第十七章多元函数微分学习题课

第十七章 多元函数微分学习题课

一 疑难问题与注意事项

1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义：

1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，0

()

lim

0o ρρρ

→=；

2）00000

[(,)(,)]

lim

0x y z f x y x f x y y ρρ

→∆-∆+∆=；

3）,

y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα()()

()()

,0,0,0,0lim

lim 0x y x y αβ∆∆→∆∆→=

=．

2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结：

答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）：

0000000

(,)(,)

(,)lim

x x f x x y f x y f x y x

∆→+∆-=∆，

0000000

(,)(,)

(,)lim

y y f x y y f x y f x y y

∆→+∆-=∆.

2）转化为一元函数的导数：

()0

000,(,)x x x

df x y f x y dx ==，()

000,(,)y y y df x y f x y dy ==

.

例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 ()

()211

,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx

====

=.

3）先求偏导函数，在代值，即

()0

00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0

00(,)

(,)(,)y y x y f x y f x y =.

3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：

答 1）求

z

x

∂∂，把y 当常数，对x 求导，求z y ∂∂，把x 当常数，对y 求导.

2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出

z x ∂∂，只要在z

x

∂∂把x 换成y ， y 换成x ，

就得到

z y

∂∂. 3）类似一元函数的求导法则：

()()f f x x ∂∂'=∂∂W W W ；()uv u v v u x x x ∂∂∂=+∂∂∂；2u u v v u v x x x v ⎛⎫∂∂∂- ⎪⎝⎭∂∂=∂；2

1v

v x x v ⎛⎫

∂∂- ⎪⎝⎭∂=∂.

4）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则先求出全微分，然后得到偏导数. 微分的形式不变性:设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===有连续偏导数，无论,u v 是中间变量还是自变量都有u v dz z du z dv =+，这个结论对于一元函数，三元等其它的多元函数也成立．

微分四则运算法则：设以下所设函数都可微

()()2

,()(),(),(),()df f d d cu cd u d u v du dv u vdu udv d uv vdu udv d v v '==±=±-=+=

W W W .

5）利用复合函数求导的链式法则.

（1）设函数()u t ϕ=，()v t ψ=在点t 处可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数[(),()]z f t t ϕψ=在点t 处可导，并且有

d d d d d d z z u z v

t u t v t

∂∂=+

∂∂ 函数结构图是

u t

z

v t

从函数结构图中可以看到：一方面，从z 引出两个箭头指向中间变量u 、v ，表示z 是u 、v 的函数，同理u 和v 都是t 的函数；另一方面，由z 出发通过中间变量到达t 的链有两条，这表示z 对t 的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，

例如z u t 表示d d z u u t ∂∂，z v t 表示d d z v v t

∂∂，因此d d d d d d z z u z v

t u t v t ∂∂=+∂∂． 注意这里u 和v 都是t 的一元函数，u ，v 对t 的导数用记号d d u t ，d d v

t

表示，z 是u ，

v 的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号z u ∂∂，z

v ∂∂表示，函数经过复合之后，最终z

是t 的一元函数，故z 对t 的导数用记号d d z t 表示，称d d z

t

为全导数，公式（1）称为全导

数公式．

（2）若(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处都存在偏导数，(,)z f u v =在对应点

(,)u v 处可微，则复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有

z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+

∂∂∂∂∂，z z u z v

y u y v y

∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ． 函数结构图为

x

u z

y

x

v y

我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4），例如z 到x 的链有两条，即z

x

∂∂为两项之和，z u x 表示z u u x ∂∂∂∂，z v x 表示z v v x ∂∂∂∂，因此z z u z v

x u x v x

∂∂∂∂∂=+

∂∂∂∂∂． （3）设函数()u x ϕ=在点x 处可导，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处存在偏导数，而

(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，

则复合函数[(),(,)]z f x x y ϕψ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有

d d z z u z v

x u x v x

∂∂∂∂=+

∂∂∂∂，

z z v y v y

∂∂∂=∂∂∂． 函数结构图为 u x z x v y

（4）设(,,)z f u x y =具有连续偏导数，而(,)u x y ϕ=具有偏导数，则复合函数

[(,),,]z f x y x y ϕ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有

z f u f x u x x

∂∂∂∂=+∂∂∂∂，

z f u f y u y y

∂∂∂∂=+∂∂∂∂． 函数结构图为 x u y z x x y y

注：为了避免混淆，公式右端的z 换成了f ，要注意

z x ∂∂和f x ∂∂是不同的，f x

∂∂是把(,,)f u x y 中的u 及y 看成不变而对x 求偏导数，

z

x

∂∂是把复合函数[(,),,]z f x y x y ϕ=中的y 看成不变而对x 求偏导数．

注 复合函数求偏导数过程中必须搞清楚几点：