动态图形与一次函数的关系
一次函数图像第2课时带动画的课件
函数图像的反比例函数特点
图像
反比例函数的图像是双曲线，因为 打开外形所以它包括两个分支。其 中一条分支经过第一象限，而另外 一条则经过了第三象限。
性质
反比例函数的定义域不包括使分母 为零的导致的垂直渐近线。
实用
当我们使用计算机或图形计算器时， 可以在大பைடு நூலகம்数情况下手动绘制反比 例函数的图像。
函数图像的正比例函数特点
一次函数图像第2课时带 动画的课件
在这节带动画的课件中，我们将会学习一次函数的一些基本性质以及它的图 像会如何受到平移和伸缩的影响。我们还将学习反比例函数、正比例函数和 线性函数的特点。
函数的定义和性质
1 定义
2 性质
3 图像
一次函数可以用以下形式表 示：f(x) = ax + b。其中， a 和 b 是常数，且 a 不为零。
线性函数特例
正比例函数是线性函数的特例，其中b=0。
图像
正比例函数的图像是一条直线，它经过原点并且具有正斜率。
实际应用
正比例函数可以用来表示简单的经济方程或物理规律，并且在银行和企业等领域中常被使用。
函数图像的线性函数特点
1
定义
线性函数是一次函数的一种特例，其中a=1。
2
图像
线性函数的图像是一条直线，它通过 (0, b) 并具有正斜率。在直角坐标系中， 它是一条所过直线和原点最近的直线。
通过课堂习题和个人练习可以掌握这些特征。
2 这些函数特征在实际应用中有什么用处？
这些函数特征可以帮助您在处理财务和市场数据时更好地理解和分析情况。
一次函数的图像是一条直线， 它是一次函数的定义域和值 域都为全体实数集的一个函 数。
一次函数的图像的斜率等于 常数 a，纵截距等于常数 b。
一次函数与图形变换下的动点问题 PPT(1001)
C
(0,4)
B
●
P
O
●
(4,0)
A
x
D
探究变式 三
最值问题
y x 4
三、2、如图，取OA的中点D, 动点P运动过程中，是否存在某 一位置，使得△POD的周长最小？ 最小周长是多少？
(0,4) C
P
● ●
y
B
●D′
O
(4,0)
A
x
D
探究变式四
特殊三角形问题
y x 4
y
(0,4)
点P的行程为 数关系式.
s，
O
x，求 s 与 x 的函
. p A
探究变式一
面积问题
y x 4 y(0,4) C
一·I在上图中以点O为坐标原点、 以OA所在的直线为 x 轴建立平面 直角坐标系，做直线AC ． 0 ）、 1、点 A 坐标为（ 4 ， 点 C 坐标（ 0 ， 4 ） 直线AC的函数表达式:
x
探究变式 三
最值问题
y x 4
三、2、如图，取OA的中点D, 动点P运动到何处时，△POD的 周长最小？最小周长是多少？
C
y(0,4)
●
B P
P
● ●
(4,0)
A
x
O
D
探究变式 三
最值问题
y x 4
y
三、2、如图，取OA的中点D, 动点P运动过程中，是否存在某 一位置，△POD的周长最小？最 小周长是多少？
B
y x 4
(4,0)
O A
x
探究变式 一
2、若P是直线AC上 的一动点，点P的横 坐标为 x , △OAP的 面积为 S ,求 S 与 x 的函数关系式.
一次函数的函数关系与函数图像探究
一次函数的函数关系与函数图像探究一、函数关系的基本概念在数学中，函数关系是描述自变量（x）与因变量（y）之间的对应关系。
一次函数是指具有形如y=ax+b的函数表达式的函数关系，其中a和b为常数，且a不等于0。
二、一次函数的函数关系1. 函数关系式一次函数的函数关系可以表示为y=ax+b，其中a表示斜率，b表示截距。
斜率为a决定了函数图像的倾斜程度，正值表示图像向右上方倾斜，负值表示图像向右下方倾斜；截距b表示了函数图像与y轴的交点。
2. 函数关系的性质（1）定义域与值域：一次函数的定义域为全体实数集R，值域也为全体实数集R。
（2）单调性：当a>0时，函数关系随x的增大而增大，为增函数；当a<0时，函数关系随x的增大而减小，为减函数。
（3）奇偶性：一次函数是一个奇函数，即关于原点对称。
（4）最值：若a>0，则函数关系无最小值，但存在最大值；若a<0，则函数关系无最大值，但存在最小值。
三、一次函数的函数图像1. 函数图像的绘制（1）确定基本点：选择两个不同的x值，计算对应的y值，得到函数图像上的两个点，注意选择不同的x值可以获得较大的图像范围。
（2）绘制直线：通过所选的基本点，画出函数关系的图像。
注意，一次函数的图像是一条直线。
2. 函数图像的特征（1）斜率：斜率为正值时，图像向右上方倾斜；斜率为负值时，图像向右下方倾斜。
斜率绝对值越大，图像的倾斜程度越大。
（2）截距：截距表示函数图像与y轴的交点，当截距为正值时，图像位于y轴上方；当截距为负值时，图像位于y轴下方。
四、实际应用一次函数的函数关系和函数图像在现实生活中有广泛的应用。
例如：1. 物理学中的速度和位移关系：一次函数可以用来描述质点运动的速度和位移之间的关系。
2. 经济学中的成本和产量关系：一次函数可以用来描述企业的成本和产量之间的关系。
总结：本文介绍了一次函数的函数关系与函数图像的探究，包括函数关系的基本概念、函数关系的性质、函数图像的绘制方法以及实际应用。
一次函数图像时带动画的课件
2020/6/29
排“兵”布阵 抢答题
D 1(09湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数y=-2x+3的图象经过（
）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限 2(2009宁夏)5．一次函数y=3x-2的图象不经过（ ）
B
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1. 当k＞0时，y随x的增大而增大 0
x
2.当k＜0时，y随x的增大而减少
y
3.当 k 相等时，直线平行
4.当 |k| 越大时，图象越靠近y轴
0
x
2020/6/29
一次函数 y＝kx＋b
y
b 决定直线与y轴交点位置
1. 当b＞0时，直线交于y正半轴
2.当b＜0时，直线交于y负半轴
0
x
3.当b = 0时，直线交于坐标原点
小试牛刀 （4）对于函数y=5x+6,y的值随x的 值减小而__减__少__.
（5）函数y=2x - 4与y轴的交点为 （ 0，-）4 ，与x轴交于（ ）2， 0
（6）已知一次函数y=(1－2k)x+k的函数 值y随x的增大而增大，且图象经过一、二 、三象限，则k的取值范围是0_﹤__k_﹤__1_/2___.
y
0
x
0
x
y
(B)
y
(A )
2020/6/29
0x (C)
0x (D)
例、已知：一次函数 y＝(5m－3)x＋(2－n)． (1)当 m 为何值时，y 随 x 的增大而减小； (2)当 m、n 分别为何值时，一次函数与 y 轴的交点在 x 轴的上方？
一次函数图像第2课时带动画的课件
时间与速度
在匀速直线运动中，时间、 速度和距离之间存在一次 函数关系，可以用一次函 数来表示。
温度变化
在某些情况下，温度随时 间的变化可以用一次函数 来描述。
一次函数在数学题目中的应用
线性规划
在优化问题中，一次函数可以用来描 述约束条件和目标函数，通过线性规 划来求解最优解。
代数方程
几何图形
在几何图形中，一次函数可以用来描 述直线、平面等。
一次函数图像第2课时带动画的课 件
contents
目录
• 引言 • 一次函数图像的基本概念 • 带动画的一次函数图像展示 • 一次函数的应用实例 • 总结与回顾
01 引言
课程背景
01
一次函数是数学中的基础概念， 对于学生理解函数的概念和性质 至关重要。
02
通过动画演示，能够帮助学生更 好地理解一次函数的图像和性质 ，提高学习兴趣和效果。
教学目标
掌握一次函数的图像 和性质。
能够利用一次函数解 决实际问题。
理解斜率、截距等参 数对函数图像的影响。
02 一次函数图像的基本概念
一次函数图像的形状
直线
一次函数的标准形式为y=kx+b，其 中k为斜率，b为截距。当k≠0时，图 像为一条直线；当k=0时，图像为y轴 上的一个点。
斜率与图像走势
05 总结与回顾
本节课的重点回顾
一次函数的定义和性质
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，k≠0。一次 函数具有增减性和斜率等性质。
一次函数的图像
通过解析式和坐标系，我们可以绘制一次函数的图像，了解函数的 增减性和与坐标轴的交点等。
一次函数的应用
一次函数在实际生活中有广泛的应用，如速度、时间、距离关系， 成本与销售的关系等。
用十张动态图片总结高中数学函数图像变换问题
风雨送春归，飞雪迎春到。已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏。” 高中数学的函数本身很抽象，函数的图像也是重中之重，而函数图像变换令很多人苦不堪言， 本文对所有函数图像变换进行总结归纳，用动态的形式展现函数图像变换之奥妙，看到以下函 数图像动态变换过程，有助于学生理解图像变换之精髓！
去左翻右： 要得到函数y=f（|x|）的图象，可先做出y=f（x）的图象，去掉y轴左侧部分，再根据y=f（|x|） 是偶函数的特点，将y分）。
五、反函数变换
y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像关于y=x对称。
高中数学
一、平移变换
上+下将函数y=f（x）的图像向上平移a个单位，即可得到y=f（x）+a的图像。 将函数y=f（x）的图像向下平移a个单位，即可得到y=f（x）-a的图像。
左+右将函数y=f（x）的图像向左平移a个单位，即可得到y=f（x+a）的图像。 将函数y=f（x）的图像向右平移a个单位，即可得到y=f（x-a）的图像。
二、伸缩变换
横坐标伸缩 将函数y=f（x）的图像上各点横坐标变来原来的1/a，纵坐标不变，即可得到y=f（ax）的图像。 （a>1时缩短，0<a<1时伸长）
纵坐标伸缩 将函数y=f（x）的图像上各点纵坐标变来原来的A倍，横坐标不变，即可得到y=Af（x）的图 像。（A>1时伸长，0<A<1时缩短）
三、对称变换
将函数y=f（x）的图像关于x轴对称，得到y=-f（x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于y轴对称，得到y=f（-x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于原点对称，得到y=-f（-x）的图像。
四、翻折变换
人教版数学八年级下册一次函数 借动态三角形的面积揭示运动变化中的函数关系
人教版数学八年级下册一次函数 借动态三角形的面积揭示运动变化中的函数关系以动点运动为背景，以三角形面积的变化为载体，揭示面积与时间之间的函数关系，面积与路程之间的函数关系，是函数考题的一个亮点．下面就向同学们介绍几例，供学习时参考．一、动点在直角梯形上，已知三角形的面积是路程的函数的图像，求另一个三角形的面积 例1如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6分析：三角形ABP 的面积随着路程x 的变化有两种情况．从图2中知道，点P 从B 开始运动到点C 时，面积y 随x 的增大而增大，且到达点C 的位置时，面积达到最大，此时图2中对应的数值为2，即x=2，也就是说点P 运动2后到达了点C 的位置，因此BC=2；当点P 运动在CD 上时，三角形的面积y 是一个定值，根据图2知道运动到点D 的时候，动点运动的总路程为5，因为BC=2，所以CD=5-2=3.所以直角三角形BCD 的面积为：322121⨯⨯=⨯⨯CD BC =3. 解：选A ．二、动点在矩形上，选择三角形面积是路程为自变量的函数的图像例2如图3所示，在矩形ABCD 中，AB=2，B C=1，动点P 从点B 出发，沿路线D C B →→作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）分析：三角形ABP 的面积随着路程x 的变化有两种情况．如图3所示，当点P 在BC 上运动时，△ABP 的面积S=21×AB ×PB=21×2×x =x ，此时x 的范围是0＜x ≤1，画图形应该是正比例函数图像在第一象限内的从0到1的一条上升趋势的线段，且当x=1时，s=1，所以选项C 和选项D 都是错误的；如图4所示，当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积S=21×AB ×BC=21×2×1=1，是一个定值，此时x 的范围是1＜x ≤3，表现在图像上应该一条水平的线段，且线段的两个端点对应的S 值均为1，所以选项A 是错误的．解：选B ．三、动点在矩形上，已知三角形面积是路程为自变量的函数的图像，求动点的位置例3如图5，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图6所示，则当x=9时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处分析：三角形MNR 的面积y 随着路程x 的变化有三种情况．如图5所示，当点R 在NP 上运动时，△MNR 的面积y=21×MN ×NR=21×MN ×x ，此时x 的范围是0≤x ≤NP ，画图形应该是正比例函数图像在第一象限内的从0到NP 的一条上升趋势的线段，从图6知道，当x=4时，点R 运动到了点P 的位置；如图7所示，当点R 在PQ 上运动；△MNR 的面积y=21×MN ×PN ，面积是一个定值，等于矩形面积的一半，此时x 的范围是NP ＜x ≤NP+PQ ，表现在图像上应该一条水平的线段，从图6知道，当x=9时，点R 运动到了线段PQ 的另一个端点，即点Q 的位置；如图8所示，当点R 在QM 上运动．△MNR 的面积y=21×MN ×MR=21×MN ×(2MQ+PQ-x)，此时x 的范围是NP+PQ ＜x ≤2MQ+PQ ，画图形应该是一次函数图像．解：选C ．四、坐标系中，确定两个三角形重叠面积与距离变量之间函数的解析式例4如图9和图10 所示，直线l 的解析式为y ＝－x+4, 它与x 轴、y 轴分相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0<t ≤4）（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积1S ；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN,记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为2S ；①当2<t ≤4时，试探究2S 与之间的函数关系；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为△OAB 的面积的165？分析：（1）求一次函数y=kx+b 与两坐标轴的交点的坐标的基本思路：令x=0，解得y=b ，所以与y 轴的交点坐标为（0，b ）；令y=0，解得x=-k b ，所以与x 轴的交点坐标为（-kb ，0）． （2）两条一次函数的图像平行，则它们对应的x 的系数是相等的．其次三角形MON 的面积计算方法是：21×OM ×ON ．所以求直线m 的解析式和解析式与坐标轴的交点坐标，就成了我们解决问题的关键．（3）用含t 的代数式表示出重叠图形的面积是解题的关键．在表示重合图形的面积时，同学们尽量利用图形的面积差的思想来求解比较顺手些．解：（1）因为直线l 的解析式为y ＝－x+4，令x=0，解得y=4，所以点B 的坐标为（0，4）；令y=0，解得x=4，所以点A 的坐标为（4，0）；（2）因为OA=OB ，所以三角形OAB 是一个等腰三角形，所以∠A=∠B ．因为MN ∥AB ，所以∠A=∠ONM ，∠B =∠OMN ，所以∠OMN=∠ONM ，所以OM=ON=t ．所以1S =21×OM ×ON=212t ． （3）①当2＜t ≤4时，易知点P 在△OAB 的外面，则点P 的坐标为（t ，t ）,点F 的坐标满足⎩⎨⎧+-==4x y t x 解得⎩⎨⎧-==t y t x 4，所以点F 的坐标为（t ，4-t ）；点E 的坐标满足⎩⎨⎧+-==4x y t y 解得⎩⎨⎧=-=t y t x 4，所以点E 的坐标为（4-t ，t ）； 则PE=PF=|t-（4-t ）|=2t-4，所以2S =PEF CMN PEF MPN S S S S △△△△-=-=212t -21242(）-t =-232t +8t-8； ②当0＜t ≤2时，2S =212t ，所以212t =165×21×4×4， 解得5,521-==t t ，两个都不符合题意，舍去；当2＜t ≤4时，-232t +8t-8=165×21×4×4，解得37,343==t t ，综上得，当t=3或t=37时，2S 为△OAB 的面积的165 五、运动三角形，确定两个三角形重叠面积与距离变量之间函数的图像例5如图11，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）分析：当0≤x ≤2时，设FD 和BC 的交点为0，则三角形BDO 是一个等腰直角三角形，且斜边BD=x ，2DO =221x ，所以y=212DO =241x ，表现在函数图像上应该是一段抛物线，且经过原点，在第一象限，开口向上；当2＜x ≤4时，三角形ABC 整体进入三角形DEF 的内部，所以两个三角形重合部分，就是整个等腰直角三角形ABC ，所以此时y=1，是一个定值，表现在函数图像上，就是一段接抛物线的最大值为一个端点的线段；当4＜x ≤6时，设FD 和BC 的交点为P ，则三角形APE 是一个等腰直角三角形，且斜边AE=2-（x-4）=6-x ，所以2AO =221AE ，所以y=2)6(41x -，表现在函数图像上应该是一段抛物线，在第一象限，开口向上，且当x=6时，函数值为0．仔细对照题目中给出的所有的选项，不难发现，只有选项B 是符合以上的分析的．解：选B ．六、运动三角形，确定三角形与正方形重叠面积与时间之间函数的图像例6如图12所示，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分．．．．的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）分析：因为开始时三角形GEF与矩形ABCD之间存在着一定的距离，所以在这一段距离上运动，时间增加但是却没有面积的重合，表现在图像上就是在水平时间轴上原点的右侧形成一条水平线段．所以选项A和选项C都是错误的；当经过一段时间后，三角形GEF与矩形ABCD开始有重合的面积，且会随着时间的增加重合的面积也会逐渐增加，与例4相仿面积的增加不是直线增加，而是以二次函数的形式增加的，所以表现在函数的图像上就是一段抛物线，这样我们就可以排除选项D了．分析到这里正确的答案已经凸显出来了．解：选B．。
一次函数与图像的性质
一次函数与图像的性质在数学的世界里，一次函数是我们探索数量关系和变化规律的重要工具。
一次函数的图像就像是它的“肖像”，通过观察图像，我们能直观地了解函数的各种性质。
接下来，让我们一起深入探讨一次函数与图像的性质。
一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0）。
其中，k 被称为斜率，b 被称为截距。
斜率 k 决定了函数图像的倾斜程度。
当k ＞ 0 时，函数图像从左到右呈上升趋势；当 k ＜ 0 时，函数图像从左到右呈下降趋势。
想象一下，k 就像是一个“爬坡”的坡度，如果坡度是正的，那就是在向上爬；如果坡度是负的，那就是在向下滑。
截距 b 则决定了函数图像与 y 轴的交点。
当 x ＝ 0 时，y ＝ b，所以（0，b）就是函数图像与 y 轴的交点坐标。
b 的正负决定了这个交点在 y 轴上的位置。
如果 b ＞ 0，交点在 y 轴的正半轴；如果 b ＜ 0，交点在 y 轴的负半轴；当 b ＝ 0 时，函数图像经过原点。
比如说，函数 y ＝ 2x ＋ 3 中，斜率 k ＝ 2 ＞ 0，所以图像是上升的，截距 b ＝ 3 ＞ 0，图像与 y 轴的交点是（0，3）。
再看函数 y ＝－3x 1，斜率 k ＝－3 ＜ 0，图像下降，截距 b ＝－1 ＜ 0，图像与 y 轴的交点是（0，－1）。
一次函数的图像是一条直线。
我们可以通过两个点来确定这条直线。
通常，找两个方便计算的点，比如当 x ＝ 0 时求出对应的 y 值，得到一个点；再当 y ＝ 0 时求出对应的 x 值，得到另一个点。
然后连接这两个点，就画出了函数的图像。
一次函数图像的平移也是一个有趣的性质。
如果把一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像向上平移 m 个单位，那么新的函数就是 y ＝ kx ＋ b ＋ m；如果向下平移 m 个单位，新的函数就是 y ＝ kx ＋ b m。
向左平移 n 个单位，新的函数是 y ＝ k(x ＋ n) ＋ b；向右平移 n 个单位，新的函数是 y ＝ k(x n) ＋ b 。
一次函数与几何图形的联系
一次函数与几何图形的联系一次函数，也称为一次方程，是数学中的基础概念之一。
它表示了一个变量与另一个变量之间的线性关系。
与一次函数密切相关的是几何图形，特别是直线。
本文将探讨一次函数与几何图形之间的联系，包括一次函数的图像、斜率与截距的几何意义，以及在几何图形中应用一次函数进行问题求解的实际例子。
一、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，具有如下一般形式：y = mx + b其中，m代表斜率，b代表截距。
斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
对于斜率m，当m > 0时，直线向右上方倾斜；当m < 0时，直线向右下方倾斜；当m = 0时，直线平行于x轴。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
对于截距b，当b > 0时，直线与y轴的交点在y轴的上方；当b < 0时，直线与y轴的交点在y轴的下方；当b = 0时，直线通过y轴的原点。
通过改变斜率m和截距b的值，可以绘制出直线在坐标系中的各种位置和倾斜情况的图像。
这些图像不仅在数学中有重要意义，也在几何图形中有广泛应用。
二、斜率与截距的几何意义斜率和截距在几何图形中具有重要的几何意义，对于理解和描述直线的性质起着关键作用。
1. 斜率的几何意义斜率代表了直线上两个点之间的纵向变化与横向变化之间的比例关系。
具体来说，斜率等于直线上任意两个点的纵坐标之差与横坐标之差之比。
在几何上，当两点的纵向变化与横向变化之间的比例关系相等时，得到的直线是一条直角线，即斜率为正负无穷大。
当两点的纵向变化与横向变化之间的比例关系不相等时，得到的直线是一条斜线，斜率为有限值。
斜率还可以表示直线的坡度和倾斜程度。
当斜率越大（绝对值越大），直线越陡峭；当斜率越小（绝对值越小），直线越平缓。
2. 截距的几何意义截距代表了直线与y轴的交点在坐标系中的位置。
截距为正时，直线与y轴的交点在y轴的上方；截距为负时，直线与y轴的交点在y轴的下方；截距为零时，直线通过y轴的原点。
(精品资源)八年级上册数学课件：《15.动态图形与一次函数的关系》教学ppt课件
动态图形与一次函数的关系
解题步骤归纳
根据一次函数设 出点的坐标
垂线段最短， 定出动点位置
根据变化 图形性质
根据一次 函数特点
求出点的 坐标
求出点的 坐标
典例精讲 类型一：一次函数与变化的图形
正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点 A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=-x+2上， 则点A3的坐标为 ________．
∵直线y=x，∴∠AOC=45°，∴∠OAC=45°=∠AOC， ∴AC=OC， 由勾股定理得：2AC2=OA2=4， ∴AC=OC= 由三角形的面积公式得：AC·OC=OA·CD， ∴ × =2CD， ∴CD=1， ∴OD=CD=1， ∴B（-1，-1）．
课堂小结
一次函数与 一次函数的 变化的图形 动点问题
b=-（
3 2
+b）+2
，解得b=
1 4
，得到B3(
7 4
,
1
4 ).
故答案为：A3（
7 4
,0
）.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例精讲
类型二：一次函数中的动点问题
如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y=x上运 动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
解：过典A作例A精C⊥讲直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，
当B和C重合时，线段AB最短，
典例精讲
解：设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t,t），所以t=-t+2.
解得t=1，得到B1（1,1）.
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a,a），所以a=-（1+a）+2.
初中数学 如何通过函数的图像判断其是否为一次函数的平移或伸缩
初中数学如何通过函数的图像判断其是否为一次函数的平移或伸缩
通过函数的图像来判断其是否为一次函数的平移或伸缩是初中数学中的一个重要概念。
在本文中，我们将详细讨论如何通过函数的图像来判断其是否为一次函数的平移或伸缩。
要通过函数的图像来判断其是否为一次函数的平移或伸缩，我们可以按照以下步骤进行：
1. 观察图像的线性关系：首先，我们需要观察函数图像是否呈现出直线的形状。
一次函数的图像是一条直线，它具有线性关系。
2. 确定函数的斜率：通过观察函数图像的斜率，我们可以确定函数的线性关系。
一次函数的斜率是常数，它表示函数的变化率。
3. 观察图像的平移或伸缩：通过观察函数图像的形状和位置，我们可以判断函数是否经过了平移或伸缩。
平移是指将函数图像上下左右移动，而伸缩是指将函数图像拉长或缩短。
4. 判断平移或伸缩关系：通过观察图像的线性关系、函数的斜率和图像的平移或伸缩，我们可以判断函数是否经过了平移或伸缩。
如果函数图像是一条直线且具有常数斜率，并且图像经过了平移或伸缩，那么函数是经过了平移或伸缩的一次函数。
需要注意的是，判断函数的平移或伸缩仅仅通过函数的图像是不能给出准确的结论的。
为了更准确地判断函数是否经过了平移或伸缩，我们还需要使用其他方法，如函数的数学定义和性质进行分析。
通过了解如何通过函数的图像判断其是否为一次函数的平移或伸缩，你可以更好地理解函数的性质和变化。
这对于解决实际问题和进一步深入学习数学非常重要。
希望本文能够帮助你更好地理解和应用这一概念。
动态演示函数图象的平移与函数解析式的关系
动态演示函数图象的平移与函数解析式的关系
（细心观察图象平移的距离、方向与函数解析式之间的关系）
抛物线的平移：
（1）左右平移时：
（2）上下平移时：
（3）沿直线y=2x平移时：
（4）任意平移时：
直线的平移：
（1）左右平移时：
（2）上下平移时：
（3）任意平移时：
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双曲线的平移：
（1）左右平移时：（2）上下平移时：（3）任意平移时：
若将平面直角坐标系平移（原函数图象不动），解析式又是如何呢？
下面就以抛物线线进行展示，其他函数图象也类似.
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函数与图像的关系与变化规律
函数表示方法：函数的 表示方法主要有解析法 、表格法和图象法三种 。
解析法：用含有数学表 达式的等式来表示两个 变量之间的函数关系的 方法叫做解析法。
表格法：用列表的方法 来表示两个变量之间函 数关系的方法叫做列表 法。
图象法：把一个函数的 自变量$x$与对应的因变 量$y$的值分别作为点的 横坐标与纵坐标，在直 角坐标系内描出它的对 应点，所有这些点所组 成的图形叫做该函数的 图象。
在平面上画出隐函数中等于某一常 数的点的轨迹，即等值线。通过一 系列等值线可以大致了解隐函数的 图像形状。
梯度法
利用隐函数的梯度方向可以判断函 数值的变化趋势，从而绘制出函数 的图像。这种方法适用于难以转化 为显函数的隐函数。
03
函数变化规律分析
增减性判断方法
导数法
通过求导判断函数的单调性，若 在某区间内导数大于0，则函数在 该区间内单调增加；若导数小于0 ，则函数在该区间内单调减少。
各点。
曲线连接
用平滑的曲线连接各点 ，得到函数的图像。
多元函数图像绘制技巧
确定函数定义域
根据函数表达式确定函数的定义域，即函 数自变量的取值范围。
曲面连接
用平滑的曲面连接各点或区域，得到函数 的图像。
选择合适的视角
对于多元函数，需要选择合适的视角来展 示函数的图像，如三维坐标系或等高线图 等。
描点画图
反函数的图像
反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。如果原函数在某区间内单调， 则其反函数在该区间内也存在且单调性相反。
05
参数方程与极坐标下函数关系研 究
参数方程基本概念及性质介绍
参数方程定义
通过引入一个或多个参 数来表示变量间关系的 方程，常用于描述曲线 和曲面。
一次函数图像时带动画的
大小不过二
小大不过三
小小不过一
排兵布阵 抢答题
D 1(09湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数y=-2x+3的图象经过（
）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限 2(2009宁夏)5．一次函数y=3x-2的图象不经过（ ）
B
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
y=x-1
2．比较函数解析式，直线
y= x+1和y=x-1中k > 0；
合作探究（三）
1．比较函数图象，直线y=－2x+1和y=－2x-1由
左向右 下降 ，y随x的增大而 减小 。
2．比较函数解析式，直线y=－2x+1和y=－2x-1
中k < 0。
y=-2x+l y=-2x-1
y=-2x+l y=-x+l
时，向___平移；当b<0时，向___平移）。
(０,b) Y
X 0
图象与y轴交于(0，b)， b就是与y轴交点的纵坐标，
直线y = kx+b (k≠0) 的图象可看作直线 y = kx 进行平移得到的.
y
x o
y = kx+b
y = kx y = kx+b
特性：当k相同时,两直线平行 y
x
o
y=kx+b
们函联数想图：象一有次什函么数影解响析式y=kx+b(k即,b是y随常数x的，k增≠0大)中而，k增的大正负；对 当k<0时,直线y=kx+b由左至右上升，
即y随x的增大而减小 .
可以发现规律：
当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升； 当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降。
一次函数菱形三定一动
一次函数菱形三定一动
一次函数是指具有一次幂的多项式函数，其一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数。
菱形是一个具有四条边且对角线相等的几何形状。
而"三定一动"是指在确定了三个条件后，剩下的一个条件是可以变动的。
如果我们将一次函数和菱形结合起来，可以考虑以下情况：
1. 三个定点确定一次函数和菱形的形状，假设我们已经知道菱形的三个顶点的坐标，可以通过这三个点来确定一次函数的斜率和截距。
然后，通过这个一次函数，我们可以确定菱形的其他点的坐标。
2. 一次函数确定菱形的形状，三个定点可以变动，假设我们已经知道一次函数的斜率和截距，可以通过一次函数来确定菱形的形状。
然后，我们可以选择三个点在这个一次函数上，这三个点的坐标可以变动，但是它们始终在一次函数上。
3. 三个定点确定一次函数，菱形的形状可以变动，假设我们已经知道菱形的三个顶点的坐标，可以通过这三个点来确定一次函数
的斜率和截距。
然后，我们可以选择不同的三个顶点，这样菱形的形状就可以变动，但是它们始终满足一次函数的性质。
总结起来，一次函数和菱形之间的关系可以是相互确定的，也可以是相互变动的。
通过确定或变动一次函数的斜率和截距，以及菱形的顶点坐标，我们可以得到不同形状的菱形。
这是一种将几何形状和代数函数结合起来的思考方式。
初二一次函数结合图形
初二一次函数结合图形初中学生探索数学世界，特别是在一次函数和图形方面，是一件非常有挑战性和趣味性的事情。
一次函数与图形结合，不仅可以加深学生对一次函数的理解，也有助于培养学生的逻辑思维能力，完成各种推理与计算的活动。
一次函数的定义是一种关系，它把一个变量的值变为另一个变量，从而可以以图像的形式表达，一次函数的图形表示为一条直线，该直线的斜率是特定的值，表示函数的变化率。
助一次函数的图形，可以更好地理解函数的变化情况，从而分析函数的属性，如直线的斜率，以及其他图形的相关属性。
初中生学习一次函数时，可以通过画折线图和柱状图、给定一次函数的一般式，来探究一次函数图形，借助着图形，可以更容易地理解一次函数的概念，并利用图像中的点，推导出一般式的形式。
以一次函数的图形表达具有以下优点：（1）可以通过观察一次函数图形轻松地获得一条直线的斜率，从而分析函数的变化情况；（2）通过比较两个一次函数图像，可以快速地判断两个函数是否相等；（3）可以通过比较一次函数图形与x轴，y轴和其它直线，从而判断一次函数的属性；（4）可以通过图形容易的看出一元二次函数的根，从而方便定义域的分析；（5）图形法可以很容易地求解函数的极值点，从而可以分析函数的最大值和最小值的情况。
因此，一次函数的图形结合是初中数学学习的重要方法，图形法不仅可以帮助学生更好地理解函数的特性，还可以让学生更好地掌握解决问题的技能。
图形和一次函数的结合，让学习变得栩栩如生，具有实际意义，也更加有趣。
比如通过建立一次函数模型，可以把数学知识应用到社会实践中去，让学生更加实践，更加接地气。
教师可以采用多种教学方法，如实践活动、游戏等，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力，让学生真正地体会到一次函数的乐趣所在。
比如，通过举例结合上下文，让学生编出自己的一次函数，或让学生自己数推出一次函数的一般式，举办实际活动，让学生通过图像实际体会一次函数的用意，让学生更加实践，更充分地利用图形法学习一次函数。
与一次函数有关系的动态问题
班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 一、选择题1. (2012 黑龙江省龙东地区) 如图所示，四边形ABCD 是边长为4cm 的正方形，动点P 在正方形ABCD 的边上沿着A B C D →→→的路径以1cm/s 的速度运动，在这个运动过程中APD △的面积()2cm s 随时间()s t 的变化关系用图象表示，正确的是（ ）．二、复合题2. (2011 云南省曲靖市) 如图：直线y=kx+3与x 轴、 y 轴分别交于A 、B 两点，tan ∠OAB=34，点C(x,y)是直线y=kx+3上与A 、B 不重合的动点. (1) 求直线y=kx+3的解析式；(2) 当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6； (3) 过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点， 是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在， 请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.三、动态几何3. (2012 广东省梅州市) 如图，矩形OABC 中，(6,0)A、C、D ，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴正半轴上动点，满足60PQO =∠.（1）①点B 的坐标是 ；②CAO ∠= 度；③当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标为 ；（直接写出答案）（2）设OA 的中心为N ，PQ 与线段AC 相交于点M ，是否存在点P ，使AMN △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的横坐标为m ，若不存在，请说明理由.（3）设点P 的横坐标为x ，OPQ △与矩形OABC 的重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围.4. (2012 福建省福州市) 如图①，在Rt ABC △中，90C ∠=°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD BC ∥，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度； (3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．5. (2012 江苏省无锡市) 如图1，A D 、分别在x 轴和y 轴上，CD x ∥轴，BC y ∥轴．点P 从D 点出发，以1cm/s 的速度，沿五边形OABCD 的边匀速运动一周．记顺次连接P O D 、、三点所围成图形的面积为S cm 2，点P 运动的时间为t s ．已知S 与t 之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI 所示．(1) 求A B 、两点的坐标；(2) 若直线PD 将五边形OABCD 分成面积相等的两部分，求直线PD 的函数关系式．6. (2012 江苏省无锡市) 对于平面直角坐标系中的任意两点111()P x y ，、222()P x y ，，我们把1212x x y y -+-叫做1P 、2P 两点间的直角距离，记作12()d P P ，．(1)已知O 为坐标原点，动点()P x y ，满足()1d O P =，，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；(2)设000()P x y ，是一定点，()Q x y ，是直线y ax b =+上的动点，我们把0()d P Q ，的最小值叫做0P 到直线y ax b =+的直角距离．试求点(21)M ，到直线2y x =+的直角距离．班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线---------------------------------------------7. (2012 北京市) 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y -≥-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12x x -； 若1212x x y y <--，则点1P 与点2P的“非常距离”为12y y -． 例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为1325-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）．（1）已知点1(0)2A B -，，为y 轴上的一个动点， 若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； 直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线334y x =+上的一个动点， ①如图2，点D 的坐标是(01)，，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．8. (2012 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线24y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，四边形ABCO 是平行四边形，直线y x m =-+经过点C ，交x 轴于点D ．（1）求m 的值；（2）点()0P t ，是线段OB 上的一个动点（点P 不与O B ，两点重合），过点P 作x 轴的平行线，分别交AB OC DC ，，于点E F G ，，．设线段EG 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）（3）在（2）的条件下，点H 是线段OB 上一点，连接BG 交OC 于点M ，当以OG 为直径的圆经过点M 时，恰好使BFHABO ∠=∠，求此时t 的值及点H 的坐标．备用图班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线---------------------------------------------9. (2012 辽宁省沈阳市) 已知，如图，在平南直角坐标系内，点A 的坐标为(024)，，经过原点的直线1l 与经过点A 的直线2l 相交于点B ，点B 坐标为(186)，． （1）求直线1l ，2l 的表达式；（2）点C 为线段OB 上一动点（点C 不与点O B ，重合），作CD y ∥轴交直线2l 于点D ，过点C ，D 分别向y 轴作垂线，垂足分别为F E ，，得到矩形CDEF ．①设点C 的纵坐标为a ，求点D 的坐标（用含a 的代数式表示）； ②若矩形CDEF 的面积为60，请直接．．写出此时点C 的坐标．10. (2012 广西来宾市) 已知点A （6，0）及在第一象限的动点P （x ，y ），且2x ＋y ＝8，设△OAP 的面积为S ．（1）试用x 表示y ，并写出x 的取值范围； （2）求S 关于x 的函数解析式；（3）△OAP 的面积是否能够达到30？为什么？。
中考数学复习指导：例谈一次函数图象的运动变化
例谈一次函数图象的运动变化本文例举一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象的平移、对称、旋转等运s动变化．图形的运动变化归根结底是图形上点的运动变化．如何将图形的运动转化为点的运动来处理，本文供你学习参考．1 一次函数图象的平移例1 (1)直线y＝2x沿y轴向上平移3个单位长度后，求得到的直线关系式；(2)直线y＝2x－2沿x轴向左平移3个单位后，求得到的直线关系式．分析 一次函数y＝kx＋b的图象向上、下或左右平移，其k的值不变．沿y轴上下平移，可参看图象与y轴交点(0，b)位置的变化；图象沿x轴左右平移，可参看图象与x轴交点（，0）位置的变化．解(1)如图1，设平移后的直线关系式为y＝2x＋b．把y＝2x图象沿y轴向上平移3个单位长度后，与y轴的交点坐标为(0，3)．把(0，3)代入y＝2x＋b，得，b＝3．所以平移后的直线关系式为y＝2x＋3．(2)如图2，设平移后的直线关系式为y＝2x＋b．把直线y＝2x－2沿x轴向左平移3个单位长度后与x轴的交点坐标为(－2，0)．把（－2，0）代入y＝2x＋b，得b＝4．所以平移后的直线关系式为y＝2x＋4．2 一次函数图象的轴对称例2 (1)求直线y＝x关于x轴对称的直线关系式；(2)求直线y＝x－2关于y轴对称的直线关系式．分析正比例函数y＝kx(k≠0)的图象关于x轴(y轴)对称，通常找原点(0，0)和点（1，k)这两点关于x轴（y轴）的对称点；一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象关于x轴（y轴）对称，通常找（－b/k，0）和(0，b)这两点关于x轴（y轴）的对称点． 解(1)如图3，设关于x轴对称的直线关系式为y＝kx－(k≠0)．因为直线y＝x经过点（1，），所以关于x轴对称的新直线必过点（1，－）．把（1，－）代入y＝kx，得k＝－．所以关于x轴对称的直线关系式为y＝－x．(2)如图4，设关于y轴对称的直线关系式为y＝kx＋b(k≠0)．因为直线y＝x－2经过点(2，0)和点(0，－2)，所以关于y轴对称的新直线必过点（－2，0）和点（0，－2）．把（－2，0）、（0，－2）代入y＝kx＋b，得k＝－1，b＝－2．所以关于y轴对称的直线关系式为y＝－x－2．3 一次函数图象的旋转例3 求(1)把直线y＝x－2绕原点O旋转180°后得到的直线的关系式；(2)把直线y＝x＋2绕点A(0，2)逆时针旋转90°后得到的直线的关系式；(3)把直线y＝－x＋3绕原点O顺时针旋转90°后得到的直线的关系式．分析直线旋转主要是抓住旋转的三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角度，找（－，0）和(0，b)这两点绕定点旋转后的对称点．解(1)如图5，设绕原点O旋转180°后的直线关系式为y＝kx＋b（k≠0）．因为直线y＝x－2经过点(2，0)和点（0，－2），所以绕原点O旋转180°后的新直线必过点（－2，0）和点(0，2)．把（－2，0）、(0，2)代入y＝kx＋b，得k＝1，b＝2．所以绕原点O旋转180°后的直线关系式为y＝x＋2．(2)如图6，设绕点A逆时针旋转90°后的直线关系式为y＝kx＋b(k≠0)，因为直线y＝x＋2经过点（－2，0）和点(0，2)，所以绕点A(0，2)逆时针旋转90°后的新直线必过点(2，0)和点(0，2)．把(2，0)、(0，2)代人y＝kx＋b，得k＝－1，b＝2．所以关于y轴对称的直线关系式为y＝－x＋2．(3)如图7，设绕原点O顺时针旋转90°后的直线关系式为y＝kx＋b（k≠0），因为直线y＝－x＋3经过点(4，0)和点(0，3)，所以绕原点O顺时针旋转90°后的新直线必过点(0，－4)和点(3，0)．把(3，0)、（0，－4）代入y＝kx＋b，得k＝，b＝－4．所以绕原点O顺时针旋转90°后的直线关系式为y＝x－4．。
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设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B2（ 2 +b,b）. b=-（ +b）+2 ，解得b= ，得到B3(
7 7 4
,
1 4 ).
故答案为：A3（ 4 ,0 ）.
典例精讲
类型二：一次函数中的动点问题
如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y=x上运 动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
课堂小结
一次函数 一次函数 与变化的 的动点问 图形 题
解：过 A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D， 典例精讲 当B和C重合时，线段AB最短， ∵直线y=x，∴∠AOC=45°，∴∠OAC=45°=∠AOC， ∴AC=OC， 由勾股定理得：2AC2=OA2=4， ∴AC=OC= 由三角形的面积公式得：AC· OC=OA· CD， ∴ × =2CD， ∴CD=1， ∴OD=CD=1， ∴B（-1，-1）．
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初中数学
动态图形与一次函数的关系
解题步骤归纳
根据一次函数设 出点的坐标 垂线段最短，定 出动点位置 根据变化 图形性质 求出点的 坐标 求出点的 坐标
根据一次 函数特点
典例精讲
类型一：一次函数与变化的图形
正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1 、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=-x+2上，则
点A3的坐标为 ________．
典例精讲
解：设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t,t），所以t=-t+2. 解得t=1，得到B1（1,1）. 设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a,a），所以a=-（1+a）+2. 解得a=
3 21 2，来自到B2（ 2 , 2）.3
1 4
3
1