数学建模作业2汽车的刹车距离模型及黄灯持续时间分析模型

佛山科学技术学院

上机报告

课程名称数学建模

上机项目汽车的刹车距离模型及黄灯持续时间分析模型

专业班级姓名学号

一、问题提出

问题一：

司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。

（1）已知交通部门提供的一组汽车的刹车距离数据如下：

车速29.3 44 58.7 73.3 88 102.7 117.3 实际刹车距离42 73.5 116 173 248 343 464

分析刹车距离与车速之间具有怎样的关系，利用以上数据，求出具体的数学模型。并在同一幅图中画图，对计算出的刹车距离与实际刹车距离进行比较。

问题二：

（2）在城市道路的十字路口，都会设置红绿交通灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而又无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。试建立十字路口黄灯亮的时间的数学模型。

二、问题分析

问题一：

汽车的刹车距离大致可分为反应距离和制动距离。

反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况(灵巧、机警、视野等)和制动系统的灵敏性(从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间)，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。这里，我们取多数人的平均反应时间为0.75秒。

制动距离与制动器作用力(制动力)、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力作的功被汽车动能的改变所抵消。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数，这样，司机和乘客少受剧烈

的冲击。至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的。

问题二：

设汽车行驶速度为法定速度0v ，一定的刹车距离为1S ，通过十字路口的距离为2S ，车身的长度为L ，则黄灯的时间应t 使距停车线1S 之内的汽车能通过路口，即021/)(v L S S t ++≈，如果考虑到司机有一定的反应时间，则黄灯持续的状态就也包括驾驶员的反应时间。根据分析，下面建立十字路口黄灯亮的时间的数学模型。

三、模型假设

（一）为了解决汽车刹车距离问题，作出以下几点假设：

（1） 道路、气候、驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有出现故障；

（2） 汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车脚踏踩到底，汽车在刹车过程没

有转方向；

（3） 驾驶员的反应时间为常数1t ，汽车在反应时间做匀速直线运动；

（4） 汽车在制动过程做匀速直线运动，减速度a 是常数，制动力所做的功等于汽车功能的损

失。 引入以下符号：

v ～车速（m/s ）；d ～刹车距离（m ）；1d ～反应距离（m ）；2d ～制动距离（m ）； 1t ～反应时间（s ）

。 （二）为了计算十字路口黄灯亮的时间，作出以下几点假设： （1）驾驶员在通过交叉路口时，匀速驾驶车辆；

（2）汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车脚踏踩到底； （3）仅仅考虑汽车直行的情况，不考虑转弯或掉头的情况； （4）不考虑人行道中路人对来往车辆的影响。 符合说明：

四、模型建立

（显示模型函数的构造过程）

（一） 汽车刹车距离模型： 由分析得

d =1d +2d

由假设（3）得

1d =1t v

又由假设（4）得

m a 2d =

1

2

m (v ^2) 解得2d =(v ^2)/2a 则汽车距离与速度的模型为

d =1t v +k (v ^2)

其中1t 根据经验取0.75秒，则只要确定k 。 （二）黄灯持续时间的数学模型

五、模型求解

（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）

v=[29.3 44 58.7 73.3 88 102.7 117.3]; d=[42 73.5 116 173 248 343 464]; fun=inline('0.75*v+k*v.^2','k','v') k=lsqcurvefit(fun,0,v,d)

fprintf('0.75*v+k*v.^2µÄ²ÎÊýk=%.4f\n',k)

y=0.75*v+_0.0255*v.^2 hold on plot(v,d) plot(v,y 'r+')

求得

k=0.0255

拟合后的曲线中各点的数据是

y =

43.8665 82.3680 131.8901 191.9837 263.4720 345.9809 438.8369 可得，汽车刹车实际距离与计算距离相当。