圆锥曲线的共同性质

圆锥曲线的共同性质

【教学目标】

1、 知识与技能

通过本节的学习，掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。

2、 过程与方法

教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。

3、 情感、态度与价值观

通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。

【教学重点】圆锥曲线第二定义的推导

【教学难点】对圆锥曲线第二定义的理解与运用

【教学方法】讨论发现法

【教学过程】

一、知识回顾

1

在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-，

将其变形为：

a c x c

a y c x =-+-2

2

2)(， 你能解释这个式子的意义吗？ 这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c

a x 2=的距离之比等于定值a c ，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？

二、新课讲解

已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c

a x l 2

:=的距离之比是常数)0(>>c a a c ，求点P 的轨迹。

解：由题意可得

a

c x c

a y c x =-+-2

2

2)( 化简得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-。

令2

22b c a =-，则上式可以化为 )0(12

2

22>>=+b a b y a x

这是椭圆的标准方程。

所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。

若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？

由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e

类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线c a x l 2

:=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数a c 就是双曲线的离心率e 。

F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比是一个常数e 。

这个常数e F l

（1） 椭圆的离心率e 满足01，抛物线的的离心率e ＝1。

（2） 根据图形的对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或

双曲线，准线方程都是c

a x 2

±=；对于中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是c

a y 2

±=。 （3） 圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整

体，当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义；当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差）为常数时，常考虑第一定义。

三、新知巩固： 1、学生填表（见课本P47习题2.5 1、填空）

2、学生板演：（见课本P46 （1）－（4））

四、知识拓展：

椭圆的焦半径公式：若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点和右焦点，则ex a PF ex a PF -=+=21，

；若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(122

22>>=+b a b

x a y 的下焦点和上焦点，则ey a PF ey a PF -=+=21，； 例2 若椭圆的长轴长是短轴长的4倍，一条准线方程是4-=y ，求椭圆的标准方程。

例3 已知椭圆136

1002=+y x 上有一点P ，到其左、右焦点距离之比为1：3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标。

五、课堂小结：

1、圆锥曲线的共同性质

2、椭圆第二定义的简单应用