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北京市中考数学二模试题分类 实验操作题(教师版)

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2024年北京中考数学第二次模拟卷含答案解析

2024年北京中考数学第二次模拟卷含答案解析

2024年中考第二次模拟考试数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．37．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x 可取的一个数是 ．10．将2327m n n -因式分解为 ．11．方程12131x x =+-的解为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e 的卡片写有数字 ．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE的形状，并证明；(2)连接EF，若EF CD的长．21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺为3m，且空白区域A B贴用纸费用分别为：A区域10元2/m，铺贴三个区域/m，B区域15元2/m，C区域20元2共花费150元，求C区域的面积．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y ，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m ；此时距离A 的水平距离为___________m ；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m 时补光效果最好，若在距离A 处水平距离1.5m 的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m ？（灯的大小忽略不计）26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒【答案】B 【分析】根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．【详解】∵∠AOC =70°，∠BOC =30°，∴∠AOB =70°－30°=40°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =40°+70°=110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -∙︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】 正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③==+，∴DF AC a b∵DF DE<，+<，①正确，故符合要求；∴a b c∵EAB BCD≌△△，第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x可取的一个数是．∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．10．将2327m n n -因式分解为．【答案】()()333n m m +-【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．【详解】解：2327m n n -=()239n m -=()()333n m m +-故答案为：()()333n m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．方程12131x x =+-的解为 ．【答案】x ＝3【分析】根据分式方程的解法解方程即可；【详解】解：去分母得：3x ﹣1＝2x +2，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入得：(x +1)(3x ﹣1)≠0，∴分式方程的解为x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .AB是直径，CD丄AB∴=，CE DE=BD BC=60︒，∠ACDA∴∠=︒，30∴∠=∠=︒，DOE A26014．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．【答案】B；4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪．∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE 的形状，并证明；(2)连接EF ，若EF =CD 的长．四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，60HDE ∠=︒ ，633OE OD ∴===21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m ，且空白区域AB 、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A 区域10元2/m ，B 区域15元2/m ，C 区域20元2/m ，铺贴三个区域共花费150元，求C 区域的面积．【答案】25m 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A 区域的面积为m x ，根据题意得出101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，再求出C 区域的面积即可．【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，9225-⨯=，答：C 区域的面积是25m ．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n 91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．【答案】(1)见详解；(2)88m =，90n =；(3)第二次【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m；此时距离A的水平距离为___________m；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？（灯的大小忽略不计）【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；x=，求得函数值，即可解答．（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫⎪⎝⎭，，代入得，18342c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >，不符合题意，当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-；∴a 的取值范围是1a <-；综上所述：a 的取值范围是3a >或1a <-.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)CF DF =【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【详解】（1）解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；（2）CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE ≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC ≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．发现线段11A B 的对称线段是⊙O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，⊙O 的关于直线故答案为：11A B ；（2）已知()30y x b b =-+>交x 轴于点是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的以及相应的BC 长．解：∵直线()30y x b b =-+>交x 轴于点当0y =时，()030x b b =-+>，将点C 代入直线3y x b =-+中，得0解得：23b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴22125BC B C '==+=，∴当A '为()10，时，如图，OC 最大，此时2024年中考第二次模拟考试数学·参考答案 第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．12345678BDBDCBDD第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9．如4等（答案不唯一，3x ≥）10．()()333n m m +-11．x ＝312．2-（答案不唯一）13．14．()621031x x-=1516．B ；4三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）【详解】解：原式1144=-+-+....................（2分）114=-++-....................（4分）4=．....................（5分）18．（5分）【详解】解：221352x xxx+<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x>，....................（2分）解不等式②得：5x<，....................（4分）∴不等式组的解集为35x<<．....................（5分）19．（5分）【详解】解：原式22121211(1)x x xx x x⎛⎫---=+÷⎪+++⎝⎭()()22112x x xx x-+=⋅+-....................（2分）()1x x=-+....................（3分）2x x=--，....................（4分）当1x=时，原式)1113=--+=-....................（5分）20．（5分）【详解】（1）解：四边形DFHE是菱形，理由如下：CD平分ACB∠，过点D作DE BC⊥于点E，DF AC⊥于点F，60ACB∠=︒，DF DE∴=，30FCD DCE∠=∠=︒，....................（1分）点H是CD的中点，FH CH DH∴==，EH CH DH==，FH HE∴=，30DCE∠=︒，DE CB⊥，60HDE∴∠=︒，DHE∴ 是等边三角形，DE HE DH∴==，DF DE HE FH∴===，∴四边形DFHE 是菱形；....................（2分）（2）解：连接EF ，交DH 于点O ，四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，12OF OE EF ===EF DH ⊥，....................（3分）60HDE ∠=︒，OD ∴===....................（4分）24CD DH OD ∴===....................（5分）21．（5分）【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，....................（1分）解得2x =，....................（2分）9225-⨯=，....................（3分）答：C 区域的面积是25m ．....................（5分）22．（5分）【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，....................（1分）该一次函数的表达式为112y x =-+，....................（2分）令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；....................（3分）（2）解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，....................（4分）4m ∴>-．....................（5分）23．（6分）【详解】（1）解：如图所示；....................（2分）（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，....................（3分）∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；....................（4分）（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．....................（6分）24．（6分）【详解】（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC =，....................（1分）∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，....................（2分）∴ AD CD =，∴ AB AD BC CD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；....................（3分）（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD =，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．....................（4分）∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．....................（5分）∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．....................（6分）25．（6分）【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示， ....................（1分）（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；....................（3分）（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入得，18311423c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得1321a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，....................（4分）∴抛物线的解析式为21213y x x =-++，令 1.5x =，则21331321 3.253224y ⎛⎫=-⨯+⨯+== ⎪⎝⎭，()3.25 1.5 1.75m -=，....................（5分）答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．....................（6分）26．（6分）【详解】（1）解：∵抛物线解析式为()22230y ax a x a =--≠，。

13.代数综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)

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202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题：（一）定直线+动抛物线1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C：y=ax2-2（a0）与线段AE恰有一个公共2点，结合函数的图象，求a的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx+3经过点B（3，0）∴3k+3=0k=-1……1分∴y=-x+3与y轴的交点，即为点C（0，3）……2分（2）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴y=x2+bx+3∴9+3b+3=0b=-4∴抛物线C1的函数表达式为y=x2-4x+3……3分∴y=（x-2）2-1∴顶点D的坐标为（2，-1）……4分（3）解：∵点E是点D关于原点的对称点∴点E的坐标为（-2，1）3当y=ax2-2经过点E（-2，1）时，a=4当y=ax2-2经过点A（1，0）时，a=2∴a的取值范围是3≤a<2……………6分4（ 2y（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = mx 2 - 3 (m - 1) x + 2m - 1(m ≠ 0 ) ．（1）当 m =3 时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点 A （1，2）．试说明抛物线总经过点 A ；（3）已知点 B （0，2），将点 B 向右平移 3 个单位长度，得到点 C ，若抛物线与线段 BC只有一个公共点，求 m 的取值范围． 26．解： 1）把 m =3 代入 y = mx 2 - 3(m - 1)x + 2m - 1中，得y = 3x 2 - 6x + 5 = 3(x - 1)2 + 2 ，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2 分（2）当 x =1 时， y = m - 3(m - 1) + 2m - 1 = m - 3m + 3 + 2m - 1 = 2 ．∵点 A （1，2），∴抛物线总经过点 A ．………………………………………………3 分（3）∵点 B （0，2），由平移得 C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点 A （1，2）时，抛物线与线段 BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4 分 ② 当抛物线过点 B （0，2）时，将点 B （0，2）代入抛物线表达式，得 2m -1=2．yB A 1C3∴m = >0．2O图11 x此时抛物线开口向上（如图 1）．∴当 0<m < 3时，抛物线与线段 BC只有一个公共点．………5 分③当抛物线过点 C （3，2）时，将点 C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．B 1O A C1 x此时抛物线开口向下（如图 2）． ∴当-3<m <0 时，抛物线与线段 BC只有一个公共点． ………………… 6 分图2综上，m 的取值范围是 m =3 或 0<m <3 2或-3<m <0．（2）动抛物线：①不变：与y轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+a2x+c与y轴交于点（0,2）．（1）求c的值；（2）当a=2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（-2,0），B(1,0),若抛物线y=ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．26．解：（1）∵抛物线y=ax2+a2x+c与y轴交于点（0,2），∴c=2.（2）当a=2时，抛物线为y=2x2+4x+2，∴顶点坐标为（-1,0）.（3）当a＞0时，①当a=2时，如图1，抛物线与线段AB只有一个公共点.②当a=1+2时，如图2，抛物线与线段AB有两个公共点.图2图1结合函数图象可得2<a≤1+2.当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点.综上所述，a的取值范围是2<a≤1+2.（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020 房山二模 26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在 y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与 x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = ax 2 + 2ax + c 与 x 轴交于点 A 、B ，且 AB = 4 .抛物线与 y 轴交于点 C ，将点 C 向上移动 1 个单位得到点 D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点 D 纵坐标（用含有 a 的代数式表示）；（3）已知点 P (-4,4 ) ，若抛物线与线段 PD 只有一个交点，求 a 的取值范围.26．（1）对称轴 x = - 2a2a= -1 ……………………………………1 分（2）∵ AB = 4A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2 分 把（1，0）代入表达式： a + 2a + c = 0 得： c = -3a ……………3 分 ∴ C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）,y = -3a + 1…………………………4 分D（3）当 a > 0 时将点 P (-4,4 ) 代入抛物线 y = ax 2 + 2ax - 3a 得：4 = 16a - 8a - 3a , a = 45∴当 a ≥ 4 5时，抛物线与线段 PD 只有一个交点…5 分当 a < 0 时抛物线的顶点为 (-1,-4a )当 -4a = 4 时a = -1…………………6 分45或a=-1时，抛物线与线段PD只有一个交点.综上所述，当a≥B 0图 5 )图31 5.（2020 燕山二模 26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与 x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 - 4ax(a ≠ 0) 与 x 轴交于点 A ， (A 在 B 的左侧)．(1) 求点 A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点 P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵ y = ax 2 - 4ax ＝ ax( x - 4) ，∴抛物线与 x 轴交于点 A (0，0)，B (4，0)．抛物线 y = ax 2 - 4ax 的对称轴为直线： x = --4a2a= 2 ．………3 分(2) y = ax 2 - 4ax ＝ a( x 2 - 4 x ) ＝ a( x - 2)2 - 4a ，抛物线的顶点坐标为(2，－4a )．令 y = 5a ，得 ax 2 - 4ax = 5a ，a( x - 5)( x + 1) = 0 ，解得 x = -1 ，或 x = 5 ，∴当 y = 5a 时，抛物线上两点 M (－1，5a )，N (5，5a )．yyMN QyP1 4 xPO14xP 14 xMQNQ M N①当 a > 时，抛物线开口向上，顶点位于 x 轴下方，且 Q (2＋2a ， a 位于点 P 的右侧， 图 2如图 1，当点 Q 与点 N 重合或位于点 N 右侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，此时 2＋2a ≥5，5202006 初三数学 代数综合北京各区二模试题分类整理解得 a ≥ 32．②当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点位于 x 轴上方，点 Q (2＋2a ， a )位于点 P 的左侧，(ⅰ)如图 2，当顶点与点 P 重合或位于点 P 下方时，抛物线与线段 PQ 有公共点，此时－4a ≤2，解得 a ≥ - 12．(ⅱ)如图 3，当顶点位于点 P 上方，点 Q 与点 M 重合或位于点 M 左侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，此时 2＋2a ≤－1，解得 a ≤ - 32．综上，a 的取值范围是 a ≥ 3 1 3，或 - ≤ a<0 ，或 a ≤ - ． …………………6 分2 2 26.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a与y轴交于点A.（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知点P(a，0)，Q(0，a-2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．26.解：（1）令x=0，则y=3a.∴点A的坐标为（0，3a）.………………………………………………1分（2）令y=0，则ax2-4ax+3a=0.…………………………………………2分∵a≠0，∴解得x=1,x=3.12∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0）,（3，0）.…………4分（3）①当a<0时，可知3a≥a-2.解得a≥-1.∴a的取值范围是-1≤a<0.②当a＞0时，由①知a≥-1时，点Q始终在点A的下方，所以抛物线与线段PQ恰有一个公共点时，只要1≤a<3即可.综上所述，的取值范围是-1≤a<0或1≤a<3.......….........….....………7分ay 二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题：7.（2020 海淀二模 26）在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y =mx 2+2mx +3 的图象与 x 轴交于点 A(-3,0) ，与 y 轴交于点 B ，将其图象在点 A ，B 之间的部分（含 A , B 两点）记为 F .（1）求点 B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数 y =x 2+2x +a 的图象与 F 只有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围.26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3 的图象与与 y 轴交于点 B ，∴点 B 的坐标为(0, 3).–4 –3 –2 –1 y 6 5 4 3 2 1O 1–1–22 3 4 x∵y =mx 2+2mx +3 的图象与 x 轴交于点 A(-3,0) ，∴将 A(-3,0) 代入 y =mx 2+2mx +3 可得 9m - 6m + 3 = 0 .∴ m = -1.∴该函数的表达式为 y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数 y =mx 2+2mx +3 的图象在点 A ，B 之间的部分（含 A , B 两点）记为 F ，∴F 的端点为 A , B ，并经过抛物线 y =mx 2+2mx +3 的顶点 C （其中 C 点坐标为(-1,4)）.∴可画 F 如图 1 所示.∵二次函数 y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为 x =-1，且与 F 只有一个公共点,∴可分别把 A , B , C 的坐标代入解析式 y =x 2+2x +a 中.∴可得三个 a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图 2 所示.∴结合函数图象可知：A–4 –3 –2 –1Cy6 5 4 3 B 2 1O 1 2 3 4 x–1 –2–3 –4 图 1 6 543 B 2 1二次函数 y =x 2+2x +a 的图象与 F 只有一个公共点时，a 的取值范围是-3≤a <3 或 a =5.A–4 –3 –2 –1O–11 2 3 4 x–2 –3 –4图 2202006初三数学代数综合北京各区二模试题分类整理三、整点问题8.（2020平谷二模26）含同参的动线段+动抛物线。

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202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题： （一）定直线+动抛物线 1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点． （1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标； （3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线 C 2：y=ax 2-2（0a ）与线段AE 恰有一个公共 点，结合函数的图象，求a 的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0 k=-1 ……1分∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3） ……2分 （2）解：∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴ y=x 2+bx+3∴ 9+3b +3=0 b=-4∴抛物线C 1的函数表达式为y = x 2-4x+3 ……3分∴y =（x -2）2-1∴顶点D 的坐标为（2，-1） ……4分（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点∴点E 的坐标为（-2，1） 当y=ax 2-2经过点E （-2，1）时，a =当y=ax 2-2经过点A （1，0）时，a =2∴a 的取值范围是 ≤a <2 ……………6分4343（1）定线段（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠． （1）当m =3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A （1，2）．试说明抛物线总经过点A ；（3）已知点B （0，2），将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m 的取值范围．26．解：（1）把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得223653(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2分 （2）当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=． ∵点A （1，2），∴抛物线总经过点A ．………………………………………………3分（3）∵点B （0，2），由平移得C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点A （1，2）时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4分 ② 当抛物线过点B （0，2）时，将点B （0，2）代入抛物线表达式，得2m -1=2．∴m =32>0．此时抛物线开口向上（如图1）． ∴当0<m <32时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．………5分③当抛物线过点C （3，2）时，将点C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．此时抛物线开口向下（如图2）． ∴当-3<m <0时，抛物线与线段BC只有一个公共点． ………………… 6分 综上，m 的取值范围是m =3或0<m <32或-3<m <0．图2图1（1）定线段（2）动抛物线：①不变：与y 轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2）．（1）求c 的值；（2）当a =2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A （-2,0），B (1,0),若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2），∴c =2.（2）当a =2时，抛物线为2422++=x x y ，∴顶点坐标为（-1,0）. （3）当0a ＞时，①当a =2时，如图1，抛物线与线段AB 只有一个公共点.②当21+=a 时，如图2，抛物线与线段AB 有两个公共点.结合函数图象可得212a <+≤. 当0a ＜时，抛物线与线段AB 只有一个或没有公共点.综上所述，a 的取值范围是212a <+≤.图1图2（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020房山二模26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围. 26．（1）对称轴-1=22-=aax ……………………………………1分（2）∵4AB =A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2分 把（1，0）代入表达式：0=c +2a +a 得：a 3-=c ……………3分 ∴C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）, 31D y a =-+ …………………………4分 （3）当0a >时将点()4,4P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--, 45a =∴当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点…5分当0a <时抛物线的顶点为()1,4a -- 当44a -=时1a =- …………………6分综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点.5.（2020燕山二模26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)． (1) 求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵24y ax ax =-＝(4)ax x -，∴抛物线与x 轴交于点A (0，0)，B (4，0)． 抛物线24y ax ax =-的对称轴为直线：422ax a-=-=．………3分 (2) 24y ax ax =-＝2(4)a x x -＝2(2)4a x a --， 抛物线的顶点坐标为(2，－4a )． 令5y a =，得245ax ax a -=，(5)(1)0a x x -+=，解得1x =-，或5x =，∴当5y a =时，抛物线上两点M (－1，5a )，N (5，5a )．①当0a >时，抛物线开口向上，顶点位于x 轴下方，且Q (2＋2a ，5a )位于点P 的右侧，如图1，当点Q 与点N 重合或位于点N 右侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a ≥5，14xyNMQ P图3 14xyNMQP 图214xy NMQP O解得32a≥．②当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2＋2a，5a)位于点P的左侧，(ⅰ)如图2，当顶点与点P重合或位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时－4a≤2，解得12a≥-．(ⅱ)如图3，当顶点位于点P上方，点Q与点M重合或位于点M左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a≤－1，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a<-≤，或32a≤-．…………………6分6.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243=-+y ax ax a 与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P (a ，0)，Q (0，2-a )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求a 的取值范围．26.解：（1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）. ………………………………………………1分（2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0. …………………………………………2分 ∵a ≠0， ∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）. …………4分 （3）①当a <0时，可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1. ∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3. .......….........….....………7分二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题： 7.（2020海淀二模26）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， 与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点， 结合函数图象，求a 的取值范围. 26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0, 3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=.∴ m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F ，∴F 的端点为A , B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1，且与F 只有一个公共点,∴可分别把A , B , C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.∴结合函数图象可知：二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点时， a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.图 2三、整点问题8.（2020平谷二模26） 含同参的动线段+动抛物线。

2024北京二中初三二模数学试卷和答案

2024北京二中初三二模数学试卷和答案

2024北京二中初三二模数 学一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）A. 25(2)3y x =++B. 25(2)3y x =-+C. 25(2)3y x =--D. 25(2)3y x =+-3. 已知O 的半径为 r ，点P 到圆心的距离为d ．如果d r ≥，那么点P （ ）A. 在圆外B. 在圆外或圆上C. 在圆内或圆上D. 在圆内4. 一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（ ）A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 十边形5. 正比例函数y=kx 和反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是A. B. C. D.6. 若13a a -=-，则221a a +的结果是（ ）A. 7 B. 9 C. ﹣9 D. 117. 如图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21S ，B 课程成绩的方差为22S ，则21S ，22S 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212S s >D. 不确定8. 如图①，底面积为230cm 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度()cm h 与注水时间()s t 之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）2cmA. 24B. 12C. 18D. 21二、填空题（本大题共8小题）9. 分解因式：32232x y x y xy -+-= ______10. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB ＝3米，AC ＝10米，则旗杆CD 的高度是_________米．11. 若分式67x--的值为正数，则x 满足______12. 请写出一个解为34x y =⎧⎨=-⎩，的二元一次方程组，这个方程组可以是_________．13. 若点P 是△ABC 角平分线的交点，且S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，则点P 到边AB 的距离是 _____．14. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，AB AC =，72C ∠=︒，若4AB =，则CE 的长度为________．15. 正六边形内接于圆，则它的边所对的圆周角的度数为______．16. 某超市现有n 个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放_______个收银台．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 计算：2cos45°﹣|1|＋（13）﹣118. 解不等式组243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩．19. 已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝ S 小⊙O ．21. 如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，连结BD 并延长到点E ，过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，交AB 于点G ．（1）若BD DE =，求证：CD DF =；（2）若7025BG GE ACB E =∠=︒∠=︒，，，求∠A 的度数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()230y ax bx a =+-≠，经过点()1,0A -，()4,5B ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ，当PM PN >时，求点P 的横坐标p x 的取值范围．23. 小彬在今年的篮球联赛中表现优异．下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．场次对阵甲队对阵乙队得分篮板失误得分篮板失误第一场2110225172第二场2910231150第三场2414316124第四场261052282平均值a 11223.5132（1）小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是______分；（2）小彬在这8场比赛的篮板统计数据中，众数是______，中位数是______；（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分1⨯+平均每场篮板 1.2⨯+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是37.1分．请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．24. 如图1，直线AB 与直线1l ，2l 分别交于C ，D 两点，点M 在直线k 上，射线DE 平分ADM ∠交直线1l 于点Q ，2AC Q C D Q ∠=∠．（1）证明：12l l ∥；（2）如图2，点P 是CD 上一点，射线QP 交直线2l 于点F ，70ACQ ∠=︒．①若15QFD ∠=︒，求出FQD ∠的度数．②点N 在射线DE 上，满足QCN QFD ∠=∠，连接CN ，请补全图形，探究CND ∠与PQD ∠的等量关系，并写出证明过程．25. 小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，20x -≤<当时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ．（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x 0121322523L y 0116167161954872L综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，)(0)m m >作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是_________．26. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21,s 5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出222123,,s s s 的大小关系．27. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．（1）如图1，若BC ＝BD ，∠ACB ＝90°，则∠DEC 度数为_________°；（2）如图2，若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ；（3）如图3，过点C 作CH ⊥DE ，垂足为H ，若CD ＝BD ，EH ＝1，求DE －BE 的值．28. 问题探究：（1）如图1，在等边ABC 中，3AB =，点P 是它的外心，则PB ＝ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，3AB =，边BC 上存在点P ，使90APD ∠=︒，求矩形ABCD 面积的最小值；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD 中，3AB =，90A B ∠=∠=︒，45C ∠=︒，边CD 上存在点P ，使60APB ∠=︒，在此条件下，四边形ABCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．2. 【答案】B【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．3. 【答案】B【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．【详解】解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d．如果d≥r，∴P点在圆外或圆上．故选B．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4. 【答案】Cn-⨯=，然后解方程即【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(2)1801260可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，n-⨯=，(2)1801260n=，解得9故这个多边形为九边形．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握n 边形的内角和为2180()n -⨯︒．5. 【答案】C【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx 所过象限，进而选出答案．【详解】反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）中，()2k 1-+＜0，图象在第二、四象限，故A 、D 不合题意，当k ＞0时，正比例函数y=kx 的图象在第一、三象限，经过原点，故C 符合；当k ＜0时，正比例函数y=kx 的图象在第二、四象限，经过原点，故B 不符合；．故选C ．6. 【答案】D【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-1a )2+2，最后整体代入进行计算可得结果.【详解】解：∵13a a -=-，∴221a a +＝（a ﹣1a ）2+2＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．7. 【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B 课程成绩的波动大，A 课程成绩的波动小，∴2212s s <；故选：A ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8. 【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s ，满过“几何体”上方圆柱需()24186s -=，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需()422418s -=，再设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为cm a ，根据圆柱的体积公式得()3015185a ⋅-=⨯，解得6a =，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据圆柱的体积公式得()()53052418S ⋅-=⨯-，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：()422418s -=，这段高度为：)14113m (c -=，设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，则18303x ⋅=⨯，解得5x =，即匀速注水的水流速度为35cm /s ；“几何体”下方圆柱的高为cm a ，则3015185()a ⋅-=⨯，解得6a =，所以“几何体”上方圆柱的高为)1165m (c -=，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据题意得()()53052418S ⋅-=⨯-，解得24S =，即“几何体”上方圆柱的底面积为224cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题）9. 【答案】()2xy x y --【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法和完全平方公式即可作答．【详解】32232x y x y xy -+-()222xy x xy y =--+()2xy x y =--，故答案为：()2xy x y --．10. 【答案】6【分析】由题意得90ABE ACD ∠=∠=︒，则△ABE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得BE AB CD AC =，即可得．【详解】解：如图：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴90ABE ACD ∠=∠=︒，∴△ABE ∽△ACD ，∴BE ABCD AC =，∴1.8310CD =，解得：CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．11. 【答案】7x >【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可．【详解】根据题意有：67x ->0-，∵60-<，∴70x -<，∴7x >，故答案为：7x >．12. 【答案】17x y x y +=-⎧⎨-=⎩【分析】由题意知，可组的二元一次方程组不唯一，加减是最简单的，所以可给出17x y x y +=-⎧⎨-=⎩的形式．【详解】解：∵1x y +=-，7x y -=∴最简单的二元一次方程组可为17x y x y +=-⎧⎨-=⎩故答案为：17x y x y +=-⎧⎨-=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组．解题的关键在于按照方程组的解给出正确的方程组的形式．13. 【答案】2【分析】由角平分线的性质可得，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 的高相等，利用面积公式即可求解．【详解】解：过点P 作PD ⊥AC 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴PD ＝PE ＝PF ，∵S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，∴点P 到边AB 的距离23030⨯==2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线是解题的关键．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14. 【答案】6-【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到36A ∠=︒，再根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，推出36EAB EBA ∠=∠=︒，进而求出36EBC ∠=︒，则72BEC ∠=︒，即可得到BE BC =，证明ABC BCE ∽，设CE x =，则4AE BE BC x ===-，利用相似三角形的性质建立方程444x x x-=-，解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB AC =，72C ∠=︒，∴72ABC C ∠=∠=︒，∴18036A ABC C =︒--=︒∠∠∠，∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，∴AE BE =，∴36EAB EBA ∠=∠=︒，∴36EBC ABC EBA A =-=︒=∠∠∠∠，∴18072BEC C EBC C ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴BE BC =，又∵C C ∠=∠，∴ABC BCE ∽，∴BE CE AC BC=，设CE x =，则4AE BE BC AC CE x ===-=-，∴444x x x-=-，∴28164x x x -+=，解得6x =-（不合题意的值舍去），∴6CE =-故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．15. 【答案】30︒或150︒【分析】画出图形，连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，由正六边形的性质得出,60AB BC CD DE AE EF AOB =====∠=︒，由圆周角定理得出3120AEB AOB ∠=∠=︒，由圆内接四边形的性质得出180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即可得出结论．【详解】解：连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，如图所示：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴360,=606AB BC CD DE AE EF AOB ︒=====∠=︒，∴3120AEB AOB ∠=∠=︒，∵四边形AEBG 是圆内接四边形，∴180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为30︒或150︒；故答案为：30︒或150︒．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握正六边形的性质和圆周角定理是解题的关键．16. 【答案】6【分析】设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得y =2x ，n =60x ．根据为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0的要求，可设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，将y 和n 代入，即可求得a 的取值，从而请求解．【详解】解：设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得2022012312x n y x n y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩化简，得y =2x ，n =60x ，∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，即6a ·2x ≥6x +60x ，12a ≥66，∵x >0，∴．a ≥112，∵a 是正整数，∴．a ≥6，∴需要至少同时开放6个收银台．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意，正确设未知数找到相等关系是解题的关键．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的概念计算即可求解．【详解】2cos45°﹣|1|＋（13）﹣12133=++-133=++-1=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18. 【答案】-2≤ x <1【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．【详解】解：243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得：2x ≥-，解不等式②得：1x <，∴不等式组的解集为：21x -£<．【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．19. 【答案】（1）14m -＞ 且0m ≠ （2）另一个根为32【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可．【小问1详解】解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程，0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac \D=-＞ ，即：[]2(21)4(2)0m m m ----＞ ，整理得：410m +＞ ，14m \-＞ ，综上所述：14m -＞ 且0m ≠．【小问2详解】∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x == ，∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0D Û＞方程有两个不相等的实数根 ， =0D Û方程有两个相等的实数根，0D Û＜方程没有实数根，0D³Û方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD r 即可得到S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）60︒【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知DBC E ∠=∠，结合已知,BD DE BDC EDF =∠=∠（对顶角相等），可证得BDC EDF ≌ （ASA ），即可根据全等三角形的性质定理证得CD DF =．（2）根据平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可．【小问1详解】证明：∵EF BC∥∴E DBC∠=∠在Rt BDC Rt EDF 和中，DBC E BD DEBDC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EDF BDC ≌ （ASA ）∴CD DF =；【小问2详解】解：∵EF BC∥∴25E DBC ∠=∠=︒又∵BG GE=∴25GBE E ∠=∠=︒∴50ABC GBE DBC ∠=∠+∠=︒在ABC中，∵70ACB ∠=︒∴180180507060A ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握并熟练运用相关的性质定理是解题的关键．22. 【答案】（1）2=23y x x --（2）4p x >或2p x <【分析】（1）将点()1,0A -，()4,5B 代入解析式，利用待定系数法求解；（2）先求出直线AB 的解析式，设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，根据PM PN >列出不等式，即可求解．【小问1详解】解： 抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -，()4,5B ，∴ 3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式为2=23y x x --．【小问2详解】解：设直线AB 的解析式为y kx t =+．将点()1,0A -，()4,5B 代入，可得045k t k t -+=⎧⎨+=⎩，解得11k t =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为1y x =+．设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，PM PN >，∴2231p p p x x x -->+，∴()1310p p x x +⋅-->，10p x +>，∴310p x -->，∴31p x ->或31p x -<-，∴4p x >或2p x <．即点P 的横坐标p x 的取值范围是4p x >或2p x <．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标的特征，利用绝对值的性质解不等式等，第2问有一定难度，正确求解不等式是解题的关键．23. 【答案】（1）25 （2）10，11（3）小彬在对阵乙队时表现更好，理由见解析【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可；（2）根据众数，中位数的概念求解即可；（3）根据“综合得分”的计算方法求出小彬在对称甲队时的得分，然后比较求解即可．【小问1详解】()21292426425a =+++÷=∴小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是25分，故答案为：25．【小问2详解】在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多，∴众数是10，从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17，∴在中间的两个数为10，12∴中位数为1012112+=，故答案为：10，11；【小问3详解】小彬在对称甲队时的“综合得分”为：()25111 1.22136.2⨯+⨯+⨯-=，∵36.237.1<∴小彬在对阵乙队时表现更好．【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握以上计算方法．24. 【答案】（1）见详解 （2）①20︒；②CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，证明见解答．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可；（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．【小问1详解】证明：如图1，DE 平分ADM ∠，12ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠，∵2AC Q C D Q ∠=∠，ACQ ADM ∴∠=∠，12l l ∴∥；【小问2详解】解：①12l l ∥，70ADM ACQ ∴∠=∠=︒，DE 平分ADM ∠，1352ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠=︒，EDM QFD FQD ∠=∠+∠ ，351520FQD ∴∠=︒-︒=︒；②证明：CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，理由如下：如图3，12l l ∥，NCQ CTD ∴∠=∠，QCN QFD ∠=∠ ，CTD QFD ∴∠=∠，NT FQ ∴∥，CND PQD ∴∠=∠；如图4，由①可得1352CDQ CQD ACQ ∠=∠=∠=︒，CND CQN QCN ∠=∠+∠ ，QCN QFD ∠=∠，CND CQN QFD ∴∠=∠+∠，35CND QFD ∴∠=︒+∠，即：35CND QFD ︒∠-∠=，35QFD FQC CQD PQD QDM FQD PQD ∠=∠=∠-∠=∠-∠=︒-∠ ，(35)35CND QFD CND PQD ∴∠-∠=∠-︒-∠=︒，70CND PQD ∴∠+∠=︒，综上所述，CND ∠与FQD ∠满足的等量关系为CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．25. 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析； （3）73．【分析】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，2x =-时，m 的值最大．【小问1详解】当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而减小，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而减小，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小；【小问2详解】函数图象如图所示：【小问3详解】观察图象可知，2x =-时，m 的值最大，最大值172(421)63m =⨯⨯++=，故答案为：73．26. 【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）222123s s s >>【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）平均数：1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=（千克）；故答案为：173；（2）17360 2.9÷=倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：222123s s s >>；【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．27. 【答案】（1）67.5;（2）证明见解析；（3）DE －BE=2．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠B=45°=∠CDE ，再根据BC=BD ，可得出∠BDC 的度数，然后可得出∠BDE 的度数，最后根据三角形外角的性质可得出∠DEC 的度数；（2）先根据条件得出∠ACD=∠BDE ，BD=AC ，再根据ASA 判定△ADC ≌△BED ，即可得到CD=DE ；（3）先根据条件得出∠DCB=∠CDE ，进而得到CE=DE ，再在DE 上取点F ，使得FD=BE ，进而判定△CDF ≌△DBE （SAS ），得出CF=DE=CE ，再根据CH ⊥EF ，运用三线合一即可得到FH=HE ，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE ，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°=∠CDE ，又BC=BD ，∴∠BDC=∠BCD=12(180°-∠B)=67.5°，∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=67.5°-45°=22.5°，∴∠DEC=∠B+∠BDE=67.5°；故答案为：67.5；（2）证明：∵AC=BC ，∠CDE=∠A ，∴∠A=∠B=∠CDE ，∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE ，∴∠ACD=∠BDE ，又∵BC=BD ，∴BD=AC ，在△ADC 和△BED 中，ACD BDEAC BD A B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC ≌△BED （ASA ），∴CD=DE ；（3）解：∵CD=BD ，∴∠B=∠DCB ，由（2）知：∠CDE=∠B ，∴∠DCB=∠CDE ，∴CE=DE ，如图，在DE 上取点F ，使得FD=BE ，在△CDF 和△DBE 中，DF BECDE B CD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△DBE （SAS ），∴CF=DE=CE，又∵CH ⊥EF ，∴FH=HE ，∴DE －BE=DE －DF=EF=2HE=2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形．28. 【答案】（1（2）18（3+【分析】（1）画出图形，根据等边三角形的性质和外心的性质即可作答；（2）如图2中，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小,求出AD 的长即可解决问题；（3）存在．如图3中，如图作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．想办法求出AD 、AB 即可解决问题．【小问1详解】如图，∵在等边ABC 中，3AB =，∴60B BC AB CW AB ∠=︒====，，，∵点P 是等边ABC 的外心，∴23PB PC WC ==，∴2233PB PC WC ====，【小问2详解】如图，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小．连接OP ．∵O 与BC 相切，∴OP BC ⊥，∵在矩形ABCD 中，OA OP OD ==，∴四边形ABPO ，四边形CDOP 都是正方形，∴AB OP=∴3AB CD AO ===，6BC AD ==，∴矩形ABCD 面积的最小值为：18BC AB ⋅=．【小问3详解】存在．如图，在AB 的右边作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．延长MO 交AB 于E ，过点O 作OF AD ⊥于F ，过点P 作PT BC ⊥于T ，连接OP ，PT 交OM 于R ．TP 的延长线交AD 的延长线于点N ，∵90A B ∠=∠=︒∴180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，又∵3AB =，45C ∠=︒，∴CD ==．∵ABM 是等边三角形，圆O 外接等边三角形ABM ，∴EM AB ⊥，结合OF AD ⊥、PT BC ⊥、90A B ∠=∠=︒，即四边形AEOF 、四边形AERN 、四边形BERT 、四边形FORN 是矩形，∴32AE EB NR RT ====，AF EO ==，OM OP ==∵45C ∠=︒，AD BC ∥，90N ∠=︒，∴45NDP C ∠=∠=︒，∴45NPD ∠=︒，即DNPN =，∵OP CD ⊥，∴90DPO ∠=︒，∴18045OPR DPO DPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴OR PR ===，∴BT AN ==，32DN PN NR PR ==-==∴AD AN DN =-==，32BC BT CT =+=++=，∴2ABCD AD BC S AB +=⋅=四边形．【点睛】本题考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

2024年北京西城区初三二模数学试卷和答案

2024年北京西城区初三二模数学试卷和答案

北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第1页（共8页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数 学 2024.5考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）三棱柱（D ）长方体2．新能源革命受到全球瞩目的同时，也成为中国实现“碳达峰碳中和”目标的关键所在．2023年全球可再生能源新增装机510 000 000千瓦，其中中国的贡献超过了50%． 将510 000 000用科学记数法表示应为 （A ）90.5110 （B ）85.110 （C ）95.110 （D ）75110 3．正十二边形的每一个外角的度数为（A ）30°（B ）36°（C ）144°（D ）150°4．如图，直线AB ⊥CD 于点C ，射线CE 在∠BCD 内部，射线CF平分∠ACE ．若∠BCE =40°，则下列结论正确的是 （A ）∠ECF =60° （B ）∠DCF =30° （C ）∠ACF 与∠BCE 互余 （D ）∠ECF 与∠BCF 互补5．不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是 （A）12 （B ）13（C ）23（D ）49北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第2页（共8页）6．如图，点C 为线段AB 的中点，∠BAM =∠ABN ，点D ，E 分别在射线AM ，BN 上，∠ACD 与∠BCE 均为锐角．若添加一个条件一定 可以证明△ACD ≌△BCE ，则这个条件不能是 （A ）∠ACD =∠BCE （B ）CD=CE （C ）∠ADC =∠BEC（D ）AD =BE7．某农业合作社在春耕期间采购了A ，B 两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A 型机器的进价比每台B 型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A ，B 两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B 型机器的进价为x 万元，根据题意可列出关于x 的方程为（A ）12.621(20.7)x x （B ）2112.620.7x x （C ）2112.620.7x x（D ）2112.620.7x x8．下面问题中，y 与x 满足的函数关系是二次函数的是①面积为102cm 的矩形中，矩形的长y （cm ）与宽x （cm ）的关系；②底面圆的半径为5cm 的圆柱中，侧面积y 2(cm )与圆柱的高x （cm ）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(100)x 件． 利润y （元）与每件售价x （元）的关系． （A ）① （B ）②（C ）③ （D ）①③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 若分式34x 有意义，则x 的取值范围是______． 10．分解因式：2218x y y =______．11．方程组25,24x y x y的解为______． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于原点O 的对称点的坐标为______．13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ．若BE =3，△BDE 的面积为1.5，则点D 到边AB 的距离为______． 14．如图，AB 与⊙O 相切于点C ．点D ，E 分别在OA ，OB上，四边形ODCE 为正方形．若OA =2，则DE =______．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第3页（共8页）15．如图，(2,)A m ，(3,2)B 两点在反比例函数ky x（x ＞0）的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA ，OB 及反比例函数图象上A ，B 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为______．16．在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分，负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为m （分），则m 的最小值为______；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为______场． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：04cos 45(π3) ．18．解不等式组3 2 < 4,2,53x x x x≥并写出它的所有整数解． 19．已知230x x ，求代数式233(1144x x x的值． 20．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC ．求作：点D ，使得点D 在△ABC 内，且12ADB BDC ．下面是小华的解答过程，请补充完整：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：①作线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点E ；②以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，与直线PQ 在△ABC 内交于点D ． 点D 就是所求作的点．（2）完成下面的证明．证明：连接DA ，DB ，DC ．∵ 点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ DB = DC （ ）（填推理的依据）， DE ⊥BC ．∴ 12BDE CDE BDC ．∵ ∠ABC =90°，∠DEC =90°， ∴ ∠ABC =∠DEC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第4页（共8页）∴ AB ∥DE ． ∴ ∠ABD =∠BDE ． ∵ ， ∴ ∠ADB =∠ .∴ 12ADB BDE BDC ．21．已知关于x 的一元二次方程2320x x k 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ，FG =CF ，连接AG ．（1）求证：四边形AEFG 是矩形；（2）若∠ABD =30°，AG =2AE =6，求BD 的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，点E 是 BD的中点，连接AE 交BC 于 点F ，∠ACB =2∠EAB ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若BF =6，3cos 5C，求AB 的长．24．我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：kg，精确到0.1）．下面给出了部分信息．a.每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：0≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10，10≤x＜11）；b.在3≤x＜4这一组的数据如下：3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.43.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9c.这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数快递重量3.6 m n（单位：kg）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）写出m的值；（3）下面四个结论中，① n的值一定在2≤x＜3这一组；②n的值可能在4≤x＜5这一组；③n的值不可能在5≤x＜6这一组；④n的值不可能在8≤x＜9这一组.所有正确结论的序号是 ；（4）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量.北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第5页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第6页（共8页）25．已知角x （0°≤x ≤90°），探究sin x 与角x 的关系.两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案：方案一：如图，点P 在以点O 为圆心，1为半径的 MN上，∠MON =90°，设∠POM 的度数为x . 作PC ⊥OM 于点C ，则线段 ① 的长度c 即为sin x 的值.方案二：用函数35π1π1π()()()1806180120180x x x F x的值近似代替sin x 的值．计算函数 ()F x 的值，并在平面直角坐标系xOy 中描出坐标为(,())x F x 的点.两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（精确到0.001）. 若()c F x ≤0.001记为√，否则记为×. x 0 102030 40455060708090 c 0 0.174 0.342 ②0.643 0.707 0.766 0.866 0.940 0.985 1 ()F x0.174 0.342 0.500 0.643 0.707 0.766 0.866 0.941 0.987 1.005√或× √√√√√√√√×根据以上信息，解决下列问题： （1）①为 ，②为 ； （2）补全表中的√或×；（3）画出()F x 关于x 的函数图象，并写出sin55°的近似值（精确到0.01）.26．在平面直角坐标系xOy 中，11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c上任意两点．设抛物线的对称轴是x=t ．（1）若对于12x ，21x ，有12y y ，求t 的值；（2）若对于1x ≥2，都有1y c 成立，并且对于21x ，存在2y c ，求t 的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0°＜α＜30°）．将射线AB绕点A顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线BC的交点为点M．在直线BC上截取MD=AB （点D在点M右侧），将直线DM绕点D顺时针旋转2α所得直线交直线AM于点E．（1）如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；（2）当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明．图1图2北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第7页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第8页（共8页）28．如图1，对于⊙O 外的线段PQ （线段PQ 上的各点均在⊙O 外）和直线PQ 上的点R ，给出如下定义：若线段PQ 绕点R 旋转某一角度得到的线段P ′Q ′恰好是⊙O 的弦，则称点R 为线段PQ 关于⊙O 的“割圆点”．图1图2在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．（1）如图2，已知点(1,4)S ，(1,2)T ，(1,2)U ，(0,3)W . 在线段ST ，TU ，UW 中，存在关于⊙O 的“割圆点”的线段是_______，该“割圆点”的坐标是_______； （2）直线y x b 经过点(0,3)W ，与x 轴的交点为点V ．点P ，点Q 都在线段VW 上，且PQ PQ 关于⊙O 的“割圆点”为点R ，写出点R 的横坐标R x 的取值范围；（3）直线l 经过点H ，不重合的四个点A ，B ，C ，D 都在直线l 上，且点H 既是线段AB 关于⊙O 的“割圆点”，又是线段CD 关于⊙O 的“割圆点”．线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，记线段MN 的长为d ，写出d 的取值范围．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ．∵ FG =CF ，∴ AE= FG ．∵ ∠AEF=∠EFC ，∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形．∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ．∵ AG=2AE =6，∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分 ∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ．∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ．∵ ∠ACB =2∠EAB ，∴ ∠DAB =∠ACB ．∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分 图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C ． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ，∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ，∴ 2CAF ．∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ．∵ BF =6，∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分（3）②④；………………………………………………………………………… 4分（4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分（3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分 图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分 （2）由题意可知，抛物线2y ax bxc 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ．若抛物线经过点(1,)c ，则12t ； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ．（i ）当12t ≤时， 01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意．（ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤． ∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意． 综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∴ 90AMD MAC ．∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ．∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分（2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ．∵ CF=BC ，∠ACB =90°，∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α．∵ ∠MDE =2α，∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAF F ． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ．∴ 21(903α)+2α90αMDE ．∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ，∴ 4BNA ．∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ．∴ ME=BN ．∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2R x ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。

北京市中考数学二模试题分类 圆(教师版)

北京市中考数学二模试题分类 圆(教师版)

BDO CA （一）与圆有关的填空选择题1.（西城3）若⊙1O 与⊙2O 内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距12O O 的结论正确的是A.12O O =5B.12O O =11C.12O O ＞11D. 5＜12O O ＜11 A2.（延庆） 如图,⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ， 1OD =,则BAC ∠的度数是A ．55° B．60° C．65° D．70°B3.（通州7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=60o ，则sin ∠BDC 的值为（ ）A ．12B 3C 2D 34.（丰台11）如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ， 如果1OD =，那么BAC ∠=________︒．60°5.（西城6）如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10，3cos 5BOD ∠=， 则AB 的长是A . 20 B. 16 C. 12 D. 86.（顺义6）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．DOCBAF E B A O 在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为A ．7个单位B ．6个单位C ．5个单位D ．4个单位7.（怀柔5）一条排污水管的横截面如图所示，已知排污水管的横截面圆半径OB=5m ，横截面的圆心O 到污水面的距离OC =3m ，则污水面宽AB 等于 A ．8m B ．10m C ．12m D ．16m A8.（密云7）如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ，若:43AC BC =10AB =cm ，则OD 的长为A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm 9．（延庆）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π D10.（平谷11）如图，在⊙O 中，直径AB=6，∠CAB=40°，则阴影部分的面积是 ．11.（东城区10） 一个扇形圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ．23πA O12.（石景山11）已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是 ．13．（延庆）如图，点A 、B 、C 在直径为23的O ⊙上，45BAC ∠=°，则图中阴影部分的面积等于____________.（结果中保留π）3π342-14.（西城8）如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，BC=1. 现将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A B CD '''，则AD 边扫过的 面积(阴影部分)为A . 21π B. 31π C.41π D. 51π15.（东城12） 如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON，使∠MON＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H, 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．2π-16.（密云12）如图，在边长为1的等边△ABC 中，若将第12题图 AC两条含120︒圆心角的 AOB 、BOC 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积比是 ______ ．17.(通州8)如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ） A ．132π平方厘米B ．312π平方厘米C ．25π平方厘米D ．无法计算18.(昌平10)圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为 ． 19.(房山7)已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积等于（ ）.A ．15πB ．14πC ．13πD ．12π D20.(西城11)如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm ．（二）与圆有关的计算问题1.怀柔20. 如图，点D 在O ⊙直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且AC=CD ，∠ACD=120°.（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.20题图20.（1）证明：连结O C .………………1分∵ CD AC =，120A C D ︒∠=，∴ 30A D ︒∠=∠=.……………2分∵ OC OA =,∴ 230A ︒∠=∠=. ∴ 290O C D A C D ︒∠=∠-∠=.∴ C D 是O ⊙的切线. ………………………………3分（2）解:∵∠A=30o， ∴ 1260A ︒∠=∠=.∴2602360O B CS π⨯==扇形23π. ……………………4分 在Rt△OCD 中, tan 603CD OC =⋅︒=.∴Rt 112232322OCD S OC CD ∆=⨯=⨯⨯=.∴ 图中阴影部分的面积为-3223π. ……………5分2.（石景山21）已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MP 的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；DP B（2）若22tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长．解：21.（1）联结CO, …………………………1分 ∵DM ⊥AB∴∠D+∠A=90° ∵PC PD = ∴∠D=∠PCD ∵OC=OA ∴∠A=∠OCA∴∠OCA+∠PCD=90° ∴PC ⊥OC∴直线PC 是⊙O 的切线 ……………………2分 （2）过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN ⊥OC,设垂足是Q ∴Rt △CQA 中∴22tanD QAC tan ==∠∴设CQ=x ，AQ=x 2 ∴OQ=x -3∵222AQ OQ OA +=∴222)3()2(3x x -+=解得2=x …………………………4分∴22=AQ∴242==AQ AN …………………5分∴22163CD AC AD =-=……………… 5分3.（门头沟20） 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足 为D.(1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.20.(1)证明：连接OC, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC . ∵CD⊥PA， ∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO . ………………………1分∴∠DC O =∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分 (2)解：过O 作O F⊥AB，垂足为F ， ∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形， ∴OC=FD ，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分 ∵⊙O 的直径为10， ∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt△AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =（舍）. ………………………4分OB DC EA P∴AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB，AB=2AF=6. ………………………..5分4.（通州20）已知：如图直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线DC切⊙O 于点C，过A点作⊙O的直径AB．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径．20. 答案：(1)连结OC∵DC切⊙O于C∴OC⊥DC又∵PA⊥DC∴OC∥PA∴∠PAC=∠OCA ……………………..(1分)又 OC=OA∴∠OCA=∠OAC∴∠PAC=∠OAC∴AC平分∠DAB …………………..(2分)(2)作OF⊥AE于F，设⊙O的半径为R ……………..(3分)又∵PA⊥DC OC⊥DC∴四边形OCDF为矩形∴OF=CD=4 且 DF=OC=R又 DA=2，∴ AF=DF-AD=R-2……………………………..(4分)在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2∴ 42+(R-2)2=R2 解得：R=5∴⊙O的直径：2R=10 ……………………………..(5分)5.（海淀20）如图，AC、BC是⊙O的弦, BC//AO, AO的延长线与过点C 的射线交于点D, 且∠D=90︒-2∠A.（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若BC=4，1tan2D=，求CD和AD的长．ODCBA20.（1）证明：连结OC. ∴ ∠DOC =2∠A. …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠，∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………2分 （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E, 则∠OEC=90︒. ∵ BC=4,∴ CE=12BC=2.∵ BC//AO, ∴ ∠OCE=∠DOC.∵∠COE+∠OCE=90︒, ∠D+∠DOC=90︒,∴ ∠COE=∠D. ……………………3分∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12.∵∠OEC =90︒, CE=2,∴4tan CEOE COE ==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得 222 5.OC OE CE =+=在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得5CD =, (4)分由勾股定理可得 10.OD =∴510.AD OA OD OC OD =+=+=+…………………5分 6.（密云）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线， A 、C 为切点，∠BAC=30．ODCBEBCDO（1）求∠P 的大小；（2）若AB=6，求PA 的长． 19．（本小题满分5分）（1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ PA AB ⊥．∴90BAP ∠=-----------------1分∵ ∠BAC=30， ∴ 9060PAC BAC ∠=-∠=． 又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ， ∴ PA PC =--------------2分 ∴△PAC 是等边三角形．∴ 60P ∠=． ------------------------3分( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB=90． --------4分 在Rt △ACB 中，AB=6，∠BAC=30， ∴cos 6cos3033AC AB BAC =⋅∠==． 又∵△PAC 是等边三角形，∴ 33PA AC ==． --------------------------5分7.（西城区21）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P.(1)求证：AP 是⊙O 的切线； (2)若OC=CP ，AB=33，求CD 的长.21.(1)证明：连结AO ，AC.(如图5) ∵ BC 是⊙O 的直径，∴ 90BAC CAD ∠=∠=︒.﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ E 是CD 的中点， ∴ AE DE CE ==. ∴ EAC ECA ∠=∠. ∵ OA=OC ，∴ OCA OAC ∠=∠.∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD ⊥OC. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 ∴ 90ECA OCA ∠+∠=︒.∴ 90EAC OAC ∠+∠=︒.∴ OA ⊥AP.∵ A 是⊙O 上一点，∴ AP 是⊙O 的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 (2) 解：由(1)知OA ⊥AP.在Rt △OAP 中，∵90OAP ∠=︒，OC=CP=OA ，即OP=2OA ，∴ sinP 21==OP OA .∴ 30P ∠=︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分∴ 60AOP ∠=︒. ∵ OC=OA ， ∴ 60ACO ∠=︒.在Rt △BAC 中，∵90BAC ∠=︒，AB=33，60ACO ∠=︒，∴3tan AB AC ACO ===∠.又∵ 在Rt △ACD 中，90CAD ∠=︒，9030ACD ACO ∠=︒-∠=︒，∴3cos cos30ACCDACD===∠︒. ﹍﹍﹍﹍5分8．（顺义）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．（1）判断直线PC与⊙O位置关系，并证明你的结论；（2）若BC=2，11sin23APC∠=，求PC的长及点C到PA的距离．20．解：（1）直线PC与⊙O相切．证明：连结OC，∵BC∥OP，∴∠1 =∠2，∠3=∠4．∵OB=OC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．又∵OC=OA，OP=OP，∴△POC≌△POA．………………………… 1分∴∠PCO =∠PAO．∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO =90°．∴∠PCO =90°．∴PC与⊙O相切．…………… 2分（2）解：∵△POC≌△POA，∴∠5=∠6=12APC ∠．∴11sin5sin23APC∠=∠=．OCBAP4321OCBAPD85674321O CBAP∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°．∴1cos 2sin 53∠=∠=．∵∠3=∠1 =∠2，∴1cos 33∠=．连结AC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴261cos 33BC AB ===∠．…………… 3分∴OA=OB=OC=3，AC ==∴在Rt △POC 中，9sin 5OCOP ==∠．∴PC == 4分 过点C 作CD ⊥PA 于D ， ∵∠ACB =∠PAO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．∴1cos 8cos 33∠=∠=． 在Rt △CAD中，1cos 83AD AC =∠==．9.（延庆19）已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。

初中数学：2024北京市朝阳区初三二模数学试卷含答案

初中数学：2024北京市朝阳区初三二模数学试卷含答案

2024北京市朝阳区初三二模数学试卷学校班级 姓名 考号第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个．1．右图是某个几何体的展开图， 该几何体是（A ）圆柱（B ）圆锥（C ）三棱柱（D ）正方体2．北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.000 062 5米，将0.000 062 5用科学记数法表示为 （A ）6.25×10-7（B ）62.5×10-6（C ）6.25×10-5（D ）0.625×10-43．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）0<a< b （B ）a b = （C ）ab >0 （D ）a -b >0 4．如图，AB ∥CD ，BC ∥EF ，ED 平分∠AEF ，若∠C ＝50°，则∠D 的度数为 （A ）40°（B ）50°（C ）55°（D ）65°5．一组数据的方差为21s ，将这组数据中的每一个数都减去m （m ＞0），得到一组新数据，其方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系是 （A ）21s >22s （B ）21s =22s （C ）21s ＜22s （D ）无法确定6．已知2220x x +−=，则代数式()()()221112x x x x +++−+的值为 （A ）4（B ）2（C ）1（D ）0b a CFDBEA7．不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放.回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是 （A ）19（B ）13（C ）12（D ）238．如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是（A ）（B ）4（C ）（D ）2图1图2二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式34x −有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：224mx my −= ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y x=（k ≠0）的图象位于第二、四象限，且点 A （m ，y 1），B （-m ，y 2）（m>0）都在该图象上，则y 1_____y 2（填“<”，“>”或“=”）． 13．4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x （百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图.若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为 ．第13题图 第14题图AB CD14．在□ABCD 中，E 是AD 上一点，32AE ED =，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ,若AB=6，则CF 的长为 ．15．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º.①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC ，AB 相交于点M 1，M 2；分别以M 1，M 2为圆心，大于12M 1M 2的长为半径画弧，两弧相交于点M ；作射线AM ．②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC ，AB 相交于点N 1，N 2；分别以N 1，N 2为圆心，大于12N 1N 2的长为半径 画弧，两弧相交于点N ；作射线BN ，与射线AM 相交于点P ． ③连接CP ．根据以上作图，若点P 到直线AB 的距离为1，则线段CP 的长为 ．16．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数a ，b ，c （0<a<b<c ）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了n （n ≥2）次游戏后，甲共获得25颗糖果，乙共获得15颗糖果，丙共获得11颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数c 的卡片，那么n 的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“a ”,“b ”或“c ”）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．关于x 的一元二次方程310x x m ++−=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）给出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．20．如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE=CF ，DB 平分∠EDF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若AB=8，BC=4，CF=3，求证：□ABCD 是矩形．21．无人机作为现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积.NN N 1M M PAM 1BC A BCD F E22．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=ax+b （a ≠0）的图象经过点（-1，4），与函数y=2x 的图象交于点（1，m ）．（1）求m 的值和函数y=ax+b （a ≠0）的解析式；（2）当x>1时，对于x 的每一个值，函数y=kx -k+2（k ≠0）的值大于函数y=ax+b 的值，且小于函数y=2x 的值，直接写出k 的取值范围．23．某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）：b ．七年级学生的成绩在80≤x ＜90这一组的是：80 82 84 85 86 87 87 87 87 89 c ．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m ，n 的值；（2）估计七、八两个年级成绩在90≤x ≤100的人数一共为_____；（3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p 1，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p 2，比较p 1，p 2的大小，并说明理由．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的角平分线交⊙O 于点D ，过点D 的直线EF ‖BC ，分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）若sin ∠ABC=35，BE=2，求BC 的长．25．如图，在矩形ABCD 中，AB=3 cm ，BC=6 cm ，点P 是BC边上一动点，连接AP ，过点P 作AP 的垂线与AC ，CD 分别相交于点E ，F ．小明根据学习函数的经验对线段BP ，CE ，CF 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P 在BC 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP ，CE ，CF 的长度的几组值，如下表：自变量的函数；（2）① 确定表格中m 的值约为______（结果精确到）；②在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；PFDCBEA 0.1（3）结合函数图象，解决问题：当点P 与点B ，C 不重合，且CE=CF 时，BP= ______cm （结果精确到）．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)1y ax a x =+−−（a ≠0）的对称轴为直线x=t ．（1）①t =_____（用含a 的式子表示）；②当t=1时，求该抛物线与x 轴的公共点的坐标；（2）已知点（3，y 1），（12，y 2），（322a−−，y 3）在抛物线上，若a>0，比较y 1，y 2，y 3 的大小，并说明理由．27．在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段AD ，连接DB ，DC.（1）依据题意，补全图形；（2）求∠CDB 的度数；（3）作BE ⊥CD 于点E ，连接AE ，用等式表示线段AE ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明.28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，对于⊙O 的弦AB 和点C ，给出如下定义：若△ABC 是直角三角形，称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，已知点A （-1，0），B （0，-1），在点O （0，0），C 1（1，1），C 2（1，2）中，是弦AB的“关联点”的是______；0.1（2）已知⊙O的弦A1B1的“关联点”C在y轴上，△A1B1C有一边与⊙O相切，设点A1（x1，y1），当12−≤x1≤12时，直接写出点C的纵坐标cy的取值范围；（3）若点E，F在⊙O上，EF⊥y轴，EF=t，已知点M（1，0），N（0，2），若线段MN上存在一点P是⊙O的弦EF的“关联点”，且∠EPF=90°，直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解：32333333+−+⨯=原式 .............................................. 4分∵该方程有两个不相等的实数根， ∴0>∆，即32-4(1-m) >0．∴45−>m ． ..................................................... 2分 （2）答案不惟一，如：1=m ． .......................................... 3分此时方程为230x x +=............................................ 4分 解得01=x ，32−=x ． .............................................. 5分20．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB//CD ． .................................................... 1分 ∴∠ABD=∠BDC ． ∵AE=CF ，∴BE=DF ．∴四边形BEDF 是平行四边形． .......................................... 2分 ∵DB 平分∠EDF ， ∴∠BDC=∠EDB ． ∴∠EDB=∠ABD ． ∴DE=BE ．∴□BEDF 是菱形. ...................................................... 3分 （2）∵CD=AB=8，CF=3， ∴DF=5． ∴BF=DF= 5． ∵BC=4，∴BF 2=BC 2+CF 2．∴∠C=90°． ........................................................... 4分 ∴□ABCD 是矩形． ..................................................... 5分 21．解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x 亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是6x 亩．............................................................ 1分 由题意，得． 300600206xx−=． ................................................ 2分解得 x=10． ................................................................ 3分 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意． .................................... 4分所以 6x=60． .......................................................... 5分答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 22．解：（1）∵函数y=2x 的图象经过点（1，m ），∴m=2. ................................................................. 1分 ∵函数y=ax+b 的图象经过点（-1，4），（1，2），∴⎩⎨⎧=+=+.2,4b a b a - ........................................................... 2分 解得⎩⎨⎧==.3,1b a -∴函数y=ax+b 的解析式为y=-x+3． ................................... 3分 （2）-1<k<2且k ≠0． ................................................... 5分23．解：（1）86.5，87； ......................................................... 2分（2）126． ............................................................ 3分 （3）p 1＜p 2． ......................................................... 4分在七年级抽取的20名学生中，第5名的成绩为89，在八年级抽取的20名学生中，第5名的成绩在90≤x ≤100这一组中，所以p 1＜p 2； ................... 6分24．证明：（1）如图，连接OD ． ∵OA=OD ， ∴∠OAD=∠ODA ． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠OAD=∠DAC ． ∴∠ODA=∠DAC ．∴AC//OD ． ............................................................ 1分∴∠ODE=∠F ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°． ........................................................ 2分 ∵EF//BC ，∴∠F=∠ACB =90°． ∴∠ODE=90°．即OD ⊥EF ．∴直线EF 是⊙O 的切线． ................................................ 3分 （2）∵BE=2，设⊙O 的半径为r ，则OE=r+2． ∵EF//BC ，∴∠ABC=∠E ． ........................................................ 4分∵sin ∠ABC =53，在Rt △OED 中，sin ∠E=53=OE OD ．即532=+r r ． ∴r = 3． ................................................................ 5分 ∴AB=6．∴18sin 5AC AB ABC =⋅∠=在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC=524． ................................... 6分 25．解：（1）BP ；CE ，CF ； .................................................... 2分（2）①2.2； ............................................................ 3分②如图所示........................ 5分（3）1.9． ............................................................... 6分26．解：（1）①12a t a−=． ..................................................... 1分 ②∵t =1，∴a=-1. ....................................................... 2分∴抛物线解析式为y=-x 2+2x -1.∴抛物线与x 轴的公共点的坐标为（1，0）. ................................. 3分（2）∵a>0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.∵111222a t a a−==−， ∴12t <. ............................................................ 4分 ∵132t <<， ∴y 2<y 1. ........................................................... 5分 ∵（3322y a −−，）关于x =t 的对称点为（3132y a+，）， ∴1332t a<<+∴y 1<y 3. ∴y 2<y 1<y 3. ............................................................ 6分27.（1）补全图形，如图所示：...................................................... 1分（2）解：根据题意，可知AB=AD=AC ，∠BAD=α.∴∠ADB=∠ABD=902α︒−. ................................................ 2分 ∵∠BAC=90°，∴∠DAC=90°+α.∴∠ADC=∠ACD=452α︒−.∴∠CDB=∠ADB -∠ADC=45°. ............................................ 3分（3）CD =+ .证明：作AF ⊥AE ，交CD 于点F.∴∠EAF=90°.∴∠EAB=∠FAC.∵BE ⊥CD ，∠BDC=45°，∴∠DBE=45°.∴BE=DE=2.......................................................... 4分 ∵∠BAD=α.∴∠ABE=452α︒−=∠ACD ，∴△ABE ≌△ACF. ........................................................ 5分 ∴AE=AF ，BE=CF ，∴AE. ............................................................ 6分∴CD=DE+EF+CF=AE. .......................................... 7分28．解：（1）O ，C 2． .......................................................... 2分（2）1c y <−或1＜c y .................................... 5分（3）3≤t ≤2． ................................................. 7分。

2024北京北师大实验中学初三二模数学试题及答案

2024北京北师大实验中学初三二模数学试题及答案

2024北京北师大实验中学初三二模数 学一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ） A. ⨯7.1695107B. ⨯716.95105C. ⨯7.1695106D. ⨯71.6951062. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. >x 3B. ≥x 3C. <x 3D. ≤x 34. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为101的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是不可能事件C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 5. 将方程−+=x x 6102配方后，原方程可变形为（ ） A. −=x (3)82B. −=−x (3)102C. +=−x (3)102D. +=x (3)826. 某无盖分类垃圾桶如右图所示，则它的俯视图是（ ）A. B. C. D.7. 如图 ，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB ，AC ＝2 ，BD ＝4 ，则AE 的长为（ ）A.2B.23 C.7D.78. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D （-2，3），AD =5，若反比例函数=xy k（k ＞0，x ＞0）的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A.316 B. 8 C. 10 D.332 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 点−1,3)(关于原点对称的点的坐标是______． 10. 因式分解： −=x y 422．11. 计算+−的结果等于__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数=≠xy k k0)(的图象经过点−A 3,2)(和−B m ,2)(，则m 的值为______．13. 如图，在长方形ABCD 中，=AD 5，=AB 8，点E 为射线DC 上一个动点，把ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为__________．14. 若一组数据x x x n ,,,12的平均数为17，方差为3，则另一组数据+x 221，+x 222，+x n 22的平均数是_______，方差是_______15. 已知一次函数=+y x 451与=+y x 3102，则>y y 12的解集是________．16. 如图，在△ABC Rt 中，∠=︒ACB 90，∠=︒ABC 30，=AC 4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使=AD AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于DE 21的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则+CP AP 21的最小值是______________．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 计算：−+−⎭−−⎝ ⎪︒⎛⎫−323sin 45102)．18.先化简，再求值：⎝⎭ ⎪÷−⎛⎫+x x x x 11，其中=x ． 19. 解不等式组：⎩⎪≥⎨+⎪⎧−<x x 31212520. 在平面直角坐标系xOy =−y kx 1与=y x 21交于点A m 2,)(． （1）求k ，m 的值；（2）已知点P n ,0)(，过点P 作垂直于x 轴的直线交直线=−y kx 1于点M ，交直线=y x 21于点N ．若=MN 2，直接写出n 的值．21. 2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象．小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为A ，《无名》表示为B ，《流浪地球2》表示为C ，《熊出没·伴我“熊心”》表示为D ．（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为________； （2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．22. 如图，在四边形ABCD 中，∥AB CD ，过点D 作∠ADC 的角平分线交AB 于点E ，连接AC 交DE 于点O ，∥AD CE ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若=AD 10，ACD 的周长为36，求菱形AECD 的面积． 23. 如图，AB 为O 的直径，弦⊥CD AB 于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ，∥AF CE ，AF 与O 的交点为F ．（1）求证：=AF CD ； （2）若O 的半径为6，=AH OH 2，求AE 的长．24. 在平面直角坐标系xOy 中，对于G 和线段AB 给出如下定义：如果线段AB 上存在点P ，Q ，使得点P 在⊙G 内，且点Q 在G 外，则称线段AB 为G 的“交割线段”．（1）如图，O 的半径为2，点，，，，，−A B C 022210)()()(． ①在ABC 的三条边，，AB BC AC 中，O 的“交割线段”是 ；②点M 是直线OB 上的一个动点，过点M 作⊥MN x 轴，垂足为N ，若线段MN 是O 的“交割线段”，求点M 的横坐标m 的取值范围； （2）已知三条直线=y 3，=−yx ，=−+y x 23分别相交于点D ，E ，F ，T 的圆心为，t 0)(，半径为2，若DEF 的三条边中有且只有两条是T 的“交割线段”，直接写出t 的取值范围．25. 如图，直线=+y x x 轴，y 轴分别交于点A B ,，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C D ,，其中点C 的坐标为2,0)(．直线BC 与直线PD 相交于点E ．（1）如图2，若抛物线经过原点O ． ①求该抛物线的函数表达式；②求ECBE的值． （2）连接∠PC CPE ,与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由． 26. ABC 和△ADF 均为等边三角形，点E 、D 分别从点A ，B 同时出发，以相同的速度沿、AB BC 运动，运动到点B 、C 停止.（1）如图1，当点E 、D 分别与点A 、B 重合时，请判断：线段、CD EF 的数量关系是____________，位置关系是____________；（2）如图2，当点E 、D 不与点A ，B 重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D 运动到什么位置时，四边形CEFD 的面积是ABC 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为⨯a n 10的形式，其中＜≤a 110，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解∶ =⨯716950007.1695107． 故选∶A ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为⨯a n 10的形式，其中＜≤a 110，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 2. 【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义旋转︒180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B 、是中心对称图形，符合题意，选项正确； C 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， 故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键． 3. 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，形如≥a 0)的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．据此列式求解即可． 【详解】解：依题意，得−≥x 30，解得，≤x 3． 故选：D ． 4. 【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可． 【详解】A. “买中奖率为101的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意； B. “汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定． 5.【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：−+=x x 6102x x 612−=−−+=−+x x 69192 −=x (3)82．故选A ．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 6. 【答案】B【分析】本题考查了简单组合图形的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断． 【详解】解：从上向下看，是两个同心圆． 故选：B 7. 【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO 是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD 的面积即可求出． 【详解】解：∵AC =2，BD =4，四边形ABCD 是平行四边形， ∴====AO AC BO BD 221,211，∵=AB∴+=AB AO BO 222， ∴∠=︒BAC 90，∵在BAC Rt 中，===BC ，∵=⨯⨯=⨯⨯∆S AB AC BC AE BAC 2211，=2，∴=AE 7． 故选D【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC 是直角三角形是解此题的关键．8. 【答案】D【分析】先由D （-2，3），AD =5，求得A （2，0），即得AO =2；设AD 与y 轴交于E ，求得E （0，1.5），即得EO =1.5；作BF 垂直于x 轴于F ，求证△AOE ∽△CDE ，可得BACD310，求证△AOE ∽△BF A ，可得AF =2，BF =38，进而可求得B （4，38）；将B （4，38）代入反比例函数=xy k ，即可求得k 的值．【详解】解：如图，过D 作DH 垂直x 轴于H ，设AD 与y 轴交于E ，过B 作BF 垂直于x 轴于F ，∵点D （-2，3），AD =5， ∴DH =3， ∴AHAD DH -=5-3=42222，∴A （2，0），即AO =2， ∵D （-2，3），A （2，0）， ∴AD 所在直线方程为：=−y x 4233， ∴E （0，1.5），即EO =1.5， ∴AEAO EO 222352222, ∴ED=AD - AE =5-25=25， ∵∠AOE=∠CDE ，∠AEO=∠CED ， ∴△AOE ∽△CDE ， ∴ED CD EO AO, ∴EOCDAOED 310, ∴在矩形ABCD 中，BA CD310， ∵∠EAO+∠BAF=90°，又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF ， 又∵∠AOE=∠BFA ， ∴△BF A ∽△AOE ， ∴AE EO AOBA AF BF, ∴代入数值，可得AF =2，BF =38， ∴OF =AF+AO=4， ∴B （4，38）， ∴将B （4，38）代入反比例函数=xy k ，得=k 332， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE ，△AOE ∽△BF A ，得到B 点坐标，将B 点坐标代入反比例函数，即可得解．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 【答案】−1,3)(【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：点−1,3)(关于原点对称的点的坐标是−1,3)(， 故答案为：−1,3)(．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10. 【答案】+−x y x y 22)()( 【分析】利用平方差公式分解即可．本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】=+−−=−x y x y x y y x 22422222)()()(． 故答案为：+−x y x y 22)()(． 11. 【答案】3【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．【详解】解：原式=）2-2 =6-3 =3，故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 12. 【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数=≠xy k k0)(的图象经过点−A 3,2)(和−B m ,2)( ∴把点−A 3,2)(代入得=−⨯=−k 326， ∴反比例函数解析式为=−xy 6， 把点−B m ,2)(代入得：−=−m26， 解得：=m 3， 故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 13. 【答案】25或10 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E 在线段DC 上时，②当点E 在线段DC 延长线上时，点F 作AD 的平行线，交DC 于点H ，交AB 于点G ，先求出==FG 3，再求出FH ，设=DE x ，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：①当点E 在线段DC 上时，过点F 作AD 的平行线，交DC 于点H ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，∥GH AD ， ∴四边形AGHD 为矩形， ∴==AD GH 5，⊥GH AB ， ∵点F 在线段AB 的垂直平分线上， ∴==AG AB 241，则==DH AG 4， ∵ADE 沿直线AE 折叠得到△AFE ，∴==AF AD 5，根据勾股定理可得：===FG 3，∴=−=−=FH GH FG 532，设=DE x ，则=−EH x 4，==EF DE x ，根据勾股定理可得：+=EH FH EF 222，即−+=x x 42222)(， 解得：=x 25， 即=DE 25； ②当点E 在线段DC 延长线上时，过点F 作AD 的平行线，交DC 于点H ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，∥GH AD ，∴四边形AGHD 为矩形，∴==AD GH 5，⊥GH AB ，∵点F 在线段AB 的垂直平分线上， ∴==AG AB 241，则=DH AG 4， ∵ADE 沿直线AE 折叠得到△AFE ，∴==AF AD 5，根据勾股定理可得：===FG 3，∴=+=+=FH GH FG 538，设=DE x ，则=−EH x 4，==EF DE x ，根据勾股定理可得：+=EH FH EF 222，即−+=x x 48222)(，解得：=x 10，即=DE 10． 综上：=DE 25或=DE 10． 故答案为：25或10． 14. 【答案】 ①. 36 ②. 12【分析】本题考查根据一组数据的平均数和方差，求另一组数据的平均数和方差，若一组数据x x x n ,,,12的平均数为x ，方差为s 2；则数据+++x kx b b k kx b n ,,,12的平均数为+kx b ，方差为k s 22，由此可解． 【详解】解：由题意得：=+++nx x x n 1712，=−+−++−n x x x n 317171712222)()()(， 则另一组数据+x 221，+x 222，+x n 22的平均数是：++++++n x x x n 22222212=++++n x x x n 2212)(=⨯+2172=36， 方差为：+−++−+++−n x x x n 22362236223612222)()()( =⨯−+−++−nx x x n 417171712222)()()(=⨯43 =12，故答案为：36；12．15. 【答案】>x 5【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以及解一元一次不等式，根据>y y 12建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：>y y12，∴+>+x x 45310，解得>x 5，故答案为：>x 5．16. 【答案】【分析】过点P 作⊥PQ AB 于点Q ，过点C 作⊥CH AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠=︒BAF 30，然后利用含︒30的直角三角的性质得出=PQ AP 21，则+=+≥CP AP CP PQ CH 21，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，+CP AP 21最小，+CP AP 21最小值为CH ，利用含︒30的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P 作⊥PQ AB 于点Q ，过点C 作⊥CH AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠=︒ACB 90，∠=︒ABC 30，∴∠=︒BAC 60， ∴∠=∠=︒BAF BAC 2301， ∴=PQ AP 21， ∴+=+≥CP AP CP PQ CH 21， ∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，+CP AP 21最小，+CP AP 21最小值为CH ， ∵∠=︒ACB 90，∠=︒ABC 30，=AC 4，∴==AB AC 28， ∴BCAB AC 4322， ∵=⋅=⋅A CH BC B S AC ABC 1122∴===⋅⨯AB CH AC BC 84即+CP AP 21最小值为．故答案为：【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含︒30的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 【答案】−6【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：−+−⎭−−⎝ ⎪︒⎛⎫−323sin 45102)=−+−22139=−+−−21319=−6．18. 【答案】−x111．【分析】先对小括号部分通分，再把除化为乘，然后根据分式的基本性质约分，最后代入求值．【详解】解：⎝⎭⎪÷−⎛⎫+x xxx11=÷+−x xx x112+−=⋅+x x xx x(1)(1)1−=x11，当=x==1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．19. 【答案】≥x1【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解；②①⎩⎪≥+⎨⎪⎧−<xx312125，解不等式①得：>−x3，解不等式②得：≥x1，则不等式组的解为≥x1．20. 【答案】（1）==k m11,（2）=n6或−2【分析】（1）将点A m2,)(代入=y x21求得m，将A2,1)(代入=−y kx1，即可求得k的值；（2）−M n n,1)(，⎝⎭⎪⎛⎫N n n2,1，根据=MN2，则−−=n n2121，解方程即可求解．【小问1详解】解：将点A m 2,)(代入=y x 21 即=⨯=m 2211， ∴A 2,1)(，代入=−y kx 1，即=−k 121，解得：=k 1；【小问2详解】解：依题意，−M n n ,1)(，⎝⎭ ⎪⎛⎫N n n 2,1， ∵=MN 2， ∴−−=n n 2121， 解得：=n 6或−2．【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 21. 【答案】（1）41 （2）41 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，共有4种不同的选法， 故选中《满江红》的概率为=P 41． 【小问2详解】解：画树状图如下：∵共有16种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的情况有4种，分别是A A ,)(、B B ,)(、C C ,)(、D D ,)(， ∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率：=16441，即P （小亮和小丽恰好选择观看同一部电影）=41． 【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率．正确的列出树状图是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析 （2）96【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得∠=∠ADE AED ，再利用等腰三角形的等角对等边得到=AD AE ，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得AC ，进而利用勾股定理求得DE 即可求解．【小问1详解】证明：∵∥AB CD ，∥AD CE ，∴四边形AECD 是平行四边形，∠=∠CDE AED ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠=∠CDE ADE ，∴∠=∠ADE AED ，∴=AD AE ，∴四边形AECD 是菱形；【小问2详解】解：∵四边形AECD 是菱形，∴=AD CD ，⊥AC DE ，=OA OC ，=OD OE ，∵=AD 10，ACD 的周长为36，∴=−⨯=AC 3621016，则===OC OA AC 281，在AOD Rt 中，===OD 6， ∴==DE OD 212，∴菱形AECD 的面积为⨯⨯=12192166．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．23. 【答案】（1）证明见解析（2）12【分析】（1）利用切线性质，圆周角定理，余角的性质证明=AF CD ；（2）利用三角函数计算即可．本题考查了切线性质，圆周角定理，余角的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质，三角函数是解题的关键．【小问1详解】证明：连接，、、AC OC BC 则=OC OA ，∵CE 与O 相切于点C ，∴⊥CE OC ，∵AB 为O 的直径，∴∠=∠=︒OCE ACB 90，∴，∠+∠=︒∠+∠=︒ACE OCA B OAC9090， ∵∠=∠OCA OAC ，∴∠=∠ACE B ，∵∥AF CE ，∴∠=∠=∠CAF ACE B ，∴=CF AC ，∵⊥CD AB ，∴=AD AC ，∴=AD FC ，∴=+=+=AF AC FC AD AC CD ＝CF +AC ＝AD +AC ＝CD ，∴=AF CD ．解法2 证明：连接OC ，交AF 于点M ， ∵CE 与O 相切于点C ，∴⊥CE OC ，∴∠=︒OCE 90，∵∥AF CE ，∴∠=︒AMO 90， ∴==AM MF AF 21， ∵⊥CD AB ，∴∠=︒OHC 90， ∴==CH DH CD 21， ∵=∠=CO AOCOH CH AM sin ，=AO CO ， ∴=CH AM ，∴=AF CD ．【小问2详解】 解：∵O 的半径为6，=AH OH 2， ∴==+=OC OA OH OH 26，∴=OH 2，∵∠=∠=︒OHC OCE 90， ∴==∠OC OECOE OH OC cos ， ∴==OHOE OC 182， ∴=-=-=AE OE OA 18612，∴AE 的长为12．24. 【答案】（1）①BC ；②当−<<m 2<<m 2（2）−<≤t 31或≤<t 5【分析】（1）先根据点A 和点B 的坐标得到O 与AB 相切，则线段AB 上没有点在O 外；再证明线段AC 上没有点在O 外，线段BC 上有点在O 内，也有点在O 内，即可得到结论；（2）设直线OB 在x 轴上方与O 交于T ，过点T 和点B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为G 、H ，设、T t t )(，利用勾股定理求出=t ，由函数图象可知，当点M 在BT 之间（不包括端点），即<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；由对称性可得当−<<m 2MN 是O 的“交割线段”；（3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t 的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案．【小问1详解】解：∵，，，A B 0222)()(， ∴⊥，=OA OA AB 2，∴点A 在O 上， ∴O 与AB 相切，∴线段AB 上没有点在O 外，∴线段AB 不是O 的“交割线段”，∵，=<==>OC OB 122， ∴点C 在O 内，点B 在O 外，∴线段AC 上没有点在O 外，线段BC 上有点在O 内，也有点在O 内， ∴线段AC 不是O 的“交割线段”，线段BC 是O 的“交割线段”， 故答案为：BC ；②如图所示，设直线OB 在x 轴上方与O 交于T ，过点T 和点B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为G 、H ，设、T t t )(，∴==OH BH 2，==OG TG t ，∴此时点H 刚好在O 上，且此时BH 与O 相切； ∵O 的半径为2，∴=OT 2，∴+=t t 2222，解得=t 或=t ，∴由函数图象可知，当点M 在BT 之间（不包括端点）<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；由对称性可得当−<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；综上所述，当−<<m 2<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；【小问2详解】解：联立⎩=−⎨⎧=y x y 3 得⎩=⎨⎧=−y x 33， ∴，−E 33)(，同理可得，D 03)(，，−F 33)(； 如图2-1所示，当T 恰好经过点D 时，∴=TD 2，∴=+=t 235；如图2-2所示，当T 恰好与EF 相切于H 时，连接TH ，∵，−E 33)(，，D 03)(， ∴⊥，==DE OD DE OD 3，∴∠=︒DOE 45，由切线的性质可得∠=︒THO 90，∴△TOH 是等腰直角三角形，∴===t OT ，∴当≤<t 5时，，DE DF 是T 的“交割线段”，EF 不是T 的“交割线段”；如图2-3所示，当T 恰好经过点D 时，∴=TD 2，∴=−=t 321；如图2-4所示，当T 恰好与DF 相切于P 时，连接TP ，设直线DF 与x 轴交于Q ， ∴，⎝⎭ ⎪⎛⎫Q 203，∴==DQ 2，∴∠==DQ ODQ OQ sin ； 由切线的性质可得，∠=︒=TPD TP 902，∴∠==DT TDP TP 5sin ，∴=DT ，∴=−=−OT DT OD 3，∴=−t 3，∴当−<≤t 31时，，EF DF 是T 的“交割线段”，DE 不是T 的“交割线段”；综上所述，当−<≤t 31或≤<t 5时，DEF 的三条边中有且只有两条是T 的“交割线段”．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值．25. 【答案】（1）①=−+y x 22；②31 （2）能，6或32或−76或−314． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；②过点E 作⊥EH OC 于点H ．设直线BC 为=y kx ，把C 2,0)(代入，得=+k 02，解得=−k 2，直线BC 为=−+y x 2．同理，直线OP 为=y x 2．联立两直线解析式得出⎝⎭⎛E 24,1，根据∥EH BO ，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点P 的坐标为⎝ +⎛t t 2，则点D 的坐标为−t 22,0)(．①如图2-1，当>t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAO APC ,，则∠=+αβAPD ．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2．在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2，进而得出点P 的横坐标为6．②如图2-2，当<≤t 02时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAD APD ,．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2．在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2，得出点P 的横坐标为32．③如图−23，当−<≤t 20时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=αBAO ．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2．在APF Rt 中，=∠=AP BAO AF 3cos 2，得出点P 的横坐标为−76．④如图2-4，当≤−t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=αBAO ．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=−−AF t 2．在APF Rt 中，=∠=AP PAF AF 3cos 2，得出点P 的横坐标为−314． 【小问1详解】解：①∵=OC 2，∴顶点P 的横坐标为1．∴当=x 1时，=+=y x 22，∴点P 的坐标是⎝⎭⎪⎛⎫21,．设抛物线的函数表达式为=−+y a x 2(1)2，把0,0)(代入，得=+a 20，解得=−a 2．∴该抛物线的函数表达式为=−−+y x 221)2，即=−+y x 22． ②如图1，过点E 作⊥EH OC 于点H ．设直线BC为=+y kx ，把C 2,0)(代入，得=+k 02，解得=k ， ∴直线BC为=−y x 2同理，直线OP为=y x 2．由⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=−+⎧y x y x 2.2解得⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=⎧y x 42,1∴⎝⎭⎛E 21． ∴==−=OH HC 222,2113． ∵∥EH BO ， ∴==EC HC BE OH 31． 【小问2详解】设点P的坐标为⎝ +⎛t 2,，则点D 的坐标为−t 22,0)(． ①如图−21，当>t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAO APC ,，则∠=+αβAPD ．∵∠PCD 为△PAC 的外角，∴∠=+αβPCD ．∵=PC PD ．∴∠=∠=+αβPDC PCD ．∴∠=∠APD ADP ．∴==AP AD t 2．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2． 在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2， ∴=+t t 2322，解得=t 6． ∴点P 的横坐标为6．②如图2-2，当<≤t 02时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAD APD ,． ∵∠PDC 为PAD 的外角，∴∠=+αβPDC ．∴∠=∠=+αβPCD PDC∴∠=∠APC ACP ．∴==AP AC 4．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2． 在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2， ∴=+t 4322，解得=t 32． ∴点P 的横坐标为32．③如图2-3，当−<≤t 20时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠BAO =α．∵=PC PD ， ∴∠=∠=∠=PDC PCD CPE 221． ∴∠=∠−∠=−=ααAPD BAO PDC 2211． ∴∠=∠APD PDA ．∴==−AD AP t 2．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2． 在APF Rt 中，=∠=AP BAO AF 3cos 2， ∴−=+t t 2322，解得=−t 76． ∴点P 的横坐标为−76． ④如图2-4，当≤−t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=αBAO ．∵=PC PD ， ∴∠=∠=∠=αPCD PDC CPE 2211．∴∠=∠−∠=−=αααAPC BAO PCD 2211． ∴==PA CA 4． 过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=−−AF t 2． 在APF Rt 中，=∠=AP PAF AF 3cos 2， ∴=−−t 4322，解得=−t 314． ∴点P 的横坐标为−314． 综上，点P 的横坐标为−−3736,,,2614． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．26. 【答案】（1）CD =EF ，CD ∥EF（2）CD =EF ，CD ∥EF ，成立，理由见解析（3）点D 运动到BC 的中点时，BDEF 是菱形，证明见解析【分析】（1）根据ABC 和△ADF 均为等边三角形，得到AF =AD ，AB =BC ，∠F AD =∠ABC =60°，根据E 、D 分别与点A 、B 重合，得到AB =AD ，EF =AF ，CD =BC ，∠F AD =∠F AB ，推出CD =EF ，CD ∥EF ； （2）连接BF ，根据∠F AD =∠BAC =60°，推出∠F AB =∠DAC ，根据AF =AD ，AB =AC ，推出△AFB ≌△ADC ，得到∠ABF =∠ACD =60°，BF =CD ，根据AE =BD ，推出BE =CD ，得到BF =BE ，推出△BFE 是等边三角形，得到BF =EF ，∠FEB =60°，推出CD =EF ， CD ∥EF ；（3）过点E 作EG ⊥BC 于点G ，设△ABC 的边长为a ，AD =h ，根据AB =BC ，BD =CD = 21BC = 21a ， BD =AE ，推出AE =BE = 21AB ，根据AB =AC ， 推出AD ⊥BC ，得到EG ∥AD ，推出△EBG ∽△ABD ，推出==AD AB EG BE 21，得到EG AD 21= 21h ，根据CD =EF ， CD ∥EF ，推出四边形CEFD 是平行四边形，推出=⋅=⋅=⋅=S CD EG a h ah S CEFD ABC 2222211111，根据EF =BD ，EF ∥BD ，推出四边形BDEF 是平行四边形，根据BF =EF ，推出BDEF 是菱形．【小问1详解】 ∵ABC 和△ADF 均为等边三角形，∴AF =AD ，AB =BC ，∠F AD =∠ABC =60°，当点E 、D 分别与点A 、B 重合时，AB =AD ，EF =AF ，CD =BC ，∠F AD =∠F AB ，∴CD =EF ，CD ∥EF ；故答案为：CD =EF ，CD ∥EF ；【小问2详解】CD =EF ，CD ∥EF ，成立．证明：连接BF ，∵∠F AD =∠BAC =60°，∴∠F AD -∠BAD =∠BAC -∠BAD ，即∠F AB =∠DAC ，∵AF =AD ，AB =AC ，∴△AFB ≌△ADC (SAS)，∴∠ABF =∠ACD =60°，BF =CD ，∵AE =BD ，∴BE =CD ，∴BF =BE ，∴△BFE 是等边三角形，∴BF =EF ，∠FEB =60°，∴CD =EF ，BC ∥EF ，即CD ∥EF ，∴CD =EF ， CD ∥EF ；【小问3详解】如图，当点D 运动到BC 的中点时，四边形CEFD 的面积是ABC 面积的一半，此时，四边形BDEF 是菱形．证明：过点E 作EG ⊥BC 于点G ，设△ABC 的边长为a ，AD =h ，∵AB =BC ，BD =CD = 21BC = 21a ， BD =AE ，∴AE =BE = 21AB ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴EG ∥AD ，∴△EBG ∽△ABD ， ∴==AD AB EG BE 21， ∴EG AD 21= 21h ， 由（2）知，CD =EF ， CD ∥EF ，∴四边形CEFD 是平行四边形， ∴形边四=⋅=⋅=⋅=S CD EG a h ah S CEFD ABC 2222211111,此时，EF =BD ，EF ∥BD ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∵BF =EF ， ∴BDEF 是菱形．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．。

2024年北京市一零一中学九年级中考二模数学试题(教师版 )

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初三数学二模模拟练习一．单选题1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转，与自身完全重合，进行判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键．2. 某种球形病毒的直径为0.000 000 43米，将数据0.000 000 43用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可．【详解】解：0.000 000 43=4.3×10-7．故选：D ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a ×10-n ，其中1⩽|a |<10，n 为小数点向右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 ．3. 若实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）A. ac ＞bcB. ab ＞cbC. a +c ＞b +cD. a +b ＞c +b【答案】B 180︒64.310-⨯60.4310-⨯64310-⨯74.310-⨯【解析】【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答．【详解】解：由图可知，a ＜b ＜0，c ＞0，A 、ac ＜bc ，故本选项错误；B 、ab ＞cb ，故本选项正确；C 、a +c ＜b +c ，故本选项错误；D 、a +b ＜c +b ，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键.4. 如图，，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对顶角相等和已知条件，得出∠1=∠DFA ，根据平行线的判定可得出AB ∥CD ，根据平行线的性质从而得出答案．【详解】∵∠2=∠DFA ，∠1=∠2，∴∠1=∠DFA ，∴AB ∥CD ，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=50°，∴∠B=130°，故选：D【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．5. 关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（ ）12∠=∠50D ∠=︒B ∠50︒40︒100︒130︒2210kx x -+=A. B. 0 C. 1 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，时，方程有两个不相等的实数根，再结合一元二次方程的定义即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个实数根，∴，且，解得：且，∴k 的值可能是．故选：A ．6. 如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 72°【答案】B【解析】【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：（n -2）•180°=1080°，即可求得n =8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n 边形，根据题意得：180°×（n -2）=1080°，解得：n =8，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B ．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n -2）•180°，外角和等于360°．7. 如图是一个竖直管道的示意图，水从人口进入，先经过管道或再经管道或从出口流出，如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口流到出口的概率是（ ）12-0∆>2210kx x -+=()22410k ∆=--⨯>0k ≠1k <0k ≠12-A a ,b ,c d eB A BA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到开着的两个管道可以使流水从入口流到出口的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：设a 、b 、c 、d 、e 五个管道分别用A 、B 、C 、D 、E 表示，列表如下：由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中开着的两个管道可以使流水从入口流到出口的结果数有12种，∴流水还可以从入口流到出口的概率是，故选：C ．8. 如图，正方形边长为a ，点E 是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，12253523A B A B C D E A (),B A (),C A (),D A (),E A B (),A B (),C B (),D B (),E B C (),A C (),B C (),D C (),E C D (),A D (),B D (),C D (),E D E (),A E (),B E (),C E (),D E A B A B 123205=ABCD 90AEB ∠=︒CE AE CE +CE BCE ∠60︒CE a =．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④【答案】C【解析】【分析】如图所示，连接交于H ，取中点O ，连接，先证明点E 在以点O 为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线，即点E 运动到点H 时， 当三点共线时，有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当与相切时有最大值，证明，得到，，则，再证明，得到，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接交于H ，取中点O ，连接，∵四边形是正方形，∴；∵，∴点E 在以点O 为圆心，为直径的圆上运动，∵，∴点H 在圆O 上，1tan 2ABE ∠=AC BD AB OC AB A E C 、、AE CE AC +=C O E 、、CE CE O BCE ∠Rt Rt OBC OEC △≌△CE BC a ==OCE OCB ∠=∠1tan 2OE OCE CE ==∠ABE BCO OCE ==∠∠∠1tan tan 2ABE OCE ==∠∠AC BD AB OC ABCD 90AHB ∠=︒90AEB ∠=︒AB 90AHB ∠=︒∵，∴当三点共线，即点E 运动到点H 时，，故①正确；∵点E 在以点O 为圆心，为直径的圆上运动，∴当三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，∴，故②错误；如下图所示，当与相切时有最大值，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴的度数最大值不是，故③错误；∵，∴垂直平分，∴，∴，∴，故④正确；故选：C ．AE CE AC +≥==A E C 、、AE CE AC +=AB C O E 、、CE Rt OBC △OC ==CE 12a -=CE O BCE ∠OB OE OC OC ==，()Rt Rt HL OBC OEC ≌CE BC a ==OCE OCB ∠=∠1tan 2OE OCE CE ==∠30OCE ≠︒∠60BCE ≠︒∠BCE ∠60︒BC EC OB OE ==，OC BE ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠ABE BCO OCE ==∠∠∠1tan tan 2ABE OCE ==∠∠【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键．二．填空题9.有意义，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据被开方数即可求解．【详解】，∴．故答案为【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．10. 分解因式：________.【答案】．【解析】【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．11. 分式方程的解是___________．【答案】【解析】【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，最后要检验．x 4x ≥-40x +≥40x +≥4x ≥-4x ≥-228x y y -=2(2)(2)y x x +-22(4)y x -2(2)(2)y x x +-2(2)(2)y x x +-211x x=+1x =根据解分式方程的步骤求解即可．【详解】解：两边同时乘以得，解得，经检验是原方程的解，∴，故答案为：．12. 小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是_____．【答案】21【解析】【分析】设投中圆环内及小圆内的得分分别为x ，y 分，根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设投中圆环内及小圆内的得分分别为x ，y 分，依题意得：，解这个方程组得：，则小亮的得分是2x +3y =6+15=21分．故答案为21．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．13. 已知9°的圆周角所对的弧长是cm ，则此弧所在圆的半径是_____．【答案】2cm【解析】【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此弧所在圆的半径为r ，弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，211x x=+()1x x +21x x =+1x =1x =1x =1x =3219{423x y x y +=+=35x y =⎧⎨=⎩5π则，解得，r ＝2，即此弧所在圆的半径为2cm ，故答案为2cm ．【点睛】本题考查是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．14. 某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________人．每周课外阅读时间x（小时）人数691312【答案】300【解析】【分析】本题考查了频数（率分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．【详解】解：（人），估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人．故答案为：300．15. “单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中M ，N ，S ，T 四位同学的单词记忆效率y 与复习的单词个数x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 ___．【答案】S【解析】的18r 1805ππ⨯=01x ≤≤12x <≤23x <≤3x >)6980030040+⨯=【分析】画出过点N 的反比例函数图像，根据题意得到正确默写出的单词个数即为 “单词的记忆效率”对应点所在的矩形的面积大小，通过反比例函数的几何性质即可判断．【详解】解：如图，设M ，N ，S ，T 四个同学的“单词的记忆效率”对应点所在的长方形的面积分别记作S M ，S N ，S S ，S T ，则S T ＜S N ＜S M ＜S S ，∴这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S ．故答案为：S ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何性质的应用，正确理解题目的意思是解题的关键．16. 甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得______分．【答案】5【解析】【分析】此题考查最佳对策问题，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答；通过分析可知：，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分，【详解】，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．甲第一次勾掉这2个数，将剩下的数两两配对：，同一对两数之差为5．在每次勾224⨯=224⨯=4,5{,5}(1,2,3)i i i +=掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分．故答案为：5．三．解答题（17-19，21-23题5分，20，24，25，26题6分，27，28题7分）17. 计算：．【答案】【解析】【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴表示见解析【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解不等式①，移项，合并同类项得，系数化1得，；解不等式②，去分母得，为()112022603-⎛⎫---︒ ⎪⎝⎭52()112022603-⎛⎫-+--︒⎪⎝⎭()133=+-++312=+52=6438311223x x x x -≥-⎧⎪++⎨>⎪⎩125x -<≤6438311223x x x x-≥-⎧⎪⎨++>⎪⎩①②714x -≥-2x ≤()()331212x x +>+去括号得，移项，合并同类项得，系数化为1得，故不等式组的解集为：．数轴表示如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19. 已知，求代数式的值.【答案】，4【解析】【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．将所求式子通分，分子、分母分解因式，再约分，化简后整体代入即可【详解】解：原式，，原式．20. 如图，点F 在对角线AC 上，过点F 、B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，∠ABF ＝∠FBC ＋∠FCB ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；的9324x x +>+51x >-15x >-125x -<≤2a b +=2222a b ba b a b⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭2()a b +2222()a b ab b b b a b +=+⋅+2()2a b bb a b+=⋅+2()a b =+2a b += ∴224=⨯=ABCD Y（2）若BE ＝5，AD ＝8，sin ∠CBE＝，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB =∠FBC+∠FCB ，又因为∠ABF =∠FBC+∠FCB ，易得AB =AF ，由菱形的判定定理可得结论；（2）过D 作DH ⊥AC 于点H ，先求出∠CBE =30°，再由平行线的性质可得∠2=∠CBE =30°，然后由锐角三角函数定义可得AH ，DH 的长，由菱形的性质和勾股定理得CH 的长，即可得出AC 的长．【详解】（1）证明：∵EF ∥AB ，BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形．∵∠ABF =∠FBC +∠FCB ，∠AFB =∠FBC +∠FCB ，∴∠ABF =∠AFB ，∴AB =AF ，∴▱ABEF 是菱形；（2）解：作DH ⊥AC 于点H ，∵sin ∠CBE =，∴∠CBE =30°，∵BE ∥AC ，∴∠1=∠CBE ，∵AD ∥BC ，∴∠2=∠1，∴∠2=∠CBE =30°，Rt △ADH 中，AH =AD •cos ∠2=8DH =AD •sin ∠2=，∵四边形ABEF 是菱形，∴CD =AB =BE =5，123121842⨯=Rt △CDH 中，CH，∴AC =AH +CH =．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．21. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲乙信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．（1）求x 的值；（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．【答案】（1）的值是 （2）乙工程队至少施工天【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；（1）根据甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解；（2）设乙工程队单独施工m 天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．【小问1详解】根据题意得：解得：，3=3+2m 200x +3000x200015002m 9002m x 3001515002m 9002m 1500900200x x=+300x =经检验，是所列方程的解，∴的值是300；【小问2详解】解：设乙工程队单独施工m 天，解得：,答：乙工程队至少施工15天.22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当时，对于的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）先根据两直线平行确定k 值，再将代入求解；（2）分和两种情况，利用数形结合思想求解．【小问1详解】解：一次函数的图象平行于直线，，将代入，得：，解得：，这个一次函数的表达式为；【小问2详解】解：当时，的图象位于第一象限，将代入，得，300x =x ()200030002045000m m +-≤15m ≥xOy (0)y kx b k =+≠12y x =(2,2)A 1x >x (0)y kx b k =+≠(0)my x x=>m 112y x =+302m <≤0m <(2,2)A 0m >0m < (0)y kx b k =+≠12y x =∴12k =(2,2)A 12y x b =+1222b =⨯+1b =∴112y x =+0m >(0)my x x =>1x =112y x =+131122y =⨯+=将点代入，得，；当，时，的图象位于第四象限，一次函数的图象位于第一象限，对于的每一个值，一次函数的值大于函数的值，综上可知，的取值范围为：或．【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练运用数形结合思想，第二问注意分情况讨论．23. 财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：统计量类别平均数中位数方差教育支出520.7m社会保障和就业支出448.3466.5交通运输支出292.3282.0（以上数据来源于《中国统计年鉴》）根据以上信息解决下列问题：31,2⎛⎫⎪⎝⎭m y x =33122m =⨯=∴302m <≤0m <0x >(0)m y x x =>112y x =+∴x 112y x =+(0)my x x =>m 302m <≤0m <21S 22S 23S（1）；（填＞，＜号）；（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号）①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是 年．【答案】（1）562.7， （2）② （3）2014【解析】【分析】本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、极差与中位数．（1）根据信息一即可解答；（2）根据折线统计图即可解答；（3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于520.7亿元，又因为计算的是连续5年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份．【小问1详解】根据折线统计图可知，，，，，，故答案为：562.7，；【小问2详解】由折线图可知，2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意；年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意；m =21S 22S >549.0576.4562.72m +==122222221[(377.1520.7)(401.3520.7)(549.0520.7)(576.4520.7)(593.0520.7)(636.1520.7)]259.06S =-+-+-+-+-+-=222222221[(346.8448.3)(376.2448.3)(464.8448.3)](468.2448.3)(504.8448.3)(529.1448.3)]182.36S =-+-+-+-+-+-=259.0182.3> ∴1222S S >>20142019-2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意．故答案为：②；【小问3详解】年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数，又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元，不是去掉的2015年的教育支出，该小组去掉的年份是2014年．故答案为：2014．24. 如图，是的切线，切点为A ，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的长．【答案】（1）相切，理由见解析 （2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，综合运用这些知识是关键．（1）连接，由为切线及，结合垂径定理可得平分，则可得，再由及可得，则可得，问题得证；（2）由勾股定理分别求得及圆半径，证明，由相似的性质即可求得的长．【小问1详解】解：相切；理由如下：连接，20142019- ∴∴AD O AB O B BC AD ∥O C AC C CD AB ∥AD D AO BC M C P BCP ACD ∠=∠PC O 9AB =6BC =PC 277PC =OC AD BC AD ∥AP BAC ∠BAC POC ∠=∠CD AB ∥BCP ACD ∠=∠BCP POC ∠=∠OC PC ⊥AM OMC OCP △∽△PC OC∵为切线，∴∵，∴，即垂直平分，∴平分，即，∵，∴，∴，∴，∵， ∴，∵，，∴， ∵，∴，即，∴直线与相切；【小问2详解】解：∵垂直平分，∴，在中，由勾股定理得：设圆半径为r ，则，在中，由勾股定理得：，解得：AD AP AD ⊥BC AD ∥⊥AP BC AP BC AP BAC ∠2BAC OAC ∠=∠OA OC =OAC OCA ∠=∠2POC OAC ∠=∠BAC POC ∠=∠CD AB ∥BAC ACD ∠=∠BCP ACD ∠=∠BAC POC ∠=∠BCP POC ∠=∠90POC OCM ∠+∠=︒90BCP OCM ∠+∠=︒OC PC ⊥PC O AP BC 1932AC AB CM BC ====，Rt AMC △AM ===OM AM OA r =-=-Rt OMC 222)3r r +=r =∴∵，∴，∴，∴．25. 如图，中，，是边上一动点，连接，作交于，已知，，设的长度为，的长度为．小青同学根据学习函数的经验对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值：00.5 1.0 1.5 2.0 2.53 3.54 4.55601.562.242.512.452.241961.631.260.86（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）的值约为__________；（2）在平面直角坐标系中，描出已补全后的表格中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；.OM r =-=90OMC OCP MOC COP ∠=∠=︒∠=∠，OMC OCP △∽△OM CMOC PC=277CM OC PC OM ⋅==Rt ABC 90C ∠=︒P CB AP PQ AP ⊥AB Q 3AC cm =6BC cm =PC xcm BQ ycm y x x y /x cm/y cmmm cm (,)x y（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当时，对应的的取值范围约是_____________；②若点不与，两点重合，是否存在点，使得？________________（填“存在”或“不存在”）【答案】（1）2.6；（2）画图见解析；（3）①0.8＜x ＜3.5；②不存在【解析】【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）①由根据函数图象可得；②根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得不存在点P ，使得BQ=BP ．【详解】解：（1）根据题意量取数据m 为2.6，故答案为：2.6（2）根据已知数据描点连线得（3）①由图象可得，当0.8＜x ＜3.5时，y ＞2．故答案为：0.8＜x ＜3.52y >x P B C P BQ BP =②不存在，理由如下：若BQ=BP∴∠BPQ=∠BQP∵∠BQP=∠APQ+∠PAQ ＞90°∴∠BPQ+∠BQP+∠QBP ＞180°与三角形内角和为180°相矛盾．∴不存在点P ，使得BQ=BP ．故答案为：不存在．【点睛】本题为二次函数综合题，也是动点问题的函数图象探究题，考查了画函数图象以及数形结合的数学思想．26. 已知二次函数的图像经过点．（1）用含的代数式表示______；（2）若直线与抛物线的值；（3）若抛物线与轴交于和两点（），且，直接写出的取值范围．【答案】（1）（2）或 （3）或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解；（2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题意可得关于a 的方程，解方程即可求得a 的值；（3）由判别式确定a 的范围，根据a 的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象即可确定a 的范围．【小问1详解】解：∵二次函数的图像经过点，∴，∴，故答案为：；22y ax bx =++()2,2A a b =y x =22y ax bx =++a 22y ax bx =++x ()1,0M x ()2,0N x 12x x <1220x x +>a 2a -27a =2a =14a <-2a >22y ax bx =++()2,2A 4222a b ++=2b a =-2a -【小问2详解】解：由（1）得二次函数解析式为，由题意得：，解得：，，即直线与抛物线两个交点坐标为；由题意得：，解得：或；【小问3详解】解：∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴，解得：或；当时，对于，令，有，即抛物线与y 轴交点为，∴抛物线必过与，∴，∴必有；当时，对于，则由根与系数的关系有：，∴，即；∵，抛物线对称轴为直线，且，∴当时，，的222y ax ax =-+222y ax ax y x ⎧=-+⎨=⎩11x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y =⎧⎨=⎩11,(2,2)a a ⎛⎫⎪⎝⎭，22122a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭27a =2a =2(2)420a a ∆=--⨯>a<02a >2a >222y ax ax =-+0x =2y =(0,2)(2,2)(0,2)120x x <<1220x x +>a<02220ax ax -+=122x x +=1211212()20x x x x x x +=++=+>12x >-a<01x =12x x <2x =-2(2)2(2)20y a a =⨯--⨯-+<解得：；综上，或．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键．27. 如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，．（1）补全图形；（2）求证：；（3）①判断的形状，并证明．②直接写出的大小（用表示）．【答案】（1）画图见解析（2）证明见解析（3）①为等腰三角形，证明见解析；②【解析】【分析】本题主要考查了考查等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意，读懂题意即可作图；（2）依据题意，由，，从而，又，进而可以判断得解；（3）①依据题意，延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，．由是中点，从而，，又，从而，可得，同理可得，，进而可得，证得，故即可判断得解；②依据题意，由，可得、、、四点共圆，则，进而可得，从而，故，最后可以判断得解．【小问1详解】14a <-14a <-2a >ABC 90ABC ∠=︒(090)ACB αα∠=<<︒D BC AD AE 90DAE α∠=︒-D AD AE F CF CF M BM DM BAC DAF ∠=∠MBD MDB ∠αMBD 90MDB α∠=︒-90ABC ∠=︒ACB α∠=9090BAC ACB α∠=︒-∠=︒-90DAE α∠=︒-FD F 'DF DF '=AF 'F C 'CB C 'BC BC '=AC 'C F 'M CF 12MD CF '=12MB C F '=AD DF ⊥AF AF '=18021802FAF AFF α''∠=︒-∠=︒-18021802CAC ACC α''∠=︒-∠=︒-CAF FAC ''∠=∠(SAS)CAF C AF '' ≌CF C F ''=AF D ACD '∠=∠A F 'C D 90ACF ADF ''∠=∠=︒90DCF α'∠=︒+180(90)90DFC CDF αα'∠+∠=︒-︒+=︒-90MDB MDF BDF DF C CDF α''∠=∠+∠=∠+∠=︒-补全图形如图．【小问2详解】证明：，，．，．【小问3详解】①为等腰三角形，．证明：延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，．是中点，， 由题意，，又，．，．同理可得，．．．．．．．90ABC ∠=︒ ACB α∠=9090BAC ACB α∴∠=︒-∠=︒-90DAE α∠=︒- BAC DAF ∴∠=∠MBD DM BM =FD F 'DF DF '=AF 'F C 'CB C 'BC BC '=AC 'C F 'M CF DF DF'=∴12MD CF '=AD DF ⊥ DF DF '=AF AF '∴= ACB α∠=90BAC DAF α∠=∠=︒-∴AFD ACB α∠=∠=18021802FAF AFF α''∴∠=︒-∠=︒-AC AC '=18021802CAC ACC α''∴∠=︒-∠=︒-FAF CAC ''∴∠=∠CAF FAC ''∴∠=∠(SAS)CAF C AF ''∴ ≌CF C F ''∴=MD MB ∴=为等腰三角形．②，、、、四点共圆．又，则是圆的直径．又，．．，M 是中点，．．28. 在平面直角坐标系中，对于线段，直线l 和图形W 给出如下定义：线段关于直线l 的对称线段为（分别是M ，N 的对应点）．若与均与图形W （包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形W 关于直线l 的“对称连接线段”．（1）如图1，已知圆O 的半径是2，的横、纵坐标都是整数．在线段中，是关于直线的“对称连接线段”的是 ．（2）如图2，已知点，以O 为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段是正方形关于直线的“对称连接线段”，求k 的取值范围．（3）已知的半径为r ，点，线段的长度为1．若对于任意过点Q 的直线l，都存在M B D ∴ AF D ACD '∠=∠ AD AD=A ∴F 'C D 90ADF '∠=︒AF '90ACF ADF ''∴∠=∠=︒ ACB α∠=90DCF α'∴∠=︒+180(90)90DF C CDF αα''∴∠+∠=︒-︒+=︒- DF DF '=CF ∴DM CF '∥∴MDF CF D'∠=∠ FDB CDF '∠=∠90MDB MDF BDF DF C CDF α''∴∠=∠+∠=∠+∠=︒-90MDB α∴∠=︒-xOy MN MN M N '',M N ''MN MN MN 112233B C B C B C ，，，，，112233B C B C B C ，，O 1y x =-()01P ，ABCD OP ABCD 2y kx =+O ()10M ，MN ()02，线段是关于l 的“对称连接线段”，直接写出r 的取值范围．【答案】（1），（2）或（3）【解析】【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接线段”的定义成为解题的关键．（1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P 的对称点是和时是临界点即可解答；（3）如图3：连接，则“对称连接线段”的定义即可解答．【小问1详解】解：如图1:因为关于的对称点是在上，所以是关于直线的“对称连接线段”，因为和关于的对称点是和在外，所以不是关于直线的“对称连接线段”，因为关于的对称点是在内，所以是关于直线的“对称连接线段”．故答案为：．【小问2详解】解：如图2：MN O 11B C 33B C 1k ≥1k ≤-1r ≥()12-，()12，MQ MQ =1C 1y x =-()02-，O 11B C O 1y x =-2B 2C 1y x =-()21-，()13，O 22B C O 1y x =-3B 1y x =-()11，O 33B C O 1y x =-1133B C B C ，。

北京市各区2020年部编人教版中考二模数学试题分类汇编：动手能力题

北京市各区2020年部编人教版中考二模数学试题分类汇编：动手能力题

初三数学分类试题—动手能力题西城1．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换τ得到点(,)P x y '''，该变换记作),(),(y x y x ''=τ，其中⎩⎨⎧-='+='by ax y by ax x ,(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-τ．(1) 当1a =，且2b =-时，(0,1)τ= ； (2) 若(1,2)(0,2)τ=-，则a = ，b = ；(3) 设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换τ得到点(,)P x y '''．若点P 与点'P 重合，求a 和b 的值．海淀2．如图1，四边形ABCD 中，AC 、BD 为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点A 、B 重合），EF ∥AC 交BC 于点F ，FG ∥BD 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接HE ．记四边形EFGH 的周长为p ，如果在点E 的运动过程中，p 的值不变，则我们称四边形ABCD 为“Ω四边形”， 此时p 的值称为它的“Ω值”．经过探究，可得矩形是“Ω四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB =4，BC =3，则它的“Ω值”为 ．图1 图2 图3（1）等腰梯形 （填“是”或 “不是”）“Ω四边形”；（2）如图3，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，=34AD AB =，，点C 为»AB 上的一动点，将△DAB沿CD的中垂线翻折，得到△CEF．当点C运动到某一位置时，以A、B、C、D、E、F中的任意四个点为顶点的“Ω四边形”最多，最多有个．东城3. 阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE.②分别以D，E为圆心，以大于12DE为半径作弧，两弧在AOB∠内交于点C.③作射线OC，则OC就是AOB∠的平分线小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：作法：①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OM，ON，使OM=ON.②分别过以M，N为OM，ON的垂线，交于点P.③作射线OP，则OP就是AOB∠的平分线.小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：（1）小聪的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮小颖设计用刻度尺作AOB∠平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.（3）朝阳4．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30º，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60º，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA +PB +PC 的最小值为； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长．房山5.如图1，在矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在边NP ，PQ ，QM ，MN 上， 当4321∠=∠=∠=∠时，我们称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形. 已知：矩形ABCD 的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题： （1）在图2中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，请作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ，并求出反射四边形EFGH 的周长.B图2B图3C B 图1（2）在图3中作出矩形ABCD 的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系.门头沟6． 如图1，矩形MNPQ 中，点E 、F 、G 、H 分别在NP 、PQ 、QM 、MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD 为矩形，且4=AB ，8=BC ．（1）在图2、图3中，点E 、F 分别在BC 、CD 边上，图2中的四边形EFGH 是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ；（2）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少；（3）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少．M N P Q GHEF1 23 4图1图3图2EFy PQMNOx12－－－－－－123 22题图怀柔7.探究与应用已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 点重合），以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在反比例函数y = 2x-的图象上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限.（1）如图，若反比例函数解析式为y = 2x-，P 点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ 1M 1N 1； （2）请你通过改变P 点坐标，对直线M 1 M 的解析式 y ﹦kx ＋b 进行探究可得 k ﹦ ，若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ﹦ ；（3）依据(2)的规律，如果点P 的坐标为（6，0），请你直接写出点M 1和点M 的坐标． 解：（1）如图（2）k ﹦ ，b ﹦ ；（3）M 1的坐标为（ ， ），M 的坐标为（ ， ）.大兴8. 在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90°，AB =6，BC =8．过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN ．当点T 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动．若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上移动(点M 可以与点A 重合，点N 可以与点C 重合），求线段AT 长度的最大值与最小值的和(计算结果不取近似值)．丰台9．操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（2-）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． （1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量”{－1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{－2，－1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．石景山10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ． （1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长； （2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值范围： ． 解：昌平11. （1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站分别向A 、B 两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站P 的位置，并保留作图痕迹；（2）【问题拓展】已知a >0，b >0，且a +b =2，写出2214m a b ++ （3）【问题延伸】已知a >0，b >022a b +224a b +224a b +三角形的面积.BAl密云12．实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．（1） 请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对 称图形．（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．顺义13． 问题：如果存在一组平行线a b c P P ，请你猜想是否可以作等边三角形ABC 使其三个顶点分别在,,a b c 上.小明同学的解答如下：如图1所示，过点A 作AM b ⊥于M ，作60MAN ∠=︒，且AN AM =，过点N 作CN AN ⊥交直线c 于点C ,在直线b 上取点B 使BM CN =，则ABC ∆为所求．(1) 请你参考小明的作法,在图2中作一个等腰直角三角形DEF 使其三个顶点分别在,,a b c 上，点D 为直角顶点；(2) 若直线,a b 之间的距离为1， ,b c 之间的距离为2， 则在图2中，DEF S ∆= ，在图1中，AC = ．参考答案1．解：(1)(0,1)τ=(2,2)-； ……………………………………… 1分(2)a =1-，b =12； ……………………………………… 3分(3) ∵点(,)P x y 经过变换τ得到的对应点(,)P x y '''与点P 重合， ∴(,)(,)τ=x y x y .∵点(,)P x y 在直线2y x =上， ∴(,2)(,2)τ=x x x x .∴2,22.x ax bx x ax bx =+=-⎧⎨⎩ ……………………………………… 4分即(12)0,(22)0.a b x a b x --=-+=⎧⎨⎩ ∵x 为任意的实数，∴120,220.a b a b --=-+=⎧⎨⎩ 解得3,21.4a b ==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2.解： “Ω值”为10．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分（1）是；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分（2）最多有5个．3．解：（1）小聪的作法正确. …………………1分 理由：∵PM ⊥OM , PN ⊥ON ， ∴∠OMP =∠ONP =90°. 在Rt △OMP 和Rt △ONP 中， ∵OP=OP ,OM=ON ，∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ）. ∴MOP NOP ∠=∠.∴OP 平分∠AOB . …………………2分 （2）解：如图所示. …………………3分作法：①利用刻度尺在OA ，OB 上分别截取OG=OH . ②连结GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q . ③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线.4．解：（161………………………………………………………………………………1分 （2）①如图，…………………………………………2分BD ； ……………………………………………………………………………3分 43. 5. 解：（1）如图，∴四边形EFGH 即为所求，且周长为58 （2）如图：DABAB指明结果（略） －－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分6．解：（1）利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ．（2）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值，定值是85（3）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值， 它们的面积分别是16、12DABGDC7.探究与应用解：（1）如图 ……………………1分（2）1-=k ，m b = ……………………3分（3）M 1的坐标为（113-，113+），M 的坐标为（113+，113-）………5分 8解：当点M 与点A 重合时，AT 取得最大值（如右上图）.…1分由轴对称可知，AT =AB =6. ……………………………2分当点N 与点C 重合时，AT 取得最小值（如右下图）.……3分过点C 作CD ⊥l 于点D ，连结CT ，则四边形ABCD 为矩形，∴ CD =AB =6.由轴对称可知，CT =BC =8.∴ 在Rt △CDT 中，CD =6，CT =8，∴ 由勾股定理，得DT =27.∴ AT =AD －DT =8－27.…………………………………………4分∴ 线段AT 长度的最大值与最小值的和为7214-.……5分9．（1）{4，3}． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分M 1 P QMNOy1 23－－－－－－ 1 2 3Q 1N 1（2）①画图 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分②D (0，3). －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分（3）{1，－2}+{1，3}+{－2，－1}．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分10．解：（1）由题意，△BMN 沿MN 折叠得到△EMN∴△BMN ≌△EMN∴EM =BM =27. 过点M 作MH ⊥AD 交AD 于点H ，则四边形ABMH 为矩形MH =AB =3， AH =BM =27. Rt △EHM 中，EH =2133)27(2222=-=-HM EM ∴AE 2137-=. ……………………………… 3分 (2) 1≤AE ≤3. …………………………… 5分11．解：（1）如图所示. ……………………………………… 1分（2）13. …………………………………………… 2分（3）32ab ． ………………………………………… 5分 12．（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．……………2分（2）在图4中画出符合题目要求的图形．………………5分13. 解:(1)作 图 …………………………………………………………2分y x B A C D O 1 1(2 ) 5DEF S ∆= …………………………………………………………3分AC = …………………………………………………………5分。

2023年北京市东城区中考二模数学试题(含答案解析)

2023年北京市东城区中考二模数学试题(含答案解析)

2023年北京市东城区中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．据报道：中国铁路营业里程从2012年的9.8万公里增长到2022年的15.5万公里，其中高铁从0.9万公里增长到4.2万公里，稳居世界第一．将数字155000用科学记数法表示应为（）A ．60.15510⨯B ．51.5510⨯C ．61.5510⨯D ．315510⨯2．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．圆柱D ．圆锥3．在平面直角坐标系中，已知点()()3,2,5,2A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标是()1,2-，则点B 的对应点D 的坐标是（）A ．()1,2B ．()2,1-C ．()9,2D ．()2,14．下列正多边形中，一个内角为120︒的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在ABC 中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点,E BD 和CE 交于点O ，则下列结论不正确．．．的是（）A ．12∠=∠B ．1590∠+∠=︒C ．34∠∠=D ．534∠=∠+∠6．下列运算结果正确的是（）A ．22()a a -=B ．623a a a ÷=C ．22(2)4a a -=-D ．34a a +=7．小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分．若将三项得分依次按2:4:4的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（）A ．8.3分B ．8.4分C ．8.5分D ．8.6分8．两个变量满足的函数关系如图所示．①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x 分钟，离家的距离为y 米；②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x 秒，瓶内水的体积为y 毫升；③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x 天，完成的修路长度为y 米．在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题16．将15个编号为1~15的小球全部放人甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不（2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________．三、解答题求作：直线PA，使得PA作法：（1）连接OP，分别以点,C D两点；（2）作直线CD，交OP（3）以点B为圆心，以OB（4）作直线PA．直线PA即为所求作．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：由作法可知，点B(1)求证：四边形ADCE (2)连接,BE DE ，若tan (1)求m 的值；(2)点M 是图像G 上一点，过点M 作MB ⊥23．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点连接,,OC DF F C ∠=∠．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若2,2OE BE BF ==，求O 半径的长．24．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，(1)建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为,x y ．由矩形的面积为得()2x y m +=，即2my x =-+．满足要求的限内交点的坐标；(2)画出函数图象：函数4(0)y x x=>的图象如图所示，而函数到．请在同一平面直角坐标系xOy 中画出直线(3)平移直线y x =-，观察函数图象：当直线平移到与函数4(0)y x x=>的图象有唯一交点点的纵坐标为_________；(4)得出结论：若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长两边的长分别为_________米、_________26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线(1)求出该抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）(2)当0a >时，对于任意的正数t ，若点1y _________2y （填“>”“<”或“=”）；(3)已知点()()0,3,7,3A B ．若该抛物线与线段27．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=与点A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线(1)用含α的代数式表示DCP ∠；(1)如图1，点G 是等边ABC 的中心，作G 交AB 于点中心胦射；，在平面直角坐标系xOy 中，直线34y x =-+参考答案：BAC BDC ∠=∠，进而可得90ADC BDC ∠=︒-∠．【详解】解：连接BD ，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，CBCB =，∴28BAC BDC ∠==∠︒，∴90ADC BDC ∠=︒-∠62=︒故答案为：62【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．AB DE =或C F ∠=∠或ABC DEF ∠=∠（填写一个即可）【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵AC DF ∥，∴A D ∠=∠，∵AC DF =，∴当添加AB DE =时，则可根据“SAS ”判定ABC DEF ≌△△；当添加C F ∠=∠时，则可根据“ASA ”判定ABC DEF ≌△△；当添加ABC DEF ∠=∠时，则可根据“AAS ”判定ABC DEF ≌△△；故答案为AB DE =或C F ∠=∠或ABC DEF ∠=∠（填写一个即可）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．14．0.9【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9，（2）证明：由作法可知，点∵OP 为B 的直径，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）∴OA PA ⊥．∵点A 在O 上，∵PA 是O 的切线（切线的判定定理）故答案为：90；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，线段垂直平分线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键．20．22a -；1【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可．【详解】解：12a a a ⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭()(()22222a a a a a a a ++⎛⎫=-÷ ⎪++⎝⎭+∵CE DE =，AB 是O 的直径，∴AB CD ⊥，∴90DEF ∠=︒，∴90F EDF ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，（2）将8个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996 7437，6517，5398，中位数为770575067605.52+=；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定；故答案为：7605.5，高；（3）a选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故a不选，（3）解：将点()2,2代入2m y x =-+得：解得：8m =，即4y x =-+，当0x =时，4y =，∴直线2m y x =-+与y 轴交点的纵坐标为（4）解：联立4y x =和2m y x =-+并整理得：∴221441402b ac m ⎛⎫∆---⨯⨯≥ ⎪⎝⎭==时，两个函数有交点，解得：8m ≥，∴周长m 的最小值为8米，可得4+4xy x y =⎧⎨=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米；【点睛】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、函数的平移等，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，难度不大．26．(1)()3,91a -+(2)<(3)29a =-或27a ≥∵APF 是等边三角形，∴,60AF AP PAF =∠=︒，∴60PAF BAF BAF BAD BAF ∠+∠=︒+∠=∠+∠，∴PAB FAD ∠=∠，∵DA BA =，∴()SAS DAF BAP ≌，∠的角平分线交（2）如下图，OEF与线段EF相交所得的弦关于点E 则D≥>．DF r DG作OF MN ⊥与O 交于点F ，再过F 作MN 最大为直径，最小应大于0，所以，OH d =．当O 与H 重合时，d =细致审题是解本题的关键．。

14.几何综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)

14.几何综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)

D202006 初三数学几何综合 北京各区二模试题分类整理202006 初三数学二模试题整理：几何综合（教师版）一、 以四边形为背景的几何综合题（一）四边形+旋转1.（202006 二模燕山 27）已知菱形 ABCD 中，∠A ＝60°，点 E 为边 AD 上一个动点（不与点 A ， 重合），点 F 在边 DC 上，且 AE ＝DF ，将线段 DF 绕着点 D 逆时针旋转 120° 得线段 DG ，连接 GF ，BF ，EF ．（1）依题意补全图形；（△2）求证： BEF 为等边三角形；（3）用等式表示线段 BG ，GF ，CF 的数量关系，并证明．答案：(1)解：补全图形，如图．………1 分(2)证明：∵菱形 ABCD ，∴AB ＝AD ．又∵∠A ＝60°，△∴ ABD 为等边三角形，∴∠ABD ＝∠BDC ＝60°，AB ＝BD ．△在 ABE △和 DBF 中，A E DB CGA E DFB CAB ＝BD ，∠A ＝∠BDF ，AE ＝DF ，△∴ ABE ≌△DBF ，∴BE ＝BF ，∠ABE ＝∠DBF ，∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠EBD ＋∠ABE ＝∠ABD ＝60°，△∴ BEF 为等边三角形．…………………………4 分(3) BG ，GF ，CF 的数量关系为 3 (BG －CF )＝2GF ．…………………………5 分证明：如图 2，取 FG 中点 H ，连接 DH ，∵AE ＝DF ＝DG ，∠FDG ＝120°， ∴∠DFG ＝∠DGF ＝30°，DH ⊥GF ，∴GF ＝2GH ＝2DG ·cos30°＝ 3 DG ．A E DGHF△又∵ BCD 为等边三角形，B C（ 202006 初三数学几何综合 北京各区二模试题分类整理∴BD ＝CD ，∠BDC ＝60°．∵∠FDG ＝120°，∴∠BDC ＋∠FDG ＝180°，即 B ，D ，G 三点在同一条直线上，∴BG ＝BD ＋DG ＝CD ＋DG ＝CF ＋DF ＋DG ＝CF ＋2DG ，∴BG －CF ＝2DG ．∴ 3 (BG －CF )＝2 3 DG ＝2GF ．…………………………7 分（二）四边形性质2.（202006 二模西城 27）（轴对称）在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点 F .（1）如图 1，过点 F 作 GH ⊥AE ，分别交边 AD ，BC 于点 G ，H .求证：∠EAB =∠GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与 AD ， AE ， BD 交于点 P ，M ，N ，连接 CN .① 依题意补全图形；② 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．AGFD AEFDEBH C B C图 1备用图答案： 1）证明：在正方形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD = 90°，∴ ∠AGH =∠GHC ．∵ GH ⊥AE ，∴ ∠EAB =∠AGH ． ∴ ∠EAB =∠GHC ．（2）① 补全图形，如图所示．A GFDE② AE 2CN ．BH C证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，A P D∴点A，点C关于BD对称．∴NA=NC，∠1=∠2．1M FE∵PN垂直平分AE，∴NA=NE．Q N 4 3∴NC=NE．∴∠3=∠4．B2C在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，∴∠AQE=∠4．∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．∴∠ANE=∠ANQ=90°．在Rt△ANE中，∴AE2CN．····························································7分二、以三角形为背景的几何综合题（一）三角形+轴对称3.（202006二模顺义27）（轴对称+旋转）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF=°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：BE．BE（想法 1：过点 A 作 AG ⊥CF 于点 G ，构造正方形 ABCG ， 然后可证△AFG ≌△AFE ……想法 2：过点 B 作 BG ∥AF ，交直线 FC 于点 G ，构造□ A BGF ，然后可证△AFE ≌△BGC ……请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可） AD C答案：解： 1）补全图形如下： …………………………… 1 分AFDC（2）AE 与 DF 的位置关系是 互相垂直 ； ………………………… 2 分（3）∠DAF = 45° ………………………………………………… 3 分（想法 1 图形）AGFBDEC证明如下：过点 A 做 AG ⊥CF 于点 G ，依题意可知：∠B =∠BCG =∠CGA =90°． ∵AB =BC ，∴四边形 ABCG 是正方形．…………………………………… 4 分 ∴AG =AB ， ∠BAG =90°．∵点 B 关于直线 AD 的对称点为 E ，∴AB =AE ，∠B =∠AED =90° ，∠BAD =∠EAD ．…………… 5 分 ∴AG =AE ． ∵AF =AF ，∴Rt △AFG ≌Rt △AFE (HL) ． ………………………………… 6 分 ∴∠GAF =∠EAF ． ∵∠BAG =90°，∴∠BAD +∠EAD +∠EAF +∠GAF =90°． ∵∠BAD =∠EAD ， ∠EAF =∠GAF ，∴∠EAD+∠EAF=45°．即∠DAF=45°．……………………………………………7分（想法2图形）AFB D E CG证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC=∠BCF=90°．∴AB∥FG．∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形．………………………………4分∴AF=BG，∠BGC=∠BAF．∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90°，∠BAD=∠EAD．…………5分∵AB=BC，∴AE=BC．∴Rt△AEF≌△R t BCG(HL)…………………………………6分∴∠EAF=∠CBG．∵∠BCG=90°，∴∠BGC+∠CBG=90°．∴∠BAF+∠EAF=90°．∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90o．∵∠BAD=∠EAD，∴∠EAD+∠EAF=45°．即∠DAF=45°．………………………………………………7分为中心,将射线 AD 顺时针旋转 60°，与△ABC 的外角平分线 BM 交于点 E . 5（二）三角形+旋转4.（202006 二模海淀 27）如图 1，等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上一点，满足 BD < CD ,连接 AD , 以点 A．．． （1）依题意补全图 1；（2）求证：AD =AE ；（3）若点 B 关于直线 AD 的对称点为 F ，连接 CF .① 求证：AE ∥CF ；② 若 BE + CF = AB 成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.MAMABD图 1C B备用图C答案：（1）依题意补全图形MAE（2）证明：∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB =AC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°. ∴ ∠1+∠2=60°.∵ 射线 AD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到射线 AE ， ∴ ∠DAE =60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3.∵ ∠ABC =60°，∴ ∠ABN =180°-∠ABC =120°.MEB D CA3 1 2∵ BM 平分∠ABN ， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C.∴ △ABE ≌△ACD .4 N B D C202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理∴AD=AE.（3）①证明：连接AF，设∠BAD=α，MA∵点B与点F关于直线AD对称，∴∠F AD=∠BAD=α，F A=AB.∵∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-α.EN B D F C∵等边三角形ABC中，∠BAC=60°，∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=120°-α.∵AB=AC，AF=AB，∴AF=AC.∴∠F=∠ACF.∵∠F AC=∠BAC-∠F AD-∠BAD=60°-2α，且∠F+∠ACF+∠F AC=180°，∴∠ACF=60°+α.∴∠EAC+∠ACF=180°.∴AE∥CF.②20°.5.（202006二模丰台27）（旋转）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明.温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，AB C可以参考下面几种解法的主要思路.解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF=AB，连接EF，可证△ABE△≌CEF，△再证BEF是等腰直角三角形.解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC△∽AME.解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN=a，EN=b，用含a或b的式子表示出AB，BC.……答案：解：（1）正确补全图形：……………………………2 分（2△） ACD 是等腰直角三角形；…………………………………3 分证明：∵将 CA 绕点 C 顺时针旋转 45°，∴∠ACP=45°.∵点 D 与 A 关于直线 CP 对称， ∴∠DCP=∠ACP=45°，AC=CD . ∴∠ACD=90°.△∴ ACD 是等腰直角三角形. ………………………………4 分（3）AB +BC = 2 B E ；………………………………………………5 分解法 1 证明：延长 BC 至点 F ，使 CF = AB ，连接 DF ，EF .△∵ ACD 是等腰直角三角形，AE =DE ，P∴AE =CE ，∠AEC=90°. AE∵∠ABC =90°,∴∠BAE+∠BCE =180°.∵∠FCE +∠BCE =180°, 13 2 D∴∠BAE =∠FCE . B C F△∴ ABE ≌△CFE .……………………………………6 分∴BE =FE , ∠1=∠2.∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°.即∠BEF=90°.△∴ BEF 是等腰直角三角形.………………………7 分∴BC+CF = 2 B E .即 AB +BC = 2 B E .………………………………8 分解法 2 证明：过点 A 作 AM ⊥BE 于点 M ,取 AC 中点 G ，连接 GB ，GE .设∠GBE = α ，∠ABG = β ,∵∠ABC =∠AEC =90°,∴AG=BG=EG=1相等，证明∠ABE=45°）∴AB===2.2AC.∴∠ABG=∠BAC=β,∠GBE=∠GEB=α.△在BGE中，∵∠GBE+∠BGE+∠BEG=180°,∴2α+2β+90︒=180︒.∴α+β=45︒.即∠ABE=45°.……………………………6分（或根据圆的定义判断A，B，C，E在以点G为圆心的圆上，根据同弧CE所对圆周角PA∵∠AMB=90°,ED∴∠BAM=∠CAE=45°.∴∠BAC=∠MAE.G M∵∠ABC=∠AME=90°,B C△∴ABC△∽AME.……………………………………7分BC ACAM ME AE∴BC=又∵AB=2ME. 2BM.∴AB+BC=2(BM+ME)=2BE.………………8分解法3证明：过点A作AM⊥BE于点M,过C作CN⊥BE于点N,∴∠AME=∠CNE=90°.P即∠MAE+∠AEM=90°.A E∵∠MEC+∠AEM=90°.∴∠MAE=∠MEC.N MD∵AE=CE,B C（3）当 ∠ADB = α 时，进一步探究 AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并用含α 的等202006 初三数学几何综合 北京各区二模试题分类整理∴△AME ≌△ECN . ……………………………6 分∴AM=EN .同解法 2，可证∠ABM=∠CBM=45°. ………………………7 分设 BN=a ,EN=b∴BC = 2 a ，AB = 2 b .∴AB +BC = 2( BN + EN ) = 2BE . ………………8 分（说明：三条线段数量关系写为：(AB + BC )2 = 2BE 2 等其他等式如果正确也给分 ）6.（202006 二模东城 27△）在 ABC 中 AB =AC ，∠BAC = α ，D 是△ABC 外一点，点 D 与点 C 在直线 AB 的异侧，且点 D ，A ，E 不共线，连接 AD ， B D ，CD ．（1）如图 1，当 α = 60︒ ，∠ADB =30°时，画出图形，直接写出 AD ，BD ，CD 之间的数量关系；（2）当 α = 90︒ ，∠ADB =45°时，利用图 2，继续探究 AD ，BD ，CD 之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）1 2式直接表示出它们之间的关系．图 1图 2202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理答案：7.（202006二模房山27）（旋转+相似）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰RtΔADC，连接BD，在ΔABD外侧,以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC.（1）如图1，当∠DBA=30︒时：①求证：AC=BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；EDA C B图1（2）如图2，当0°<∠DBA<45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心.过点D作线段BD的垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明三角形∆ADB≌ΔCDG全等解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心.过点D作线段AB的垂线，垂足为点G，连接EG.通过证明ΔADB∽ΔGDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆.过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法，证明EC=EB（一种方法即可）EDA 答案：（1）C B图2①过点D作DF⊥AC于F……………………………………1分∵∠DBA=30︒∴DF=12 BD∵以AC为斜边作等腰RtΔADC ∴AF=FC∴DF=12AC∴AC=BD……………………………………2分②∵等腰RtΔADC与等腰Rt△BED中AC=BD∴DC=DE，∠FDC=∠CDE=45ο∵∠DBA=30︒∴∠FDB=60ο,∠CDB=15ο∴∠CDE=60ο∴ΔCDE是等边三角形……………………………………3分∵EB=DE∴EC=EB……………………………………4分（2）法1.添加辅助线……………………………5分证出ΔADB≌ΔCDG……………………………6分∴∠DCG=∠A=45ο∴∠GCB=90ο∵EG=EB∴EC=EB………………7分法2.添加辅助线………………5分证出ΔADB△ΔGDE…………………6分∴∠DGE=∠A=45ο∴GE平分∠DGC∴GE是DC的中垂线∴ED=EC=EB……………7分法3.添加辅助线………………………5分证出∠EFB=∠EDB=45ο…………6分∴FE是DC的中垂线∴ED=EC=EB……………7分8.（2020朝阳二模27）已知∠AOB=40°，M为射线OB上一定点，OM=1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN=∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．图1解：（1）补全图形，如图所示.备用图（2）证明：根据题意可知，∠MPN=∠AOB=40°，∵∠MP A=∠AOB+∠OMP=∠MPN+∠APN,∴∠APN=∠OMP.（3）解：OH的值为1.在射线P A上取一点G，使得PG=OM，连接GN.根据题意可知，MP=NP.∴△OMP≌△GPN.∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40°.∴PG=OH.∴OP=HG.∴NG=HG.∴∠NHG=70°.∴∠OHN=110°.9.（2020平谷二模27）如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形A BCD补全成为正方形ABCE，就易证ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；△想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM=CF，从而解决问题；想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证.请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MD.(一种方法即可）27.（1）补全图形................................................１（2）60° (2)（3）当∠AMB=75︒时结论成立 (3)证明：想法一：过A作AE⊥CD于E．∵∠B=∠C=∠E=90°AB=BC∴四边形ABCE是正方形 (4)∴AB=AE，∠B=∠E，BC=CE∵MC=DC∴BM=DE∴△ABM≌△AED (5)∴AD=AM∵∠AMB=75°,∠DMC=45°∴∠AMD=60°∴△AMD是等边三角形∴AM=DM (6)(其他证明方法类似给分)三、特殊情况10.（202006二模密云27）（旋转）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN 左侧的一个动点，且满足60°<∠CAN<120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN=60°．图1备用图（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB=∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD=3，并证明．答案：(1)①………………2分202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理②证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°∴∠C=∠DBN∵∠DBN+∠ABD=180°∴∠C+∠ABD=180°在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC=180°∵∠BAC+∠MAC=180°∴∠CDB=∠MAC………………4分(2)BC=3时，对于任意一点C，总有AB+BD=3………………5分证明：连接BC，在直线MN上截取AH=BD，连接CH∵∠MAC=∠CDB，AC=CD∴∆ACH≅∆DCB………6分∴∠ACH=∠DCB，CH=CB∵∠DCB+∠ACB=∠ACD=60°∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60°∴△HCB是等边三角形.∴BC=BH=BA+BD=3.…………………7分。

2024北京大兴区初三二模数学试卷和答案

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2024北京大兴初三二模数 学2024.05考生须知1.本试卷共7页，共28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答、其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A.三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥2.截至2023年12月中旬，2023年全民健身线上运动会已上线199项赛事，累计参赛人数达到2189万，证书总发放量达1731万张.将21890000用科学记数法表示应为（ ）A.621.8910⨯ B.72.18910⨯ C.82.18910⨯ D.90.218910⨯3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）4.如图，A ，B 两点在数轴上表示的数分别是a ，b ，下列结论中正确的是（ ）A.0ab >B.0a b +>C.b a >D.0b a ->5.某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）A.14B.13C.12D.346.若关于x 的一元二次方程2420x x a -+=有两个相等的实数根、则实数a 的值为（ ）A. 3B. 2C. 0D.1-7.如图，点A ，B ，C 在O 上，C 为AB 的中点.若25ABC ∠=︒，则AOB ∠的大小是（ ）A. 130°B. 120°C. 100°D. 50°8.下面的三个问题中都有两个变量：①扇形的圆心角一定；面积S 与半径r ；②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S 与一边长x ；③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题（共16分，每题2分）9.若15x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______.10.分解因式：233x -=______.11.方程2131x x=+的解为______.12.在平面直角坐标系xOy 中，若点()13,A y 和()22,B y 在反比例函数()0ky k x=<的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）.13.若n 边形的每个外角都是60°，则n 的值是______.14.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，AB CD ⊥，连接AC ，OD .若30CAB ∠=︒，2OA =，则CD 的长是______.15.在四边形ABCD 中，ABD CDB ∠=∠，只需添加一个条件即可证明ABD CDB ≌△△，这个条件可以是______（写出一个即可）.16.甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次.甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名。

2023北京西城区初三二模数学试题及参考答案

2023北京西城区初三二模数学试题及参考答案

2023北京西城初三二模数 学考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的视图，则该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 正方体2. 据报道，至2022年，我国已经建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，将1040000000用科学记数法表示应为（ ）A. 810.410⨯ B. 81.0410⨯ C. 91.0410⨯ D. 101.0410⨯3. 方程组3,35x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A. 1,252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B. 5,212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C. 2,1x y =⎧⎨=⎩ D. 1,2x y =⎧⎨=⎩4.小的整数可以是（ ）A. 1B. 3C. 5D. 75. 如图，直线AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线交CD点G ，若116BEF ∠=︒，则EGC ∠的大小是（ ）A. 116︒B. 74︒C. 64︒D. 58︒6. 一个不透明的口袋中有3个红球和1个白球，这四个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是( )A.34B.58C. 12D.147. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则a ，a -，2a ，1a中最大的是( )A. aB. a- C. 2a D.1a8. 下面的三个问题中都有两个变量：①京沪铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度y (单位：km/h )与此次列车的全程运行时间x (单位：h)；②已知北京市的总面积为421.6810km ⨯，人均占有面积y (单位：2km/人)与全市总人口x (单位：人)；③某油箱容量是50L 的汽车，加满汽油后开了200km 时，油箱中汽油大约消耗了14．油箱中的剩油量L y 与加满汽油后汽车行驶的路程km x ．其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式12x -有意义，则实数x 的取值范围是 ________．10. 已知反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围为______．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()34，，设线段OA 与x 轴正方向的夹角为α，则tan α=___________．12. 用一组a ,b 的值说明命题：“若a 2=b 2，则a=b”是错误的，这组值可以是a= _________.，b=______.13. 某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，下表是这三名队员在相同条件下10次射击成绩的数据：甲乙丙平均数8.598.8方差0.250.230.27如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是___________．14. 如图，8070A B ∠=︒∠=︒，，则12∠+∠=___________．15. 如图，在ABC 中，DE BC ∥，4ADE S =△，5DBCE S =四边形，则DEBC的值是___________．16. 下表是某市本年度GDP 前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序)名次12345678910区县A B C D E F G H I J 变化情况↑一↓一↑↓↑↓↓一三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 114cos 4523-⎛⎫-︒+-- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组1212315x x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩，并写出它的所有正整数解．19. 已知：如图1，线段a ，b ．求作：矩形ABCD ，使得AB a =，BC b =．作法：如图2．1．在直线l 上截取AB a =．2．过点B 作直线m l ⊥，在直线m 上截取BC b =．3．分别以点A 和点C 为圆心，b ，a 的长为半径画弧，两弧的交点为D ．(点D 与点C 在直线l 的同侧)4．连接AD CD ，．则四边形ABCD 为所求的矩形．根据上面设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明：证明：∵AD BC b ==，AB DC a ==，∴四边形ABCD 是平行四边形(___________)．(填推理的依据)∵直线m l ⊥，∴ABC ∠=___________︒，∴四边形ABCD 是矩形(___________)．(填推理的依据)．20. 已知250a a +-=，求代数式211a a a a -⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值．21. 关于x 的方程2310x x m -++=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．22. 如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BD DE =；（2）连接OE ，若2AB =，4BC =，求OE 的长．23. 为增强居民的反诈骗意识，A ，B 两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A ，B 小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在8090x ≤<这一组的是：84 85 85 86 86 88 89c ．B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a 中频数分布直方图；（2）A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是___________；B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是___________；（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A ，B 两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．24. 如图，以菱形ABCD 的边AD 为直径作O 交AB 于点E ，连接DB 交O 于点M F ，是BC 上的一点，且BF BE =，连接DF ．（1）求证：DM BM =；（2）求证：DF 是O 的切线．25. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图像与一次函数2y x =的图像交于点(),2A a ．（1）求a ，k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点P 是射线OA 上一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交函数()0k y x x =>的图像于点B ，C ．将线段PB ，PC 和函数()0ky x x=>的图像在点B ，C 之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W ．利用函数图像解决下列问题：①若点P 的横坐标是2，直接写出区域W 内整点个数；②若区域W 内恰有5个整点，直接写出点P 的横坐标P x 的取值范围．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 都在抛物线()2280y axax a =-+<上，且112x -<<，217m x m -<<+．（1）当2m =-时，比较1y ，2y 的大小关系，并说明理由；（2）若存在1x ，2x ，满足12y y =，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，边AB 绕点B 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）得到线段BD ，边AC 绕点C 逆时针旋转180α︒-得到线段CE ，连接DE ，点F 是DE 的中点．（1）以点F 为对称中心，作点C 关于点F 的对称点G ，连接BG DG ，．①依题意补全图形，并证明AC DG =；②求证：DGB ACB ∠=∠；（2）若60α=︒，且FH BC ⊥于H ，直接写出用等式表示的FH 与BC 的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为k ．已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为___________，点M 关于圆O 的特征值为___________；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为s ．当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．【详解】由几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为俯视图是三角形，故该几何体是三棱柱．故选：B ．2. 【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数．【详解】解：将1040000000用科学记数法表示为：91.0410⨯．故选：C ．110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 【答案】C【分析】根据加减消元法进行求解即可．【详解】解：335x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，+①②，得，48,x =解得，2,x =把2x =代入①得，23,y +=解得，1,y =∴方程组的解为：2,1x y =⎧⎨=⎩故选：C【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．4. 【答案】B的大小即可．【详解】解：12,34<<<< ，∴小的整数有：2和3，故选：B ．5. 【答案】D【分析】首先根据角平分线计算出1582BEG BEF ∠=∠=︒，再根据两直线平行内错角相等得出EGC ∠的大小即可．【详解】解：116BEF ∠=︒ ，EG 平分BEF ∠，111165822BEG FEG BEF ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，AB CD ∥ ，58EGC BEG ∴∠=∠=︒，故选：D ．6. 【答案】C【分析】先利用树状图法得出两次摸球所有可能的结果，进而利用概率的计算公式求解即可．【详解】画树状图得所有可能出现的结果数为∶共有12种等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的有6种情况，两次摸出小球的颜色相同的概率是：61122=．故选C ．7. 【答案】D【分析】由数轴可知01a <<，移项和两边除以a 分别得到0a -<，11a>，两边同时乘以a 得到20a a <<，从而得到2101a a a a-<<<<<，由此选出答案．【详解】解：由数轴可知：01a <<，∴0a -<，11a>．又∵01a <<，∴两边乘以a 得：20a a <<，∴2101a a a a-<<<<<，∴a ，a -，2a ，1a 中，最大的是1a．故选：D 8. 【答案】A【分析】分别求出三个问题中变量y 与变量x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：1463y x=，符合题意；②由人均面积等于总面积除以总人口得：41.6810y x⨯=，即16800y x =，符合题意；③由加满汽油后开了200km 时，油箱中汽油大约消耗了14，可知每公里油耗为：()1150200L 416⨯÷=，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：15016y x =-，不符合题意；综上分析可知，变量 y 与变量x 之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．故选：A ．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】2x ≠【分析】根据分式有意义的条件即分母不为0可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：20x -≠，∴2x ≠，故答案为：2x ≠．10. 【答案】1k <【分析】根据反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，可以得到10k -<，然后求解即可．【详解】解： 反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，10k ∴-<，解得：1k <，故答案为：1k <．11. 【答案】43##113【分析】取点()30B ，，则AB x ⊥轴于B ，根据点A 的坐标求出OB 和AB ，根据锐角正切函数的定义求出即可．【详解】取点()30B ，，则AB x ⊥轴于B ，∵点A 的坐标为(3，4)，∴34OB AB ==，，tan α=43AB OB =．故答案为：43．12. 【答案】 ①. 1 ②. 1-【分析】通过a 取1，b 取-1可说明命题“若a 2=b 2，则a=b”是错误的．【详解】解：当a=1，b=-1时，满足a 2=b 2，但a≠b ．故命题错误.故答案为1，-1（答案不唯一）．13. 【答案】乙【分析】根据方差越小越稳定和平均数决策即可．【详解】解：∵乙的平均数最大，方差最小，即乙的成绩好且状态稳定，∴这名队员应是乙．故答案是：乙．14. 【答案】150︒【分析】延长,AD BC 相交于点,E 由三角形内角和定理求出30,E ∠=︒2+150,EDC ∠∠=︒由对顶角相等可得1,EDC ∠=∠ 从而可得结论．【详解】解：延长,AD BC 相交于点,E 如图，∴180,A B E ∠+∠+∠=︒又8070A B ∠=︒∠=︒，，∴180********,E A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒又2+180,EDC E ∠∠+∠=︒∴2+18018030150,EDC E ∠∠=︒-∠=︒-︒=︒又1,EDC ∠=∠∴12150,∠+∠=︒故答案为：150︒．15. 【答案】23【分析】先证明ADE ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE ABC ，∴2445ADE ABC S DE S BC æöç÷==ç÷+èø ，∴23DE BC =，故答案为：23．16. 【答案】 ①. C ②. E 、H 、I 或H 、E 、I ． (二者之一即可)【分析】①C 地GDP 名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C ；② F 地GDP 名次下降，上一年度F 地排第五，G 地GDP 名次上升，上一年度G 地排第九，E 地本年度GDP 排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可．【详解】解：①∵A 地GDP 名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B 地GDP 名次无变化，∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名；同理，C 地GDP 名次下降，只能是第一名下降而来的；∴上一年度排名第1的区县是C ，上一年度排名前四名依次是C B A D 、、、；②F 地GDP 名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F 地排第五，同理，G 地GDP 名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G 地排第九，∵E 地本年度GDP 排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，∴E 地上一年度可能是排第六或者第七(i )若E 地上一年度是排第六，即E 地和F 地的排名交换，∴H 地上一年度是排第七，I 地上一年度是排第八，∴上一年度排名从前往后依次是：C B A D F E H I G J 、、、、、、、、、；(ii )若E 地上一年度是排第七，∵H 地本年度GDP 排第八，GDP 名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，∴H 地上一年度是排第六，I 地上一年度是排第八∴上一年度排名从前往后依次是：C B A D F H E I G J 、、、、、、、、、；∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是E H I 、、或H E I 、、．故答案为： C ；E H I 、、或H E I 、、 (二者之一即可)．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．114cos 4523-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭432=-32=+-1=．18. 【答案】1212x -<≤，，【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答．【详解】解：1212315x x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩①②，由①得：1x >-，由②得：2x ≤，∴原不等式的解集为12x -<≤；∴原不等式所有正整数解为：12，；19. 【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）按照步骤操作即可；（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.【小问1详解】解：补全图形如下：【小问2详解】证明：∵AD BC b ==，AB DC a ==，∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∵直线m l ⊥，∴90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)．故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．20. 【答案】化简为：2a a +，结果值为：5【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案．【详解】解：211a a a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭2211a a a a -=⨯-()()2111a a a a a +-=⨯-2a a =+，250a a +-=25a a ∴+=22115a a a a a a ⎛⎫-∴-÷=+= ⎪⎝⎭．21. 【答案】1m =，12x =，21x =【分析】先根据根的判别式的意义得到()()23410m ∆=--+≥，解不等式，从而得到正整数m 的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】根据题意得()()2Δ3410m =--+≥解得54m ≤所以正整数m 的值为1代入原方程得2320x x -+=即()()210x x --=∴12x =，21x =22. 【答案】（1）见解析 （2）=OE 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC BD =，对边平行可得AD BC ∥，再证明出四边形ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC DE =，从而得证；（2）如图，过点O 作OF CD ⊥于点F ，欲求OE ，只需在直角OEF 中求得OF FE 、的值即可．结合三角形中位线求得OF ，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE 即可．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD AD BC =，∥，又∵DE AC ∥，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴AC DE =，∴BD DE =；【小问2详解】如图，过点O 作OF CD ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴,AC BD =点O 是,AC BD 的中点，4,AD BC ==∴11,,22OC AC OB BD ==∴,OC OB =∴122CF BF BC ===，∴F 点是BC 的中点，∴OF 是BCD △的中位线，∴11,2OF CD ==又∵四边形ADEC 是平行四边形，∴4,CE AD ==．∴246EF CF CE =+=+=．在Rt OEF △中，由勾股定理可得：OE ===．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ADEC 是平行四边形是解题的关键．23. 【答案】（1）见解析 （2）88.5分；94分（3）950份【分析】（1）用20减去第一、二、四、五组的频数即可得到第三组（7080x ≤<）的频数，进而可补全频数分布直方图；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）用样本百分比估计总体数量即可．【小问1详解】第三组（7080x ≤<）的频数为：2011792----=，补全图形如下：【小问2详解】∵20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是第10和11个，∴A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数在8090x ≤<这一组内的第6和7个数据的平均数，即88+89=88.52；B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中出现次数最多的是94分，出现4次，故B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中众数是94分，故答案为：88.5分；94分；【小问3详解】9+3+1+4+1+12000=95020+20⨯（份）答：估计这两个小区的居委会一共需要准备950份小奖品24. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点M 是BD 的中点即可解答；（2）根据菱形的性质及全等三角形的判定得到DBE DBF ≌，再根据全等三角形的性质得到90BFD DEB ∠=∠=︒，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答．【小问1详解】解：连接AM ，∵AD 为O 的直径，∴90AMD ∠=︒，∴AM BD ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD AB =，∴点M 是BD 的中点，∴DM BM =；【小问2详解】解：连接DE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴DBE DBF ∠=∠，180DAB ABC ∠+∠=︒，∴在DBE 和DBF ，BE BF DBE DBF BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBE DBF SAS ≌，∴DEB DFB ∠=∠，∵AD 是O 的直径，∴90AED DEB ∠=∠=︒，∴90BFD DEB ∠=∠=︒，∵180DAB ABC ∠+∠=︒，∴在四边形ABFD 中，180ADF BFE ∠+∠=︒，∴90ADF ∠=︒，∴AD DF ⊥，∴DF 是O 的切线．25. 【答案】（1）1，2（2）①1；②522P x <≤【分析】（1）先根据直线的解析式可求a 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 坐标代入反比例函数的解析式可得k 的值；（2）①先求出点P 坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B 、C 坐标，然后结合函数图像、整点的定义即可得；②由图可知点P 不可能在点A 下方，故点P 在点A上方，结合函数图像列出不等式组求解即可．【小问1详解】解： 函数()0ky x x =>的图像与一次函数2y x =的图像交于点(),2A a ，22a ∴=⨯，即1a =，()1,2A ∴，将()1,2A 代入反比例函数()0k y x x =>中，21k=解得：2k =，故答案为：1a =，2k =；【小问2详解】①由（1）可知反比例函数解析式为()20=>y x x ，点P 是射线OA 上一点，P 的横坐标是2，224y ∴=⨯=()2,4P ∴将2x =代入()20=>y x x ，得1y =将4y =代入()20=>y x x ，得12x = 点P 与 x 轴，y 轴的垂线交函数()0ky x x =>的图像于点B ，C ，()2,1B ∴，1,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，如图：结合函数图像可知，区域W 内有1个整数点；②区域W 内恰有5个整点，由图可知点P 只能位于A 的上方如图：如图，当P 的纵坐标为5时，横坐标为522y x ==，结合图像可知，当522P x <≤时，区域内有5个整数点．26. 【答案】（1）12y y >，理由见解析 （2）1m >【解析】【分析】（1）当2m =-时，235x <<，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据1x ，2x 的大小判断与对称轴的距离，结合0<a ，即可得出答案；（2）根据题意可知满足12y y =，即1x 与2x 关于对称轴1x =对称，当112x -<<时，则2x 的最小值要比12x =时的对称点0小，2x 的最大值要比11x =-时的对称点3大，解不等式组即可．【小问1详解】12y y >；理由：∵()222818y ax ax a x a =-+=-+-，∴抛物线的对称轴是直线1x =当2m =-时，235x <<∵112x -<<，235x <<，对称轴是直线1x =∴1x 比2x 离对称轴近∵0<a ，抛物线开口向下∴12y y >【小问2详解】∵12y y =∴1x 与2x 关于对称轴1x =对称∵112x -<<∴203x <<即1073m m -<⎧⎨+>⎩解得1m >27. 【答案】（1）①补全图形见解析，证明见解析；②见解析（2）FH BC =【解析】【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明DFG EFC ≅ ，推出DG CE =，然后结合旋转的性质可得结论；②根据对称的性质可证明BDG BAC ≅ ，可得结论；（2）连接,AD BF ，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得BGC 是等边三角形，可得60BCF ∠=︒，再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论．【小问1详解】①依题意补全图形如图所示：证明：∵点F 是DE 的中点，∴DF EF =，∵点C 关于点F 的对称点为G ，∴CF GF =，又∵=DFG EFC ∠∠，∴DFG EFC ≅ ，∴DG CE =，由旋转的性质可得：AC CE =，∴AC DG =；②证明：∵点C 关于点F 的对称点为G ，∴BG BC =，∵,BD BA DG AC ==，∴BDG BAC ≅ ，∴DGB ACB ∠=∠；【小问2详解】解：连接,AD BF ，如图，由题意得60DBA α∠==︒，∵BDG BAC ≅ ，∴DBG CBA ∠=∠，∴60GBC DBA ∠=∠=︒，∵BG BC =，∴BGC 是等边三角形，∴60BCF GBC ∠=∠=︒，∵点F 是CG 的中点，∴1,302BF CG CBF CBG ⊥∠=∠=︒，∴12CF BC =，∵FH BC ⊥，60BCF ∠=︒，∴sin 60FH CF BC =⋅︒==；∴FH 与BC 的数量关系是FH BC =．28. 【答案】（1） 3（2）b b ≤≤b ≤≤（3）21t -≤≤+【分析】（1）设经过点M 的直线与O 交于E 、F 两点，过点O 作OH EF ⊥于H ，连接OM OE ，，利用垂径定理得到2EF EH =，由勾股定理可得当OH 最大时，EH 最小，即此时EF 最小，求出OM =，再由OH OM ≤，得到当点H 与点M 重合时，OH ，即可求出EF 的最小值为，则被圆O 截得的弦长取值范围为4x ≤≤，再由被圆O 截得的弦长为3的弦有2条，被圆O 截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M 关于圆O 的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O 的特征值为4的所有点都在以O 为圆心，为半径的圆周上，分当0b >时和当0b <时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q ，经过O 、Q 的直线与圆O 截得的弦（直径）都为4，则点Q 关于圆O 的特征值不可能为0，由此可得0rs ≠，则12r s =⎧⎨=⎩或21r s =⎧⎨=⎩；经过点S 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S 一定在以O 为圆为半径的圆上，同理点R 一定在以T O 为圆心，2为半径的圆与以T O 为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆有交点时t 的值符合题意，由此求解即可．【小问1详解】解：设经过点M 的直线与O 交于E 、F 两点，过点O 作OH EF ⊥于H ，连接OM OE ，，∴2EF EH =，在Rt OEH △中，由勾股定理得EH ==∴当OH 最大时，EH 最小，即此时EF 最小，∵点M 的坐标为()11，，∴OM ==又∵OH OM ≤，∴当点H 与点M 重合时，OH ，∴此时EH =，∴EF 的最小值为∵过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最大值为4（直径），∴被圆O 截得的弦长取值范围为4x ≤≤，∴被圆O 截得的弦长为正整数的只有是3或4，∵被圆O 截得的弦长为3的弦有2条，被圆O 截得的弦长为4的弦只有1条，∴点M 关于圆O 的特征值为3，故答案为：，3；【小问2详解】解：设点G 是圆O 的特征值为4的点，由（1）可知经过一点G 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，∵特征值要保证为4，∴经过点G 且弦长为2的直线有且只有1条，∴经过点G 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为2，=，∴由（1）可知，关于圆O 的特征值为4的所有点都在以O∵直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，∴()0A b -，，()0B b ，，∴OA OB b ==，∴45OBH ∠=︒当0b >时，∵线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，∴线段AB 与以O当线段AB 与以O H ，连接OH ，则OH =，∴OB ==，∴1b =将以O y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得2b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤；综上，b b ≤≤或b ≤≤【小问3详解】：∵同一平面内，对于任意一点Q ，经过O 、Q 的直线与圆O 截得的弦（直径）都为4，∴点Q 关于圆O 的特征值不可能为0，∴0rs ≠，∵3r s +=，且r 、s 都是整数，∴12r s =⎧⎨=⎩或21r s =⎧⎨=⎩；当12r s =⎧⎨=⎩时，∴经过点S 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，∴由（2）可知点S 一定在以O =为半径的圆上，同理当21r s =⎧⎨=⎩时，点R 一定在以T =∴当满足以O 为圆心，2为半径的圆与以T O 为圆为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆有交点时t 的值符合题意；如图3-1所示，当以O 为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆外切时，此时11t =+；如图3-2所示，当以O 为圆心，2为半径的圆与以T 为半径的圆外切时，此时22t =-综上所述，当21t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=．。

5、2020年北京初三数学二模分类汇编：作图(教师版)

5、2020年北京初三数学二模分类汇编：作图(教师版)

作图（2020 海淀二模） 19.下面是小王同学 “过直线外一点作该直线的平行线 ”的尺规作图过程 . 已知：直线 l 及直线 l 外一点 P . 求作：直线 PQ ，使得 PQ//l.作法：如图，Pl① 在直线 l 外取一点 A ，作射线 AP 与直线 l 交于点 B ，② 以 A 为圆心， AB 为半径画弧与直线 l 交于点 C ，连接 AC ， ③ 以 A 为圆心，AP 为半径画弧与线段 AC 交于点 ，Q则直线 PQ 即为所求 .APQBCl根据小王设计的尺规作图过程，（ 1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（ 2）完成下面的证明． 证明：∵ AB=AC ，∴∠ABC = ∠ACB ，（ __________ _等边对等角 _________ ）.（填推理的依 据）∵AP =___ AQ . ______, ∴∠APQ = ∠AQP .∵∠ABC + ∠ACB+∠A =180 °，∠APQ + ∠AQP+∠A =180 °，∴∠APQ =∠ABC.∴PQ∥BC（____ _同位角相等，两直线平行. ___ ____________ ） .（填推理的依据）即 PQ//l.（2020 西城二模）20.下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：A已知：△ABC.B CD求作：点 D，使得点 D 在 BC 边上，且到 AB，AC 边的距离相等 .作法：如图，作∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D.则点 D 即为所求 .根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹 )；（2）完成下面的证明 .证明：作DE⊥AB 于点 E，作 DF ⊥AC 于点 F，∵AD 平分∠BAC，∴DE = DF(角平分线上的点到角两边的距离相等.) (填推理的依据 ) .（ 2020 燕山二模）19 ．如图，△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线AE交BC于点E．(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)求证：∠BCD＝∠CAE．(2)证明：∵ AB＝BC，∴∠B＝∠ACB．又∵AE 是∠BAC 的平分线，∴ AE⊥BC，ADB E C∴ ∠ACB＋∠CAE＝90°．∵CD⊥ AB，∴ ∠B＋∠BCD ＝90°，∴ ∠BCD＝∠CAE．（2020 房山二模）16. 下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠ A，使得∠ A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB 上取一点O，以 O 为圆心， OA 为半径作圆，与射线A B 相交于点C；（3）以 C 为圆心， OC 为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠ DAB 即为所求的角．A B请回答：该尺规作图的依据是_同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的内角是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半. （直径所对的圆周角是直角，正弦定义，三角函数值）．（2020 顺义二模）20．下面是小东设计的“以线段AB 为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．已知：线段 AB．求作：菱形 ACBD ．D作法：如图，A BC图1①以点 A 为圆心，以AB 长为半径作⊙ A；②以点 B 为圆心，以AB 长为半径作⊙ B，交⊙A 于 C，D 两点；③连接 AC， BC，BD ，AD．所以四边形ACBD 就是所求作的菱形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点 B, C, D 在⊙ A 上，∴AB=AC=AD (同圆半径相等)（填推理的依据）．同理∵点 A, C, D 在⊙B 上，∴AB=BC=BD ．∴AC =BC =BD=AD.∴四边形 ACBD 是菱形 . (四条边相等的四边形是菱形) （填推理的依据）．（2020 密云二模）15.已知：点 A、点 B 在直线 MN 的两侧．（点 A 到直线 MN 的距离小于点 B 到直线 MN 的距离）．如图，（1）作点 B 关于直线 MN 的对称点 C；1BC2（2）以点 C 为圆心，的长为半径作⊙ C，交BC于点E；（3）过点 A 作⊙ C 的切线，交⊙ C 于点 F，交直线 MN 于点 P；（4）连接 PB、 PC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：① PE 是⊙ C 的切线；② PC平分EF；③ PB=PC=PF ；④ ∠APN= 2∠BPN．所有正确结论的序号是．①②④；．（2020 丰台二模）17．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.已知：⊙ O 和圆外一点P．求作：过点P 的⊙ O 的切线．作法：①连接 OP；②以 OP 为直径作⊙M，交⊙ O 于点 A，B；③作直线 PA，PB ；所以直线PA，PB 为⊙O 的切线 .根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.证明：连接OA， OB.∵OP 为⊙ E 的直径，∴∠OAP=∠OBP = 90 . °（直径所对的圆周角是直角）.∴OA⊥AP ， OB ⊥BP.∵OA， OB 为⊙ O 的半径，∴直线 PA，PB 为⊙ O 的切线 .（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） . 5 分（2020 平谷二模）19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线 l 和直线外一点P．求作：过点 P 作直线 l 的平行线．作法：如图，①在直线 l 上任取点 O；②作直线 PO；③以点 O 为圆心 OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线l 于点B；④连接 AB，以点 B 为圆心， BA 长为半径画弧，交⊙O于点 C(点 A 与点 C 不重合）；⑤作直线 CP；则直线 CP 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP∵ AB=BC∴AB BC∴ ∠ _CPB__=∠ _APB___， (3)又∵ OB=OP ，∴ ∠ APB= ∠ OBP， (4)∴ ∠ CPB= ∠OBP，∴ CP∥l （___内错角相等两直线平行）5（2020 东城二模）17．下面是“作一个 45°角”的尺规作图过程．缺图已知：平面内一点A．求作：∠ A，使得∠ A 45°．作法：如图，1○作射线AB；2○在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点 C；3 1 D，作○分别以 A， C为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点2射线 OD交e O于点 E；4○作射线AE.则∠ EAB即为所求的角.（1）使用直尺和圆规，补全图形； ( 保留作图痕迹 )（2）完成下面的证明 .证明 :∵AD=CD，AO=CO,∴∠AOE=∠COE = 90°.∴∠EAB=45°.(一条弧所对的圆周角是圆心角的一半)(填推理的依据)（2020 朝阳二模）19. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知 : 直线l及直线l外一点P .求作 : 直线PQ，使得PQ / / l .作法 : 如图，①任意取一点K ，使点 K 和点 P 在直线l的两旁;②以 P 为圆心， PK 长为半径画弧，交l 于点A, B，连接AP;③分别以点 P, B 为圆心，以AB, PA 长为半径画弧，两弧相交于点P (点Q和点 A在直线 PB 的两旁);④作直线 PQ .所以直线 PQ 就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形 ;( 保留作图痕迹 )(2)完成下面的证明 .证明: 连接BQ ,QPQ AB，BQ PA，∴四边形 PABQ 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)( 填推理依据 )PQ / /l .（2020 门头沟二模）缺图20 ．下面是小明同学设计的“ 过直线外一点作已知直线的平行线” 的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P．P 求作：直线PQ，使直线 PQ∥直线 l．l作法：如图2，图 1①在直线 l 上任取一点 A，作射线 AP；②以 P为圆心， PA为半径作弧，交直线l 于点 B，连接 PB；③以 P 为圆心， PB长为半径作弧，交射线AP于点 C；分别以 B， C 为圆心，大于1BC 长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点Q；2④作直线；PQP所以直线 PQ就是所求作的直线．lA根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；（2）完成下面的证明：图 2 证明：由作图可知PQ平分∠CPB，∴∠CPQ =∠BPQ =1∠CPB．2又∵PA= PB，∴∠PAB =∠PBA．（等边对等角）（填依据1）．∵∠CPB=∠PAB +∠PBA，∴∠PAB =∠PBA =1∠CPB．2∴∠CPQ =∠PAB．∴直线 PQ∥直线 l．（同位角相等，两直线平行）（填依据2）．。

2024届北京海淀人大附中考二模数学试题含解析

2024届北京海淀人大附中考二模数学试题含解析

2024届北京海淀人大附中考二模数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（2011•黑河）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个2．若※是新规定的某种运算符号，设a※b=b 2 -a，则-2※x=6中x的值（）A．4 B．8 C． 2 D．-23．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B 向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）．A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定4．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．如图，正方形被分割成四部分，其中I、II为正方形，III、IV为长方形，I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍，若II的边长为2，且I的面积小于II的面积，则I的边长为（）A ．4B ．3C ．423-D ．423+6．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ） A ．49 B ．112 C ．13 D ．167．如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，∠ABG ＝46°，则∠FAE 的度数是（ ）A ．26°．B ．44°．C ．46°．D ．72°8．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，﹣1），C （﹣2，﹣1），D （﹣1，1）．以A 为对称中心作点P （0，2）的对称点P 1，以B 为对称中心作点P 1的对称点P 2，以C 为对称中心作点P 2的对称点P 3，以D 为对称中心作点P 3的对称点P 4，…，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是（ ）A ．（2010，2）B ．（2010，﹣2）C ．（2012，﹣2）D ．（0，2）10．如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是（ ）A ．4的算术平方根B ．4的立方根C ．8的算术平方根D ．8的立方根二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知图中Rt △ABC ，∠B=90°,AB=BC,斜边AC 上的一点D ，满足AD=AB ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α （0°<α<360°），得到线段AC’，连接DC’，当DC’//BC 时，旋转角度α 的值为_________,12．如图所示，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，连接AE 、AF 、CE 、CF ，添加 __________条件，可以判定四边形AECF 是平行四边形．（填一个符合要求的条件即可） 13．如图，⊙O 的半径为1cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分面积为_____cm 1．（结果保留π）14．一个不透明的口袋中有5个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是红球的概率是_____．15．若分式22x x 的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 16．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．17．如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）若tan E=12，⊙O的半径为3，求OA的长．19．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．20．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE，AC（1）求证：四边形ACDE为平行四边形；（2）连接CE交AD于点O，若AC=AB=3，cosB=13，求线段CE的长．21．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．（1）求一次函数，反比例函数的表达式；（2）求证：点C为线段AP的中点；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．22．（10分）尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．已知：如图，线段a，h．求作：△ABC，使AB=AC，且∠BAC=∠α，高AD=h．23．（12分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．治理杨絮一一您选哪一项？（单选）A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树C．选育无絮杨品种，并推广种植D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮E．其他根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民共有人；（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．24．（14分）科技改变世界．2017年底，快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确地放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹．没电的时候还会自己找充电桩充电．某快递公司启用80台A种机器人、300台B种机器人分拣快递包裹．A，B两种机器人全部投入工作，1小时共可以分拣1.44万件包裹，若全部A种机器人工作3小时，全部B种机器人工作2小时，一共可以分拣3.12万件包裹．（1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；（2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A，B两种机器人共200台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于7000件，求最多应购进A种机器人多少台？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac＞0；故①正确；②根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a＞0；故②正确；=1，③又对称轴x=-b2a∴b＜0，2a∴b＜0；故本选项错误；④该函数图象交于y 轴的负半轴，∴c ＜0；故本选项错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y ＜0，所以当x=3时，也有y ＜0，即9a+3b+c ＜0；故⑤正确．所以①②⑤三项正确．故选B ．2、C【解题分析】解：由题意得：226x +=，∴24x =，∴x =±1．故选C ． 3、C【解题分析】因为R 不动，所以AR 不变．根据三角形中位线定理可得EF= 12AR ，因此线段EF 的长不变． 【题目详解】如图，连接AR ，∵E 、F 分别是AP 、RP 的中点，∴EF 为△APR 的中位线，∴EF= 12AR ，为定值． ∴线段EF 的长不改变．故选：C ．【题目点拨】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR 不变，则对应的中位线的长度就不变．4、A【解题分析】解：∵四边形ABCO 是平行四边形，且OA=OC ，∴四边形ABCO 是菱形，∴AB=OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵BD 是⊙O 的直径，∴点B 、D 、O 在同一直线上，∴∠ADB=12∠AOB=30° 故选A ．5、C 【解题分析】设I 的边长为x ，根据“I 、II 的面积之和等于III 、IV 面积之和的2倍”列出方程并解方程即可．【题目详解】设I 的边长为x根据题意有2222(22)x x x +=+解得423x =-或423x =+（舍去）故选：C ．【题目点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．6、C【解题分析】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：2163=. 故选C.【题目点拨】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．7、A【解题分析】先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【题目详解】解：∵图中是正五边形．∴∠EAB＝108°．∵太阳光线互相平行，∠ABG＝46°，∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°．故选A．【题目点拨】此题考查平行线的性质，多边形内角与外角，解题关键在于求出∠EAB.8、B【解题分析】根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．【题目详解】A、总人数是：25÷50%=50（人），故A正确；B、步行的人数是：50×30%=15（人），故B错误；C、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确；D、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D正确．由于该题选择错误的，故选B．【题目点拨】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．9、B【解题分析】分析：根据题意，以A为对称中心作点P（0，1）的对称点P1，即A是PP1的中点，结合中点坐标公式即可求得点P1的坐标；同理可求得其它各点的坐标，分析可得规律，进而可得答案．详解：根据题意，以A为对称中心作点P（0，1）的对称点P1，即A是PP1的中点，又∵A的坐标是（1，1），结合中点坐标公式可得P1的坐标是（1，0）；同理P1的坐标是（1，﹣1），记P1（a1，b1），其中a1=1，b1=﹣1．根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a1，﹣1﹣b1），P4（1+a1，4+b1），P5（﹣a1，﹣1﹣b1），P6（4+a1，b1），令P6（a6，b1），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b1），即P10（4×1+a1，b1），∵1010=4×501+1，∴点P1010的坐标是（1010，﹣1），故选：B．点睛：本题考查了对称的性质，坐标与图形的变化---旋转，根据条件求出前边几个点的坐标，得到规律是解题关键．10、C【解题分析】解：由题意可知4的算术平方根是2，4的算术平方根是2<，8的立方根是2，故根据数轴可知,故选C二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、15或255°【解题分析】如下图，设直线DC′与AB相交于点E，∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，DC′//BC，∴∠AED=∠ABC=90°，∠ADE=∠ACB=∠BAC=45°，AB=2AC，∴AE=2AD，又∵AD=AB，AC′=AC，∴AC=12 AC′，∴∠C′=30°，∴∠EAC′=60°，∴∠CAC′=60°-45°=15°，即当DC′∥BC时，旋转角α=15°；同理，当DC′′∥BC时，旋转角α=180°-45°-60°=255°；综上所述，当旋转角α=15°或255°时，DC′//BC.故答案为：15°或255°.12、BE=DF【解题分析】可以添加的条件有BE=DF等；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.∴AE=CF，∠AEB=∠CFD.∴∠AEF=∠CFE.∴AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）故答案为BE=DF．π13、6【解题分析】试题分析：根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．试题解析：如图所示：连接BO，CO，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=1，∠ABC=110°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中{BWA OWC BAW OCW AB CO∠=∠∠=∠=，∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=26013606ππ⨯=．考点：正多边形和圆．14、5 8【解题分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【题目详解】解：由于共有8个球，其中红球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是58．故答案为58．【题目点拨】本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．15、x＞0【解题分析】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.【题目详解】∵分式2xx2+的值为正，∴x与x2+2的符号同号，∵x2+2>0，∴x>0，故答案为x>0.【题目点拨】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键.16、14．【解题分析】试题分析：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率=14．故答案为14．考点：列表法与树状图法．17、4【解题分析】试题分析：根据BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，和EF∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出BE=DE，DF=FC．然后即可得出答案．解：∵在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EBD=∠DBC=∠EDB，∠FCD=∠DCB=∠FDC，∴BE=DE，DF=EC，∵EF=DE+DF，∴EF=EB+CF=2BE，∵等边△ABC的边长为6，∵EF∥BC，∴△ADE是等边三角形，∴EF=AE=2BE，∴EF==，故答案为4考点：等边三角形的判定与性质；平行线的性质．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）AB与⊙O的位置关系是相切，证明见解析；（2）OA=1．【解题分析】（1）先判断AB与⊙O的位置关系，然后根据等腰三角形的性质即可解答本题；（2）根据题三角形的相似可以求得BD的长，从而可以得到OA的长．解：（1）AB与⊙O的位置关系是相切，证明：如图，连接OC．∵OA=OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）∵ED是直径，∴∠ECD=90°．∴∠E+∠ODC=90°．又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC．∴BC BD CD BE BC EC==.∴BC2=BD•BE．∵1 tan2E∠=，∴12 CDEC=．∴12 BD CDBC EC==．设BD=x，则BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x（x+6）．解得x1=0，x2=2．∵BD=x＞0，∴BD=2．∴OA=OB=BD+OD=2+3=1．本题考查直线和圆的位置关系、等腰三角形的性质、三角形的相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19、（1）如图所示见解析；（2）四边形OCED是菱形．理由见解析.【解题分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA=DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB，故DE=CE，由此可得出结论．【题目详解】（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA=DE，OB=CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴DE=CE，∴四边形OCED是菱形．【题目点拨】本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.20、（1）证明见解析；（2）2【解题分析】（1）已知四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，又因AE=AB，可得AE=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ACDE 是平行四边形；（2）连接EC，易证△BEC 是直角三角形，解直角三角形即可解决问题.【题目详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE=CD，∵AE∥CD，∴四边形ACDE 是平行四边形．（2）如图，连接EC．∵AC=AB=AE，∴△EBC 是直角三角形，∵cosB==，BE=6，∴BC=2，∴EC===4．【题目点拨】本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21、（1）y＝x＋1. （2）点C为线段AP的中点. （3）存在点D，使四边形BCPD为菱形，点D（8，1）即为所求.【解题分析】试题分析：（1）由点A与点B关于y轴对称，可得AO＝BO，再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b 的值，确定出一次函数解析式；(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可证得结论；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD 为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，分别连结PD、BD，如图所示，即可得点D（8，1），BP⊥CD，易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐标．试题解析：∵A(－4，0)，∴B(4，0)，∴P(4，2),把P(4，2)代入y＝得m＝8，∴反比例函数的解析式：y＝把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b得：，解得：，所以一次函数的解析式：y＝x＋1.（2）∵点A与点B关于y轴对称，∴OA=OB∵PB丄x轴于点B，∴∠PBA=90°，∵∠COA=90°，∴PB∥CO，∴点C为线段AP的中点.（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形∵点C为线段AP的中点，∴BC=，∴BC和PC是菱形的两条边由y＝x＋1，可得点C(0，1)，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，分别连结PD、BD，∴点D（8，1），BP⊥CD∴PE＝BE＝1，∴CE＝DE＝4，∴PB与CD互相垂直平分，∴四边形BCPD为菱形.∴点D（8，1）即为所求.22、见解析【解题分析】作∠CAB=∠α，再作∠CAB的平分线，在角平分线上截取AD=h，可得点D，过点D作AD的垂线，从而得出△ABC．【题目详解】解：如图所示，△ABC即为所求．【题目点拨】考查作图-复杂作图，掌握做一个角等于已知角、作角平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的基本作图和等腰三角形的性质是解题的关键．23、（1）2000；（2）28.8°；（3）补图见解析；（4）36万人.【解题分析】分析：（1）将A选项人数除以总人数即可得；（2）用360°乘以E选项人数所占比例可得；（3）用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；（4）用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得．详解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×1602000=28.8°，（3）D选项的人数为2000×25%=500，补全条形图如下：（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24、（1）A种机器人每台每小时各分拣30件包裹，B种机器人每台每小时各分拣40件包裹（2）最多应购进A种机器人100台【解题分析】（1）A种机器人每台每小时各分拣x件包裹，B种机器人每台每小时各分拣y件包裹，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设最多应购进A种机器人a台，购进B种机器人（200−a）台，由题意得，根据题意两不等式即可得到结论．【题目详解】（1）A种机器人每台每小时各分拣x件包裹，B种机器人每台每小时各分拣y件包裹，由题意得，80300 1.4410000{3802300 3.1210000x yx y+=⨯⨯+⨯=⨯，解得，3040xy=⎧⎨=⎩，答：A种机器人每台每小时各分拣30件包裹，B种机器人每台每小时各分拣40件包裹；（2）设最多应购进A种机器人a台，购进B种机器人（200﹣a）台，由题意得，30a+40（200﹣a）≥7000，解得：a≤100，则最多应购进A种机器人100台．【题目点拨】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．。

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图形的剪拼问题1.（大兴22）阅读材料1：把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割——重拼”．如图1，一个梯形可以分割——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割——重拼为一个正方形．（1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；阅读材料2：如何把一个矩形ABCD（如图6）分割——重拼为一个正方形呢？操作如下：①画辅助图:作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M 作MI⊥OX，与半圆交于点I；②如图6，在CD上取点F，使AF＝MI ，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形EBHG是正方形.22.(1)图①图②图③图④分割正确，且画出的相应图形正确……………………………………………………2分（2）证明：在辅助图中，连接OI、NI．∵ON是所作半圆的直径，∴∠OIN＝90°．∵MI⊥ON，∴∠OMI＝∠IMN＝90°且∠OIM＝∠INM．∴△OIM∽△INM．∴OMIM＝IMNM．即IM 2＝OM·NM．………………3分∵OM=AB，MN=BC∴IM 2 = AB·BC∵AF=IM∴AF 2＝AB·BC=AB·AD．∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AF，∴DC∥AB，∠ADF＝∠BEA＝90°．∴∠DFA＝∠EAB．∴△DFA∽△EAB．∴ADBE＝AFAB．即AF·BE＝AB·AD=AF 2．∴AF＝BE．……………………4分∵AF=BH∴BH＝BE．由操作方法知BE∥GH，BE＝GH．∴四边形EBHG是平行四边形．∵∠GEB＝90°，∴四边形EBHG是正方形．………………………5分2.（怀柔22）阅读下面材料：在数学课上，李老师给同学们提出两个问题：①“谁能将下面的任意三角形分割后，再拼成一个矩形”；②“谁能将下面的任意四边形分割后，再拼成一个平行四边形”.. 经过小组同学动手合作，第3组的小亮同学向大家展示了他们组的分割方法与拼接方案，如图1和图2所示；图⑤图⑥图⑦图⑧图⑨请你参考小亮同学的做法,解决下列问题： （1）“请你将图3再设计一种分割方法，沿分割线剪开后所得的几块图形恰好也能拼成一个矩形”； （2）“请你设计一种方法，将图4分割后，再拼成一个矩形”.22．答案：（说明：本题分割方法不唯一）(1)…………………2分方法一、方法二、方法三、 方法四、（2） ……5分方法一、 方法二、 图形的面积问题3.（房山22）⑴阅读下面材料并完成问题： 已知：直线AD 与△ABC 的边BC 交于点D ，①如图1，当BD=DC 时，则S △ABD________S △ADC ．(填“=”或“＜”或“＞”)DBCADBCABCAD图1 图2 图3②如图2，当BD=21DC 时，则=∆ABD S ADC S∆ ．图3 图4③如图3，若AD ∥BC,则有ABC S ∆ DBC S ∆ ．(填“=”或“＜”或“＞”)⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题： 过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）22．①=--------------------------------------1分②21--------------------------------------2分③=--------------------------------------3分 ⑵FEBCADDE ∥AC 交BC 延长线于点E E 为F 为BE 三等分点 过E 作FG ∥BD 交DC 于点E ，BC 于G 则直线AF 为所求 则直线DG 为所求 --------------------------------------5分 4.（西城区22） 阅读下列材料 小华在学习中发现如下结论：如图1，点A ，A1，A2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，BCA BC A ABC S S S 21∆∆∆==.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC ，画出一个等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等；(2)如图3，已知△ABC ，画出两个Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；(3)如图4，已知等腰△ABC 中，AB=AC ，画出一个四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积B C AD Bl相等，且一组对边DE=AB ，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B. 图 2图3 图422.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D1BC ，△D2BC ，△D3BC ，△D4BC ，△D5BC 中的一个即可.（将BC 的平行线l 画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) ﹍﹍ 2分上符合要求的点，或将BC 的平行线画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 (3) 如图所示(答案不唯一).﹍﹍﹍ 5分如上图所示的四边形ABDE 的画法说明：(1)在线段BC 上任取一点D （D 不为BC 的中点），连结AD ；(2)画出线段AD 的垂直平分线MN ；(3)画出点C 关于直线MN 的对称点E ，连结DE ，AE. 则四边形ABDE 即为所求.5.（平谷22）在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm ，宽为14cm 的长方形纸上剪下一个腰为12cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图，请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图，并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小（含小明的设计方案示意图）.22．图2图1A'B正确画出图形2分图（1）272AEFS cm∆=； (3)分图（2）2AEFS∆=；..................................................4分图（3）2AEFS∆=.比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最小. ...............5分图形变换操作题6.（延庆22）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

B为旋转A’BC,,此题可解（如图2）．如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）解：（1）AP的最大值是：6（2）AP+BP+CP 的最小值是：6222+（或不化简为31632+）…………4分7.（石景山22）阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB .（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD 的面积. 解：22. 解：（1）150° …………………1分 (2) 如图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°，使点D 与点B 重合，………2分D CBA 图⑴ 图⑵ 图⑶O C BA得到△O AB '，连结O C '. 则△O AC '是等边三角形，可知4,5'===='DC BO CA O C ，ADC ABO ∠=∠'……………3分 在四边形ABCD 中，︒=∠-∠-︒=∠+∠270360DCB DAB ABC ADC ,)(360''ABO ABC BC O ∠+∠-︒=∠∴ ︒=︒-︒=90270360．……………4分 34522=-=∴BC6432543215432''-=⨯⨯-⨯=-=∴∆∆BCO ACO ABCD S S S 四边形．………………5分8.（顺义22）阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3O 'DCBA图3M P CB A22．解：图2中∠APB 的度数为 135° ．……………… 1分（1）如图3，以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的 一个三角形是 △APM ．（含画图）………… 2分（2）以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55° ．……………… 5分9．（丰台22）小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD 中，A E⊥BC 于点E ，A F⊥CD 于点F ，连结EF ，△AEF 的三条高线交于点H ，如果AC=4，EF=3，求AH 的长． 小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH 平移至△G CF 的位置(如图2)，可以解决这个问题． 请你参考小杰同学的思路回答： （1）图2中AH 的长等于 ．（2）如果AC=a ，EF=b ，那么AH 的长等于 ．BADCEFHGHFECDAB图1 图2 ．解：（1；……3分（2．……5分特殊三角形10.（门头沟22） 数学课上，同学们探究发现：如图1，顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明.（1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图2、图3也具有这种特性．请你在 图2、图3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，图 136︒CA图 245︒45︒图 336︒36︒也不是直角三角形．） 类比学习11.（昌平22）类比学习：有这样一个命题：设x 、y 、z 都是小于1的正数，求证：x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1．小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC ，并分别在其边上截取AD=x ，BE=z ，CF=y ，设△ADF 、△CEF 和△BDE 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则 112S x y =（1-）sin60， 212S y z =（1-）sin60，312S z x =（1-）sin60．由1S +2S +3S ＜ABC S ∆，得 12x y （1-）sin60+12y z （1-）sin60+12z x （1-）sin60所以 x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1． 类比实践：已知正数a 、b 、c 、d ，x 、y 、z 、t 满足a x +=b y +=c z +=d t +=k ． 求证：ay ＋bz ＋ct ＋dx ＜22k ．22．证明：如图，作边长为k 正方形ABCD ．…………1分并分别在各边上截取： AE=a ，DH=b ,CG=c ,BF=d , ∵ ax b y c z d tk ，∴ BE=x ，AH=y ,DG=z ，CF=t . …………………2分 ∵ 90AB C D,∴112S ay ，212S dx ，312S ct ，412S bz．………3分∵1234ABCDS S S S S 正方形,B y t dc b a S 4H x S 3S2S 1FDAB CE z∴ 211112222aydx ct bz k . ∴ 22ay bz ct dx k ． …………………5分12.（海淀22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1 图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC 中, E1、E2、E3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P2, M 1、M2, N1、N2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点.（1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) ……………2分 图3（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………4分13.（密云22）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．E 3 E 1 2 P 1 P 2 N 1N 2 2 M 1B A 图3 G F H（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．22．（本小题满分5分）证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,，∵EP 平分DEC ∠，∴PH PJ =． -----------------------------------------1分同理 PI PG =．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； ---4分②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分14.（东城区22） 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i3=i2·i=-1×i=-i ，则i4= ， i2011=______________，i2012=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．15.（通州25附加题）问题情境已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型 设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x =+＞．探索研究（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x =+＞的图象性质．①填写下表，画出函数的图象：②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y = ax2＋bx ＋c （a ≠ 0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到，请你通过配方求函数1y x x =+(x ＞0)的最小值．解决问题（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．25.选作题解：⑴ ①174，103，52，2，52，103，174． 函数1y x x =+(0)x >的图象如图．………………………………………(1分) x …… 14 13 12 1 2 3 4 …… y …… ……，， ……………………………………（3分）②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1y x x =+(0)x >的最小值为2． ………………………(5分) ③1y x x =+=221()()x x +=22111()()22x x x x x x +-⋅+⋅………………………………………(7分) =21()2x x -+当1x x -=0，即1x =时，函数1y x x =+(0)x >的最小值为2．…(8分) ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ………(10分)。

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