补充构造异面直线所成角的几种方法
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成角的三种经典求法
直 线 所成 角 的通 法 ， 常见 是 “ 一 静 一
动” ：将 另 一 直 线 平移 至 已知 点 ， 通
Ｄ ＋ Ｄ ｃ 。 一 Ｅ ｃ ２ ＋（ ２ 、 ／２） 一 ２
２ Ｄ Ｅ・ ＤＣ ２． ２． ２ 、 ／
过 求 解 三 角形 来 解 决 异 面 直 线所 成
２ 定 理 可得 ｃ 。 ｓ Ｄ 剧 — ＤＥ ％Ｅ Ｆ ＤＦ２
－
方 法 归 纳 ２： 补 形 法 的 实 质 是 将 直 线往 更 多的 “ 地 方” 平移 ， 其 目 的 也 是将 异 面 直线 所成 的 角平 面化．
—
：
方法 四 ： 建 立 空 间 直 角 坐标 系 ，
盟
图１
可 ．不 过 这 里 要 注 意 向 量 夹 角 与 异
± 皇 ： 二 ： ：
２ 。 ４ １・曰
Ａ Ｂ
．
所 以
２
加 ４１ ＝ ．
图２
面 直 线 所 成 的 角 的 取 值 范 围 不 一
样． 雹
Ａ Ｂ ＝ ２ Ｖ ， Ａ Ｄ
１ ＝ ２ ， 求 异 面 直 线
Ａ Ｄ ＝Ｘ ／ — Ｄ Ｄ ］ ＋ — Ａ Ｄ ｚ ＝ 、
Ｄ
，．
－ ２ 、 ／ ，
图４
ＤＥ与ＡＢ 所 成 的 角．
ＡＤｌ ＝
．在 Ｒ ｔ ＡＤ Ｄ￣ Ｂ中 ，
Ｄ Ｅ ＝ 肋 ＝ ２ ．＆ ＡＤ Ｅ Ｆ ￣ ， 由余 弦
， １ ） ， ＝ （ ０ ， ２ 、 ／ ， ０ ） ．
、 ／ 可
＝ Ｖ２ ２ ＋ （ ２ 、 ／ ） ２ ＋ ２ ＝ ４ ．
二
设 异 面 直 线Ｄ Ｅ与ＡＢ所 成 的 角 为 ，
求异面直线所成角的常用措施
解题宝典空间角问题是历届高考数学中的必考内容，重点考查同学们的抽象思维能力和空间想象能力.异面直线所成的角的问题主要考查求作异面直线的平行线的方法以及将空间几何问题转化为平面几何问题的方法.本文介绍两种求异面直线所成角的方法.一、定义法设a 、b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．在求异面直线所成的角时，可以依据异面直线所成的角的定义，在空间中的某一点作平行于异面直线的直线，将异面直线所成的角转化为平面内的角进行求解.例1.如图1，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，求异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值.解：取D 1C 1的中点M ，连结MO ，∵O 为底面中心，∴O 为BD 的中点，FO 为△DAB 的中位线，∴FO 12AB D 1M ，∴四边形D 1FOM 为平行四边形，∴MO ∥D 1F ，∴∠MOE （或其补角）即为异面直线D 1F 和OE 所成的角，在△MOE 中，OM =D 1F =22+1=5，ME =2，0E =3，由余弦定理得，cos ∠MOE =OM 2+OE 2-ME 22OM ∙0E =.解答本题主要运用了定义法，通过添加辅助线MO ，构造出平行四边形D 1FOM ，证明MO ∥D 1F ，将异面直线OE 和FD 1所成的角转化为∠MOE ，通过解三角形，利用余弦定理求得∠MOE 的余弦值，即可得出异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值.图1图2图3例2.如图2，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线B 1D 1和C 1A 所成的角.解：取DD 1，B 1B 的中点分别为M 、N ，连接MN ，AN ，∴B 1D 1∥MN ，且MN 过正方体的中点O 点，∴∠AON 为所求异面直线B 1D 1和C 1A 所成的角或其补角,∵BB 1=a ，NB =a 2，在RtΔABN 中，AN 2=AB 2+NB 2=54a 2，∴MN =B 1D 1=2，AC 1=3a ，∴ON =12MN ，而AO =12AC 1=，∴AO 2+ON 2=54a 2，∴△AON 是直角三角形，∠AON =90°∴异面直线B 1D 1和C 1A 所成的角为90°.这里根据异面直线所成角的定义，选择适当的点，通过平行移动直线B 1D 1得到与异面直线B 1D 1和C 1A 所成的角等价的平面角∠AON ，然后利用平面几何知识求得平面角的大小即可.二、向量法向量法一般适用于解答方便建立空间直角坐标系的几何问题.在运用向量法求异面直线所成的角时，首先需要建立合适的空间直角坐标系，用向量表示所求的两条异面直线，利用空间向量的数量积公式α=arccos n 1→∙n 2→||||||n 1→||||||n 2→，便可求得两异面直线所成的角.运用向量法能将复杂的几何问题转化为简单的向量计算问题，有利于拓宽解题的思路.例3.如图3，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1，的中点，求异面直线A 1E 与GF 所成的角的值.解：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，易知，F (1，1，0)，G (0，2，1)，E (O ，0，1)，A ,(1，0，2).∴ FG =(-1，1，1)， A 1E =(-1，0，-1)，∵ FG + A 1E =0，∴FG ⊥AE ，∴异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°.解答本题主要运用了向量法，在建立空间直角坐标系后，便可运用向量表示两异面直线，通过向量运算便可求得异面直线A 1E 与GF 所成的角.定义法和向量法是求异面直线所成角的常用方法.定义法是一种较为直接的方法，适用范围较广；向量法虽然简单，但是适用范围较窄.同学们在学习的时候，要善于总结规律，及时归纳，熟练掌握求异面直线所成的角两种基本方法.（作者单位：甘肃省甘南藏族自治州夏河县藏族中学）当子吉40。
异面直线所成角的几种求法(最新编写)
异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，46连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），26GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
426∴Cos ∠GHS=。
61所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。
61解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
B A CDF E B 1A 1D 1C 1GH S R PQ 1则点A 1的坐标为（0，2，2），点E 的坐标为（1，0，1），点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为（2，1，1）；所以向量的坐标为（-1，2，1），向量的坐标为（2，1，-1），1EA F B 1所以这两个向量的夹角θ满足cos θ==-。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。
下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。
一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。
垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。
2.两条垂直的直线称为互相垂直。
3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。
求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。
若点积为0，则两条直线是垂直的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。
如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。
二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。
斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。
2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。
求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
可以使用向量的点积或夹角公式求解。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。
2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。
求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
如果夹角为0度，则两条直线是平行的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。
高考数学常见题型解法归纳反馈训练第53讲异面直线所成的角的求法
第 53 讲异面直线所成的角的求法【知识重点】一、异面直线的定义：直线a, b 是异面直线，经过空间随意一点O ，分别引直线a1∥ a ,b1∥b,我们把直线 a1和 b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和b所成的角.二、异面直线所成的角的范围：(0, ]2三、异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）m ? n方法二：（向量法）cos，此中是异面直线m, n 所成的角，m, n分别是直线m, n 的方向m n向量 .四、求异面直线所成的角表现的是数学的转变的思想，就是把空间的角转变为平面的角，再利用解三角形的知识解答 .五、温馨提示假如你解三角形获得的角的余弦是一个负值，如cos 1，你不可以说两条异面直线所成的角为21200，你应当说两条异面直线所成的角为180********，由于两条异面直线所成的角的范围为(0, ].2【方法讲评】方法一几何法使用情形图形中两条异面直线所成的角自己就存在或很方便就能作出.解题步骤找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）【例 1】以下左图，在Rt ABC 中，ABC 600，BAC900，AD 是BC上的高，沿 AD 将ABC 折成 600的二面角B AD C ，以下右图.（1）证明：平面ABD平面BCD；（ 2）设 E 为BC 的中点，BD 2 ，求异面直线AE和BD所成的角的大小.【分析】（ 1 ）由于折起前AD是 BC 边上的高，则当ABD折起后，AD CD， AD BD，又CD BD D ，则AD平面BCD .由于AD平面ABD，因此平面ABD平面BCD .【评论】（1）此题中异面直线AE与BD所成的角能够经过平移的方法作出，AEF为异面直线AE 与BD所成的角. 再利用余弦定理解AEF即得 .（2）利用几何法求异面直线所成的角，常常要解直角三角形或斜三角形，因此要用到直角三角函数或正余弦定理.【反应检测1】如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PD底面ABCD ，PD CD ，E 为 PB 的中点．（1）求异面直线PA 与 DE 所成的角；（2）在底边AD 上能否存在一点 F ，使 EF平面PBC？证明你的结论．方法二向量法使用情形图形中没有两条异面直线所成的角或不便作出.成立空间直角坐标系求两条直线 m, n 对应的的向量m, n的坐标代入公式解题步骤m ? ncos的大小 .写出两条异面直线所成角m n【例2】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是菱形，ABC 60 ，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点 E 是 PC 的中点，且平面PBC平面ABCD．（Ⅰ）求异面直线PD 与 AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）若点 F 在线段PC上挪动，能否存在点 F 使平面 BFD 与平面 APC 所成的角为90？若存在，指出点 F 的地点，不然说明原因．（Ⅰ） PD( 3,2, 3) ， AC (0,1,3) ，则 PD 3 4 3 10，AC132，PDAC23 1设异面直线 PD 与 AC 所成角为, cos PD AC110 PD AC 2 1020因此异面直线 PD 与 AC 所成角的余弦值为10 20故1，即1，此时E( 2 3,1, 0) ，点F在 CP 延伸线上，因此，在 PC 边上不存在点 F 使01平面 BFD 与平面 APC 所成的角为90【评论】（ 1）异面直线PD 与AC所成角要作出来不是很方便，因此能够成立空间直角坐标系借助向量法解答 .(2) 关于异面直线所成的角的求法其实不是绝对的，是相对的. 不过简单和复杂的问题，因此我们要提高自己的选择能力, 提升解题效率.【反应检测2P ABCD中，侧棱 PD底面 ABCD ，底面ABCD是直角梯形，】四棱锥AB // DC, AD DC ，且 AB AD1,PD DC2， E 是 CD 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与PC 所成的角；（Ⅱ）线段PB 上能否存在一点Q ，使得PC平面 ADQ ？若存在，求出PB的值；若不存在，请说QB明原因．高中数学常有题型解法概括及反应检测第53 讲：异面直线所成的角的求法参照答案【反应检测 1 答案】（ 1）90；（ 2）存在点F为AD的中点，使EF平面PBC，原因看法析．（ 2）存在点F为AD的中点，使EF平面 PBC ，证明：取 PC 的中点 H ，连接DH , EH．由于 PD CD ，则 DH PC ．①由于 PD底面 ABCD ，则 PD BC ．由于底面ABCD 为正方形，则 CD BC ．因此 BC平面 PCD ，进而 BC DH ．②联合①②知 DH平面 PBC ．由于 E、F 分别是PB、AD的中点，则11FD// BC,EH//BC ，22进而 FD / /EH ，四边形 EFDH 为平行四边形，因此EF / / DH．故 EF平面 PBC ．【反应检测2答案】（Ⅰ） 600（Ⅱ）PB3.QB【反应检测2详尽分析】以 D 为坐标原点，分别以DA, DC , DD1为x轴、y轴、z轴的正方向成立空间直角坐标系，则D 0,0,0 , A 1,0,0 , B 1,1,0 ,C 0,2,0 , P 0,0,2 , E 0,1,0 .。
异面直线所成角求法
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1在空间四边形ABCD中，AD = BC = 2, E, F分别为AB、CD的中点，EF= 3，求AD、BC所成角的大小.解：设BD的中点G,连接FG, EG。
在厶EFG中EF=、.3 FG = EG= 1•••/ EGF= 120°二AD 与BC 成60°的角。
2. 正=ABC的边长为a, S为厶ABC所在平面外的一点，SA= SB= SC= a, E，F分别是SC 和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.答案：45°3. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA= SB= SC,且.ASB = BSC= • CSA=-,M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.2证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN // SM•••/ QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC= &,在厶BQN中B BN = ^a NQ = ：SM =^a BQ=』a2 2 4 4••• COS/QNB二BN2 NQ2-BQ2 d2BN NQ 54. 如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，/ BCA = 90°, M、N分别是A i B i和A i C i的中点, 若BC =CA = CC i, 求BM与AN所成的角.解：连接MN，作NG // BM交BC于G,连接AG , 易证/ GNA就是BM与AN所成的角.设：BC = CA = CC i = 2,贝U AG = AN = 5, GN = BM = 6, cos/ GNA = 6 5 _530。
2江』6江』5 105. 如图，在正方体 ABCD - A i B i C i D i 中，E 、F 分别是BB i 、CD 的中点.求AE 与D i F 所成 的角。
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55arccosOE C 1=∠所以所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
补充构造异面直线所成角的几种方法
.\一 . 异面直线所成角的求法1、正确理解观点（ 1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是随意选用的，异面直线 a 和b所成角的大小，与点O的地点没关。
（ 2）异面直线所成角的取值范围是（0°，902、娴熟掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：经过平移把空间两异面直线转变为同一平面内的订交直线，从而利用平面几何知识求解，整个求解过程可归纳为：一作二证三计算。
（2）求异面直线所成角的步骤：①选择适合的点，平移异面直线中的一条或两条成为订交直线，这里的点往常选择特别点。
②求订交直线所成的角，往常是在相应的三角形中进行计算。
③由于异面直线所成的角的范围是0°＜≤90°，因此在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常有的方法，经过补形，可将问题转变为易于研究的几何体来办理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
DD1、 AB、CC1的中点，则异面直例 1 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中， AA1=AB=2，AD=1，点E、F、 G分别是线 B1E与GF所成角的余弦是。
D1C1D1C1A B1A1B11GE G ED C D CBA FB A F.\例 2 已知S 是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝ SB＝ SC，且ASB＝BSC＝CSA＝， M、N分别AB 和 SC的中点．是2求异面直线SM与 BN所成的角的余弦值．S S SN N NC B C B C BM M MA A A例 3 长方体 ABCD— A1B1C1 D1中，若 AB=BC=3， AA1 =4，求异面直线B1 D 与 BC1所成角的大小。
.\例 4 如图， PA 平面 ABC ， ACB 90 且 PA ACBC a ，则异面直线PB 与 AC 所成角的正切值等于 _____．练习：1. 在棱长为 1 的正方体 ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1 中，M 和 N 分别为 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 ( )( A) 3(B) 10(C)3( D)221055D1B 1D 1 A 1C 1F 1A 1MB1C1DNC BAABC (第 2 题 )(第 1 题)2. 如图， A 1 B 1 C 1 — ABC 是直三棱柱 ( 三侧面为矩形 ) ，∠ BCA=90°，点 D 1 、F 1 分别是 A 1 B 1、 A 1 C 1 的中点 若BC=CA=CC 1，则 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值是 ( )( A)30(B)1(C)30( D)1510215103. 正方体 ABCD —A 1 B 1 C D 中，直线 BC 与 AC1 11(A) 订交且垂直 (B) 订交但不垂直 (C) 异面且垂直 (D) 异面但不垂直4. 设 a 、 b 、c 是空间中的三条直线，下边给出四个命题：①假如 a ⊥ b 、 b ⊥c ，则 a ∥ c ；②假如 a 和 b 订交， b 和 c 订交，则 a 和 c 也订交；③假如 a 、 b 是异面直线， c 、b 是异面直线，则 a 、 c 也是异面直线；④假如 a 和 b 共面， b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面.\在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4(B)3(C)2(D)1(E)05. 假如直线l和 n 是异面直线，那么和直线l、 n 都垂直的直线(A)不必定存在(B)总合只有一条(C)总合可能有一条，也可能有两条(D)有无量多条6. 如图，四周体 SABC的各棱长都相等，假如E、F 分别为 SC、 ABS(第6题 )E的中点，那么异面直线EF 与 SA所成的角等于(A)90 ° (B)60°(C)45°(D)30°BC F7．右图是正方体的平面睁开图，在这个正方体中，A N① BM与 ED平行；②CN与 BE是异面直线；D CM ③ CN与 BM成60角；④ DM与 BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（E A ）（ A）①② ③（B）②④（C）③④（D）②③④8．如图，四周体ABCD中， AC⊥ BD,且 AC＝ 4，BD＝ 3，M、N 分别是 AB、CD的中点，则求BFMN和 BD所成角的正切值为。
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法
答：求异面直线所成夹角的方法有许多，现介绍三种常用的方法。
1、利用角的三角形解法：由定义可知，先将两条直线分别定义为“a” 与“b”，令其与第三条直线“c”相交，所成的角度取为α 。
所以，解题方法为：通过构造三角形，将直线“a” 与“b” 也作入三角形中，利用角的三角形解法解得α所需夹角（又称夹角α ）。
2、利用直线的数学方程解法：在平面几何中，任意两条直线可以有唯一的数
学方程表示，令其方程分别为 y=ax+b 与 y=cx+d，则求夹角α 需用到斜率公式，即tanα = (c-a)/(1+ad-bc) 。
3、利用夹角角度解法：运用角度解法，对两条直线做夹角测角，得到两条直
线夹角的度数α 。
总之，我们能够根据自身需求，使用以上几种方法都可以轻松求出异面直线所
成夹角。
基本思路就是通过三角形的角度计算，直线的方程数学计算等方法来确定异面直线的夹角。
最新异面直线所成的角求法-总结加分析
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
高中数学：异面直线所成的角求法
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF＝ 3 ，求 AD、BC 所 成角的大小．解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。
在△EFG 中 EF＝ 3 FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD 与 BC 成 60°的角。
2．正 ABC 的边长为 a，S 为 ABC 所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点．求异面直线 SA 和 EF 所成角．正确答案：45°3．S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA＝SB＝SC，且 ASB＝ BSC＝ CSA＝ ，2M、N 分别是 AB 和 SC 的中点．求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值．证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN ，则 QN∥SMS∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角连结 BQ，设 SC＝a，在△BQN 中NBN＝ 5 a NQ＝ 1 SM＝ 2 a BQ＝ 14 a2244∴COS∠QNB＝ BN 2 NQ2 BQ2 102BN NQ5CBM A4．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点，若 BC＝ CA＝CC1，求 BM 与 AN 所成的角．解：连接 MN，作 NG∥BM 交 BC 于 G，连接 AG， 易证∠GNA 是 BM 与 AN 所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，则 AG＝AN＝ 5 ，GN＝BM＝ 6 ，cos∠GNA＝ 6 5 5 30 。
异面直线所成的角求法-总结加分析(学生定稿版)3
1A 1数学专题：异面直线所成的角的方法归纳一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的 角。
B M A NC S26．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
8.求异面直线AC 与BD 1所成的角的余弦值。
二、利用模型求异面直线所成的角模型：引理：已知平面α的一条斜线a 与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b 与斜线a 所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。
人教版数学-【报刊论文】构造异面直线所成角的几种方法.
高中数学构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4π C ．510arccos D ．2π 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得cos B 1GF＝2222221112B G GF B F B G GF +-=•＝0，故∠B 1G F ＝，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 1A 1B 1C 1D ABCDE FG高中数学解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠B E A＝∠B A E＝， 又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度． 故填．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB中，即tan PD DBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -，从而将问题简化．图1C图21D 1B 1C PDBCAP BC A。
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一. 异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。
（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，]90︒ 2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。
（2）求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。
EF1A 1B 1C 1D ABCDGEF1A 1B 1C 1D ABCD G例2已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点． 求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．例3长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
B M ANC SB M ANCSB M ANCS例4如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．练习：1.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )31032()()()()21055A B C D2.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015()()()()1021510A B C D 3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 4.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ；②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面(第2题)F 1 ABC D 1 C 1A 1B 1B 1(第1题)A 1AB C 1D 1CD MNN MFEDCB A在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 5.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条6.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）① ② ③ （B ）② ④ （C ）③ ④ （D ）② ③ ④8．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则求MN 和BD 所成角的正切值为 。
9．异面直线a 、b 成60°，过空间一点P 的直线c 与a 、b 成角都为60°，则这样的直线c 有 条。
10．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°]11.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点求MN 与AB 1所成角的余弦值。
12.如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若AC ＝CD ＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC ＝7，求BE 与AC 所成角的余弦值。
FAB CE S (第6题)A B CDM (第8题)N4 3 8A BCDE(第12题)785445 (第11题)MABC NC 1A 1B 1二.共面、共线、共点问题共点问题:证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上． 共线问题:证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上． 共面问题:证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．1.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为A 1A 的中点. 求证：（1）E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）CE 、D 1F 、DA 三线共点。
2.如图，∥，，，，求证：、、AB CD AB B CD D AC E B E ααα===D 三点共线。
练习：1. 共点的四条直线最多能确定 个平面。
2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有 个。
3. 已知平面αβαβ 平面，点、，点且，=∈∈∉=l A B C C l AB l R ，设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则βγ 是（ ） A. 直线AC B. 直线BC C. 直线CR D. 以上全错4. 已知△ABC 三边AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 共线。
A BC D A 1B 1C 1D 1 AB CD PQOA B C D A 1B 1C 1D 1 M NA B C DA 1B 1C 1D 1M NE FA BC D A 1B 1C 1D 1E FG 5. 如果△ABC 和△A 1B 1C 1不在同一平面内，且AA 1、BB 1、CC 1两两相交，求证：三直线AA 1、BB 1、CC 1交于一点。
三.平行问题1、“线//线”的证明： (1)平行四边形法： 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, 由11AB DC D C ,得四边形11ABC D 为平行四边形,于是11//BC AD ；(2)中位线法：如图,四棱锥的底面ABCD 为平行四边形,点Q 是PC 的中点,则由OQ 是△PAC 的中位线,得到OQ//PA ；(3)“线//面”平行法：如图,若11//B C 平面ABCD,过11B C 的平面交平面ABCD 于MN,则11//B C MN ；(4)“面//面”法：如图,若平面1111//A B C D 平面ABCD,平面α与平面1111A B C D 、平面ABCD 分别交于EF 、MN,则有EF // MN;(5)“平行线分线段成比例定理的推论”：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段成比例。
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为面对角ABC DA B`C D E F ABC D AB`CD EFA BC DPQOA B C D A 1B 1C 1D 1 M NAB C D A 1B 1C 1D 1MN线D 1B 1，A 1B 上的动点，且D 1E= A 1F ，则111,D E A FEB FB= 111D E A EEB EG=又，故11A E A FEG FB=，所以EF//GB 。
2、“线//面”的证明： (1)“线//线”法：如图,Q 为PC 的中点，则//OQ AP ,所以//OQ 平面PAD ；(2)“面//面”法： 如图,若1111//A B C D 平面ABCD,直线MN 在平面1111A B C D ,则MN //平面ABCD ； 3、“面//面”的证明：“线//面”法：如图,在平面1111A B C D 上找到两条相交直线MN 、1MC 均平行于平面ABCD,则有平面1111A B C D //平面ABCD ；例题分析：1．αα//,//b a ，则a 与b 的位置关系（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．以上情况均有可能2．a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面（ ）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．以上答案都不对3、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E ，F 分别是A`B`，B`C`的中点。
求证：EF ∥面AD`C 。
A 1 1E D 1C 1B 1DCBAA 11ED 1C 1B 1DCBA4、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 ， 求证：EF ∥平面P AD ； 5. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//A C 平面BDE 。
7. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点． 求证：PB ∥平面AEC ．E FBACDP C BD A P EFCB DA PEFEFB ACDPB 1A 1D 1C 1BA D CP Q_ P_ B_ A_ N_ M _ E_ D_ C _ P_ B_ A_ N_ M _ E_ D_ C _ P_ B_ A_ N_ M _ E_ D_ C B 1A 1D 1C 1BA DCPQ8．已知正四棱锥P —ABCD ，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC ；9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。