在新课程改革实行的背景下，一题多解和一题多变是数学研究中的一个热点问题，一题多解式和一题多变式的教学形式也不断呈现出了新的特点，而数学作为一门应用最广泛，最能培养创造性思维和问题解决的能力的一门基础课程，通过不断激发学生积极思维和求知兴趣，从而达到举一反三、触类旁通的效果，因此其在培养学生的创新能力上具有独特优势。
一、“一题多解”在小学数学教学过程中的实践一个题目能否得到解决的确非常的重要，但是去探求不同于别人的新解法，才是学习上梦寐以求的乐事。
学生学习的兴趣往往与所创造出的欢乐是紧密相连的。
因此研究一题多解是为了增强学生们的求知欲望，从而激发人们的创新精神。
那么所谓的“一题多解”是什么呢？从字面上看很容易看出就是指一题多解训练，对同一问题的结论通过不同的方法得出，不断通过指引和启迪学生从不同的思路、不同的方向、不同的方法以及不同的运算过程去分析和解答问题。
为了能充分解释一题多解在培养小学生思维方面的应用，将通过下面两个例子，来详细的介绍“一题多解”。
例1：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？这道题先启发学生求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考：解法（1）：120÷（120×20%÷5）－5 ；解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）；这道题也还可以从分数的意义直接进行解答：解法（3）：1÷（20%÷5）－5 ；解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）；解法（5） 5÷20%－5例2：李老师带了若干元去买书。
浅谈“一题多解”与“多题一解”
浅谈“一题多解”与“多题一解”作者：喻秋叶来源：《创新时代》2016年第09期在新一轮数学课程改革从理念渗透到内容实施的过程中，教师在观念和意识上有了很大的变化。
在章节复习课的教学中，需要设计科学、合理的解题教学环节，并且设置适量而贴切的解题训练，这也是培养学生形成数学思维、掌握基本技能的重要途径。
无论是教学实际的需要，还是素质教育的诉求，教师都必须面对各种蜂拥而至的数学问题，选择合适的切入点，引导学生从“题海”中解脱。
针对这种教学要求，教师可以采用“一题多解”与“多题一解”的变式教学方式，帮助学生逐步地提升思维能力，掌握解题技能。
根据复习课的特点，在学生已经掌握了一定的基础知识和基本技能的前提下，教师需要进一步提升学生的逻辑推理、发散思维、归纳迁移等数学能力。
笔者通过教学实践，将从三个方面，简单剖析“一题多解”与“多题一解”是如何在复习课的教学中发挥其特有的教学功能的。
一、一题多解，发散思维对于复习课而言，典型例题的选取与讲解至关重要，为了提高例题的使用价值，教师需要引导学生利用多种方法，从多种角度去思考问题，并通过多角度、多层次的探索，来提升学生思维的广阔性，提高他们的解题能力。
【案例1】已知，，求。
解法1：三角公式求解，再联立解得，，。
解析①：根据公式，运用同角三角函数关系中平方关系，直接求出，再求解。
解法2：公式正、逆用，两边平方得解析②：直接利用公式展开，平方后公式的逆用得值。
解法3：转换与方程思想求解因为，；由得，；解析③：直接法，利用化归思想先求出，再结合方程求出；再代入公式求解。
解法4：转化与化归思想求解因为，解析④：关键找到与之间的联系，主要从和、差、倍角三类关系去找已知角和未知角之间的联系。
【评析】在本例题的讲评过程中，充分发挥了“一题多解”的教学优势，前两种解法巩固了学生的基础知识，后两种解法拓展了学生的思维空间，这正是符合了张奠宙先生所提出的“在打好学生‘双基’的基础之上，谋求发展”的教育教学理念。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践一、概述高中数学作为培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力的重要学科，其教学方法的创新与实践一直是教育领域关注的重点。
“一题多解”与“多题一解”这两种教学方法，以其独特的优势，在高中数学教学中发挥着重要作用。
“一题多解”是指针对同一数学问题，从不同角度、不同知识点出发，寻找多种解题思路和方法。
这种方法能够帮助学生拓宽思维视野，培养思维的灵活性和创新性。
在“一题多解”的教学过程中，教师可以引导学生对同一问题进行深入探讨，通过比较不同解法的优劣，帮助学生掌握数学问题的本质和规律。
“多题一解”则是指通过归纳总结不同数学问题的共性和规律，找到一种通用的解题方法和思路。
这种方法能够帮助学生建立数学知识的体系化结构，提高解题效率。
在“多题一解”的教学过程中，教师可以引导学生发现不同问题之间的联系和相似之处，通过总结规律，让学生掌握一种更加高效的解题方法。
在高中数学教学中，将“一题多解”与“多题一解”相结合，可以充分发挥这两种教学方法的优势，提高教学效果。
通过“一题多解”培养学生的创新思维和灵活思维，通过“多题一解”提高学生的解题效率和知识体系化能力。
同时，这两种方法也能够激发学生的学习兴趣和积极性，促进学生的全面发展。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中具有重要的价值。
通过深入研究和实践这两种教学方法，可以推动高中数学教学的创新与发展，提高教育质量，培养更多具有创新精神和实践能力的人才。
1. 高中数学教学的挑战与机遇高中数学教学面临着诸多挑战与机遇。
一方面，随着课程改革的深入推进，高中数学的教学内容和教学方法都发生了显著的变化，对教师的教学能力和专业素养提出了更高的要求。
另一方面，随着信息技术的快速发展，高中数学教学的手段和方式也日趋多样化，为教学创新提供了广阔的空间。
在挑战方面，高中数学的知识点繁多且抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
从“一题多解”到“多题一解”
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“一题多解、多变”练思维 “多解、多题归一”悟本质
文/王永坚近年来，在初中数学教学实践中，围绕着培养学生的创造性思维能力问题，已作出了许多有益的探索。
系统论指出：整体功能大于部分功能之和。
它的启示是：在数学教学中，如果能以某一主题为中心，注意把“一题多解”、“一题多变”、“多解归一”、“多题归一”等方法组成一个互相联系互相作用的综合整体，更有助于加深对知识的巩固与深化，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和创新性。
一、一题多解，激活学生思维的发散性一题多解，培养学生求异创新的发散性思维。
通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。
例1：有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。
如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？【解法1】30-30÷6+30÷6×2=30-5+10=35（平方厘米）。
或：30+30÷6×（2-1）=30+5=35（平方厘米）。
【解法2】30+30÷6=30+5=35（平方厘米）。
【解法3】30÷6×（6+1）=30÷6×7=35（平方厘米）。
【评注】比较以上三种解法，解法2和解法3是本题较好的解法。
在数学解题过程中，可以通过“一题多解”训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出新旧知识间的相互关系和内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。
二、一题多变，激励学生思维的变通性一题多变，培养学生思维的应变性。
把习题通过条件变换、因果变换等，使之变为更多的有价值、有新意的新问题，使更多的知识得到应用，从而获得“一题多练”、“一题多得”的效果。
这种习题，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，加深对本质特征的认识，从而更好地区分事物的各种因素，形成正确的认识，进而更深刻地理解所学知识，促进和增强学生思维的深刻性。
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用作者：闫萧寒来源：《求知导刊》2014年第12期摘要：数学知识内容丰富、形式多变，对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义、推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
“一题多解”与“多题一解”的解题策略能够提升学生的数学问题解答能力，对学生数学水平的提升具有重要的影响。
下面就几道典型的一题多解与多题一解问题在教学中的运用谈谈我个人的几点看法，借以使学子们初步认识一题多解与多题一解问题，领略一题多解与多题一解问题的魅力，激发起学习兴趣，活化其解题思想。
关键词：“一题多解”；“多题一解”；中学数学教学；数学教学质量意大利著名的数学家、物理学家伽利略·伽利雷曾经说过：“数学是描述世界的语言。
”数学符号和数学公式精确、简洁而优美，为我们的生活带来了无限的便利，指引我们更好地认识世界、感受世界。
“一题多解”与“多题一解”的思想能够有效满足新课程改革背景下，对中学数学教学的要求，改善传统教学方式中的缺点和不足之处，使学生能够形成一定的数学思维，为学生未来的数学知识学习和综合能力的发展奠定良好的基础。
一、“4多”原则对数学教学的作用“4多”原则主要指的是多看、多想、多做和多问，“4多”原则能够直接影响中学数学教学的质量和效果。
1.多看数学知识离不开多看、多学，学生需要多看书，做好课前预习、课后复习才能将课本中的数学知识和数学难点进行深刻的理解。
多看对于中学数学教学具有积极的影响，学生对课堂教学内容产生了一定的了解，就会使课堂教学活动变得更加轻松、愉快，使中学数学教学达到事半功倍的效果[1]。
2.多想数学教学不仅在于指导学生学习数学知识点、提升学生的问题解答能力和数学知识灵活运用能力，更在于使学生通过数学知识的学习、应用，形成一定的数学逻辑思维能力和数学独立思考能力[2]。
3.多做俗话说：“熟能生巧。
”多做、多练能够增加学生对数学知识的深刻理解，巩固学生的数学知识和提升学生对数学知识灵活运用的能力，融会贯通，把不同内容的数学知识点关联起来，帮助学生建立一个完整的知识结构和框架体系[3]。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用
“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用作者：李凤悦来源：《儿童大世界·教学研究》 2017年第12期为了提高高中数学教学的有效性，开展数学教学要以学生发展为中心，通过设计和运用符合学生身心特点的教学方法，就能高效地实现教学目标，完成教学任务。
但是在目前的高中数学教学中，面对高考的压力，许多教师仍然采用“题海战术”的方式进行教学，这样不但无助于提高教学有效性，而且增加了学生的负担，使学生失去对数学的学习兴趣。
而“一题多解”与“多题一解”教学方法的运用，能有效提高教学质量，培养学生的数学解题能力。
一、“一题多解”与“多题一解”教学原则和模式（一）教学原则在高中数学教学中，运用“一题多解”与“多题一解”进行教学应坚持以下原则：一是目标导向原则，以教学目标为牵引来选择和使用该教学方法，将渗透新课改的教学理念，就能较好完成教学目标；二是分层教学原则，运用该教学方式，要能满足不同层次学生的学习需要，使所有学生的学习能得到提高；三是选题典型原则，在教学中要发挥每个习题的作用，就要选择具有典型的题目根据学情开展变式教学；四是主体参与原则，运用该方式进行教学，要注重发挥学生的主体作用，让学生在积极的参与过程中提高解题能力；五是探究学习原则，利用该方式进行变式教学，要有利于学生开展自主、合作探究学习，使学生的学习能力得到增强。
（二）教学模式运用“一题多解”与“多题一解”进行教学，应坚持如下基本模式：“设置例题——引导探究——培养思维——变式拓展——变式训练”这样五个基本环节，这几个环节不是简单的递进关系，它是复合交叉，从学情出发，进行分层教学和因材施教的有效教学模式。
例1在研究y=A sin（wxx+p）图像的画法时，可启发学生理解该函数图像与y=smx的图像之间的关系，并把该题目设计成“题组”的形式，开展变式解题研究：如，(l)y=sin(x+l)如何是从y=smx的图像变换出来的？( 2)y=2sinx如何是从y=smx的图像变换出来的？(3 )y=sin2x如何是从y=smx的图像变换出来的？(4)y=sin(2x-l)如何是从y=sin2x的图像变换出来的？(5)y=2sin(2x-l)如何是从y=smx的图像变换出来的？通过这样进行“一题多解”就能让学生完整掌握正弦函数的图像变换过程。
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摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。
本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。
通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。
与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。
关键词：一题多解多题一解思维能力AbstractA multi solution with multi-title, a solution is a commonly used method in the teaching of mathematical problem solving. To a given problem, can mathematical knowledge has been an organic gathering of students'divergent thinking is a good opportunity for its exercise; a solution of the multi-title, students can digest the knowledge, but also training the students of the Idea.In this paper, two typical example that is a question to the multi-solution and multi-title solution-based explanation on the purpose of training the training of the students' thinking abilities can be achieved through different examples. To a given problem, you can broaden the horizons of the students 'thinking, divergent thinking of the students, for students to learn multi-angle analysis and problem solving; a solution more than the question, can enhance students' depth of thinking, learn to analyze things from outside to inside, to seize the the nature of things, find things intrinsically linked.This article is intended relationship between the development of the ability to clear a given problem and a solution of the multi-title, with students thinking, so that teachers pay more attention to the culture of problem-solving approach to students' thinking ability in mathematical problem solving teaching process.Key words：Multiple solutions for one question A solutions of the multi-title Thinking ability数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。
所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。
也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。
培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。
“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。
这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。
” 数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。
因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。
惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。
如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。
从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。
本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。
一、一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学方法来解答，我们称之为“一题多解”。
其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。
一题多解能快速整合所学知识，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力。
苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”其中强调“横看”、“侧看”、“远看”、“近看”、“高看”、“低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。
（一）提高分析、解决问题的能力一题多解，能够使学生开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，使用自如，大大提升分析问题和解决问题的能力。
例1.甲乙两地相距450千米。
客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行多少千米？解法一：用工程问题的解法。
根据速度=路程÷时间可以求出客车的速度为450÷10=45（千米/小时），货车的速度为450÷15=30（千米/小时）。
（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）=6（小时）（2）相遇时客车行了多少千米：45×6=270(千米)（3）相遇时货车行了多少千米：30×6=180(千米）解法二：用比例分配的方法。
两车所需的时间之比是：10:15，根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。
（1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3所以两车速度之比是：3:2（2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:2（3）相遇时客车行了多少千米：450×（35)=270(千米）（4）相遇时货车行了多少千米：450×（25)=180(千米）答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。
解法一通过求出两车相遇时间作为中介，进而求出相遇时两车各自的行程，这种方法是处理类似工程问题最为一般的方法，也是最为普遍和有效的方法，是解决更为复杂的工程问题的基础。
通过这种方法的解答，可以让学生对类似工程问题中的基本变量以及各个变量之间的关系有了最清晰的认识。
而解法二是通过对公式路程=速度×时间的灵活运用，只需求出两车的速度之比，进而运用比例对两车各自的行程进行分配，可以说是对公式的升华。
两种解法各有千秋，解法一让人一目了然，可以培养学生处理问题的掌控能力，鼓励学生在处理问题时要全面分析，把握各个要素，理清各自关系，按部就班，步步为营，各个击破。
解法二是在对基础知识的熟知之上，运用技巧处理各要素关系，进而使问题迎刃而解，是一种简便快捷而有效的方法。
通过对这种一题两解的培养，可以锻炼学生在对基础知识和方法的掌握之后进行融会贯通，灵活运用，增强求简意识、优化思维品质，提升学生分析问题和解决问题的能力。
（二）提高多角度分析能力一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。
例2.6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？解法一：假设左边第一个位置为排头，那么甲的站法有如下五种可能：①□甲□□□□②□□甲□□□③□□□甲□□④□□□□甲□⑤□□□□□甲。
又因为乙不能站排尾，故①-④中乙的站法各有C1 4种，在⑤中乙的站法有C1 5种，各图中其他人的站法均为A4 4种。
根据乘法和加法原理，不同的站法种数共有4C1 4A4 4+C1 5A4 4=504种。
解法二：有了上述分析为基础，我们可更抽象地分析如下：若甲站在中间4个位置之一，则乙可站在除排尾及甲的位置之外的4个位置之一，其余4人站在空下的4个位置之上，有C1 4C1 4A4 4种；若甲站排尾，则其余5人可站在空下的位置上，有5A种站法。
据加法原理共有C1 4C1 4A4 4+A5 5=504种不同的站法。
5解法三：排头、排尾的站法可分三类，其一是由甲、乙之外的四人站，然后其他人再站，有A2 4A4 4种；其二是甲站排尾，其余五人再站，有A5 5种站法；其三是乙站排头，甲不站排尾，有C1 4A4 4种站法。
根据加法原理共有A2 4A4 4+A5 5+C1 4A4 4=504种不同的站法。
解法四：不考虑甲乙的要求共有A6 6种站法，其中甲站排头的有A5 5种站法，乙站排尾的也有A5 5种站法，但这两种站法中都包含了甲站排头、乙站排尾的情形，即A4 4种站法，因此符合要求的站法种数有A6 6-（2A5 5-A4 4）=504种。
四种解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行确定，先确定甲不站排头，再确定乙不站排尾，最后再确定其他人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对第一种解法的抽象；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的三类站法，进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具体要求，求出站法总数，然后再依据要求一一进行排除，从而得出结论。
四种解法入手点各有不同，前两者从人员入手，第三种从位置入手，最后一种从反面入手，逆向思维。
通过这种多角度解题方法的训练，可以培养学生思维的立体性，多面性，灵活性，避免思维的单一和固化。