二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义

学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三

授课教师

刘琳琳

课题 二次函数 授课时间

教学目标

重点、难点

考点及考试要求

教学内容

一、知识点梳理

一、定义与定义表达式

一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。 二、二次函数的三种表达式

一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）

顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ）

交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x=

2

x x 2

1+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a

2b

三、二次函数的图像

从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 四、抛物线的性质

1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -

a

2b

，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0）

2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。 当x =-a

2b

时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数

y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。

当-

a

2b

=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。

3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。

当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。 对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。

4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。

5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。

6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）

二、考点分析

考点一、图象

1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立 例1、已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ①

；②

；③

；④

；⑤

，（

的实数）其

中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2、根据二次函数图象提供的信息，比较与a、b、c相关的代数式的大小

例2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a －b |，则P、Q的大小关系为。

3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解

例3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为。

4、根据二次函数图象提供的信息，确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置

例4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限。

5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象

例5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是——。

6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的范围

例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是。

考点2、考抛物线的解析式

求二次函数的解析式，是重点内容。

1、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式

例1、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。

2、已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式

例2、已知抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。

求该抛物线的解析式。

3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式

例3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．

求该二次函数的解析式。

4、已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式

例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。

5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式

例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________。

例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为

例7、在同一坐标平面内，图象不可能由函数 y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）Ａ． y=2（x+1）2-1Ｂ．y=2x2+3Ｃ． y=-2x2-1 Ｄ．