复合函数的零点问题

c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称
x0 为 f (x) 的二阶周期点，求函数 f (x) 的二阶周期点．
析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨 论思想、数形结合思想解题.
【答案】函数 f (x) 有且仅有两个二阶周期点，
x1
a2
a a
1
，
x2
a2
1 a
．
1
点．
５.复合函数零点问题的特点:考虑关于 x 的方程 g f x 0 根的个数，在解此类问题时，要分为两层来 分析,第一层是解关于 f x 的方程，观察有几个 f x 的值使得等式成立;第二层是结合着第一层 f x 的 值求出每一个 f x 被几个 x 对应，将 x 的个数汇总后即为 g f x 0 的根的个数．
0
,
0
2 x x2,
x0
y f (x) f (2 x) 4 x 2 x ,
0 x 2 ,即
2 2 x (x 2)2, x 2
x2 x 2, x 0
y f (x) f (2 x) 2,
0 x2
x2
5x
8,
x
2
y f (x) g(x) f (x) f (2 x) b ,所以
当 a2 x a 时，由 1 (a x) x 解得 a(1 a)
x
a2
a a
1
(a2 ,
a),
因
f
( a2
a
a
) 1
1 a
a2
a a
1
a2
1 a
1
a2
a a
1
，
故
x
a2
a a
是
1
f
(x)
的二阶周期点；
当
a
x
a2
a
1时，由
1 (1 a)2
(x
a)
x
解得
x 1 (a, a2 a 1) ,因 2a
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
注意:①如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数 f x 在区间a,b 上是一个 单调函数,那么当 f (a) · f (b) 0 时，函数 f x 在区间 (a, b) 内有唯一的零点,即存在唯一的
x D,
Fra Baidu bibliotek
其中集合
x, x D,
D
x
x
n 1, n
n
N* ，则方程
f
(x)
lg
x
0
的解的个数是
点．本题能较好的考查学生的运算能力、动 手作图能力以及观察能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常 基本以选择题或填空题的形式出现,综合性
▲.
强，难度大．
【答案】8
【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽
例如:已知 f x 2x, g x x2 x ,计算 g f 2 ． 【解析】 f 2 22 4 , g f 2 g 4 12 ．
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
--
--
f
2
1
a
1 1
a
1
2
1
a
2
1
a
故
x
2
1
a
不是
f (x) 的二阶周期点;
当 a2 a 1 x 1时, 1 (1 x) x 解得 a(1 a)
x
a2
1 a
1
(a2 a 1,1) ,因
f ( 1 ) 1 • (1 1 ) a 1 ，
a2 a 1 1 a
a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1
--
复合函数的零点问题
I．题源探究·黄金母题
精彩解读
【例
1】设函数
f
(x)
1 a
x 1
,
1 a
0 xa,
1 x , a
x
(a 1
为常数且
a 0,1 ).
【试题来源】２0１3 年高考江西卷改编. 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合 函数、分段函数的零点,难度较大．新定义 (信息题）是近几年来高考的一个热点． 【思路方法】理解定义,写出复合函数的解
Ｃ.
,
1 2
1,
D．
1 2
,1
Ａ（0,﹣２),B(３，1)，C（4， ０)，则ｇ（ｘ）的图象介于直线ＡB 和 AC 之间，介于 kAB<m<kAC，可得 1 2
--
--
＜m＜1.故答案为：( 1 ，1）． 2
点睛:函数ｈ(ｘ)=ｆ(ｘ）﹣mx+2 有三个不同的零点,即为 f(x)﹣mｘ+２=0 有三个不同的实根,可令 y=ｆ（x）, ｙ=g（ｘ)=mx﹣2,分别画出 y＝f(x）和 y=g（ｘ)的图象,通过图象观察,结合斜率公式,即可得到 m 的范围.
--
--
中交点除 1, 0 外其它交点横坐标均为无理数,属于每个周期 x D 的部分,且 x 1处 lg x 1 1 1，则在
x ln10 ln10 x 1 附近仅有一个交点,一次方程解的个数为 8.
【例 3】【2015 年高考天津】已知函数
f
x
2 x ,
x 22
x ,
x
2,
2,
y f x g x 恰有４个零点等价于方程
f (x) f (2 x) b 0 有 4 个不同的解,即函数 y b 与函 数 y f (x) f (2 x) 的图象的４个公共点，由图象可知
--
--
7 b 2. 4
8 6 4 2
15
10
5 2 4 6 8
5
10
15
IＩI.理论基础·解题原理
--
--
【例 3】【2018 河南天一大联考】已知函数
3 个实数根,则实数 的取值范围是（
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】作图如下：
若关于 的方程
有
因此要使方程
有３个,实数 的取值范围是
，选 D.
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草
图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶
lg x n , m, n N*, m 2 ，且 m, n 互质 m
n
因此10 m
q
，则10n ( q )m
，此时左边为整数，右边非
p
p
整数,矛盾,因此 lg x Q
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，只需
考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点，画出函数图象,图
，当
时,
,若在区间
4 个不同的根,则实数 的取值范围是(
内关于 的方程 ）
（ 且 )有且只有
A．
B.
【答案】D
C．
D．
【解析】由题意可得函数 f(x)的对称轴为 x＝2,周期为 T=4，原方程变形为
，
，
所以只需画出
，两个函数在区间（-2,6）的图像,根据图像求ａ的范围,图像如下，
一定过(-1,0)点，当
【解析】由于 f (x) [0,1) ,则需考虑1 x 10 的情况
茧剥丝”,把复合函数问题转化为单函数问
在此范围内, x Q 且 x Z 时,设
题,准确作出函数图象,利用图象解决问题．
x q , p, q N*, p 2 ，且 p, q 互质 p
若 lg x Q ，则由 lg x (0,1) ，可设
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
函数 g x b f 2 x ,
其中 b R ,若函数 y f x g x 恰有４个零点，则 b 的
取值范围是 (）
A.
7 4
,
【答案】Ｄ.
【解析】
Ｂ．
,
7 4
C．
0,
7 4
D.
7 4
,
2
由
f
x
2 x ,
x 22
x ,
x
2, 2,
得
f
(2
x)
2
x
2
,
2
x
,x x
一定有 f (a) · f (b) 0 ，也可能有 f (a) · f (b) 0 ．
V.举一反三·触类旁通
【例１】【2０18 四川绵阳一诊】函数 满足
，且当
时，
.若函数
的图象与函数
A．
B.
【答案】C
（ ,且 ）的图象有且仅有 4 个交点,则 的取值集合为( ）
Ｃ.
D．
【例 2】【２018 南宁高三毕业班摸底联考】设函数 是定义在 上的偶函数，且
性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.
【例 4】【20１8 广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数 f x {log3x, 0 x 3 ，若函数
x4 ,x 3
h x f x mx 2有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是( ）
A．
1 2
,1
【答案】Ａ
B．
,
1 2
1,
由上例可得,要想求出 g f x 0 的根,则需要先将 f x 视为整体，先求出 f x 的值,再求对应 x 的解，
这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回顾零点的定义．
４．函数的零点：设 f x 的定义域为 D ,若存在 x0 D ,使得 f x0 0 ，则称 x x0 为 f x 的一个零
1
a
2
x, 0
x
a2,
1 (a x), a2 x a,
【解析】
f
(
f
( x))
a(1 a)
(1
1 a)2
(
x
a), a
x
a2
a
1,
1
(1 x), a2 a 1 x 1.
a(1 a)
当0
x
a2
时,由
1 a2
x
x 解得
x
0 ，由于
f
0
0 ,故
x 0不是 f x 的二阶周期点;
的范围． 【易错指导】 １.函数零点—忽视单调性的存在.例如:若函数 f(x)在区间[－２,2]上的图象是连续不断的曲线,且 f(x)在 (－2，２)内有一个零点，则 f(－２)·f(2）的值 (） Ａ.大于 0 Ｂ．小于 0 C．等于０ Ｄ.不能确定 解答：若函数 f（ｘ)在(-2,2）内有一个零点，该零点可分两种情况:（1)该零点是变号零点，则ｆ（－ ２)·f(2）<0；(2）该零点是非变号零点，则 f(－２)·ｆ（２)>0,因此选Ｄ. 易错警示： 警示１:错误认为该零点是变号零点；警示 2:不知道非变号零点这种情况． 方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定,但要确定零 点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上,如果函数是单调的,它至多有一个零点, 如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负,作出正确判断. 本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上,当 f(x）在（-2,２)内有一个零点 时,f(-2)·f（2)的符号不能确定. 2.要注意对于在区间[a,b]上的连续函数 f(x),若ｘ０是 f（x)的零点,却不一定有 f(a)·f（b)<0，即 f(a)·f(b）<０仅是ｆ（x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件． 注意以下几点:①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时,也可能有零点．
故
x
a2
1 a
是
1
f
(x)
的二阶周期点.
综上:函数 f (x) 有且仅有两个二阶周期点，
x1
a2
a a
1
,
x2
a2
1 a
1
.
IＩ．考场精彩·真题回放
【例 2】【201７年高考江苏卷】设 f (x) 是定义在 R 且周期为 【命题意图】本题主要考查复合函数的零
1
的函数，在区间 [0,1)
上,
f
(x)
x2 ,
IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大． 【技能方法】
--
--
求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出 f x, g x 的图像 （2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于 f x 的方程 g f x 0 中 f x 解的个数,再根据个 数与 f x 的图像特点,分配每个函数值 fi x 被几个 x 所对应,从而确定 fi x 的取值范围，进而决定参数