2020届北京市高三高考模拟数学试题(解析版)

2020届北京市高三高考模拟数学试题一、单选题1．若复数z 满足(12)z i i =-⋅，则复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出． 【详解】解：(12)2z i i i =-⋅=+，z ＝2﹣i 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合{}2540A x x x =-+<,{}24xB x =<，则()R A B =U ð（ ） A ．(]1,2 B ．[)2,4 C ．[)1,+∞ D ．()1,+∞【答案】D【解析】分别求出集合A 、B 的值，由补集和并集的概念可得R B ð的值，可得答案. 【详解】解：依题意，{}{}254014A x x x x x =-+<=<<,{}{}242xB x x x =<=<，故{}R 2B x x =≥ð，故()()1,A B =+∞R U ð，故选：D. 【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确.3．下列函数中是偶函数并且在()0+∞，内单调递增的是（ ） A ．()21y x =-- B ．cos 1y x =+ C ．lg 2y x =+ D ．2x y =【答案】C【解析】利用初等基本函数判断即可。

【详解】()21y x =--不是偶函数，故舍去cos 1y x =+是偶函数，但在()0+∞，内不单调，故舍去lg 2y x =+为偶函数，()0+∞，单调递增满足题意。

2x y =不是偶函数，故舍去。

故选C 【点睛】本题属于基本题，考查了函数的奇偶性和单调性，学生要熟练基本初等函数的性质。

4．函数1y =+的值域为（ ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】. 【详解】Q0，∴1，则12y =+….∴函数1y =+的值域为[2,)+∞.故选：C . 【点睛】本题考查复合型指数函数值域的求解，属基础题.5．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B【解析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME ==所以122BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=,故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大. 6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos 4y x =【答案】B【解析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后, 得到曲线1C ，1C 的解析式为sin 2cos 24y x x π⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍, 得到曲线2C 的解析式为cos 2cos 2xy x =⋅=. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题.7．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．26【答案】B【解析】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ， 其中面积最大的面为：1232232PAC S V =⨯⨯= . 本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 8．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A【解析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a < 若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【答案】C【解析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级． 【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ． 【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.【答案】22【解析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知121F F PF =或122F F PF =,进而利用两点间距离公式求解即可. 【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得212e =<（舍）；当121F F PF =时,2c =由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得22e +=,故答案为:22【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.12．已知向量()()1,1,3,a b m ==-r r ，若向量2a b -r r 与向量b r 共线，则实数m =__________．【答案】3-【解析】先计算2a b -r r 的坐标，再利用向量共线的坐标运算，即可求得参数.【详解】因为()()1,1,3,a b m ==-r r， 故可得()25,2a b m -=-rr ， 又向量2a b -r r 与向量b r 共线，故可得()532m m =-⨯-， 解得3m =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及由向量共线求参数范围的问题，属基础题. 13．如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______.【答案】±【解析】先求出抛物线22y px =的准线方程，然后根据点()4,A m 到准线的距离为6，列出462p+=，直接求出结果. 【详解】抛物线22y px =的准线方程为2p x =-， 由题意得462p+=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上，∴2244m =⨯⨯，∴m =±故答案为：±. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+g ，则使不等式()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦成立的m 取值范围是__________．【答案】[)0,9【解析】首先判断出()f x 为奇函数，然后根据题意将()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦化为()()12f f m +>-，再由函数的单调性转化为解12m >-即可.【详解】Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，则()()()()f x g x g x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数， 又对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+g ，则()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦，即()()120f f m +->∴()()()122f f m f m >--=-Q ()f x 在R 单调递增，∴12m >-，即300m m ⎧-<⎪⎨≥⎪⎩，解得09m ≤<故答案为：[)0,9 【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.三、双空题15．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________14-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值. 【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=.又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 7ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=-o . 故答案为: 7;2114-. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.四、解答题16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.（1）求证：DE ⊥平面PAD . （2）求二面角A PC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（265【解析】（1）由等腰梯形的性质可证得DE AD ⊥,由射影可得PG ⊥平面ABCD ,进而求证；（2）取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC 与平面DPC 的法向量,再利用数量积求解即可. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中,Q 点E 在线段BC 上,且:1:3CE EB =,∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点, Q 2AD =,4BC =,1CE =,∴DE AD ⊥,Q 点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ,连接PG ,PG ∴⊥平面ABCD ,DE ⊂Q 平面ABCD ,PG DE ∴⊥.又AD PG G ⋂=,AD ⊂平面PAD ,PG ⊂平面PAD ,DE ∴⊥平面PAD .（2）取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,DE CB ⊥,1CE =, 又60ABC DCB ∠=∠=︒,3DE GF ∴=2AD =Q ,PAD △为等边三角形,3PG ∴=,则(0,0,0)G ,(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,3)P ,(3,0)C -,(3)0AC ∴=-uuu r,(1AP =-u u u r,()DC =-uuu r,DP =u u u r , 设平面APC 的法向量为111(,,)m x y z =r,则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即111130x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,令1x =则13y =,11z =,)13,m ∴=r,设平面DPC 的法向量为222(,,)n x y z =r,则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r ,即22220x x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩,令2x =,则21y =,21z =-,)1n ∴=-r,设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ,则cos m n m n θ⋅===⋅r r r r∴二面角A PC D --的余弦值为13.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力. 17．已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）②，理由见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】（1）选②，由()f x 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得n a ，进而得到2141n b n =-，由数列的裂项相消求和可得所求和. 【详解】（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. Q 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．（2）由（1）知()14222n k n a k k k -+=⋅=，所以当k =12n n a +=.因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率. 【答案】（1）12； （2）16. 【解析】（1）根据题意得到甲同学的选择的情况，从而得到概率；（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，列出所有的情况，在得到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案. 【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，故甲参加围棋比赛的概率为12； （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，则所有的可能为()1,2,1,2，()1,2,1,3，()1,2,1,4，()1,2,2,3，()1,2,2,4，()1,2,3,4，()1,3,1,2，()1,3,1,3，()1,3,1,4，()1,3,2,3，()1,3,2,4，()1,3,3,4，其中满足条件的有()1,2,3,4，()1,3,2,4两种， 故所求概率21126P ==. 【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题 19．已知函数22()ln f x a x a x x=++，实数0a >. （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()0,2(2,)⋃+∞ 【解析】（1）采用分类讨论的方法，10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦与1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.（2）化简式子，并构造函数2()ln 2g x a x x=+-，计算min ()g x ，然后再次构造函数()ln 1h x x x =+-，利用导数判断()h x 的单调情况，可得结果.【详解】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(2)(1)()a ax ax f x a x x x'+-=-++=. ∵0a >，20ax +>，∴由()0f x '=可得1x a=. （i ）当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 110a…，当(0,10)x ∈时，()0,()f x f x '<单递减；（ii ）当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，110a <，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1,10x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上所述，10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间(0,10)上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 在区间1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （2）由题意：不等式2()2f x a x <+在(0,)x ∈+∞成立即2ln 20a x x+-<在(0,)x ∈+∞时有解. 设2()ln 2g x a x x=+-，(0,)x ∈+∞，只需min ()0g x <.则22()ax g x x '-=，因为0a >， 所以在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x '<，在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0g x '>. 所以()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 因此min 22()ln 2g x g a a a a ⎛⎫==+-⎪⎝⎭. 不等式2()2f x a x <+在(0,)x ∈+∞成立，则2ln20a a a+-<恒成立. 又0a >，所以22ln 10a a+-<恒成立.令()ln 1(0)h x x x x =+->，则'11()1xh x x x-=-=.在(0,1)上，'()0h x >，()h x 单调递增； 在(1,)+∞上，'()0h x <，()h x 单调递减. 所以()(1)0h x h =…. 因此解22ln10a a +-<可得20a >且21a≠， 即0a >且2a ≠.所以实数a 的取值范围是()0,2(2,)⋃+∞. 【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.20．椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，由PM OM ⊥，PN ON ⊥，结合斜率公式化简得出110220x y y --=，220220x y y --=，即()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=，由0y 的任意性，得出直线MN 恒过一个定点(1,0). 【详解】（1）依题意得22212222a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩22221a b c ⎧=⎨==⎩ 即椭圆C ：2212x y +=；（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y其中22112x y +=，22222x y +=由PM OM ⊥，PN ON ⊥得1011112y y y x x -⋅=--，2022212y y y x x -⋅=-- 即221111020x y x y y +--=，222222020x y x y y +--=注意到22112x y +=，22222x y +=于是110220x y y --=，220220x y y --= 因此()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=由0y 的任意性知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0).【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1-，1构成且其中1-有m 个，1有p 个(3)m p +…，则称{}n a 为“(,)m p -数列”.（1）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种？ （2）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(,)m p -数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对(,)m p 使得110m p ≤≤≤，且1i j k a a a =的概率为12. 【答案】（1）16种；（2）共有115个数对(,)m p 符合题意.【解析】（1）将问题分为“1-，1-，1”，“1，1，1”两种情况，结合分类计数原理，即可容易求得结果；（2）根据古典概型的概率计算，以及组合数的计算，根据,m p 之间的关系，分类讨论解决问题. 【详解】（1）三个数乘积为1有两种情况：“1-，1-，1”，“1，1，1”，其中“1-，1-，1”共有：213412C C =种，“1，1，1”共有：344C =种，利用分类计数原理得：i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有：12416+=种.（2）与（1）基本同理，“1-，1-，1”共有21m p C C 种，“1，1，1”共有3p C 种， 而在“(,)m p -数列”中任取三项共有3m p C +种， 根据古典概型有：213312m p pm pC C C C ++=， 再根据组合数的计算公式能得到：22()(3232)0p m p p mp m m ---+--=，①p m =时，应满足11003m p m p p m ⎧⎪+⎨⎪=⎩剟?…，(m ∴,)(p k =,)k ，{2k ∈,3,4,⋯,100}，共99个，②2232320p p mp m m --+--=时，应满足221100332320m p m p p p mp m m ⎧⎪+⎨⎪--+--=⎩剟?…，视m为常数，可解得(23)2m p +±=，1m Q …，∴5，根据p m …可知，(23)2m p ++=，（否则1)p m -„，下设k =p 为正整数知k 必为正整数，1100m Q 剟，549k ∴剟，化简上式关系式可以知道：21(1)(1)2424k k k m --+==， 1k ∴-，1k +均为偶数，∴设21k t =+，*()t N ∈，则224t 剟，21(1)246k t t m -+∴==，由于t ，1t +中必存在偶数， ∴只需t ，1t +中存在数为3的倍数即可，2t ∴=，3，5，6，8，9，11，⋯，23，24， 5k ∴=，11，13，⋯，47，49.检验：(1)(1)48501002424k k p -++===…，符合题意，∴共有16个，综上所述：共有115个数对(,)m p 符合题意. 【点睛】本题考查古典概型、分步计数原理，组合问题的求解，涉及方程和不等式，属综合困难题.。