圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质111数学
的坐标为 321，2.
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第十七页，共二十一页。
名师解题
求相关动点的轨迹方程
求以 y 轴为左准线，且过定点(3,2)的离心率为12的动椭 圆左顶点的轨迹方程．
[解] 设动椭圆左顶点的坐标为(x，y)，因椭圆的 y 轴为准线，
离心率为12，故左焦点的坐标为23x，y.
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用圆锥曲线的统一定义求轨迹(guǐjì)方程
已知动点 M(x，y)到点 F(2,0)与到定直线 x＝8 的距离 之比为12，求点 M 的轨迹． (链接教材 P47 例 1) [解] 由题意得 x|－x－282＋| y2＝12，整理得1x62＋1y22 ＝1. 故点 M 的轨迹为中心在原点，焦点为(±2,0)，准线为 x＝±8 页，共二十一页。
解决此类问题常用两种方法：(1)直译法，即依据已知条件直接写出动点
坐标满足的等式，整理得方程；(2)依据定义先判断(pànduàn)轨迹形状，再
由几何性质得方程．
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1．已知圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，对应准线 l：x＝－1， 且曲线过点 M(3,2 3)，求圆锥曲线的方程． 解：∵MF＝ 3－12＋2 3－02＝4， 点 M 到准线 l 的距离为 d＝|3－(－1)|＝4， ∴MF＝d，且点 F 不在 l 上， 即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1,0)． 由p2＝1 得 p＝2.故此圆锥曲线的方程是 y2＝4x.
的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．。 求相关动点的轨迹方程
圆锥曲线的统一性质
圆锥曲线的一个统一性质【定理1】 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，过椭圆上一点P 作椭圆的切线交直线ca x 2=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的右焦点)0,(c F . 证明：设点),(00y x P ，则过点P 的切线方程为12020=+by y a x x ，∴点))(,(0022cy x c b c a A -，即))(,(0022cy x c b c a c AF ---= 又),(00y x c PF --=， 所以])()[())((0020220cy x c b y c a c x c AF PF ---+--=⋅ 整理得：0)()(0220=-+--=⋅cx c b c b x c AF PF ，AF PF ⊥∴，原命题得证. 【推论1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，过椭圆上一点P 作椭圆的切线交直线ca x 2-=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的左焦点)0,(c F -. 【定理2】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E ，过双曲线上一点P 作双曲线的切线交直线ca x 2=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的右焦点)0,(c F . 分析：证法可同定理一（证略）【推论2】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E ，过双曲线上一点P 作双曲线的切线交直线ca x 2-=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的左焦点)0,(c F -. 【定理3】已知抛物线)0(22>=p px y ，过抛物线上一点P 作抛物线的切线交准线2p x -=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过抛物线的焦点)0,2(p F .证明：设点),(00y x P ，则过点P 的切线方程为)(00x x p y y +=， 令2p x -=，得00)2(y p x p y -=，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴00)2(,2y p x p p A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴0000,2,)2(,y x p PF y p x p p AF 即02200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅p x p x p p PF AF ，PF AF ⊥∴ 即以线段AP 为直径的圆恒过抛物线的焦点)0,2(p F . 【定理4】已知圆锥曲线E ，过E 上一点P 作E 的切线交其相应的准线于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过E 相应的焦点F .。
圆锥曲线的共同性质
审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围；(3)寻找b和k的关系，利用(2)中k的范围求解．
解(1)设双曲线方程为 － ＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝ ，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为 －y2＝1.
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
答案D
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以 运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝ ，
设直线方程为y＝ (x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝ ＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
代入椭圆方程，
消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝ .
由点P在椭圆上得点P ，
此时直线PA1的斜率k＝ .
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是 .
4．椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
答案3
解析直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2× ＝ ＝3，∴S△FAB＝ ×2×3＝3.
|x2－x1|＝ ，
|y2－y1|＝ .
②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
4.2圆锥曲线的共同性质
2 2
图形
焦点坐标
( c, 0)
准线方程
x a
2
y b
2 2
1
(a b 0)
2 2 2 2
c
y a
x b
1
(0, c )
y
a
2
(a b 0)
c
x a
2 2
y b
2 2
1
( c, 0)
x
a
2
(a 0, b 0)
c
y a
2 2
x 4
2
y 3
2
1 上运动，求|PA|+2|PB|的
最小值。
P C
A
·
O
·
· B
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
1( a 0 , b 0 )
a
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
可知，椭圆、双曲线、抛物线有共同性质为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其 中 e是 圆 锥 曲 线 的 离 心 率 , 定点F是圆锥曲线的焦点, 定 直 线 l是 圆 锥 曲 线 的 准 线 .
x a
l1
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
y l2
x a
优选教育第章圆锥曲线的共同性质.ppt
究
• 攻
定义得，P到右焦点的距离为2a－258＝10－258＝252.
重
分 层 作 业
难
返 首 页
利用圆锥曲线的定义求最值
自
当
主
堂
预
[探究问题]
达
习
标
• 探
1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离
• 固
新
双
知 PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？
基
合
作 探 究
第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的 双
知
基
准线方程的方法．(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问
合 作
题．(难点)
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习 •
1．圆锥曲线的共同性质：
标 •
探
固
新
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离 双
知
基
之比是一个 常数e.
合 作
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F 就是圆锥曲线的焦点， 定直线l 课
探
时
究 •
就是该圆锥曲线的准线．
分 层
攻
圆锥曲线的共同性质 (2)
第□讲
圆锥曲线的共同性质
知识点剖析
例1求过点 ，以 轴为准线，离心率为
的椭圆的左顶点的轨迹方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
例2已知椭圆的左顶点为 ,左准线为 轴,
是过左焦点且倾斜角为 的直线, 交椭圆于 两点,且 ,求椭圆的方程.
变式引申1如图所示,已知点 的坐标是 ,
12.已知双曲线 的右焦点为 ,点
试在这双曲线上求一点 ,使 的值最小,并求出这个最小值.
B.能力提升
一、选择题
1.抛物线 关于直线 对称的抛物线的焦点坐标是 ( )
2.如果双曲线 上一点 到它的右焦点
的距离是8,那么点 到它的右准线的距离是 ( )
3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 ( )
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
圆锥曲线的共同性质
二、填空题
7. 是抛物线 上任一点, 到焦点的距离是 .
8.焦点 ,两准线之间的距离为18的椭圆的标准方程为 .
9.设椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ,若过 且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离,则椭圆的离心率为 .
12.已知抛物线 的方程 ,焦点为 ,有一定点 在抛物线准线上的射影为 为抛物线上一动点.
(1)当 取最小值时,求 ;
(2)如果一椭圆 以 为焦点,且过点 ,求椭圆 的方程及右准线方程.
第 页
4.已知两圆
,动圆 与两圆 都相切,则动圆圆心 的轨迹方程是 ( )
5.若双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合,则双曲线的离心率为 ( )
圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件ppt
坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离 与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方 程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
[例 1] 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它 到直线 l：x＝156的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2) 在曲线求一点 P 使|PF|＝5.
∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减，得(x12－x22)＋4(y21－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴xy11－ －yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12，即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的
纵坐标相同时，|PA|＋d 最小，如图． 把 y＝2 代入1x62 ＋1y22 ＝1，
得
x＝4 3
6(负值舍之)，即
4
P
3
6，2为所求的点.
[例2]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1
总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 A，B 两点的坐标代 入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜 率，从而可求直线 AB 的方程，再联立方程求得 A、B 的坐标，根 据两点间的距离公式求|AB|.
[精解详析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在椭
圆锥曲线的共性探索
+ 2 a2 k ( ak + m) x + a2 [ ( ak + m) 2 - b2 ] = 0 ,
所以
x1
+ x2
=-
2 a2 k ( ak + m) b2 + a2 k2
,
x1 ·x2
=
a2 [ ( ak + m) 2 b2 + a2 k2
b2 ] ,又因为
y1 = k ( x1 + a) + m , y2 = k ( x2 + a) + m ,
专题研究
圆锥曲线的共性探索
(浙江丽水学院附中 323000) 刘伟刚
圆锥曲线 ( 椭圆 、抛物线) 有许多共同的性
质 ,如 :都是二次曲线 ; 都是圆锥被一平面所截得
到的截线 ;都是到一定点与到一定直线距离之比
为一定值的点的轨迹. 以上都已是众所周知 , 但还
有不少却不为读者熟知. 笔者在教学中 , 收集了如
am
若 A 为右顶点 ,则有 kA P
+ kAQ
=-
2 b2 . am
同理可得 :抛物线 y2 = 2 px ( p > 0) 有
kA P
+ kAQ
= 2p; m
双曲线
x2 a2
-
y2 b2
= 1 ( a > 0 , b > 0) ,有 kAP +
kAQ =
2 b2 ( A 为左顶点时为“- ”) .
(
y0 ( b2
kx 0 ) 2 - a2 + a2 k2 ) x0
b2
,
由已知直线 PB 斜率为 - k ,由
抛物线的几何性质、圆锥曲线的共同性质
抛物线的几何性质、圆锥曲线的共同性质一、知识点回顾：1、抛物线的几何性质2椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}. 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sincos⎩⎨⎧==byax为离心角）参数θθθ(tansec⎩⎨⎧==byax⎩⎨⎧==ptyptx222(t为参数)范围─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0) (0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) )0,2(pF准线x=±ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba-）2c （c=22ba+）二、巩固练习（一）抛物线的几何性质1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．2．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．4．(2013·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．5．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．6．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则1m＋1n＝________.7．(2013·南通高二检测)已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．8．(2012·陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．9．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，如果OA⊥OB(O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA→·OB→的值；(2)如果OA→·OB→＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．（二）圆锥曲线的共同性质1．中心在原点，一条准线方程为x ＝8，离心率为12的椭圆方程为________．2．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．3．如果双曲线x 24－y22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．4．(2012·大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．5．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P 到两准线的距离分别为________．6．若双曲线x 28－y 2b 2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．7．(2013·吉林高二检测)已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________.8．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________．二、解答题9．已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上一点，F 1、F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标．10．求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是x ＝3，离心率为53的椭圆方程．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若|PF |＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线方程．答案卷（一）抛物线的几何性质1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．【解析】∵p2＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.【答案】y2＝8x2．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．【解析】通径长为2p. 【答案】2p3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10. 【答案】104．(2013·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【答案】325．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．【解析】设△AOB边长为a，则A(32a，a2)，∴a24＝6×32a.∴a＝12 3. 【答案】12 36．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ 的长分别为m、n，则1m＋1n＝________.【解析】由焦点弦性质知1PF＋1FQ＝2p，抛物线的标准方程为x2＝1a y(a>0)，∴2p＝1a，p ＝12a，∴1PF＋1FQ＝4a，即1m＋1n＝4a.【答案】4a7．(2013·南通高二检测)已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，如图，则AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.设A，B，M到准线l：x＝－p2距离分别为d1，d2，d，则有d1＝x1＋p2，d2＝x2＋p2，d＝d1＋d22＝x1＋x2＋p2＝AB2，∴以AB为直径的圆与拋物线的准线相切．【答案】相切8．(2012·陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】 2 69．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【解】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p . 又d ＝|14－98p |5＝1， ∴p ＝8或p ＝1529(舍)，∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y .10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【解】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0. 所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． 【解】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3. (2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n .由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn (y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2， ∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)． （二）圆锥曲线的共同性质1．中心在原点，一条准线方程为x ＝8，离心率为12的椭圆方程为________． 【解析】 由题意，得e ＝c a ＝12，a 2c ＝8，∴a ＝4，c ＝2， b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝12．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．【解析】 双曲线方程可化为：y 216－x 28＝1，∴a 2＝16，b 2＝8，c 2＝24， ∴准线方程为y ＝±43 6. 【答案】 y ＝±43 63．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．【解析】 由题可知a ＝2，b ＝2，c ＝6， 右准线x ＝a 2c ＝46，e ＝c a ＝62.设P 到y 轴的距离为d ，则2d －46＝62，d ＝43 6. 【答案】 43 6 4．(2012·大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．【解析】 由题意得，－a 2c ＝－4，即a 2＝4c ，且椭圆的焦点在x 轴上，又2c ＝4，则c ＝2，故a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝4，则椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 【答案】 x 28＋y 24＝15．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P 到两准线的距离分别为________．【解析】 设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1，F 2，由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45，则PF 1＋PF 2＝2a ＝20.又3PF 1＝PF 2，∴PF 1＝5，PF 2＝15.设点P 到两准线的距离分别为d 1，d 2，可得d 1＝PF 1e ＝254，d 2＝PF 2e ＝754.故点P 到两准线的距离分别为254，754. 【答案】 254，7546．若双曲线x 28－y 2b 2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．【解析】 y 2＝8x 的准线为x ＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x ＝－2， 则－a 2c ＝－2，又a 2＝8， ∴c ＝4.∴e ＝c a ＝422＝ 2.【答案】27．(2013·吉林高二检测)已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________.【解析】 ∵点C 到B (1,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比为12，∴点C 的轨迹是椭圆，且c a ＝12，a 2c －c ＝4－1， ∴a ＝2，c ＝1.∴点A 恰好是椭圆的另一个焦点． ∴AC ＋BC ＝2a ＝4.【答案】 48．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则BF b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD＝23，所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2.圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c22a .又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c 2a ，整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13，∴e ＝－33(舍去)或e ＝33.【答案】 33 二、解答题9．已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上一点，F 1、F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标．【解】 设点P 的坐标为(x ，y )． ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.∴e ＝35，准线方程为x ＝±253.由圆锥曲线的统一定义知PF 1＝ed 1＝35(x ＋253)＝35x ＋5， PF 2＝ed 2＝35(253－x )＝5－35x .∵PF 1∶PF 2＝2∶1，∴(35x ＋5)∶(5－35x )＝2∶1， 解得x ＝259，代入椭圆的方程得y ＝±8914. ∴点P 的坐标为(259，8914)或(259，－8914)．10．求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是x ＝3，离心率为53的椭圆方程． 【解】 法一 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝3，ca ＝53，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝209.∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1.法二 设M 为椭圆上任意一点，其坐标为(x ，y )． 由法一知准线x ＝3对应的焦点为F (53，0)． 由圆锥曲线的统一定义得MF d ＝53，∴(x －53)2＋y 2|3－x |＝53，化简得4x 2＋9y 2＝20.∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若|PF |＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线方程．【解】 (1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P (a 2c ，abc )，又F (c,0)，∴k PF ＝ab c －0a 2c －c＝－ab .又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b ·ba ＝－1. ∴PF ⊥l .(2)∵|PF |的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离， ∴|bc |a 2＋b 2＝3，即b ＝3，又e ＝c a ＝54，∴a 2＋b 2a 2＝2516，∴a ＝4.故双曲线方程为x 216－y 29＝1.。
2018学年高中数学选修1-1课件：2.5 圆锥曲线的共同性质 精品
[小组合作型] 求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2.
【导学号：24830053】
【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解. 【自主解答】 (1)化方程为标准形式：x22－y22＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.
求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的 统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.
[再练一题] 3.如图 2-5-1 所示，已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，定点 A 的坐标为(3,1)， P 是双曲线右支上的动点，则12PF＋PA 的最小值为多少？
2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.
[再练一题] 1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程： (1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4. 【解】 (1)化方程为标准形式：x42＋y32＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1. ∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为 x＝±ac2＝±4.
【提示】 易知椭圆的离心率是 e＝12，由PPDF＝12，得 PF＝12PD，故 PA＋12PD ＝PA＋PF≥AF＝3.即 PA＋12PD 的最小值是 3.
已知椭圆x82＋y92＝1 内有一点 M(1,2)，F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一 个焦点，在椭圆上求一点 P，使得 MP＋3PF 的值最小.
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1.判断正误： (1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( ) (2)离心率 e＝1 时不表示圆锥曲线.( ) (3)椭圆的准线为 x＝±ac2(焦点在 x 轴上)，双曲线的准线为 x＝±ca2(焦点在 x 轴 上).( )
圆锥曲线的共同性质
课堂互动讲练
考点突破 利用共同性质求方程
平面上， 动点 M 到定点 F 的距离 MF 与到定直 MF 线 l 的距离 d 之比 d ＝e(e 为大于零的常数)的 点的轨迹是圆锥曲线，当 e∈(0,1)时是椭圆，e ＝1 时是抛物线，e∈(1，＋∞)时是双曲线．
例1 已知一条圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，
x2 y2 例3 (本题满分 14 分)已知椭圆 ＋ 25 16 ＝1， 为椭圆上任意一点， 1， 2 为左、 P F F 右两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求 点 P 的坐标．
【思路点拨】 出x. 设点P(x，y)，由焦半径公式求
【规范解答】 设点 P 的坐标为(x， y)． x2 y 2 ∵椭圆 ＋ ＝1， 25 16 ∴a＝5，b＝4，c＝3. 3 25 ∴e＝ ，准线方程为 x＝± .6 分 5 3 3 由圆锥曲线的统一定义知|PF1|＝ed1＝ 5
圆锥曲线的焦半径、焦 点弦问题
圆锥曲线上的点与焦点连线时，焦半径对应的 问题常应用统一定义来解决． 圆锥曲线的焦点弦问题是常见的一类弦长问题， 可以用一般弦长公式求解，但更好的方法是利 用焦点弦特有的公式进行计算，焦点弦公式为 AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)，其中AA1，BB1为 弦的两端点到准线的距离．
2． 圆锥曲线的焦点、 准线与曲线的相对 位置，曲线中与坐标系无关的不变量 (1)准线与曲线没有公共点． (2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心 c 率 e＝a，中心到焦点的距离 c，中心到 a2 准线的距离 c 等都是与坐标系无关的不 变量．
p 抛物线中焦点到顶点的距离 ，焦点到 2 准线的距离 p 也都是与坐标系无关的不 变量．
25 3 x＋ ＝ x＋5， 3 5
圆锥曲线的共同性质ppt 苏教版
圆锥曲线的共同性质
圆锥曲线上的点到定点F的距离和到定直 线l(F不在l上)的距离之比为常数e.
圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F的距离和到一条定直 线l(F不在l上)的距离的比为常数e的点的 轨迹是圆锥曲线.
例1：
为 ,准线方程为 . 若该曲线上一点P到左准线距离为 10 ，则 横坐标为9，则P 到焦点 距离为 . P到左焦点的距离为 ，到右焦点的距
PG 2 PF PG PF
的最小值为多少？
数形结合 把点到焦点的问题转化为点到直线的问题
小结
1.通过圆锥曲线的共同性质和统一定 义充分感受圆锥曲线的统一美. 2.通过共同性质和统一定义的应用体 会数形结合及化归思想.
谢谢！
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2 2 2 2 ( x c ) y ( x c ) y 2 a
F ( c , 0 ) ， F ( c , 0 ) ， P ( x , y ) 1 2 | PF PF | 2 a ( c a 0 ) 1 2
( x c)2 y 2 4a2 4a ( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 即 cx a2 a ( x c)2 y 2 c x a ( x c)2 y 2 a
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 即 a 2 cx a ( x c) 2 y 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) a 2 c 2 0 设a 2 c 2 b 2 (b 0) x2 y2 2 2 1(a b 0) a b
圆锥曲线的共同性质2
最小值。
P C
A·
·
O
·
B
2. 已知P为双曲线
右支上 x2 y 2 1
3
的一个动点，F为双曲线的右焦点，若
点A的坐标为(3,1) ，则2 | PA | 3 | PF | 的
最小值是__
y
D
O
P A
x
F
拓展延伸
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
练一练
1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)
的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
x4
1 2
2. 中心在原点,准线方程为 x 4
的椭圆方程是
x2 4
y2 3
1
,离心率为
1 2
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线
x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y2 12x
B 此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C.2 3
D. 6 2
例1 若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛
物线 y2 2x 的焦点，点M 在抛物线上
移动时，求|MA|+|MF |的最小值，并求
这时M 的坐标.
y
l
d
M
A
N
1 2
o
F
x
1.已知A（-1,1),B（1,0),点P在椭圆
x2 y2 1 上运动，求|PA|+2|PB|的 43
洪泽外国语中学 程怀宏
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
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圆锥曲线的共同性质
【教学目标】
1、 知识与技能
通过本节的学习，掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。
2、 过程与方法
教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。
3、 情感、态度与价值观
通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
【教学重点】圆锥曲线第二定义的推导
【教学难点】对圆锥曲线第二定义的理解与运用
【教学方法】讨论发现法
【教学过程】
一、知识回顾
1
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-，
将其变形为：
a c x c
a y c x =-+-2
2
2)(， 你能解释这个式子的意义吗？ 这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c
a x 2=的距离之比等于定值a c ，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？
二、新课讲解
已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c
a x l 2
:=的距离之比是常数)0(>>c a a c ，求点P 的轨迹。
解：由题意可得
a
c x c
a y c x =-+-2
2
2)( 化简得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-。
令2
22b c a =-，则上式可以化为 )0(12
2
22>>=+b a b y a x
这是椭圆的标准方程。
所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。
若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？
由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e
类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线c a x l 2
:=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数a c 就是双曲线的离心率e 。
F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比是一个常数e 。
这个常数e F l
（1） 椭圆的离心率e 满足0<e <1，双曲线的的离心率e >1，抛物线的的离心率e ＝1。
（2） 根据图形的对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或
双曲线，准线方程都是c
a x 2
±=；对于中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是c
a y 2
±=。
（3） 圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整
体，当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义；当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差）为常数时，常考虑第一定义。
三、新知巩固： 1、学生填表（见课本P47习题2.5 1、填空）
2、学生板演：（见课本P46 （1）－（4））
四、知识拓展：
椭圆的焦半径公式：若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点和右焦点，则ex a PF ex a PF -=+=21，
；若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 的下焦点和上焦点，则ey a PF ey a PF -=+=21，； 例2 若椭圆的长轴长是短轴长的4倍，一条准线方程是4-=y ，求椭圆的标准方程。
例3 已知椭圆136
1002=+y x 上有一点P ，到其左、右焦点距离之比为1：3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标。
五、课堂小结：
1、圆锥曲线的共同性质
2、椭圆第二定义的简单应用。