《点估计的评价标准》PPT课件
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概率统计6.2__点估计的评价标准
6.2 点估计的评价标准1,总体X U （θ，2θ）是未知参数，又1x ,…..,nx为取自该总体的样本，_x 为样本均值。
（1）证明 θ =23x --是参数θ的无偏估计和相和估计；（2）求θ的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相和估计吗？ 解 （1）总体X U(θ，2θ）,则 2123(),()2nE X Var X θθ==-，从而123()2E x θ=, ()212Var x n θ=于是，E （θ ）=_2()3E x =θ，这说明θ =_23x 是参数θ的无偏估计。
进一步，224()091227Var n nθθθ=⨯=→这就证明了θ也是θ的相和估计。
（2）似然函数为(1)()()(2),1()n nL I x x θθθθ=<<<显然()L θ是θ的减函数，且θ的取值范围为()(1)2n xx θ<<，因而θ的最大似然估计为()2n mlexθ=下求mleθ的均值与方差，由于()n x 的密度函数为1()()n f x n x θθ-=-。
1θ=1()n n nx n θ--，（2x θθ<<）,故2112(1)021()(),1()n n n nnn E xdx t dt n x n x t θθθθθθθ--+==+=+-⎰⎰2221222482()(1)(2)(1)()n n nE dx n n n x n x xθθθθ-++==++-⎰22()(2)(1)n n Var n x n θ=++，从而()121()()22(1)n n E E n n x θθθ+==→→+∞+ ，这说明mleθ不是θ的无偏估计，而是θ的渐进无偏估计。
又22()1()()0()44(2)(1)n n V Var n n x n θθ==→→+∞++， 因而mleθ是θ的相和估计。
2，设123,,x x x 是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值μ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1） 1123111233x x x μ=++ （２） 2123111333x x x μ=++ （３） 3123112663x x x μ=++ 解 先求三统计量的数学期望，1123111111()()()(),236236E E E E x x x μμμμμ=++=++= 2123111111()()()()333333E E E E x x x μμμμμ=++=++= 3123112112()()()()663663E E E E x x x μμμμμ=++=++= 这说明它们都是总体均值μ的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为2σ则222211231111117()()()()4936493618V a r V a r V a r V a r x x x μσσσσ=++=++=222221231111111()()()()9999993Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++=222231231141141()()()()36369363692Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++= 不难看出(1,)(,)L M x L M x += 213()()()Var Var Var μμμ<<。
6-2点估计的评价标准-PPT课件
例7. 设 (x 1, x 2, , x m) 是总体 X 的一个样本 , X ~ b(1 , p). （1）求p 2 的无偏估计量； （2）证明 1／p 的无偏估计不存在.
x 1 e 例8. 设总体 X 的密度函数为 p( x; ) (x , x , , x ) 为 X 的一个样本， 0
1 2 k
ˆ ˆ ˆ 数，则 是 的相合估计. g ( . . . . , n n, n, n)
例1. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个 样本, 证明：θ的最大似然估计是相合估计. （P294）
x 1 e X ~ p(x; ) 0
为无偏方差.
2 EX 2
的无偏估计.
1 样本二阶原点矩a 2 x i2 是总体二阶原点矩 n i 1
n 12 n 2 *2 E ( S ) 注 2.由于 ,称 S 为 2 的渐近无偏估计 n
2 *
注 3.同一参数可能有多个无偏估计（U.E不唯一）.
注 4 . 无 偏 估 计 不 具 有 不 变 性 , 即 ˆ 当 是 θ 的 无 偏 估 计 时 , g ( θ ) 却 未 必 是 g ( θ ) 的 无 偏 估 计 .
2. 设 n 是 的一个估计, 且 ˆ ) 0 定理1 lim V a r ( ˆ n limE( )
n
定理2
则 ˆ n 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
ˆ , ˆ ,...., ˆ 分别是 1,2,....,k 的相合 3. 若 n n n 1 2 k g ( ,2 , . . . . , ) 估计， 是 1,2,....,k的连续函 1 k
点估计(课件)
i 1 10 1 x ( 1050 ... 1200 ) 1147(小时) 用1147估计μ 10 1 10 统计量 X X i 称为参数μ的估计量; 10 i1 1 10 统计量 X 的观测值 x xi 1147 称为参数μ的 10 i 1
估计值.
一般地， 设总体的分布中 有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ, 即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1 , X 2 ,..., X n 相应的一个样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn 构造一个统计量 h( X1 , X 2 ,..., X n )， 用它的观测值 h( x1 , x2 ,..., xn )来估计未知参数θ, 称 h( X1 , X 2 ,..., X n ) 为θ的估计量; h( x1 , x2 ,..., xn ) 为θ的估计值. ˆ ( X , X ,..., X ) 和 ˆ ( x , x ,..., x ) 分别记为 1 2 n 1 2 n
2
2 DX EX , 例 设 X 是任一总体, 存在,
X1 , X 2 ,..., X n 是来自 X 的简单随机样本, 则 2 1 n 2 (3) S0 X i X 不是 DX 2 的无偏估计量. n i 1 即 E ( S02 ) 2 2 n 2 n1 n n1 2 1 1 2 Xi X S 证 S0 X i X n n n 1 i 1 n i 1 n1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 E ( S0 ) E S E( S ) n n n
一、点估计
例 某厂在某月内 生产了一大批灯泡, 设X是 灯泡的寿命, X是随机变量,代表总体. 已知 但平均寿命μ未知, 于是厂家 X ~ N ( , 952 )， 抽出10只灯泡, 进行寿命试验, 得到10只灯泡 的寿命如下:
估计值.
一般地， 设总体的分布中 有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ, 即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1 , X 2 ,..., X n 相应的一个样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn 构造一个统计量 h( X1 , X 2 ,..., X n )， 用它的观测值 h( x1 , x2 ,..., xn )来估计未知参数θ, 称 h( X1 , X 2 ,..., X n ) 为θ的估计量; h( x1 , x2 ,..., xn ) 为θ的估计值. ˆ ( X , X ,..., X ) 和 ˆ ( x , x ,..., x ) 分别记为 1 2 n 1 2 n
2
2 DX EX , 例 设 X 是任一总体, 存在,
X1 , X 2 ,..., X n 是来自 X 的简单随机样本, 则 2 1 n 2 (3) S0 X i X 不是 DX 2 的无偏估计量. n i 1 即 E ( S02 ) 2 2 n 2 n1 n n1 2 1 1 2 Xi X S 证 S0 X i X n n n 1 i 1 n i 1 n1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 E ( S0 ) E S E( S ) n n n
一、点估计
例 某厂在某月内 生产了一大批灯泡, 设X是 灯泡的寿命, X是随机变量,代表总体. 已知 但平均寿命μ未知, 于是厂家 X ~ N ( , 952 )， 抽出10只灯泡, 进行寿命试验, 得到10只灯泡 的寿命如下:
点估计的评价标准共40页
估计量
Ch7-49
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X
)的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
Ch7-48
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
i1
i1
n
n
Ch7-58
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
n
2n
而
1
ic
ic 2
2
ic jc
i1 i1
1i jn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
Ch7-59
Ch7-57
7.2点估计的优良性评判标准 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
由于EX源自2，则=2E
X
，故
的矩估计量ˆ1
2X
.
(2)又由上一节例9得 θˆ 2 Xn .
一、无偏性
⑶
E
θˆ1
E2X 2E X 2 θ θ 2
;
由次序统计量的散布知当 y 0,θ 时, Xn 的概率密度
函数为
fn
y
n
y θ
n1
1 θ
ny n 1 θn
故
E θˆ2
3
一、无偏性
第7章 参数估计
4
定义1
θ 如果未知参数 的估计量 θˆ X1, X2, , Xn 满足 E θˆ X1, , Xn =θ
则称 θˆ X1, , Xn 为θ 的一个无偏估计量.
如果
lim
n+
E
θˆ
X1,
, X n θ
则称 θˆ X1, θ , Xn 为 的渐近无偏估计量.
2
n
E
n i 1
Xi
2
2
E
S2
E
2
n 1
n
1 S 2
2
2 n
n 1
1
2
可见这两个估计都是无偏的;
二、有效性
第7章 参数估计
16
解⑵ 又因为 因此
D
n i 1
Xi
2
2n
D
n
1
2
S
2
2
n
1
D ˆ 2
D
1 n
n i1
X
2 i
4 n2
D
n i 1
Xi
)
E(Sn2 )
n 1
n
2
X
，故
的矩估计量ˆ1
2X
.
(2)又由上一节例9得 θˆ 2 Xn .
一、无偏性
⑶
E
θˆ1
E2X 2E X 2 θ θ 2
;
由次序统计量的散布知当 y 0,θ 时, Xn 的概率密度
函数为
fn
y
n
y θ
n1
1 θ
ny n 1 θn
故
E θˆ2
3
一、无偏性
第7章 参数估计
4
定义1
θ 如果未知参数 的估计量 θˆ X1, X2, , Xn 满足 E θˆ X1, , Xn =θ
则称 θˆ X1, , Xn 为θ 的一个无偏估计量.
如果
lim
n+
E
θˆ
X1,
, X n θ
则称 θˆ X1, θ , Xn 为 的渐近无偏估计量.
2
n
E
n i 1
Xi
2
2
E
S2
E
2
n 1
n
1 S 2
2
2 n
n 1
1
2
可见这两个估计都是无偏的;
二、有效性
第7章 参数估计
16
解⑵ 又因为 因此
D
n i 1
Xi
2
2n
D
n
1
2
S
2
2
n
1
D ˆ 2
D
1 n
n i1
X
2 i
4 n2
D
n i 1
Xi
)
E(Sn2 )
n 1
n
2
点估计估计量的评选.ppt
朝令夕改，不听！
数据修改问题 要重set才行得通。
有话好好说。
n i 1
ai
Xi
D
X
n i 1
ai2
D
X
1 n
n i 1
ai
2
1 n
D
X
所以，作为总体期望的估计量，
n
X 较 ai X i 更佳。 i 1
进一步可证， X 是总体期望
的优效估计量。
n
i 1
ai2
1 n
n i 1
ai
x a,b x a,b
解：V1 E X
b
x
a
cx2 kx l
dx
V2 E
X2
b x2
a
cx2 kx l
dx
Vˆ1 A1 ......1 Vˆ2 A2 ......2
V3 E
X3
X
2
1 n 1
n
2
n
2
n
2
Xi 与
所以样本方差是总体方差的无偏估计量。
X X
有相同的
~
N
,
2
n
和
2
估计量的评选标准
n
设 X 是一随机变量， X1, X 2 ,......X n 是它的一个样本, ai 1
因为
利用 MINITAB 求概率及作图
输入数据
计算分布密度值
数据修改问题 要重set才行得通。
有话好好说。
n i 1
ai
Xi
D
X
n i 1
ai2
D
X
1 n
n i 1
ai
2
1 n
D
X
所以，作为总体期望的估计量，
n
X 较 ai X i 更佳。 i 1
进一步可证， X 是总体期望
的优效估计量。
n
i 1
ai2
1 n
n i 1
ai
x a,b x a,b
解：V1 E X
b
x
a
cx2 kx l
dx
V2 E
X2
b x2
a
cx2 kx l
dx
Vˆ1 A1 ......1 Vˆ2 A2 ......2
V3 E
X3
X
2
1 n 1
n
2
n
2
n
2
Xi 与
所以样本方差是总体方差的无偏估计量。
X X
有相同的
~
N
,
2
n
和
2
估计量的评选标准
n
设 X 是一随机变量， X1, X 2 ,......X n 是它的一个样本, ai 1
因为
利用 MINITAB 求概率及作图
输入数据
计算分布密度值
16-第16讲 点估计的方法及其评价标准ppt
例4 设样本X1，X2，…，Xn来自总体X， 其密度函数为
求q 1，q 2的矩估计. 解 由
得方程组：
解此方程组，得到矩估计量:
二、最大似然估计法 若总体X属离散型, 其分布律P{X=x}=p(x;q), qQ的形式为 已知, q为待估参数, Q是q的可能取值范围. 设X1,X2,...,Xn 是来自X的样本, 则X1,X2,...,Xn的联合分布律为
2), m, s2为未知参数, x ,x ,...,x 是来自X的一个样 设 X ~ N ( m , s 1 2 n 例5
本值. 求m, s2的最大似然估计值. 解 X的概率密度为
θ)dθ f(x ;
i i1
n
其值随q的取值而变化. 与离散型的情况一样,
ˆ q 取q 的估计值 使概率(1.3)最大, 考虑函数
L( q ) L( x1 , x 2 , , x n ;q ) f ( xi ;q )
i 1 n
的最大值. 这里 L(q )称为样本的似然函数. 若
参数估计
理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握 样本均值、样本方差及样本矩的计算。 了解卡方分布、t分布和F分布的定义及性质，了解分布 分位数的概念并会查表计算。 了解正态总体的某些常用统计量的分布。 理解点估计的概念。 掌握矩估计法和极大似然估计法。 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。 理解区间估计的概念。 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
第七章
参数估计
第二节 点估计的方法 第三节 点估计的评价标准
一、矩估计法 二、最大似然估计法 三、无偏性 四、有效性 五、一致性
对给定的统计问题，在建立了统计模型以后，我们的任务就
概率论与数理统计点估计PPT课件
每一个xi ( i=1,2,3 …,n),所以θ的极大似然估计量为
ˆ max{x1, x2 , , xn}.
《概率统计》
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三、估计量的评选标准
1 . 一致性
设ˆ =ˆ （X1，X2，…，Xn）为未知参数θ的估计量序列，
nn
若 ˆ依n 概率^收敛于θ，即 对于任意ε>0,有
lim P{| n | } 1 ，则称 ˆ为θ的一致估计量.
α=0.05时，若从总体中1抽得2容量相同的100个样本，则在确定的100
个置信区间中将有95个包含θ的真值，不包含θ真值的区间只有5个.
绝不能理解为θ的真值落在( , )内的ˆ概1 率ˆ2 为1-α！
《概率统计》
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求置信区间的方法：
１．选取统计量 找样本（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn）的一个函数 U（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）
88，123，n=10。则， ˆ x 58.
《概率统计》
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例5．X服从参数为λ的指数分布，求λ的极大似然估计.
解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，于是似然函数为
n
L(x1, xn;)
n
exi n
n
e e xi
xi
n
i1
i 1
i 1
n
ln L n ln xi ,
U X ~ N (0,1) X ~ t(n 1)
n
S/ n
(n 1)S 2 2
~
2(n 1)
2
n i1
(Xi )2 2
~
2(n)
U统计量
2.
P|U | u 1
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点估计的评价标准页PPT文档
Var(ˆ1)Var(ˆ2), 且至少有一个 ∈Θ使得上述不等号严格成
立，则称 ˆห้องสมุดไป่ตู้1 比 ˆ 2 有效。
例6.2.6 设 x1, x2 , …, xn 是取自某总体的样
本，记总体均值为 ，总体方差为 2，则
ˆ 1 x 1 , ˆ 2 x 都 是 的 无 偏 估 计 ,但
V a r (ˆ1 )2 , V a r (ˆ2 )2/n .
显 然 ,只 要 n 1 ,ˆ2 比 ˆ1 有 效 .
这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只 使用部分数据更有效。
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n)
由于
Ex(n) ，nn所1以x(n)不是 的无偏估计，而是
另一方面，由矩法我们可以得到 的另一个无偏
估计 ˆ2 2 x ，且
由此，V a 当r(nˆ 2 >) 1时4 V ，a r(x ˆ 1) 比n 4 V ˆ 2 a 有r(X 效)。 n 4 1 2 2 3 n 2
6.2.4 均方误差
无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参
(2) 若对s*2作如下修正：s2nns*12 n11i n1(xi x)2
则 s2 是总体方差的无偏估计。
例6.2.5 设总体为N( , 2)，x1 , x2 , …, xn是样本， 则s2是 2的无偏估计，且可求出
Es 2 (n/2)
n1((n1)/2) cn
ln i m Eˆn, ln i m V a rˆn 0 ,
则 ˆ n 是
定理6.2.2
的相合估计，
若ˆˆnn11,, ,,ˆnˆknk
6.2点估计的评价标准
Var ( x( n ) ) ?
三、有效性
ˆ ˆ 比较参数 的两个无偏估计量1 和 2 , 如果 ˆ 在样本容量 n 相同的情况下 , 1 的观察值在真值 ˆ ˆ ˆ 的附近较 2 更密集 , 则认为1 较 2 有效 .
由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.
又因为 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2
2 2
2
n
2,
2
所以 E ( ) E ( A2 X ) E ( A2 ) E ( X ) ˆ
n 1 2 2 2 , 所以 是有偏的. ˆ n
( n 1) 2 ˆ E ( ) n
2
n 2 若以 乘 , 所得到的估计量就是无 偏的. ˆ n 1
(这种方法称为无偏化).
n n 2 E E ( 2 ) 2 . ˆ ˆ n 1 n 1 1 n n ( X i X 2 ), 因为 2 S 2 ˆ n 1 i 1 n 1
n n n n
ˆ 则 n 是的相合估计
n
证明 lim E(ˆn ) , 当n充分大时, | E(ˆn ) |
ˆ ˆ 如果有 | n - E( n ) | ，则 2
n
ˆ lim P(| n | ) 0
X 总是总体 X 的数学期望 1 E ( X ) 的无偏 估计量.
练习：299页1（1）
例3
对于均值 , 方差 2 0 都存在的总体, 若
1 n , 2 均为未知, 则 2 的估计量 2 ( X i X )2 ˆ n i 1 是 有偏的(即不是无偏估计). 1 n 2 证 2 X i X 2 A2 X 2 , ˆ n i 1 因为 E ( A2 ) 2 2 2 ,
《第一节点估计》PPT课件
(2). 当总体(某种灯泡寿命) X~N(,2) ， ,
2 未知，今取 4 只灯泡， 测得其寿命（小
时）如下：
1502, 1453, 1367, 1650 （小时）
求： , 2 的矩估计量
概率统计
h
解: (1). 总体 X 的数学期望是 X 的一阶原点矩；
总体 X 的方差是 X 的二阶中心矩。
1 1(1,2, ,k )
记为：
2
2 (1 ,2 ,
,k )
()
k k (1,2, ,k )
概率统计
h
(2) 解（*）式解出 1,2, ,k得到：
1 1( 1, 2, , k )
2 2( 1, 2, , k )
()
k 2( 1, 2, , k )
(3)
用 i
中的
的估计量 M
i , 则得 i
求： , 的矩估计量
解: 由密度函数可知：
X 具有均值为 的指数分布，故有：
E(X), D(X)2
概率统计
h
即： E(X), D(X)2
X
令：
2
1 n
n
(Xi
i1
X)2
ˆ X
1n ni1
(Xi
X)2
解得：
用样本矩估计
ˆ
1 n
n i1
(Xi
X)2
总体矩
ˆ , ˆ 即为总体参数 , 的矩估计量。
第七章 参数估计
总体 随机抽样
描述
样本
作出推断
统计量
研究统计量的性质和评价一个统计推断的 优良性，完全取决于其抽样分布的性质.
概率统计
h
参数估计问题: 利用从总体抽样得到的信息来 估计总体的某些参数或者参数
2 未知，今取 4 只灯泡， 测得其寿命（小
时）如下：
1502, 1453, 1367, 1650 （小时）
求： , 2 的矩估计量
概率统计
h
解: (1). 总体 X 的数学期望是 X 的一阶原点矩；
总体 X 的方差是 X 的二阶中心矩。
1 1(1,2, ,k )
记为：
2
2 (1 ,2 ,
,k )
()
k k (1,2, ,k )
概率统计
h
(2) 解（*）式解出 1,2, ,k得到：
1 1( 1, 2, , k )
2 2( 1, 2, , k )
()
k 2( 1, 2, , k )
(3)
用 i
中的
的估计量 M
i , 则得 i
求： , 的矩估计量
解: 由密度函数可知：
X 具有均值为 的指数分布，故有：
E(X), D(X)2
概率统计
h
即： E(X), D(X)2
X
令：
2
1 n
n
(Xi
i1
X)2
ˆ X
1n ni1
(Xi
X)2
解得：
用样本矩估计
ˆ
1 n
n i1
(Xi
X)2
总体矩
ˆ , ˆ 即为总体参数 , 的矩估计量。
第七章 参数估计
总体 随机抽样
描述
样本
作出推断
统计量
研究统计量的性质和评价一个统计推断的 优良性，完全取决于其抽样分布的性质.
概率统计
h
参数估计问题: 利用从总体抽样得到的信息来 估计总体的某些参数或者参数
5.1点估计课件
即 E(S02 ) 2
证
S02
1 n
n
i 1
Xi X
2 n1
1
n
n n 1i1
Xi X
2
n
1
S2
n
E(S02 )
E
n1 n
S 2
n1 n
E(
S2
)
n1
n
2
2
因此，未修正的样本方差 S02 是 DX的 有偏估计量. （偏小）
例 设X是任一总体, EX , DX 2 存在,
“同一个参数的 两个无偏估计量中,
方差小者为优.”
EX EX
•
P Xˆ
EXˆ
1
DXˆ 2
EX
定义5.2 设ˆ1 和ˆ2 均是参数 的无偏估计量,
若 Dˆ1 Dˆ2 , 则称 ˆ1 比ˆ2更有效. “同一个参数的两个无偏估计量中, 方差小者
更有效.”
说明（1）仅对参数 的无偏估计量, 比较有效性
定义5.3 设 ˆ( X1, X2,..., Xn ) 是未知参数θ的 估计量, 如果 0,
limP ˆ 1
n
则称 ˆ为 θ的相合估计量. ˆ
( () )
参数的真值
0, 当n∞时,ˆ 取值落在 ( , )的概率 1
当 n∞时, ˆ 取值落在 ( , ) 趋于必然.
(2) S2
1
n
n 1 i1
Xi X
2是 DX 的 2
无偏估计量.
即 E S 2 2
证明见P151
例 设X是任一总体, EX , DX 2 存在,
X1, X2 ,..., Xn 是来自 X的简单随机样本, 则
(3)