二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义

学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三

授课教师

刘琳琳

课题 二次函数 授课时间

教学目标

重点、难点

考点及考试要求

教学内容

一、知识点梳理

一、定义与定义表达式

一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。 二、二次函数的三种表达式

一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）

顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ）

交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x=

2

x x 2

1+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a

2b

三、二次函数的图像

从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 四、抛物线的性质

1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -

a

2b

，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0）

2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。 当x =-a

2b

时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数

y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。

当-

a

2b

=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。

3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。

当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。 对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。

4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。

5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。

6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）

二、考点分析

考点一、图象

1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立 例1、已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ①

；②

；③

；④

；⑤

，（

的实数）其

中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2、根据二次函数图象提供的信息，比较与a、b、c相关的代数式的大小

例2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a －b |，则P、Q的大小关系为。

3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解

例3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为。

4、根据二次函数图象提供的信息，确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置

例4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限。

5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象

例5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是——。

6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的范围

例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是。

考点2、考抛物线的解析式

求二次函数的解析式，是重点内容。

1、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式

例1、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。

2、已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式

例2、已知抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。

求该抛物线的解析式。

3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式

例3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．

求该二次函数的解析式。

4、已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式

例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。

5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式

例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________。

例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为

例7、在同一坐标平面内，图象不可能由函数 y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）Ａ． y=2（x+1）2-1Ｂ．y=2x2+3Ｃ． y=-2x2-1 Ｄ．

6、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式

结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-（a2x+bx+c）。

例8、抛物线 y=2（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为。

7、抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式

结论：抛物线y= a2x+bx+c关于y 轴的对称抛物线为：y=a2x-bx+c。

例9、抛物线 y=2（x-1）2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为。

8、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式

结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-a2x+bx-c。

例10、抛物线 y=2（x-1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为。

考点3、图形面积最优化问题

1、只围二边的矩形的面积最值问题

例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？

2、只围三边的矩形的面积最值

例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

4、截出图形面积的最值问题

例4、 如图4,△ABC 是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN ,使长方形PQMN 的边QM 在BC 上,其余两点P 、N 在AB 、AC 上。 （1） 问如何截才能使长方形PQMN 的面积S 最大？

（2） 在这个长方形零件PQMN 面积最大时，能否将余下的

材料△APN 、△BPQ △NMC 剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN 大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。

5、采光面积的最值

例5、 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。

（1） 求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x （米）之间的函数关系

式；

（2） 求自变量x 的取值范围；

（3） 问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？

三、课堂练习

一、选择题：

1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）

A. 直线3-=x

B. 直线3=x

C. 直线2-=x

D. 直线2=x

2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),

(a

c

b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

D. 第四象限

3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ）

A. 042>-ac b

B. 042=-ac b

C. 042<-ac b

D. ac b 42-≤0

O

x

y

4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的

解析式是532

+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c

B. 9-=b ，15-=c

C. 3=b ，3=c

D. 9-=b ，21=c

5. 已知反比例函数x

k

y =

的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）

O

x

y

A

O x

y

B

O x

y

C

O

x

y

D

6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有

且只有一个是正确的，正确的是（ ）

O

x

y

A

O x

y

B

O x

y

C

O

x

y

D

7. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0N ，0>P C. 0>M ，0P D. 0N ，0

二、填空题：

8. 将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y =______________________.

9. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是

______________________.

10. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________.

O

x

y

2 1 -1 O x

y

11. 请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________.

12. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：

甲：对称轴是直线4=x ；

乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

13. 已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：

_____________________. 14. 如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点的坐标是

________________.

三、解答题：

1. 已知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）.

（1）求这个函数的解析式；

（2）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围.

2. 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B .

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△P AB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标.

O x

y

1

-1 B

A

O x

y

A

B

1 1

16题图

3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数

图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）.

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 4. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11000的比例图上去，跨度AB =5cm ，拱高

OC =0.9cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）. 在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）. （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE 与AB 的距离OM =0.45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）.

五、教师评定：

1、 学生上次作业评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

2、 学生本次上课情况评价：○好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

教师签字：___________

校长签字： ___________ 家长签字：___________

0.9c m

5cm

A

B

C D E

M O

（1） A

B

C D

E

M O

（2）