中值定理构造辅助函数

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微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

数学证明中的构造辅助函数方法

数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。

遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。

文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。

今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。

首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。

因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。

至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。

一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。

说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。

还不懂？没事，举两个例子。

例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。

解析：这是非常常见的一道题。

估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。

其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。

首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。

拉格朗日中值定理证明导数

拉格朗日中值定理证明导数1. 引言拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，用于研究函数在某区间上的平均变化率与其导数之间的关系。

本文将详细介绍拉格朗日中值定理的推导过程，并证明了导数存在的条件。

2. 拉格朗日中值定理的表述首先，我们来看一下拉格朗日中值定理的表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

那么存在ξ∈(a,b)，使得：f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a其中，ξ为(a,b)内的某个数。

从定理的表述中，我们可以看出拉格朗日中值定理是关于函数导数和函数值之间的关系的定理。

3. 证明过程为了证明拉格朗日中值定理，我们将分步进行证明。

步骤 1：构造辅助函数首先，我们构造辅助函数：F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)辅助函数F(x)与原函数f(x)的作用是相辅相成的。

步骤 2：使用罗尔定理由于辅助函数F(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，我们可以应用罗尔定理来证明存在一个ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0。

根据罗尔定理，F(x)在闭区间[a,b]上可导，且F(a)=F(b)，则存在一个ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0。

步骤 3：推导辅助函数的导数根据辅助函数F(x)的定义：F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)对其求导，得到：F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a步骤 4：辅助函数的导数为零根据步骤 2 和步骤 3 的结果，我们得到：F′(ξ)=0代入辅助函数的导数表达式，得到：f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0经过整理，可以得到：f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a这就是拉格朗日中值定理的结论。

4. 导数存在的条件根据拉格朗日中值定理的证明过程，我们可以得出导数存在的条件：•函数f(x)在闭区间[a,b]上连续•函数f(x)在开区间(a,b)上可导只有满足这两个条件，才能使用拉格朗日中值定理求得导数的值。

关于复变函数的微分中值定理及其证明

关于复变函数的微分中值定理及其证明一、引言复变函数微分中值定理是复变函数理论中的重要定理之一。

它是由微积分中的实数函数中值定理推广而来的，是研究复变函数性质的基础。

本文将详细探讨复变函数的微分中值定理及其证明过程。

二、复变函数的微分中值定理复变函数的微分中值定理是指：设f(z)在区域D上解析，z1和z2是D中的任意两点，若存在一条连接z1和z2的曲线C，且C上的每一点都在D内，则存在一点ζ在C上，使得[f(z_2)-f(z_1)=(z_2-z_1)f’().]其中，f′(ζ)是f(z)在点ζ处的导数。

三、证明过程为了证明复变函数的微分中值定理，我们将分为以下几步进行证明。

1. 构造辅助函数设ℎ(t)=f(z2)−f(z1)−(z2−z1)f(t)，其中t为参数。

令g(t)=|ℎ(t)|2，我们将证明g(t)在区间[0,1]上的最大值和最小值都达到于某一点ζ。

2. 计算辅助函数的导数根据复变函数的导数定义，我们有[g’(t)=2{h^(t)h’(t)}.]其中，ℎ∗(t)表示复共轭。

将ℎ(t)的表达式代入，得到[g’(t)=2{[f(z_2)-f(z_1)-(z_2-z_1)f(t)]^[f’(t)(z_2-z_1)-f(z_2)+f(z_1)]}.]3. 利用导数的性质由于f(z)在区域D上解析，根据柯西-黎曼方程的性质可知，f′(t)(z2−z1)−f(z2)+f(z1)=0。

根据导数的性质，g′(t)=0意味着g(t)在其定义域上取得极值。

4. 确定辅助函数的极值点根据步骤3的结果，我们知道g(t)在[0,1]上的极值点对应于ℎ(t)为常数的点。

令ℎ(t)=C，其中C为常数。

解方程可以得到t=ζ。

这表明最大值和最小值都取自于某一点ζ。

5. 求解极值点通过解方程ℎ(t)=C，我们可以求解出ζ的值。

代入ℎ(t)的表达式并整理可以得到[f’()=(f(z_2)-f(z_1))/(z_2-z_1).]由此，我们证明了复变函数的微分中值定理。

求中值定理证明的几种构造函数的方法

求中值定理证明的几种构造函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 . 例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数. 例2:若, , ,…, 是使得的实数.证明方程在（0，1）内至少有一实根. 证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则 1）在[0，1]上连续 2）在（0，1）内可导 3） =0，故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 . 这说明方程在（0，1）内至少有实根.2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，， .证明存在使 . 分析:结论变形为，不易凑成 .我们将换为，结论变形为，积分得: ，即，从而可设辅助函数为，有 .本题获证. 例4:设函数，在上连续，在内可微， .证明存在，使得: . 证:将变形为，将换为，则，两边关于积分，得: ，所以，其中，由可得 .由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5:证明拉格朗日中值定理. 分析:通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例6:若在上连续且 .试证在内至少有一点，使 . 分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 .进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当为的一个零点时，恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 . 2）恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式. 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为 . 4）端点换变量的表达式即为辅助函数 . 例7:设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立. 分析:将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数 . 例8:设在上存在，在，试证明存在，使得 . 分析:令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or: ，or: ），则得辅助函数 .5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论. 例9:设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得 . 分析:所要证的结论可变形为: ，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明. 例10:设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意有 .证明存在一点使（为自然数）成立. 分析:欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证: 即，于是引入辅助函数（为自然数）. 例11:设函数在区间［0，+ ］上可导，且有个不同零点: .试证在[0，+ ]内至少有个不同零点.（其中，为任意实数）证明:欲证在[0，+ ）内至少有个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根. 因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根. 引入辅助函数，易验证在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根。

利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法

，使
。分析所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a，，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1）又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2）得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积分法”构造辅助函数

中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)⽤观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式⼀边为零，另⼀边即为所求辅助函数()F x ．例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f ag x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=--为所求辅助函数．例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231n a a a a n ++++=+…的实数．证明⽅程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内⾄少有⼀实根．证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这⼀积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续2）()F x 在（0，1）内可导3）(0)F =0， 120(1)0231n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满⾜罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．这说明⽅程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内⾄少有实根x ξ=．2 积分法对⼀些不易凑出原函数的问题，可⽤积分法找相应的辅助函数．例3：设()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，1(1)2f =，(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=，不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ，结论变形为'()20()f x f x x -=，积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x -==，即2()f x c x=，从⽽可设辅助函数为2()()f x F x x =，有1(1)(2)2F F ==．本题获证．例4：设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈，使得：'() ()'()0f f g ξξξ+=．证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-?'()'()()f g f ξξξ=-，将ξ换为x ，则'()'()()f x g x f x =-，两边关于x 积分，得：'()'()()f x dx g dx f x ξ=-1[()][()]l n ()()()d f x d g x f x g x C f x =-?=-+??，所以()(())e x p ((f x e x pg x C g x C =-+=-e x p ((K g x =-，其中e x p ()K C =，由()(()f x K e x p g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上⾯积分的推导可知，()exp(())f x g x 为⼀常数K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满⾜这样结论的ξ的存在是不成问题的．因⽽令()()exp(())F x f x g x =，易验证其满⾜罗尔定理的条件，原题得证．3 ⼏何直观法此法是通过⼏何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从⽽建⽴适当的辅助函数．例5：证明拉格朗⽇中值定理．分析：通过弦AB 两个端点的直线⽅程为()()()()f b f a y f a x a b a-=+--，则函数()f x 与直线AB 的⽅程之差即函数()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a -=-+--在两个端点处的函数值均为零，从⽽满⾜罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内⾄少有⼀点ξ，使()f ξξ=．分析：由图可看出，此题的⼏何意义是说，连续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这⼀条直线，⽽两者的交点的横坐标ξ，恰满⾜()f ξξ=．进⽽还可由图知道，对[,]a b 上的同⼀⾃变量值x ，这两条曲线纵坐标之差()f x x -构成⼀个新的函数()g x ，它满⾜()g a <0,()g b >0,因⽽符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的⼀个零点时，()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．4 常数k 值法此⽅法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k ．2）恒等变形使等式⼀端为a 及()f a 构成的代数式，另⼀端为b 及()f b 构成的代数式． 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中⼀个端点设为x ，相应的函数值改为()f x ．4）端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．例7：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，(0)a b <<，试证存在⼀点(,)a b ξ∈，使等式()()ln '()a f b f a f bξξ-=成⽴．分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-，令()()l n l nf b f a k b a -=-，则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-，令b x =，可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．例8：设''()f x 在[,]a b 上存在，在a c b <<，试证明存在(,)a b ξ∈，使得()()()1''()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------．分析：令()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------，于是有()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---，上式为关于a ，b ，c 三点的轮换对称式，令b x =（or ：c x =，or ：a x =），则得辅助函数()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．5 分析法分析法⼜叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．例9：设函数()F x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在⼀点C ，使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-．分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e----=-=，即(1)(0)'()1c F F F c e e-=-，因此可构造函数()x G x e =，则对()F x 与()G x 在[0，1]上应⽤柯西中值定理即可得到证明．例10：设函数()f x 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且(0)f =0，对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在⼀点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)nf f f f ξξξξ-=-（n 为⾃然数）成⽴．分析：欲证其成⽴，只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠，故只需证：1(())'()(1)'(1)n n n f f f f f ξξξξξ----=即'[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=，于是引⼊辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-（n 为⾃然数）．例11：设函数()f x 在区间［0，+∞］上可导，且有n 个不同零点：120n x x x <<<<…．试证()'()af x f x +在[0，+∞]内⾄少有1n -个不同零点．（其中，a 为任意实数）证明：欲证()'()af x f x +在[0，+∞）内⾄少有1n -个不同零点，只需证⽅程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内⾄少有1n -个不同实根．因为，[0,+)x ∈∞，ax e 0≠，故只需证⽅程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内⾄少有1n -个不同实根．引⼊辅助函数()()ax F x e f x =，易验证()F x 在区间[12,x x ]，[23,x x ]，…，[1,n n x x -]上满⾜罗尔定理的条件，所以，分别在这1n -个区间上应⽤罗尔定理，得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…，其中1122231(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<… 以上说明⽅程'()0F x =在[12,x x ][23,x x ]…[1,n n x x -]?[0，+∞]内⾄少有1n -个不同实根，从⽽证明了⽅程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内⾄少有1n -个不同实根．6 待定系数法在⽤待定系数法时，⼀般选取所证等式中含ξ的部分为M ，再将等式中⼀个端点的值b 换成变量x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数()x ?，这样⾸先可以保证()b ?=0，⽽由等式关系()a ?=0⾃然满⾜，从⽽保证()x ?满⾜罗尔定理条件，再应⽤罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数，试证存在(,)a b ξ∈，使()'()l n ()()()f b f b a f a f ξξ=-．证明：设()ln ()()f b M b a f a =-，令()()ln ()()f x x M x a f a ?=--容易验证()x ?在[,]a b 上满⾜罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈使'()0?ξ=，解得'()()f M f ξξ=，故()'()ln()()()f b f b a f a f ξξ=-．例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-．证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ-=-，设22()()()f b f a M b a -=-，令22()()()()x f x f a M x a ?=---，则()x ?满⾜罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在⼀点(,)a bξ∈，使'()0?ξ=，即'()2f M ξξ=，若ξ=0，则'()0f ξ=，结论成⽴；若0ξ≠，则'()2f M ξξ=，从⽽有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-．例14：设120x x <<，则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数11()x x x x e xe ?=-1()M x x --．应⽤罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0?ξ=，即110x x e e M ξ-+=，从⽽11x M e x e ξ=-，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数．证明：将所证等式变形为21212111(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--，设2121x x e e x x -=2111()M x x -，令11()x x e e x x x ?=-111()M x x --，则()x ?满⾜罗尔定理条件，⽤罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0?ξ=，即2210e e M ξξξξξ-+=，于是(1)M e ξξ=-，故211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．总之，证明微分中值命题的技巧在于：⼀是要仔细观察，适当变换待证式⼦；⼆是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．。

应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法

应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。

在这里，我将介绍三种常见的方法。

方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。

我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。

根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。

将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。

我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。

假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。

我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。

我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。

当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。

考研数学：三种拉格朗日中值定理证明方法1500字

考研数学：三种拉格朗日中值定理证明方法1500字拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。

该定理涉及到函数的导数与函数在某一区间上的变化率之间的关系，具有广泛的应用价值。

以下将介绍三种拉格朗日中值定理的证明方法。

证明方法一：基于罗尔定理的证明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，因此我们可以先用罗尔定理来推导拉格朗日中值定理。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内存在可导函数F(x)。

如果f(a) =f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点ξ，使得F’(ξ) = 0。

证明过程如下：1. 构造辅助函数g(x) = f(x) - F(x)。

根据题设，g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。

2. 由于f(a) = f(b)，所以g(a) = g(b)。

3. 根据罗尔定理，存在一个点ξ，使得g’(ξ) = 0。

即f’(ξ) - F’(ξ) = 0。

4. 移项得到f’(ξ) = F’(ξ)，即在(a, b)内存在一个点ξ，使得函数f(x)在点ξ处的斜率等于函数F(x)在点ξ处的斜率。

这就是拉格朗日中值定理。

证明方法二：基于函数的增量与导数的关系的证明函数的增量与导数之间有如下关系：f(x+Δx) - f(x) = f’(x+θΔx)Δx，其中θ∈(0, 1)。

证明过程如下：1. 考虑函数Φ(x) = f(x) - F(x)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

因为F(x)是可导函数，所以Φ(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。

2. 对于任意x∈(a, b)，存在ξ∈(x, x+Δx)，使得Φ(x+Δx) - Φ(x) = Φ’(ξ)Δx。

3. 根据Φ(x) = f(x) - F(x)，我们可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = f(x+Δx) - f(x) - [F(x+Δx) - F(x)]。

微分中值定理辅助函数类型的构造技巧

辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。

因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。

为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。

(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数)()(x f e x F kx -=.例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ，而[])()()()()(ζζζζζkf f e e x kf e x f F k x kxkx -'=-'='-=--，则['()()]0k e f kf ζζζ--=，即'()()f kf ζζ=.(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数()()F x f x =，()n G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件所以(,)a b ζ∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ζζ-=-，即222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈使得1()'()()()a b f f f a f b a b ζζζ=--,证明:因为2)()()(x x f x f x x x f -'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈，使得)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--即221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-.分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-得证.(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =.例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得()()'()lnbf b f a f aζζ-= 证明:由我们熟悉的xx 1)(ln ='，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(b a ∈∃ζ，使得()()'()1ln ln f b f a f b aζζ-=-，即()()'()lnbf b f a f aζζ-=，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈∃ζ使得)()(ζζζf f '=.证明:设)()(1x f x x -=ϕ，显然ϕ在[]b a ,上连续，而2)()()(xx f x f x x -'='ϕ在在),(b a 内存在，且)()()(11b f b a f a a --==ϕ，故ϕ在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件，于是必),(b a ∈∃ζ使得0)()(2=-'='ζζζζζϕf f ）（，所以0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.证毕.（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：),(b a ∈∃ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='，因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，所以由罗尔中值定理知：必),(b a ∈∃ζ使0)(=''ζF ，而[]0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，即0)()()(2=''+'ζζζf f f .证毕.(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)()()(x f x f x F '='，再次求导后得到.)()()()()(2x f x f x f x f x F '-''='' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，)()()()(b f a f a f b f '⋅='⋅，试证：必),(b a ∈∃ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f证明：设)(ln )(x f x F =，得)()()(x f x f x F '='，显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则)()()()()()(b F b f b f a f a f a F '='='='，故满足罗尔中值定理条件，因此必),(b a ∈∃ζ使得0)(=''ζF ，而0)()()()()(22='-''=''=ζζx x f x f x f x f F ，即.0)()()(2='-''ζζζf f f证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0=+⎰ζζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0⎰=xx dt t f ex ϕ例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且⎰=a dx x f 0.0)(证明：),0(a ∈∃ζ使得0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证明：作辅助函数⎰=xxdt t f e x 0)()(ϕ，显然)(x ϕ在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且)0(0)()(0ϕϕ===⎰aa dt t f e a ，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a ∈∃ζ使得0)(='ζϕ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+='⎰⎰)()()()()(00x f dt t f e x f e dt t f e x xx x x x ϕ，由于0≠ζe ，故0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证毕.(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ.例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈∃ζ，使得).()(ζζf f =''证明：因为0)()(>'⋅'b f a f ，所以)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，即0)(lim _)()(lim >-=-++→→ax x f a x a f x f a x ax ，所以),,(,01δδ+∈∃>∃a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----→→bx x f b x b f x f b x bx ，所以),(,02b b x δδ-∈∃>∃，使得.0)(2<x f 又因为f 在[]b a ,上可导，故f 在[]b a ,上连续，即f 在),(21x x 上连续, 而0)(,0)(21<>x f x f ，所以由介值定理（或零点定理），),(21x x ∈∃η使得.0)(=ηf再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为)()()(ηf b f a f ==，所以0)()()(===b g g a g η，故),(1ηηa ∈∃，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈∃，使得.0)(2='ηg因为[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，由0)()(21='='ηηg g ，可得.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f令[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ，所以有[]0)()()(1111='+=-ηηηϕηf f e ，[],0)()()(2222='+=-ηηηϕηf f e即0)()(21==ηϕηϕ，又因为)(x ϕ在[]21,ηη上连续可导，所以),()(2,1b a ⊂∈∃ηηζ，使得0)(='ζϕ，即[]0)()()(=-''='=-ζζϕx x x f x f e ，而0≠-ζe ，故0)()(=-''ζζf f .证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .题型一：设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证0)()(=-'k f f ξξ，即0)()(=-'=ξx k x f x f .而要0)()(=-'=ξx k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，k x f x f x F -'=')()()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξG ，而[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x ϕ为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ϕ，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλϕζϕ.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ϕλ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，又因为[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ϕλϕϕϕλλλλ'+='+='在()c c ,-内存在，且0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ϕϕ），所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλϕζϕ.证毕.证法二:若设dt t x x G xc⎰-+=)()()(ϕλϕ，则)(x G 在[]c c ,-上连续，且)()()(x x x G λϕϕ+'='在()c c ,-内存在，又因为0)()()(=+=⎰-dt t c c G ccϕλϕ，0)()()()()(=-=-=+-=-⎰--c c dt t c c G ccϕϕϕλϕ，所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)()()(=+'='ζλϕζϕζG .证毕.题型二:证明),(b a ∈∃ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有0)()()(='+'=ζx x g x f x f ，而)()()(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2()()x F x e f x -=.证明:取辅助函数2()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理，故必),(k k -∈∃η使得)(ηF '0=，由于[])(2)()(2x xf x f e x F x -'='-，将η=x 带入上式，并去掉非零因子2η-e ，即得证原式成立.附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.题型三：证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数()()k F x x f x =例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1(1)2f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=，由于12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，将x ζ=带入上式，即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.证毕.附注:由题型三可以演变出一系列的题型.如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理，则必存在(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，因为(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈⊂使得'()0F ζ=，由于2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，证毕.题型四:证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=证明:由()()0>'⋅'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >，由导数的几何意义，在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ，在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=<b f B f ，且令21B B <，则由应用零点定理可知存在()21B B B ，∈，使得 ()0=B f ，取2()()x F x e f x =，则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈∃η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈∃η，使得()02='ηF . 因此11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+，则()G x 在(,)a b 内可导，由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈⊂，使得'()0G ζ=，由于()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+⎡⎤⎣⎦，故有''()4()f f ζζ=，证毕.提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即)(')()(ξf ab a f b f =--成立.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：存在ζ使得1(,)()'()n a b f f ηηηζζζζ-⎡⎤∈∍=+⎢⎥⎣⎦. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在),(b a ∈ξ使得⇒--='ab a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n nb f b a f a n f f b a ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==，所以1()'()n nn nb a n f f b aζζζζ--+=- （1）取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，则()()(,)'()n ng b g a b a a b g b a b aηη--∈∍==-- （2）比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+，即1()'()n f f ηζζζζη-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，证毕.。

如何构造辅助函数——浅谈中值定理及相关命题的证明

Ｊｎ．（２ｕ２ＩＯ
如何构造辅助函数
浅谈中值定理及相关命题的证明
丁仰彰
（州职业技术学院基础科学部，江苏泰泰州２５０）２３０
摘要：明微分中值定理及相关命题时，何构造辅助函数，文作了一些探讨，出了构造辅证如本提助函数的一般思路，对现有教材中的方法提出了不同意见。关键词：助函数；辅中值定理；关命题相
Ｄ —
ａ
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一
若设，（：厂））（一
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＝
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，显然有，（在闭区间［，］连续，开区间（６内可则）。６上在。，）
＝Ｆ（）因此，６，由罗尔定理，开区间（６内至少存在一点，Ｆ（在。，）使）
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第２卷第２期
２００２年６月
泰州职业技术学院学报
ＪｕｎｌｏａｚｏｏｙｅｈｉａｎｔｕｅｏｒａｆＴｉｕＰｌｔｃｎｃｌｓｔｔｈＩｉ
Ｖ０．Ｎｏ．１２２
Ｉ）厂（一
＝０￣（）／ｎ＝（一ｎＩ），ｌｂ一（）６）ｌｆ厂（成立，格朗日定理得证。拉
作者简介：仰彰，１４一）男，苏泰州人，师丁（９９，江讲
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微分中值定理证明中的辅助函数

可得
产沂 (劫
。
产
=
0
一
了 (石) 一 f ( a )
b一
a
_ 一
移项便得证裸讨 ①
一
由式
一
2
给出的辅助函数小( x ) (
二
,
它概括了现行教材中所用的两种辅助函数 F ( 劝 , ( )一
x
=
厂 (x )
f (a )
卫丝卫业三
口
一
。
); F ( )
夕
,
)
0
,
: 〕乙上找出一
,
个隐函数 ( x
:
,
)
,
这是无法证明的
而罗尔定理要用于函数的明显表达式
不能用于 F
万:
)
O
,
所以只好求助于辅助函数
2
柯西中值定理证明的探索
定理
a 若函数f (x )和 g (x )在〔
, ,
西〕上连续
’
①
,
证明拉格朗日中值定理的辅助函数为
/
:
一 ` (` ’
一
严
:
工鱼上趣 2
一。石
l
+ `
;
证明柯西中值定理的勃 “ 助函数为
,
.
’ (`
,
。
二 C:
g (b ) 一 g ( a )〕 (万 ) 一〔 ( b ) 一 ( a )〕 g (劣 ) }+ C {〔 f f f
, ,

微分中值定理的总结及体会

证明:由题设知在 , 上满足拉格郎日中值定理的条件,故存在 , ,使得
, ，
由于三点共线,故
，
即
再考察函数，其在上满足洛尔定理的条件，由洛尔定理知至少存在一点，使 .
2.（2007）设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,证明：存在，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令，则问题转化为证明 ,只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可.
于是
【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
4.设函数在内连续,在内可导,且，证明：存在
使 .
证明:设，，由柯西中值定理可得，至少存在 ,使得
，即，
设，由拉格郞日中值定理可得，至少存在，使得
，即，
从而，即 .
,
又，得 ,
即存在 ,使
(Ⅱ)因，即 ,又在闭区间上连续,由介值定理知，至少存在一点 ,使得
.
因此在区间 , 上都满足罗尔中值定理条件,于是至少存在点 , ,有
,
由在上连续,在内二阶可导,知在上连续,在可导,用罗尔中值定理,至少存在一点 ,使得 .
【评注】一般地有如下结论：设在上连续，
由洛尔定理知,存在使
而
于是有
即有
亦即
考点四:微分中值定理和积分中值定理相结合
1.设在内可导，且，证明：在内方程有根。

中值定理构造辅助函数的方法

中值定理构造辅助函数的方法中值定理是微积分中的重要定理之一，它在研究函数的性质、求解方程等问题中具有广泛的应用。

利用中值定理可以构造辅助函数来解决一些复杂的问题。

本文将介绍几种构造辅助函数的方法，以帮助读者更好地理解和运用中值定理。

1.构造辅助函数的基本原理在构造辅助函数之前，首先要明确辅助函数的目的。

一般来说，构造辅助函数的目的是通过引入一个与原函数相关的函数，利用其性质来简化问题或解决问题。

辅助函数可以是原函数的导函数、导函数的导函数、原函数与导函数之间的关系函数等。

2.1导函数作为辅助函数中值定理中最常用的辅助函数是原函数的导函数。

对于一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，根据中值定理，存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

因此，我们可以构造辅助函数$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。

当且仅当原函数$f(x)$满足中值定理的条件时，辅助函数$g(x)$在闭区间$[a,b]$内的其中一点$c$处的导数等于0。

这样一来，我们就可以通过求解$g'(x)=0$来找到中值点$c$。

2.2导函数的导函数作为辅助函数类似地，我们也可以利用导函数的导函数作为辅助函数，来解决一些问题。

假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，则中值定理告诉我们存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

如果我们进一步假设$f'(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么根据中值定理，存在一点$d\in(a,b)$，使得$f''(d)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。

这样，我们就可以构造辅助函数$h(x)=f'(x)-f'(a)-\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。

柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用柯西中值定理的证明及应用马玉莲（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070）摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.关键词：柯西中值定理; 证明; 应用1.引言微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下：柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导;(3) '()f x 和'()g x 不同时为零;(4)()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ''-=- . （1）本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.2.柯西中值定理的证明2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.2.2利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理讨论显然，当'()g x x =时， (1)式即为拉格朗日公式，所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.但若换一个角度，将()f t 和()g t 看成xy 平面上某条曲线()y F x =的参数方程，即()y F x =可以表示为：(),(),x g t y f t =⎧⎨=⎩ [,],t a b ∈ 易知()y F x =在[(),()]g a g b （或[(),()]g b g a ）上连续, 在((),())g a g b （或((),())g b g a ）上可导，由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点(,())F ηη过该点的斜率,()F η等于曲线两端连线的斜率()()()()f b f a g b g a --（如图1所示）. 设x η=对应于 (,)t a b ξ=∈，则由参数形式函数的求导公式，有'()()()()()()()f f b f a Fg g b g a ξηξ''-==-. 所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.())f bx证明由闭区间上连续函数的性质，以及()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且导数恒不为零，且不难证明，()g x 在[,]a b 上严格单调，不妨设()g x 严格单调增加.下证()g x 严格单调，只证()g x 在[,]a b 上严格单调递增.取1x ，2x ∈[,]a b 规定21x x <由g 的连续性知21()()g x g x <那么1212()()0g x g x x x ->-,对上式求极限121212()()lim0x x g x g x x x →->-,又12'1212()()()limx x g x g x g x x x →-=-,得到'2()0g x >，由2x 的任意性知'()0g x >故()g x 在[,]a b 上严格单调递增. 同理可得()g x 在[,]a b 上严格单调递减, 故单调性得证.记()g a α=，()g b β=，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在[,]αβ上存在()g x 的反函数1()g y -，1()g y -在[,]αβ上连续，在(,)αβ可导，其导数1'1[()]'()g y g x -=，并且1()g y -在[,]αβ上也是严格单调增加的.考虑[,]αβ上的复合函数1()(())F y f g y -=，由定理条件和以上讨论，即知()F y 在[,]αβ上满足拉格朗日中值定理条件，于是，存在(,)ηαβ∈，使得11'()()(())(())()()()()()F F f g f g f b f a F g b g a βαβαηβαβα-----===---. 由()g x 和1()g y -的关系，在(,)a b 中一定存在一点ξ，满足()g ξη'=，于是{}{}1''1'11''()1()()(())(())[()]()'()()y y x g f F f g y f g y g y f x g x g ηηηξξηξ-'---'====⎧⎫==⋅=⋅=⎨⎬⎩⎭代入上式就得到了定理结论.2.3利用闭区间套定理证明柯西中值定理定义如果一列闭区间{[,]}n n a b 满足条件（1）11[,][,],1,2,3n n n n a b a b n ++⊂=⋅⋅⋅ ; （2）lim()0n n n a b →∞-= ,则称这列区间形成一个闭区间套.闭区间套定理如果[,]n n a b 形成一个区间套，则存在惟一的实数ξ属于所有的闭区间[,]n n a b ，且 lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.引理1 设函数()f x 在[,]a b 上有定义，且在0x ∈(,)a b 处可导，又{[,]}n n a b 为一闭区间套，且0lim lim n n n n a b x →∞→∞==，则'()()()limn n n n nf f f x βαβα→∞-=-.引理2 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则存在11[,][,]a b a b ⊂且111()2b a b a -=-，使得 1111()()()()f b f a f b f a b a b a--=--. 现在把引理2推广为：引理3 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()g x 是单射，则存在11[,][,]a b a b ⊂，且 111()2b a b a -=-，使1111()()()()()()()()f b f a f b f ag b g a g b g a --=--. 下面证明柯西中值定理：证明首先证明，当,[,]a b αβ∈且αβ≠时，有()()g g αβ≠.反设()()g g αβ=，由引理2，存在11[,][,]αβαβ⊂，且111()2βαβα-=-，使1111()()()()0g g g g βαβαβαβα--==--,从而11()()g g βα-. 在11[,]αβ上再次应用引理2有，存在2211[,][,]αβαβ⊂，且22111()2βαβα-=-，使112211()()()()0n n g g g g βαβαβαβα=-==--，从而又有22()()g g βα=. 反复利用引理2，最终可得一个闭区间套{[,]}n n a b ，满足lim()0n n n βα→∞-=，且()()n n g g βα=，由闭区间套定理，存在[,][,]a b ξαβ∈⊂，使lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==,根据引理1得：'()()()lim0n n n n ng g g βαξβα→∞-==-,这与条件'()0((,))g x x a b ≠∀∈相矛盾. 再根据引理3，存在11[,][,]a b a b ⊂，且111()2b a b a -=-，使 1111()()()()()()()()f b f a f b f ag b g a g b g a --=--, 反复利用引理3，类似与前面的证明，可得闭区间套{[,]}n n a b ，满足lim()0n n n b a →∞-=且()()()()()()()()n n n n f b f a f b f a g b g a g b g a --=--. 由闭区间套定理存在[,]c a b ∈，使lim lim n n n n c αβ→∞→∞==。

中值定理辅助函数

中值定理辅助函数
中值定理是数学中一个非常有用的定理，它主要用来求解函数中的极值。

它说明，如果函数在区间[a,b]内连续，且在这个区间内存在导数，那么对于这个极值点，函数在该点处的导数必须等于零。

使用中值定理进行函数极值分析的具体步骤是，首先选择一个区间，然后计算函数F在区间[a,b]的导数F'。

如果存在点c，在该点处使得F'(c) = 0，那么就可以说明此点c处的函数值为函数极值。

如果没有这样的点，那么说明在该区间没有极值。

使用中值定理分析函数极值还有一个优势就是时间效率很高，它可以以极其快速的速度得到结果，而且不需要花费太多的精力。

所以，中值定理在很多函数分析问题中非常有用，而且可以节省很多分析时间。

总之，中值定理是数学中的一个重要定理，它可以快速帮助我们分析函数极值。

它由于有快速求解的特性，使得在许多函数分析问题中得到广泛应用。

中值定理命题证明中的辅助函数构造

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图３是运行是系统生成的排课数据所见即所得的界面，界面上部可以按照班级、教师和教室选择的控件，下部是具体数据信息浏览效果．
３结论
图３输出运行结果
ｘＭＬ以其合理的数据组织结构和可扩展特性，结合目前的ｎｅｔ和Ｊａｖａ技术，使得开发的过程更加便捷．但由于ｘＭＬ推出时问较短，特别是大多数行业
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