中值定理构造辅助函数

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微分中值定理证明中辅助函数的构造

1 原函数法

此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理．

分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()

f b f a f

g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()

f b f a

g x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()()

f b f a

g x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()()

f b f a F x f x

g x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231

n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设

231120()231

n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续

2）()F x 在（0，1）内可导

3）(0)F =0， 120(1)0231

n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231

n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有实根x ξ=．

2 积分法

对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．

例3：设()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，1(1)2

f =

，(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．

分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=，不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ，结论变形为'()20()f x f x x -=，积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x -==，即2()f x c x

=，从而可设辅助函数为2()()f x F x x =，有1(1)(2)2

F F ==．本题获证． 例4：设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈，使得：'()()'()0f f g ξξξ+=．

证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-⇒

'()'()()f g f ξξξ=-，将ξ换为x ，则'()'()()f x g x f x =-，两边关于x 积分，得：

'()'()()f x dx g dx f x ξ=-⇒⎰⎰1[()][()]ln ()()()

d f x d g x f x g x C f x =-⇒=-+⎰⎰，所以()(())exp(())exp()f x exp g x C g x C =-+=-g exp(())K g x =-，其中exp()K C =，由()(())f x Kexp g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上面积分的推导可知，()exp(())f x g x 为一常数K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的ξ的存在是不成问题的．因而令()()exp(())F x f x g x =，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．

3 几何直观法

此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．

例5：证明拉格朗日中值定理．

分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为

()()()()f b f a y f a x a b a

-=+--，则函数()f x 与直线AB 的方程之差即函数

()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a -=-+

--在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．

例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内至少有一点ξ，使()f ξξ=．

分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连

续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这一条直

线，而两者的交点的横坐标ξ，恰满足()f ξξ=．进

而还可由图知道，对[,]a b 上的同一自变量值x ，这

两条曲线纵坐标之差()f x x -构成一个新的函数

()g x ，

它满足()g a <0,()g b >0,因而符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的一个零点时，()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．

4 常数k 值法

此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：

1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k ．

2）恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，另一端为b 及()f b 构成的代

数式． 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为x ，

相应的函数值改为()f x ．

4）端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．

例7：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，(0)a b <<，试证存在一点(,)a b ξ∈，