幂函数及其性质-PPT课件
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幂函数的性质与图像第一象限ppt课件
O
X
k>0时
y ｋ＞１开口向上型抛物线
０＜ｋ＜１开口 向右抛物线型
O
X
画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其 他象限还有的图象
；.
8
3、当 0时，
y
图像是0除 ， 1点 去的一条射 1 线．
；.
o 图4
x 6
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定点1，1
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
函数是减函数，
图像是双曲线型．
；.
7
k<0时 第 一 象 限
y
k<0
双曲线型
K=1 K=0,直线型
(2)研究这些图像有何规律？
(1)yx2， yx3
1
1
(2)yx2，yx3
(3)yx1， yx2
；.
合作 讨论
4
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
1、当 0时，
(1)图像过 0， 0和 定 1， 1； 点
(2)函数在0，是增函数，
即在第一象限是增 数函 ；
(3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近．
；.
1
幂函数的定义 一般地，函数y = xn叫做幂函数，其中x是自变量，n是常数。(n∈R)
；.
2
下列函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）y = （3）y=2x
(5) y=x2 +2
（2）y=2x2 （4）y=1
(6) y=-x3
答案:(1)(4)
1
x2
；.
3
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
2025年高考数学一轮复习-2.4.2-简单幂函数的图象和性质【课件】
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( × ) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象 限．( √ ) (3)当幂指数α取 1,3，1时，幂函数 y＝xα是增函数．( √ )
2 (4)当幂指数α＝－1 时，幂函数 y＝xα在定义域上是减函数．( × ) (5)当α＝0 时，幂函数 y＝xα的图象是一条直线．( × ) (6)若幂函数 y＝xα的图象关于原点对称，则 y＝xα在定义域内 y 随 x 的增大而增大．( × )
2.4.2简单幂函数的图象和性质
[知识要点] 知识点一 幂函数的概念
一般地，形如__y＝__x_α___(α为常数)的函数，即底数是自变量、指 数是常数的函数称为幂函数．
知识点二 幂函数的图象和性质
函数
定义 域 值域 奇偶 性
y＝x
R R 奇函数
y＝x2
y＝x3
y＝x
1 2
y＝1x
R
R
_{_x_|_x_≥__0_} _{_x_|x_≠__0_}_
且在(0，＋∞)上单调递减，因此 A，B 错误；当 x＝1 时，f(1)＝1， 因此 C 正确，D 错误．故选 ABD. 答案：ABD
4．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(3， 3)，则 f(9)＝________.
解析：设幂函数 f(x)＝xα(α为常数)， ∵幂函数 y＝f(x)的图象过点(3， 3)， ∴ 3＝3α，解得α＝1，
2．若函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，则
m 的值为( )
A．1
B．－3
C．－1
D．3
解析：因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函
《幂函数》PPT课件
2 log2
1 22
1 2
练习2 :已知f ( x) m m 1 x
2
m 3
是幂函数，
求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
m m 1 1
2
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
加条件 :已知f ( x) m m 1 x
2
（4）y 3
x
（3）y 2x
（5）y x 1 1 （6）y x
2
练习1：已知幂函数f(x)的图像经过点 （2，2）， 试求出这个函数的解析式。
证明: 设所求的幂函数为 yx 函数的图像过 (2， 2 )点
2 2 ,
α log2
f ( x)
1 x2
证明幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
x x2 x1＞0 (1). 取数:设x1, x2是某个区间上任意二值，
(2). 作差: f(x2)－f(x1)， (3) 整理: (4). 分析 f(x1)－f(x2) 的符号； (5). 下结论.
yx
yx
2
1 -1 -1 O1
x
y
1 -1 O -1 1
R
x
[0，+∞） 偶函数
y
yx
yx
3
-1
1 -1
O
y 1
1
x
R
R
奇函数
1 2
1
-1 O 1 -1
x
[0，+∞） [0，+∞） (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ (0,+∞) (0,+∞)
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
《幂函数》PPT课件
m2 m 1 1
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
幂函数ppt课件
∴(-3)3>(-π)3.
探究点四
幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f(x)=
- 2 -2+3(-2<m<2,m∈Z)满足:
①f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.
(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的
值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比
较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
(1)
2 0.5
3 0.5
与
;
3
4
解 ∵y=x
0.5
3
在定义域上为增函数,又
4
>
2
2 0.5
3 0.5
,∴
<
.
3
3
4
(2)(-3)3与(-π)3.
解 ∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,
值域
奇偶性
R
奇函数
在R上单
单调性
调递增
公共点 (1,1)
[0,+∞)
偶函数
奇函数
y=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)
上单调递增, 在R上单 在[0,+∞)上单
探究点四
幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f(x)=
- 2 -2+3(-2<m<2,m∈Z)满足:
①f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.
(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的
值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比
较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
(1)
2 0.5
3 0.5
与
;
3
4
解 ∵y=x
0.5
3
在定义域上为增函数,又
4
>
2
2 0.5
3 0.5
,∴
<
.
3
3
4
(2)(-3)3与(-π)3.
解 ∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,
值域
奇偶性
R
奇函数
在R上单
单调性
调递增
公共点 (1,1)
[0,+∞)
偶函数
奇函数
y=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)
上单调递增, 在R上单 在[0,+∞)上单
高一数学幂函数ppt课件.ppt
（4）只有1项； （5）这些例子中涉及的函数都是形 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
幂函数的定义
一 般 地 ,函 数 y x 叫 做 幂 函 数 ,其 中 x 是 自 变 量 ,
下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用：
（基础练习）例4：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶
性和单调性．
(1)y x4
1
(2) y x 4
(3)y x3
解：（1）函数 y x4的定义域为R，它是偶函数，在 [0,)上是增函数，
在(,0)上是减函数．
1
（2）函数 y x 4 的定义域为[0,)，它是非奇非偶函数，在[0,)上是增函数．
（3）yx2 x（×）（4）yx2 （1 ×）
（5）y x2
（×） （6）y
1 x3
（√）
［总结］要判断一个函数是幂函数，判断的标准是它的定
义．根据定义，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系
数为１，只有一项．
4
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（巩固提升）例3：已知函数f(x)(m 22m )xm 2m 1,m为何值
时，是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次
函数；（4）幂函数．
解 ：
（感受理解）例5：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由．
1
高一数学《幂函数》PPT课件
函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且 不等于1的常数，而幂函数的底 数可以是任意实数。此外，指 数函数的值域为正实数集，而 幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像 是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内 单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,
《幂函数》函数的概念与性质课件-高中数学A版必修一PPT课件
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第三章 函数的概念与性质
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问题导学 预习教材 P89－P91，并思考以下问题： 1．幂函数的定义是什么？ 2．幂函数的解析式有什么特点？ 3．幂函数的图象有什么特点？ 4．幂函数的性质有哪些？
栏目 导引
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y＝x3
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科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wul i/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
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地理课件：/kejian/dili/
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一般地，函数 y＝__x_α__叫做幂函数，其中__x___是自变量，__α___
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幂函数f(x)=xa ,f(x)=xb ,f(x)=xc, f(x)=xd, 在第一象限的图象如图所示，则a,b,c,d的大小关系 是（ ）
例4
(A)a>b>c>d (B)d>b>c>a (C)d>c>b>a (D)b>c>d>a
答案：D
小结:
1．记住幂函数的定义； 2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题; 4．这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述 了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语言和符 号刻画了相应的数量特征. 这是一个循序渐进的 过程,这也是数学学习和研究中经常使用的方法.
作业：
• 1.课本87页第3题. • 2.思考：指数函数、对数函数与幂函数之间 有什么联系？
1 2
则求m的取值范围.
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
1 2
再观察图象,可以得到什么结论?
由刚才实验可以得出: 3.在直线x=1右侧,幂指数越大,图象越高,即越远离x轴; 即x>1时,当函数的自变量相等时,幂指数越大,函数值 越大 思考:在直线x=1左侧呢?
注意（1）先求定义域再列表描点；
（2）观察你画出的函数图象，寻找这些函数的图象特征.
y x yx
定义域
2
yx
1 2
y x y x yx
1
1 3
2
R
R
R 0, R 0, 0,
,0 0,
0,
奇 偶 非奇 非偶
,0 ,0
再见!
3
0.96 0.95 0,
3 3
同理Hale Waihona Puke 0.95 0.96 0
3 3
因此 0.96 0.95 0.96 0.95 .
3 3 3 3
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
再观察图象,归纳幂函数的图象特征和性质： 1.>0时, (1)图象都经过点（0，0）和（1，1）；
(2)图象在第一象限是上升的,即在 0, 上是增 函数.
(3)图象呈“抛物线”型的弧. 2. <0时，(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是下降的,且向右无限 接近X轴，向上无限接近Y轴,即 在 , 0 上是减函数.
一般地函数 y x 叫幂函数.
x是自变量，是常数
• 思考：1.幂函数与指数函数有什么区别？ • 2.判断下列函数是否为幂函数？ 1 2 （） 1 f ( x) 2 x ; (2) f ( x) 3 ; x 4 1 (3) f ( x) ; (4) f ( x) 3 x 3 . x
(3)图象呈“双曲线”型的弧.
1 例1 幂函数f ( x)的图象经过点（ 2， 2），点（ 2，） 4 在幂函数g ( x)的图象上， （）求 1 f ( x), g ( x)的解析式， （2）x为何值时f ( x) g ( x) ? x为何值时f ( x) g ( x) ?
解 : (1)设f ( x) x , 则( 2 ) 2, 2, f ( x) x 2 1 2 设g ( x) x , 则(2) , 2, g ( x) x . 4
一、幂函数的概念的引入
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5）， 思考下列问题： 1.它们的解析式分别是什么？若用 x 表示自 变量, y 表示 x 的函数,上述五个函数解析式 分别是什么?
2.以上问题中的函数有什么共同特征？
答案: 都是以幂的底为自变量的函数，即形如:
yx
x是自变量，是常数
(2)从图象可知, 当x 1或x 1时, f ( x) g ( x); 当 1 x 0或0 x 1时, f ( x) g ( x).
例2
试比较 0.96 , 0.95 ,
3 3 3 3
0.95 , 0.96
3
的大小.
解： 3 0， f ( x) x 3在第一象限是增函数. 而f ( x) x 是奇函数 f ( x) x 在第三象限也是增函数
幂函数及其性质
学习目标
一、知识目标： 1.通过实例了解并记住幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能 自行发现幂函数的性质. 3.记住幂函数的性质并会应用. 4.了解幂函数模型的实际应用. 能力目标： 通过观察图象特征来归纳函数性质, 从而培养学生数形结合的能力. 情感目标： 通过观察图象体会数学的简洁美.
二、幂函数的图象特征及性质
请在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1) f ( x) x ;(2) f ( x) x
2 3 3 f x x ( x) x ;(4) f 1 1 2 2
(5) f ( x) x ; (6) f ( x) x 我们可以用列表描点法(请看课本).
值
域
R 0, R 0, R
奇 增 偶 奇 奇 增
奇偶性 单调性
0, ,0 增
0,
,0 0,
0, ,0
0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 定 点 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1