三角函数的几何表示.ppt

M
o
x
p
M
o
x
p
思考：设α为锐角，你能根据正弦线和 余弦线说明sinα＋cosα>1吗？
y
P
MP＋OM>OP=1
OM x
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
tan

y x

MP OM

AT OA
α
o
MA x
若角α的终边落在轴上
则|sinα|和|cosα|必有一个为1，
另一个为0， sin²α＋cos²α＝1
课堂小结
1、单位圆：半径为单位长度的圆 2、三角函数线： （1）正弦线 （2）余弦线 （3）正切线 3、三角函数线的应用
(1)
(2) 5
4
6
比较大小： sin1和sin1.5;
解：由三角函数线得 sin1<sin1.5 cos1>cos1.5
例2 在0～2 内，求使 sin a > 3 成立的α的取值
范围.
2
y
y= 3 2
P2
P P1
OM
x
, 2
3 3
例3 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域. y
P2 P
OM
x
x
P1
=
1
2




3

2k
,

3

2k
,
k

Z
求函数
的定义域.
求函数
的定义域.
思考：观察下列不等式：
sin tan
66
6
sin tan
44
4
sin tan
33
3
你有什么一般猜想？
思考：对于不等式 sin a < a < tan a
三角函数的几何表示
一、任意角三角函数的定义:
定 义 ： 设是 任 意 角 ， 它 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P（ x,y） ， 则
sin=y cos=x
y tan= x (x0) 以 上 三 者 是 以为 自 变 量 ， 以 单 位 圆上点的坐标或坐标比值为函数值 的函数，统称为三角函数。

AT
正切线:AT
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位 圆的交点为P（x，y），则 tan y 是负数， 此时用哪条有向线段表示角α的正切x 值最合
适？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交 点为P（x，y），则 tan y 是负数，此时用哪条 有向线段表示角α的正切值最x 合适？
++
-
-
sin
-+
-+
cos
-+ +tan
α
00 300 450 600 900 1800 2700 3600
弧度 0

6

43

2

3
2

sin α 0
cos α 1 tan α
0
1
2
2
2
3
2
22
3
1
3
31
0
2
1 0 -1
2
3 不存在 0
-1 0 01 不存在 0
sin( k 2 ) sin , cos( k 2 ) cos , tan( k 2 ) tan ,
y
tan y AT T P
x
A
AMO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点 为P（x，y），则 tan y 是正数，此时用哪条有向 线段表示角α的正切值最合x 适？
tan y AT
x
y T
AM O Ax
P
T
思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
yT P
y
P(x,y)

O
M A(1,0) x
定义2：任意角α的三角函数还可以用终边上任意点P（x,y）
表示,设OP=r,则
r
有s
x2 y
in
2y.，c
os

x ，tan

y.
r
r
x
二、三角函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
R
cosα tanα
R {α|α≠ ＋2kπ(k∈Z)}
三、三角函数在各象限的符号
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
yT P
O M Ax
例练讲解
例3 设α是任意角，作α的正弦线、余弦线、正切线，
由图证明下列各等式:
y
sin²α＋cos²α＝1 ；
T
证明：（1）若角α终边落在象限内，由
N
P
图可知sin²α＋cos²α
=ON² +OM² =PM² +OM² =OP² =1
探究：角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量
特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形 上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统 一.
MP y sin
OM x cos
y
p(x , y)
M
oM x
P(x,y)
p p(x , y)
oM x
Mo
x
正弦线
y 余弦线
y
O
Ax
y P
A
O
x
T
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反 向延长线相交于点T，则AT=tanα.
思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线 的含义如何？
y P P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当 角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
终边相同的角的同一 三角函数的值相等。
其中k∈Z
一、背景知识
任意角的三角函数是三角学中最基本
最重要的概念之一。三角学起源于对三角 形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰 斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量， 在相当长的时期里隶属于天文学。直到 1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著《论各 种三角形》，才独立于天文学之外对三角 知识作了较系统的阐说；14~16世纪，三角 学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究 的方面包括三角函数值表的编制、平面三 角形和球面三角形的解法，三角恒等式的 建立和推导等等。1631年，三角学输入中 国，三角学在中国早期比较通行的名称是 “八线”和“三角”。“八线”是指在单 位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦 线、正切线、余切线、正割线、余割线、 正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角 函数成为研究自然界和生产实践中周期变 化现象的重要数学工具，它在测量、力学 工程和无线电学中有着广泛的应用。