高等数学电子教案：10-2

n
P(i ,i )xi的极限存在, 则称此极限为函
i 1
数 P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线
积分(或称第二类曲线积分）, 记作
n
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
)xi
.
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy
lim
0i 1Q(i Nhomakorabea,i
)yi
.
其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段.
解
(1)
L
:
x
y
a cos a sin
,
从 0 变到 ，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
有向曲线元；
At为向量 A 在向量t上的投影.
例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
y2 x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
0
1
A(1,1)
1 x( x)dx 0 x xdx
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P( x,
y, z)dx
lim
0
i 1
P(i ,i
,
i
)xi
.
n
Q( x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
, i
,i
)yi
.
n
R(
x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R(i
, i
,i
)zi
.
5.性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
且L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
特殊情形
(1) L : y y( x) x起点为a，终点为b.
则
b
Pdx Qdy {P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx.
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
0
i 1
[ P ( i
,i
)
xi
Q( i
,i
)
yi
].
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧, 函数 P( x, y), Q( x, y)在 L 上有界. 用L上的点M1( x1, y1 ), M2( x2 , y2 ), , Mn1( xn1, yn1 )把 L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2,, n; M0 A, Mn B). 设xi xi xi1, yi yi yi1, 点(i ,i )为 Mi1Mi 上任意取定的点. 如果当各小弧段 长度的最大值 0时,
定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为 xy
( t ), ( t ),
当参数t单调地由变
到时,点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连
续导数,且 2 (t) 2 (t) 0,则曲线积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
2.存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其中 F Pi Qj , ds dxi dyj .
4.推广
上点( x, y, z)处的切线向量的方向角为, , ,
则 Pdx Qdy Rdz (P cos Q cos Rcos )ds
可用向量表示
其中 A {P, Q,
A
R}，
t
ds
A
dr
t {cos , cos
,
At ds, cos },
上点( x, y, z)处的单位切向量
dr t ds {dx, dy, dz}
Mi1Mi (xi )i (yi ) j .
取
F ( i
,i
)
P(i
,i
)i
Q(i
,i
)
y j,
Wi F (i ,i ) Mi1Mi ,
F (i ,i )
B
M i Mn1
L yi
Mi1 xi
M2
A M1
即 Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi .o
x
n
求和 W Wi
近似值
(4) 两类曲线积分之间的联系：
设有向平面曲线弧为L：
x y
(t) ,
(t)
L上点( x, y)处的切线向量的方向角为, ,
则L Pdx Qdy L(P cos Q cos)ds
其中cos
(t)
,cos
(t)
,
2(t) 2(t)
2(t) 2(t)
（可以推广到空间曲线上 ）
L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.
(2) 设 L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
2
13
x 2dx
4.
0
5
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
B(1,1) y2 x
A(1,1)
例2 计算 y2dx, 其中L为 L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
一、问题的提出 y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
L : A B,
Myii Mn1
L Mi1xi M2
A M1
F(x, y) P(x, y)i Q(x, y) j o
x
常力所作的功 W F AB.
分割 A M0 , M1( x1 , y1 ),, Mn1( xn1 , yn1 ), Mn B.
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L
c
x (t)
(3) 推广
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t)}dt