必修一对数函数讲义
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高中数学人教A版必修第一册第四章4.4.1对数函数的概念课件
引入新知 y loga x (a 0,且a 1)
思考：(1)定义中为什么规定 a 0且a 1 呢？
（2）如何根据对数函数的定义判断一个 函数是否为一个对数函数呢？
①底数a为大于0且不等于1的常数． ②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1. ③logax系数是1.
练习：判断以下函数是对数函数的是
8.已知函数f
(x)
loga
x 1(a x 1
0, 且a
1).
(1)求f (x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
解：(1) x 1 0, (x 1)(x 1) 0 x 1
x 1或x 1, 定义域为{x | x 1或x 1}
(2)由(1)知定义域为{x | x 1或x 1}关于原点对称
f
(x)
loga
x 1 x 1
loga
x 1 x 1
log
a
x 11
x 1
loga
x 1 x 1
f
(x)
f (x)为奇函数
作业
课本P140页A组第1题
由a a
2 2a 8 0 1 0且a 1
, 0
得a 4
巩固新知 金版P91【跟踪训练】
1.若函数f (x) log(a1) x a2 2a 8是对数函数，则a _4___
由a a
2 2a 8 0 1 0且a 1
, 0
得a 4
2.若对数函数的图象经过点M (8,3)，则f 1 ___-1____
4.4.1 对数函数的概念
BUSINESS
REPORT
复习
计算下列各式的值：
log2 1 0
log2 2 1
log2 4 2 log2 8 3
《对数函数及其性质》课件
THANK YOU
对数函数的定义域和值域
理解对数函数的定义域和值域，并能够判断特定函数的定义域和值 域。
对数函数的单调性
理解对数函数的单调性，并能够判断特定函数的单调性。
进阶题目
01
02
03
复合对数函数
理解复合对数函数，并能 够求解复合对数函数的值 。
对数函数的图像
理解对数函数的图像，并 能够根据图像判断函数的 性质。
分析对数函数的值域和定义域。对于自然对数函数y=log(x) ，其值域为R；对于以a为底的对数函数y=log(x)，其定义域 为(0, +∞)。对于复合对数函数y=log(u)，其值域和定义域取 决于u的取值范围。
03
对数函数的应用
实际应用场景
金融计算
在复利、折旧等计算中 ，对数函数有广泛应用
。
《对数函数及其性质》ppt课件
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图像与性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他知识点的联系 • 习题与练习
01
对数函数的定义与性质
定义与表示
总结词
对数函数是一种特殊的函数，其 定义域为正实数集，值域为全体 实数集。常用对数函数以10为底 ，自然对数函数以e为底。
么以a为底N的对数等于b。
对数函数和指数函数在解决实际 问题中经常一起出现，例如在计 算复利、解决声学和光学问题时
。
对数函数与三角函数的联系
对数函数和三角函数在形式上有些相似，特别是在自然对数函数和正弦函数中。
在复数域中，对数函数和三角函数有更密切的联系，它们都可以用来表示复数的幂 。
在解决一些物理问题时，例如波动和振动问题，可能需要同时使用对数函数和三角 函数。
人教A版高中数学必修1课件：2.2.2《对数函数及其性质》课件
练习：（1）y log a (9 x 2 ) （2）y log (2 x1) (3 x 2)
3y
log
7
1 1 3x
4y loga 4 x
小结： 1.对数函数的概念. 2.对数函数的定义域. 3.对数函数的图象及其性质，通过对a分类讨 论掌握其性质与图象.
练习：已知函数 f(x)=log2 (2x-1)
即已知y求x的问题。
yx＝log2xy
对数函数：
一般地，我们把函数 y log a xa 叫0做且对a数函1
数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是情势定义，
注意辨别．如：y 2 log 2 x,
能称其为对数型函数.
y l都og不2 是52 对x 数函数，而只
a>1
0<a<1
图
y
y
象
o (1, 0)
（1, 0) xo
x
(1) 定义域： (0,+∞)
性 (2) 值域：R
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) 0<x<1时, y<0;
(4) 0<x<1时, y>0;
质
x>1时, y>0
x>1时, y<0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
0 1 23 4
连 -1 线 -2
2 4… 1 2…
x
x … 1/4 1/2
列 表
y
y
log 2
log 1
x…
x…
2
-2 2
高一数学人必修课件对数函数及其性质
THANKS
感谢观看
渐近线与拐点
渐近线
对数函数的图像没有水平渐近线和垂直渐近线。但是，当x趋近于正无穷或负无穷时， 函数的值分别趋近于正无穷或负无穷，因此可以说对数函数的图像有两条斜渐近线，即
y=±∞。
拐点
对数函数的图像没有拐点。因为对数函数在其定义域内是单调的，所以其图像不可能出 现拐点。
03
对数运算规则及应用
对数运算法则
01
02
03
04
乘法法则
log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)
除法法则
log_b(M/N) = log_b(M) log_b(N)
指数法则
log_b(M^n) = n * log_b(M)
换底公式
log_b(M) = log_a(M) / log_a(b)
换底公式及应用
换底公式
形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq1$）的函数叫 做指数函数。
指数函数的图像与性质
当$a>1$时，函数图像在定义域内单调递增，值 域为$(0,+infty)$；当$0<a<1$时，函数图像在 定义域内单调递减，值域为$(0,+infty)$。
指数函数的运算性质
包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘 方等。
答案及解析提供
对于第一题，利用对数的定义转化为 指数方程求解，得到 x = 4
第三题需要先确定 f(x) 的定义域，再 将其应用到复合函数中，得到 x < 0 或x > 2
第二题需要分别讨论 a 的不同取值范 围，结合复合函数的单调性判断方法 ，得到不同情况下的单调性
第四题利用对数函数的单调性比较大 小，得到 log₃π > log₅10 > log₂0.8
高一数学对数函数课件
高一数学对数函数课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的关系 • 对数函数的综合题解析
01
对数函数的定义与性质
定义与表示
总结词
对数函数是指数函数的反函数，其定义是指数函数的自变量和因变量互换位置 后得到的函数。
详细描述
对数函数的一般形式为 (y = log_{a}x)（其中 (a > 0) 且 (a neq 1)），其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。对数函数表示的是以 (a) 为底数，(x) 的对数。
计算机科学
在计算机科学中，对数函数常被用 于数据结构和算法设计，如二叉查 找树、哈希表等。
04
对数函数与其他函数的关 系
与指数函数的关系
指数函数和对数函数互为反函数，它 们的图像关于直线y=x对称。
对数函数和指数函数在解决实际问题 中经常一起出现，例如在计算复利、 解决声音强度问题等。
对数函数的定义是基于指数函数的， 即如果a的x次方等于N（a>0，a不等 于1），那么x叫做以a为底N的对数， 记作x=logₐN。
与三角函数的关系
对数函数和三角函数在形式上没有直接的关系，但在一些特定情况下可以相互转化 。例如，对于正弦函数和余弦函数的值可以通过对数函数进行计算。
三角函数和对数函数在解决实际问题中经常一起出现，例如在信号处理、振动分析 等领域。
对数函数和三角函数在一些数学问题中可以相互转化，例如在求解一些复杂的积分 问题时，可以将积分转化为对数函数的求解问题。
综合题类型与解题思路
01
类型三：对数方程求解
02
对数方程是常见的题型，需要掌握解对数方程的方法和步骤。
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的关系 • 对数函数的综合题解析
01
对数函数的定义与性质
定义与表示
总结词
对数函数是指数函数的反函数，其定义是指数函数的自变量和因变量互换位置 后得到的函数。
详细描述
对数函数的一般形式为 (y = log_{a}x)（其中 (a > 0) 且 (a neq 1)），其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。对数函数表示的是以 (a) 为底数，(x) 的对数。
计算机科学
在计算机科学中，对数函数常被用 于数据结构和算法设计，如二叉查 找树、哈希表等。
04
对数函数与其他函数的关 系
与指数函数的关系
指数函数和对数函数互为反函数，它 们的图像关于直线y=x对称。
对数函数和指数函数在解决实际问题 中经常一起出现，例如在计算复利、 解决声音强度问题等。
对数函数的定义是基于指数函数的， 即如果a的x次方等于N（a>0，a不等 于1），那么x叫做以a为底N的对数， 记作x=logₐN。
与三角函数的关系
对数函数和三角函数在形式上没有直接的关系，但在一些特定情况下可以相互转化 。例如，对于正弦函数和余弦函数的值可以通过对数函数进行计算。
三角函数和对数函数在解决实际问题中经常一起出现，例如在信号处理、振动分析 等领域。
对数函数和三角函数在一些数学问题中可以相互转化，例如在求解一些复杂的积分 问题时，可以将积分转化为对数函数的求解问题。
综合题类型与解题思路
01
类型三：对数方程求解
02
对数方程是常见的题型，需要掌握解对数方程的方法和步骤。
人教版高一数学对数函数讲义
第五节、对数函数 幂函数
一、基本概念
1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的
对数，记作：
N
x a log =
a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式
说明： 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
x N N a a x
=⇔=log ；
思考： 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ；
是否是所有的实数都有对数呢？ 两个重要对数：
常用对数：以10为底的对N lg 数；
自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．
对数式与指数式的互化 x N a =log ⇔N a x = 对数式
⇔
指数式
对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂
3．
对数的性质
对数的性质
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；
A. Q<T<P
B. T<Q<P
C. P<Q<T
D. P<T<Q X k
的定义域为
定义域为（
A. 2
B.
C.。
对数函数及其性质(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
）
（1）A已．知cab0.3a0.4 ，A．b cB．lobga34ab，cc lBo．g0.a3 4C，b．则b（c a c ）C． b Da．bc c a D．b c a
A． c b a B． a b c
C．b a c
D．b c a
例题讲练
（2）设 a log3 ， b log2 3 ， c log3 2 ，则（
x lxogaloyg（a ya （ 0a且 a0 且 1a），1x），也是x 也以是y以为自y 为变自量变的量函的数函（数其（中其y 中 0y， 0x ， Rx ），R ）， 根据根我据们我的们认的知认习知惯习，惯我，们我把们x 把 lxogaloyg中a 字y 中母字x 母， xy，对调y 对，调， 写成写y成 lyogaloxg（a 其x （中其x 中 0x， 0y， Ry ）．R ）．
例题讲练
【练习习 55】】
（（11））已已知知ff((xx))的的定定义义域域为为[0[,10],1，] ，则函则数函数f [lof g[l1o(g31(3x)] 的x)定] 的义定域义为域___为____________．_____．
22
例题讲练
（2）已知函数 y f [lg(x 1)] 的定义域为 (0,99] ，则函数 y f [log2 (x 2)] 的定义域为__________．
§4.4 对数函数及其性质 (第一课时)
人教版高中数学必修一
课堂引入：
通过前面的学习我们知道，某细胞经过 x 次分裂后，变成的细胞个数 y 2x ,
得由到一由y 个y2指x 数2x函x数x．lo由gglo22gyyy2y2对x 于对任于x意任的意lo细的g2胞细y个胞，数个对数y于，任y 我，意们我的都们细可都胞以可个通以数过通y对过，数对我运数们算运都算可 得到以得唯通到一唯过的一对的数x 与运x 之与算对之得应对到，应唯所，一以所的细以x胞细与分胞之裂分对次裂应数次,所数x以也x细可也胞以可分看以裂出看次以出数细以x胞细也个胞可数个以数y看为y成自为以变自细变胞个 量的数量函的y数函为．数自．变量的函数． 同样同地样，地根，据根指据数指与数对与数对的数关的系关，系由，y由 ayx（aax （ 0a且 a0 且 1a）可1）以可得以到得：到：
4.4.1-2对数函数的概念、对数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册(2ppt)
∵log23<log24=2,∴log23-1<1.
又log34>log33=1,∴log34>log23-1,
即c>a,∴c>a>b,故选B.
5 | 如何解对数不等式
对数不等式的类型及解题方法 (1)形如loga f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确 定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论; (2)形如loga f(x)>b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借 助函数y=logax的单调性求解; (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图 象求解.
已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解析 (1)设t(x)=3-ax,∵a>0, ∴t(x)=3-ax为减函数, 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a3< .
2
2
2
综上,原不等式的解集为
1 2
,1.
对数函数的概念 对数函数的图象和性质
1 | 对数函数的概念
一般地,函数① y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义 域是② (0,+∞) .
2 |对数函数的图象与性质
高中数学必修一课件：第四章对数函数的概念
x＋1>0， (4)由x＋1≠1，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1，0)∪(0，2)．
2－x>0，
探究2 (1)给定函数解析式求定义域的限制条件如下： ①分母不为0. ②偶次方根下非负． ③x0中x≠0. ④对数的真数大于0. ⑤对数、指数的底数a满足a>0且a≠1. (2)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式 组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式．
【解析】 设经过y年后公司全年投入的研发资金为x， 则x＝130(1＋12%)y，即13x0＝1.12y， 所以y＝log1.1213x0，令x＝200， 所以y＝log1.12210300＝log1.1212.3＝lg l2g－1l.1g21.3≈3.8， 所以到2021年，公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
4．设f(x)＝l1g0xx，，xx≤>00，，则f(f(－2))＝___－_2____． 解析 f(－2)＝10－2>0，f(10－2)＝lg 10－2＝－2.
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x万元时，奖励y万元．若y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销 售额应为___1_2_8___万元．
解析 据题意5＝2log4x－2，所以7＝2log4x＝log2x， ∴x＝27＝128.
C．y＝logxe
D．y＝2lg x
解析 B中真数不对；C中底数不对；D中系数不对．
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( B )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析 由x－1>0得x>1，故定义域为(1，＋∞)．
2－x>0，
探究2 (1)给定函数解析式求定义域的限制条件如下： ①分母不为0. ②偶次方根下非负． ③x0中x≠0. ④对数的真数大于0. ⑤对数、指数的底数a满足a>0且a≠1. (2)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式 组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式．
【解析】 设经过y年后公司全年投入的研发资金为x， 则x＝130(1＋12%)y，即13x0＝1.12y， 所以y＝log1.1213x0，令x＝200， 所以y＝log1.12210300＝log1.1212.3＝lg l2g－1l.1g21.3≈3.8， 所以到2021年，公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
4．设f(x)＝l1g0xx，，xx≤>00，，则f(f(－2))＝___－_2____． 解析 f(－2)＝10－2>0，f(10－2)＝lg 10－2＝－2.
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x万元时，奖励y万元．若y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销 售额应为___1_2_8___万元．
解析 据题意5＝2log4x－2，所以7＝2log4x＝log2x， ∴x＝27＝128.
C．y＝logxe
D．y＝2lg x
解析 B中真数不对；C中底数不对；D中系数不对．
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( B )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析 由x－1>0得x>1，故定义域为(1，＋∞)．
高中数学必修一(人教版)《4.4.2 对数函数的图象和性质》课件
3
3
3
(2)因为函数 y＝log1.5x 是(0，＋∞)上的增函数，且 1.6>1.4，所以 log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为 0>log70.6>log70.5，所以log170.6<log170.5，即 log0.67<log0.57.
(4)因为 log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以 log3π>log20.8.
(3)取中间值 1，因为 log23>log22＝1＝log55>log54，所以 log23>log54.
[方法技巧] 比较对数值的大小的策略
(1)比较两个底数为同一常数的对数的大小，首先要根据对数的底数来判断对 数函数的单调性，然后比较真数的大小，再利用对数函数的单调性判断．
(2)比较两个对数值的大小，对于底数是相同字母的，需要对底数进行讨论． (3)若不同底但同真，则可利用图象的位置关系与底数的大小关系解决或利用 换底公式化为同底后再进行比较． (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
综上所述，当 a>1 时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当 0<a<1 时，原不等式的解集为x52<x<4
.
[方法技巧] 对数不等式的三种考查类型
(1)形如logam>logan的不等式，借助y＝logax的单调性求解． (2)形如logam>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)， 再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底 公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 提醒：底数中若含有参数，一定要注意底数大于0且不等于1，同时要注意对 底数是大于1还是大于0且小于1进行分类讨论．
人教A版必修第一册4.4对数函数的概念(教学课件)
函数的定义域是（0，+）
。
①底数a为大于0且不等于1的常数．
②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1.
③logax系数是1.
1. 对数函数的定义域
典例
例1.求下列函数的定义域：
（1）y log 3 x 2
（2）y log a (4 x) (a 0, 且a 1).
解：
(1) x 2 0 x 0
( x 0)得到
2
x = log
5730
1
2
y (0 < y 1)
如图，过y轴正半轴上任意一点
(0，y0) (0< y0 ≤1)作x轴的平行
线，与函数
x
1 5730
y=( )
( x 0)
2
y
1
y0
( x0，y0 )
O
的图象有且只有一个交点(x0 ， y0) .
这说明，对于任意一个y∈(0 , 1]，通过对应关系
x=loga y(a>0且a≠1)，
x也是y的函数. 通常，我们用x表示自变量，y
表示函数.
为此，将x=loga y(a>0且a≠1)中的字母x和y
对调，写成
y=loga x (a>0且a≠1).
定义：一般地,形如 y log a x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以
1
2
表示为函数 = 3
，单位是/，是表示鱼的耗氧量的单位数.
100
(2)某条鲑鱼想把游速提高1/，那么它的耗氧量的单位数是本来的多少倍？
。
①底数a为大于0且不等于1的常数．
②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1.
③logax系数是1.
1. 对数函数的定义域
典例
例1.求下列函数的定义域：
（1）y log 3 x 2
（2）y log a (4 x) (a 0, 且a 1).
解：
(1) x 2 0 x 0
( x 0)得到
2
x = log
5730
1
2
y (0 < y 1)
如图，过y轴正半轴上任意一点
(0，y0) (0< y0 ≤1)作x轴的平行
线，与函数
x
1 5730
y=( )
( x 0)
2
y
1
y0
( x0，y0 )
O
的图象有且只有一个交点(x0 ， y0) .
这说明，对于任意一个y∈(0 , 1]，通过对应关系
x=loga y(a>0且a≠1)，
x也是y的函数. 通常，我们用x表示自变量，y
表示函数.
为此，将x=loga y(a>0且a≠1)中的字母x和y
对调，写成
y=loga x (a>0且a≠1).
定义：一般地,形如 y log a x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以
1
2
表示为函数 = 3
，单位是/，是表示鱼的耗氧量的单位数.
100
(2)某条鲑鱼想把游速提高1/，那么它的耗氧量的单位数是本来的多少倍？
高一对数函数及其性质(优质课)课件
指数函数和对数函数的性质互补 ，即当一个函数的某个性质成立 时，另一个函数的相应性质必然
不成立。
02
对数函数的图像与性质
对数函数的图像
总结词
对数函数的图像是学习对数函数的基础，通过图像可以直观地理解对数函数的 性质和特点。
详细描述
对数函数的图像通常在平面直角坐标系中绘制，以实数轴为底边，以真数为横 坐标，以对数为纵坐标。常见的对数函数包括自然对数函数和以10为底的对数 函数等。
高一对数函数及其性质(优质课)课 件
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图像与性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的关系 • 习题与解析
01
对数函数的定义与性质
对数函数的定义
常用对数
以10为底的对数， 记作lgx。
对数定义域
真数必须大于0，即 x>0。
自然对数
以e为底的对数，记 作lnx。
知的。
地震的里氏震级
地震的震级也是使用对数函数来测 量的，因为地震的能量是以指数方 式增长的。
测量声谱和色谱
在声音和颜色的分析中，对数函数 被用来测量频谱和色谱，以帮助我 们更好地理解和分析声音和颜色的 组成。
对数在科学计算中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个指数过程，而对数 函数在处理指数函数时非常有用，因 此它在计算放射性衰变时被广泛应用 。
对数函数的单调性
总结词
对数函数的单调性是指函数值随自变量变化的趋势，通过研究单调性可以更好地 理解对数函数的性质。
详细描述
对数函数在其定义域内通常是单调的，即随着自变量的增加，函数值也相应增加 。对于以10为底的对数函数，当底数大于1时，函数是增函数；当底数小于1时， 函数是减函数。
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【解析】：（1）原式＝lg(12.5× 1 × 8 )＝lg10＝1 25
（2）原式＝lg5＋ 1 lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg25＋lg22 3
＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2
（3）原式＝ 7log7 20log7 0.7 ＝ 7log7 14 ＝14 【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301， lg5≈0.699】
C：－4 D：－1
【解析】：log sin 5 ＋ log cos 5 ＝ log sin 5 cos 5 ＝ log 1 sin 5 ＝
2 12
2 12
2 12
12
22 6
log
2
1 4
＝
log
(
2)
1 2
(2) 2
＝ 2 ＝－4 1
C
2
例 3： log 4 3 × log9 2 ＋ log 2 4 32
2.2 对数函数
一、对数的概念：如果 a x ＝N( a ＞0 且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 对
数，记作 x＝ log a N ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（1）常用对数：把以 10 为底数的对数叫做常用对数 log10N 简记为 lgN，如：log105 记为 lg5 （2）自然对数：把以无理数（e＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，logeN 简记为 lnN， 如：loge5 记为 ln5。
lg 2 lg 7 2lg 7 2lg3 lg 7 2lg3 lg 2 0 ；
（2） lg 243 lg 35 5lg 3 5 ； lg 9 lg 32 2 lg 3 2
（3） lg
27 lg 8 3lg lg1.2
10
1
lg(33 )2
=
1
lg 23 3lg102
【解析】（1）原式 =
1 2
log 2
3
1 2
log 3
2
5 4
log 2
2
1 4
5 4
3 2
．
变式练习 1：计算：( log 2 125 ＋ log 4 25＋ log8 5 )×( log5 2 ＋ log 25 4 ＋ log125 8 )
2
【解析】：13
变式练习 2：已知 log189＝ a ，18b＝5，求 log3645 的值。
lg 3 22
3 (lg 3 2 lg 2 1) 2
lg 3 2 lg 2 1
3． 2
10
（4）原式 =
5 5log0.2 3
5
5log5
1 3
5 1 3
15 ；
变式练习 2：计算： log sin 5 ＋ log cos 5 的值为（ ）
2 12
2 12
A：4 B：1
变式练习 1：计算下列代数式的值。
（1）lg14 21g 7 lg 7 lg18 ；（2）lg 243 ；（3）lg 27 lg 8 3lg 10（4）51log0.23 ；
3
lg 9
lg1.2
【解析】：（1）： lg14 2lg 7 lg 7 lg18 2g(l 7) gl72( gl3)gl7 3g(l 2) 2 3
1
∴ x 2 ＝3 ∴x＝9
（2）∵x＝log27
1 9
∴ 27 x ＝ 1 9
∴ 33x ＝ 1 ＝ 32 ∴3x＝－2 ∴x＝－ 2
9
3
（3）∵log5(log2x)＝0 ∴log2x＝1 ∴x＝2
变式练习：解下列方程
（1）log64x＝－
2 3
【解析】：（1） 1 （2）2 （3） 1 或 100
（2）f(解析】：（1）x－2＞0 解之得 x＞2
（2）
x x
3 3
0 1
解之得
x＞－3
且
x≠－2
变式练习 1：（1）f(x)＝ log(x1) (x 2)
2
2
【解析】：15
lg x ＝ lg( 5 ) ，得 x ＝ 5 ，x＝－5(舍去) 或 x＝15
3
x 10
3 x 10
三、对数函数概念：
函数 f(x)＝ log a x（ a ＞0 且 a ≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为（0，
＋∞） 例 5：求下列函数的定义域
（1）f(x)＝log2(x－2)
【解析】：∵ lg(x＋5)2＝2 ∴2 lg｜x＋5｜＝2
∴lg｜x＋5｜＝1，即｜x＋5｜＝10
∴x＝5 或 x＝－15
变式练习
1：已知
log 7 [log 3
(log 2
x)] ＝0，那么
1
x2
等于（
）
A： 1 3
B： 3 6
C： 3 3
D： 2 4
变式练习 2：若实数 x 满足 1 ( lg x － lg 3 )＝ lg 5 － 1 lg( x 10) ，则 x＝________。
【解析】：
log18
5
＝
b
，则
log3645＝
log18 log18
45 36
＝
log18 9 log18 5 log18 18 log18 2
＝
1
ab log18
2
＝
ab ＝ ab ＝ab
1
log
1
8
(18 9
)
1 1 log18 9
2a
例 4：解方程 lg(x＋5)2＝2
性质：（1）0 和负数没有对数；（2）1 的对数是 0，即 loga1＝0；（3）底数的对
数等于 1，即 logaa＝1
例 1：求下列各式中的 x
（1）logx27＝
3 2
（2）x＝log27
1 9
（3）log5(log2x)＝0
【解析】：（1）∵
logx27＝
3 2
∴
3
1
x 2 ＝ (x 2 )3 ＝27＝ 33
对数恒等式
（5）logab＝
log c log c
b a
＝
lg lg
b a
＝
ln ln
b a
(c＞0
且
c≠1)
例 2：计算
换底公式
（6）logab＝
1 log b
a
1
（1）lg12.5－lg 5 ＋lg 1 82
（2）lg5＋ 1 lg8＋lg5×lg20＋lg22 3
（3） 7log7 20 × 7log7 0.7
16
10
（2）logx4＝2 （3）lg2x－lgx－2＝0
二、对数运算性质 【如果 a＞0 且 a≠1；M＞0，N＞0，m、n∈R】
（1）loga(MN)＝logaM＋logaN
（2）loga
M N
＝logaM－logaN
（3）logaMn＝nlogaM
[
log an
bm
＝
m n
logab]
a N （4） loga N