高一数学(必修1)专题复习一函数的单调性和奇偶性

高一数学（必修1）专题复习一

函数的单调性和奇偶性

一．基础知识复习

1．函数单调性的定义：

如果函数)(x f 对定义域内的区间I 内的任意21,x x ，当21x x <时都有

()()21x f x f <，则()x f 在I 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在I 内时减函数．

2．单调性的定义①的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么

()()()x f x x x f x f ⇔>--02

121在 []

,a b 是增函数；

()()()x f x x x f x f ⇔<--02

121在[]

,a b 是减函数；

()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔

在[],a b 是减函数．

3．函数单调性的应用：利用定义都是充要性命题．

即若()f x 在区间I 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x ，I x ∈2)；

若()f x 在区间I 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>(1x ，I x ∈2)．

① 比较函数值的大小； ② 可用来解不等式； ③ 求函数的值域或最值等．

4．证明或判断函数单调性的方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集． （1）用定义． （2）用已知函数的单调性． （3）图象法．

（4）如果()f x 在区间I 上是增（减）函数，那么()f x 在I 的任一非空子区间上也是增（减）函数

（5）复合函数的单调性结论：“同增异减” ．

（6）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． （7）在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．

（8）函数)0,0(>>+

=b a x b ax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

或上单调递增；在

0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝

或上是单调递减． 5．函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数．

6．奇偶函数的性质：

（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．

（2）()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称．（3）()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．

（4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．

二．训练题目

（一）选择题

1．下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是（ ） A ．842

+-=x x y B ．)(log 2

1x y -= C ．1

2

+-

=x y D ．x y -=1 2．若函数2

()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A ．[)3,-+∞ B ．(],3-∞- C ．(],3-∞ D ．[)3,+∞ 3．函数()f x 在递增区间是()4,7-，则(3)y f x =-的递增区间是（ ） A ．()2,3- B ．()1,10- C ．()1,7- D ．()4,10- 4．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛的实数x 的范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0 C ．()()1,00,1 - D ．()()+∞-∞-,11,

5．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，那么在区间[]7,3--上是 A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-

6．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得

()0f x <的x 的取值范围是（ ）

A ．(),2-∞

B ．()2,+∞

C ．()(),22,-∞-+∞

D ．()2,2-

7．若2

()2f x x ax =-+与1

)(+=x a

x g 在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是 A ．()

()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1 D ．(]0,1

8．若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ）

A ．x 轴对称

B ．y 轴对称

C ．原点对称

D ．以上均不对 9．设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）

A ．()()f x f x ⋅-是奇函数

B ．()()f x f x ⋅-是奇函数

C ．()()f x f x +-是偶函数

D ．()()f x f x --是偶函数

10．已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且

12||||x x <，则（ ）

A ．12()()f x f x ->-

B ．12()()f x f x -<-

C ．12()()f x f x ->-

D ．12()()f x f x -<-

（二）填空题

1．已知)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，则)(x f 在)0,(-∞上的单调性 为 ．

2．已知奇函数()f x 在()0,+∞单调递增，且(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集