比例线段(设K法)与黄金分割

比例线段(设K 法)与黄金分割

【知识要点】

一、比例与成比例的线段

1． 把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d

c b a =，则称线段

d c b a ,,,成比例线段。 例如：

（1）下列各线段的长度成比例的是( )．

A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cm

B ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm

C ．3cm ，6cm ，7cm ，9cm

D ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm

（2）边长为3cm 、4cm 、5cm 的三角形三边与一条线段成比例，则这条线段为____cm

（3）已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？

（1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ；

（2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a

二、比例的三个性质

比例的基本性质：

bc ad d c b a d

c b a =⇔=⇔=::，其中

d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

另外两个重要的性质： 合比性质：d

b c b b a d c b a ±=±⇔= 等比性质：如果d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么b

a n d

b m

c a =++++++ 三、归纳比例的解题思想与方法（多元变一元；方法：设K 法如第2题，关系式表示法如第3、4题） 例如：

1、3

x =6y ，则y ：x=________ ；如果， 那么 ＝_______． ⒉若2x =3y =4z ≠0，则z

y x 32+=________ ； x+y+z x+y-z =________ ⒊已知2723=+b b a ，求b a 的值 ⒋已知4=y

x ，求y y x -，y x x +的值

⒌已知 3a=2b, 5b=4c,那么a:b:c=_______________

⒍已知a ∶b ∶c = 4∶3∶2,且a +3b －3c =14.

（1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.

7、如果，

，且x ＋y ＋z ＝12，求x ，y ，z 的值．

482334+=+=+z y x

5．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；

7．21

5,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。

【典型例题】

例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a=2，b=3，c=2，d=3 B.a=4，b=6，c=5，d=10

C.a=2，b=5，c=23，d=15

D.a=2，b=3，c=4，d=1

例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )

A.a ∶d=c ∶b

B.a ∶b=c ∶d

C.d ∶a=b ∶c

D.a ∶c=d ∶b

例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________

例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c

b d d a +=+ C.

c d

b a =22 D.d

a

cd ab =

例5. 已知d c

b a

=,则下列式子中正确的是（ ）

A. a ∶b=c 2∶d 2

B. a ∶d=c ∶b

C. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）

D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）

例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

例9．（1）已知b

a a

b b a x +=+=+=

222，求x 的值

（2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值

【经典练习】

1．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）

A 、

d b c a = B 、b a d c = C 、b d c a = D 、c

d a b = 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）

A 、

511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-x y y

3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）

A 、1:2

B 、1:4

C 、1:6

D 、1:8

4．若3:2:1::=c b a ，则c

b a

c b a +---的值为（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-3

5．已知8

75c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、

314 D 、9

6．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ）

A 、5

B 、-5

C 、20

D 、-20

7．若4

3x x =，则x 等于（ ） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32±

8．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ）